Методические указания к выполнению расчетно-графического задания по курсу «Дискретная математика»

Методические указания
к выполнению расчетно-графического задания
по курсу «Дискретная математика»
Расчетно – графическое задание (РГЗ) состоит из трех частей и включает
в себя набор заданий для студента по темам «Теория множеств», «Булева
алгебра» и «Исчисление высказываний и предикатов».
При оформлении задания необходимо следовать нижеперечисленным
требованиям:
1) Условие каждой задачи записывайте полностью.
2) Решение задач сопровождайте пояснениями.
Ч а с т ь 1 . ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Цель задания: ознакомление с основными понятиями теории множеств,
приобретение
практических
навыков
построения
доказательств, работы с множествами, декартовыми
произведениями, бинарными отношениями, специальными
бинарными отношениями.
Содержание задания:
Задача 1. Найдите множество.
Задача 2. Для произвольных множеств доказать данное соотношение.
Задача 3. Для заданного бинарного отношения P найти область определения
бинарного отношения  P , область значения бинарного отношения P , обратное
отношение P 1 , композиции P P , P1 P , P P1 . Для найденных множеств
привести доказательства.
Задача 4. Для любых бинарных отношений доказать заданные соотношения.
Задача 5. Доказать свойства специальных бинарных отношений.
Задача 6. Построить бинарное отношение, обладающее заданными свойствами,
или доказать, что такого отношения не существует.
Задача 1.
Даны множества: A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8}, C={1,3,5,7}, D={1,2,4,5,7,8}
и универсальное множество U={1,2,3,4,5,6,7,8},
Найти множество ((С \ D)  ( A  D)) \ C
Задача 2.
Постройте диаграммы Эйлера, покажите, что для произвольных A, B, C:
1) A\(BC)=(A\B)(A\C),
2) A\(BC)=(A\B)(A\C),
Задача 3.
Найти  P , P , P 1 , P P , P1 P , P P1 для отношений:
1) P={(x,y)|x,yN и x делит y},
2) P={(x,y)|x,yR и x+y0}.
3) P={(x,y)|x,yR и xy20},
Задача 4.
Доказать, что для любых бинарных отношений:
1
1)  P1 P2   P11 P21 ,
 
2) P 1  P
1
Задача 5.
1) Доказать, что если отношения P и S рефлексивны, то рефлексивны и
отношения: P U S , P - 1 , P o S .
2) Доказать, что если отношения P и S симметричны, то симметричны и
отношения: P U S , P I S , P - 1 , P o P - 1 .
3) Доказать, что если отношения P
антисимметричны и отношения: P I S , P - 1 .
и
S
антисимметричны,
то
Задача 6.
Постройте бинарное отношение, обладающее следующими свойствами, или
докажите, что такого не существует:
Отношение:
a). транзитивное, антирефлексивное, антисимметричное.
b). не транзитивное, рефлексивное, симметричное.
Ч а с т ь 2 . БУЛЕВА АЛГЕБРА
Цель
задания:
ознакомление
с
основными
понятиями
теории
переключательных функций и булевой алгебры, приобретение
практических навыков приведения функций к дизъюнктивной
нормальной форме, построения минимальных формы.
Содержание задания:
Для заданной функции f ( x, y, z, p) четырех переменных:
1) построить таблицу истинности;
2) найти СДНФ и СКНФ;
3) найти минимальную форму методом карт Карно;
4) определить принадлежность классам Поста;
Задание:
Заданы функции:
1).
f ( x, y , z , p ) : ( x  y )  ( z  p )
2).
f ( x, y , z , p ) : ( x  y )  ( z  p )
Ч а с т ь 3 . ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ
Цель задания: ознакомление с основами исчисления высказываний и
исчисления предикатов, приобретения практических навыков
построения выводов и доказательств, приёмов построения
предикатов на языке исчисления предикатов, а также
приобретения навыков доказательств общезначимости формул.
Содержание задания:
Задача 1. Записать формулы, выражающие заданные утверждения. Для
полученной формулы построить приведенную нормальную формулу (ПНФ).
Задача 2. Доказать общезначимость формулы.
Задача 3. Построить вывод в исчислении высказываний.
Задача 1.
Утверждения:
1) У каждого есть отец и мать.
2) У каждого есть бабушка.
Запишите формулы, выражающие данные утверждения, используя предикаты:
P(x,y) – x родитель y
M(x) – x – мужчина
W(x) – x – женщина
Задача 2.
Доказать общезначимость формул:
1)
xyP( x, y )  yxP( x, y ) ;
2)
( B  xA( x))  x( B  A( x)).
Задача 3.
Постройте в исчислении высказываний следующие выводы:
1).
AB
 (B  C)  ( A  C)
A  (B  C)
B
2).
AC
Рекомендуемая литература
1. Рояк М.Э., Рояк С.Х. Основы дискретной математики. Учебное
пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.
2. Лавров И.А., Максимова Л.Л.: “Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов”. - М, “Наука”, 1975.
3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учеб.
пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1992.