к задачам современной термодинамики вегетативной нервной

Федеральное государственное
бюджетное учреждение науки
Государственный научный центр РФ –
Институт медико-биологических проблем РАН
А.В.Дёмин, А.И.Иванов, О.И.Орлов
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИОЛОГИИ.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ
ДЕЙСТВИЯ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ НА
ПОТРЕБЛЕНИЕ КИСЛОРОДА
ЧЕЛОВЕКОМ ПРИ ФИЗИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Часть 6
Под ред. д.б.н. А.М.Носовского
МОСКВА
2012
УДК
ББК 28в641
Д 987
57:51-76
Дёмин А.В., Иванов А.И., Орлов О.И.
Методическое пособие по математической физиологии.
Количественная оценка действия инертных газов на
потребление кислорода человеком при физической работе:
Часть 6. М.: Фирма «Слово». 2012. – 20 с.
Рецензенты:
Профессор МГУПИ, д.т.н. Н.В.Селезнёва
Зав. лаб. ГНЦ РФ – ИМБП РАН, д.м.н. А.В.Суворов
В пособии рассмотрены количественные методы оценки
действия инертных газов на потребление кислорода человеком во
время тестов с дозированной физической нагрузкой, выполненных в
исследованиях ГНЦ РФ – ИМБП РАН.
Пособие предназначено для научных работников, физиологов и
врачей, работающих в области авиакосмической, подводной и
спортивной медицины.
ISBN
© Коллектив авторов, 2012
© Фирма «Слово», 2012
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
4
Сведения для заинтересованных читателей
6
§
1.
Эксперимент
«Дыхание
инертными
газами
-
работоспособность»
8
§ 2. Выбор меры для оценки результатов экспериментов
9
2.1. Длина вектора как мера результатов экспериментов
9
2.2. Линейная корреляция как мера зависимости
12
2.3. Метод доверительных интервалов
17
Задачи для самостоятельного решения
21
Литература
21
Дополнительная литература
21
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие содержит упрощенное изложение
отдельных лекций курса по элементам теории управления,
читаемого студентам, аспирантам и научным работникам
А.И.Ивановым в учебных и научно-исследовательских учреждениях.
В пособие включены также сведения по методам обработки
результатов измерений в разных областях естествознания. Особое
внимание уделено использованию результатов теории управления в
математической биологии, биоинформатике, медицине, в том числе
авиакосмической.
Развит подход, применявшийся в лекциях и научных трудах
д.ф.-м.н., проф., чл.-кор. АН СССР В.И.Зубовым (1930-2000). В
частности, в учебном пособии В.И.Зубова «Лекции по теории
управления», с 1970 г. успешно использующемся при обучении
студентов и аспирантов, а также при повышении квалификации
профильных научных работников. Использован подход д.б.н., проф.,
чл.-кор. АМН СССР Е.Ф.Романцева (1922–1994), д.т.н., проф.,
действительного члена Российской академии космонавтики им.
К.Э.Циолковского инженер-полковника В.П.Селезнёва (1919–2001)
и д.филос.н. В.Н.Дёмина (1942–2006).
Содержание данного пособия в основном ориентировано на
решение задач жизнеобеспечения космонавтов, испытателей и
спортсменов.
Пособие разделено на отдельные части. В шестой части
пособия содержится доступное для специалистов в области
медицины, биологии и физиологии изложение метода сравнения
дыхательных характеристик человека, измеренных при дыхании им
разными дыхательными смесями.
В § 1 сформулирована задача пособия. Описаны условия и
методика проведения эксперимента.
§ 2 состоит из трёх разделов. В разделе 2.1 описаны отдельные
виды меры применимые для оценки результатов измерений
описанных в § 1 экспериментов. В разделе 2.2 изложены начальные
сведения из теории корреляции, отдельное внимание уделено
нахождению количественныхоценок правомерности использования
линейных регрессионных моделей.
В разделе 2.3 на примере изложенном в § 1 задачи читатель
знакомится с вычислительной процедурой, позволяющей найти
4
количественные оценки результатов часто применяемых в биологии
экспериментов, выполненных по схеме «характеристики системы
до воздействия на систему возмущающих факторов –
характеристики системы после воздействия на систему
возмущающих факторов».
В начале пособия помещены сведения для заинтересованных
читателей. В них даны простые задачи, решив которые читатель
убедится в том, что его уровень общеобразовательнойподготовки
достаточен для освоения материалов пособия.
В конце пособия в интересах читателей помещены задачи для
самостоятельного решения в целях самостоятельной проверки
читателем качества освоения материала изложенного в пособии.
Авторы пособия считают своим долгом выразить глубокую
благодарность д.б.н. А.М.Носовскому за внимание, проявленное
при подготовке пособия.
5
СВЕДЕНИЯ ДЛЯ ЗАИНТЕРЕСОВАННЫХ ЧИТАТЕЛЕЙ
В процессе написания пособия мы стремились минимизировать
использование математического аппарата. Вместе с тем для
адекватного восприятия содержания читателю необходимо владеть
пусть и минимальным, но необходимым объемом математических
знаний. Получить представление о своей математической
осведомленности можно, решив предложенные ниже задачи. В
целях удобства читателей в указаниях к задачам сообщается из
какой именно книги взята задача. Там же на указанной странице
содержится её решение. В случае отсутствия в распоряжении
читателя указанной книги, в силу типичности предложенных задач,
рекомендуем воспользоваться доступными пособиями для
подготовки в вузы, а также пособиями для начальных курсов
средних специальных учебных заведений.
Задача 1. Даны векторы X=(1,2,3), Y=(4,5,6). Являются ли эти
векторы зависимыми или независимыми.
Указание. Использовать скалярное произведение векторов.
Задача 2. Вычислить значение 3.5!
Указание. Воспользоваться гамма функцией.
Задача_3. Что называется зависимыми и независимыми
событиями?
Указание. См. кн. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. Математическая
статистика: Учебник для студентов средних специальных учебных
заведений. – М.: Высшая школа. 2001. с.44
Задача 4. Что называется нулевой гипотезой H 0 ?
Указание. См. ту же книгу с.203
Задача 5.
Гипотеза о значениях границ доверительного
интервала кардиореспираторного пераметра принята при уровне
значимости   0.05 . Какова надежность границ доверительного
интервала.
6
Задача 6. Некая гипотеза H0 не отклонена при уровне
значимости   0.05 . Приблизительно в скольких случаях из ста
гипотеза H0 подтвердится при выполнении опытов. Указание. См.
книги: В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая
статистика. с.282; Труды второго Всесоюзного совещания по
математической статистике 27 сентября – 2 октября 1948 г. Ташкент.
Изд. Академии наук УзССР. 1949. с.270.
Если вы не смогли решить хотя бы одну из предложенных задач,
то вы основательно подзабыли школьный курс для подготовки к
ЕГЭ. Прежде чем двигаться дальше, вам следует освежить в памяти
сведения из школьного курса, а также учебников для 1 курса,
используемых в вузах РФ при подготовке специалистов
гуманитарных специальностей. В интересах читателей в конце
пособия нами дан список дополнительной литературы, которая
полезна для тех, кто не справился с решением хотя бы одной из
выше напечатанных задач. В противном случае вы рискуете не
воспринять достаточно адекватно содержание пособия.
7
§
1.
Эксперимент
«Дыхание
инертными
газами–
Работоспособность»
В рамках решения задач адаптации человека к физическим
нагрузкам при разных условиях окружающей среды в ГНЦ РФ –
ИМБП РАН в 2011 г. выполнены серии экспериментов по
количественной оценке изменений физиологических характеристик
человека, выполняющего разные по интенсивности физические
нагрузки при дыхании разными газовыми смесями.
Задачей шестой части пособия является ознакомление читателя с
отдельными методами обработки результатов измерений,
применение которых позволяет найти адекватные численные
оценки дыхательных характкристик человека при выполнении им
дозированной физической работы при разном составе дыхательных
смесей.
Нагрузочное тестирование испытатели выполняли с помощью
велоэргометра VIAsprint 150P (Erich Jaeger, Германия), в котором
возможна регуляция мощности нагрузки. В процессе работы под
дозированной нагрузкой выполнялся измерительный контроль
разных физиологических характеристик испытателя с помощью
прибора Innocor (Innovision, Нидерланды). В рамках задачи пятой
части пособия мы располагали результатами измерений
потребления кислорода десятью испытателями при разных
значениях мощностей физических нагрузок. Для каждого
испытателя было выполнено около 400 измерений.
Значения нагрузки задавались на велоэргометре дискретно: 0, 60,
75 Вт и т.д. с шагом 15 Вт продолжительностью в 1 мин. Такой
профиль нагрузки применяется нами практически во всех
исследованиях, поскольку позволяет достигнуть значений близких к
максимальным и сопоставить их с результатами др. исследователей,
использующих тот же подход, разработанный Вассерманом с соавт.
[1]. При каждом из значений нагрузки измерялось потребление
кислорода 11–45 раз. Работа испытателем при каждом значении
нагрузки выполнялась по 1 мин. При нулевой нагрузке измерение
потребления кислорода выполнялось 3 мин.
При оценке потребления кислорода на каждой ступени нагрузки
использовано среднее арифметическое результатов измерений.
8
§ 2. Выбор меры для оценки результатов экспериментов
2.1. Длина вектора как мера результатов экспериментов
Изложим один из возможных приемов объективизации оценок
результатов опытов. Пусть имеются некоторые результаты
измерений x1 , x2 ,...xn некоторого изучаемого явления. Пусть после
окончания измерений изучаемого явлений на исследуемый объект
оказано какое-то воздействие, после чего выполнены новые замеры
характеристик объекта при тех же условиях опыта. Наша задача
состоит в том, чтобы выяснить: оказала ли некоторое внешнее,
заранее спланированое воздействие влияние на регистрируемые
свойства объекта. Например, пусть в течение часа через каждые 10
минут были выполнены замеры температуры воздуха в
лаборатории. После этого на последующий час в лаборатории
включен обогреватель. Затем обогреватель выключен и выполнены
новые замеры температуры воздуха в помещении через каждые 10
мин в течение часа. Задача в данном случае состоит в том, оказало
ли включение обогревателя влияние на температуру воздуха в
лаборатории. Обозначим через Y  ( y1 , y2 ,... yn ) результаты
измерения характеристик исследуемого объекта после воздействия
на
объект.
При
таких
обозначениях
задачу
можно
переформулировать так: зависимы ли численные значения
результатов измерений y1 , y2 ,... yn от численных значений
x1 , x2 ,...xn . В интересах читателей, сообщаем, что практически
любые наборы чисел x1 , x2 ,...xn и y1 , y2 ,... yn окажутся зависимыми.
Разъясним наше утверждение.
Известно, что упорядоченный набор чисел, записанный через
запятую называется вектором. Числа, входящие в вектор, элементами вектора. Количество чисел, в нашем случае n –
размерность вектора. Известно, что векторы называются
независимыми (точнее линейно независимыми), если их скалярное
произведение [2, с.174] равно нулю. Напомним, что скалярное
произведение векторов ( x1 , x2 ,...xn ) , ( y1 , y2 ,... yn ) обозначается как
( XY ) и вычисляется как
9
n
( XY )   xi yi .
(1)
i 1
Очевидно, что скалярное произведение будет равно нулю если хотя
бы один из векторов состоит из нулей. Во всех других случаях
интуитивно подобрать 2 вектора, скалярное произведение которых
равно нулю, весьма затруднительно. Например, возьмем 2
пятимерных вектора с произвольно взятыми численными
X  (1,7,2,0,4) , Y  (3,13,1,2,1) .
значениями элементов
( XY )  1 3  7 13  2 1  0  2  4 1  100 , то есть векторы линейно
зависимы. В целях полноты, в интересах читателей сообщим, что
весьма часто примененяемое в исследованиях понятие корреляции
является понятием логически вытекающим из понятия скалярное
произведение. И весьма трудно найти в природе величины с
нулевой корреляцией. Любой работающий человек может легко
убедиться в том, что значения температуры окружающего воздуха
за окном, замеренные в течение суток в любые моменты времени и
значения его месячной зарплаты за последние 5 месяцев в
большинстве случаев окажутся зависимыми. Весьма часто в
естествознании отдельные популярные авторы зависимости
похожие на здесь приведенную «температура за окном –
среднемесячная зарплата», называют «ложными», однако, в
математике нет и скорее всего не может быть теоремы,
применением результатов которой, возможно доказать «ложность»
или «истинность» зависимости.
Очевидно, что скалярное произведение определено только для
векторов одинаковой размерности. Векторы можно сравнить так же
по их отдельным численным характеристикам. Одной из таких
характеристик является длина (норма) вектора, обозначаемая как
Х и определяемая [2], как
X 
n
x
i 1
2
i
.
(2)
Например, не трудно вычислить, что для вектора X  (1,7,2,0,4)
X  12  72  22  02  42 =8.37. Используя (2), векторы можно
сравнить по длине (норме). Например, если в нашем случае длина
10
вектора Y  (3,13,1,2,1) равна Y  13.6 , то можно сказать, что
длина вектора Y больше длины вектора X , то есть Y  X , так
как 13.6  8.37 . Сравним по длинам векторов результаты
измерений, помещенные в табл.1.
Таблица 1.
Потребление кислорода испытателем 6001 при увеличении
нагрузки до 80% МПК (л/мин). Х – до дыхания Не; Y – после
дыхания Не; Z – до дыхания Ar; V – после дыхания Ar.
X 6001 
Y6001 
Z 6001 
V6001 
0.35
0.37
0.44
0.35
0.79
1.27
1.36
1.52
1.65
1.79
1.90
2.05
2.14
2.49
2.64
2.70
0.80
1.17
1.42
1.55
1.67
1.83
1.95
2.13
2.34
2.54
2.69
3.03
0.67
1.20
1.48
1.58
1.68
1.86
2.06
2.24
2.35
2.48
2.64
2.76
0.82
1.20
1.44
1.52
1.64
1.88
1.98
2.15
2.30
2.48
2.58
2.78
В целях удобства сравниваемые векторы в табл.1 обозначены через
буквы X 6001 , Y6001 , Z 6001 , V6001 . Индексы при векторах соответствуют
номерам испытателей. Вычислим длину вектора X 6001 :
X 6001  0.352  0.792  1.27 2  1.362  1.522  1.652  1.792  1.92  2.052  2.142  2.492  2.642  2.7 2  6.74. .
Воспользовавшись (2), выполнив вычисления, запишем:
X 6001  6.74 , Y6001  7.03 , Z 6001  6.98 , V6001  6.87 ,
X 6002  5.23 , Y6002  5.27 , Z6002  5.36 , V6002  5.29
X 6003  5.04 , Y6003  5.23 , Z6003  5.11 , V6003  5.28
X 6004  5.49 , Y6004  5.76 , Z6004  5.56 , V6004  5.75
11
X 6005  6.31 , Y6005  6.30 , Z 6005  6.36 , V6005  6.29
X 6006  7.86 , Y6006  7.98 , Z 6006  7.72 , V6006  7.68
X 6007  6.79 , Y6007  8.98 , Z6007  6.36 , V6007  7.34
X 6008  6.43 , Y6008  6.62 , Z6008  6.46 , V6008  6.81
X 6009  5.83 , Y6009  5.96 , Z6009  5.70 , V6009  5.87
X 6010  5.68 , Y6010  5.55 , Z6010  5.48 , V6010  5.33
Не трудно увидеть, что вычисленные длины векторов разные.
Известно, что значения элементов векторов – это количества
потреблений кислорода при разных нагрузках. Приняв длины
векторов за меры потребления кислорода, выраженные в виде
одного числа, можно прийти к заключению о том, что потребления
кислорода разные. С другой стороны можно заявить, что значения
длин векторов весьма мало отличаются друг от друга, поэтому
потребления кислорода практически одинаковы.
Сформулируем результат. Несмотря на то, что длины векторов
результатов измерений является общепринятой мерой, сравнение
результатов экспериментов по этой мере не является достаточно
адекватной. Не трудно доказать, что не только длина вектора, но и
процент изменения потребления кислорода в данном случае
является неадекватной мерой.
2.2. Линейная корреляция как мера зависимости
В части 2.1, § 2 упомянуто о том, что в качестве одной из
возможных мер связи между явлениями может служить
коэффициент корреляции. Математически коэффициент корреляции
является развитием понятий зависимости – независимости векторов
и прямо пропорциональной – обратно пропорциональной
зависимости. Для вычисления значения оценки коэффициента
корреляции rxy требуется знание численных значений оценок
среднего арифметического и среднего квадратического отклонения
(СКО). Известно, что оценка среднего арифметического
xср вычисляется как:
12
xср 
1 n
 xi .
n i 1
(3)
Значения оценки дисперсии S 2 как:
S2 
1 n
 ( xi  xср )2
n i 1
.
(4)
Значение оценки СКО S как:
S  S2 .
(5)
Тогда коэффициент корреляции [3, c.228] вычисляется как:
n
rxy 
 (x
i 1
i
 xср )( yi  yср )
nS x S y
.
(6)
Пусть, например, требуется найти выборочный коэффициент
корреляции измерений X 6001 и Y6001 из табл.1. Воспользовавшись
выражениями (3), (4), (5), вычислим средние арифметические xср ,
y ср , и S X2 , S X , SY2 , SY : xср  1.74 , yср  1.88 , S X2  0.45 ,
S X  0.67 , SY2  0.72 , SY  0.85 , где через S X2 , SY2 , S X , SY
обозначены оценки дисперсий (4) и СКО (5) векторов значений
X 6001 и Y6001 . Теперь, воспользовавшись (6), вычислим
коэффициент корреляции rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 . Известно, что значение
коэффициента корреляции может находиться в интервале
 1  rxy  1 . Известно также, что по мере приближения значения
rxy к 1 , глубина корреляции считается наибольшей. При этом при
rxy  1 принято считать, что найдена прямо пропорциональная
линейная зависимость. При rxy  1 обратно пропорциональная
линейная
зависимость.
В
нашем
случае,
так
как
заявить, что высокозначимо найдена
rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 можно
зависимость, и что значения результатов измерений, помещенные в
вектора X 6001 и Y6001 , зависимы прямо пропорционально, то есть:
13
чем больше значение элемента из X 6001 , тем больше значение
элемента из Y6001 . В нашем случае, трактуя найденный с помощью
математики результат, можно заявить о доказанности того, что
после дыхания гелием потребление кислорода организмом человека
в процессе нагрузки возрастает.
Однако, несмотря на то, что нами продемонстрирована с
помощью численных методов высокая корреляция, зависимость
между векторами X 6001 и Y6001 не доказана. То есть заявления о том,
что зависимы вектора значений X 6001 и Y6001 не верны.
Для
уточнения
статистической
достоверности
или
статистической значимости найденного значения коэффициента
корреляции используется целенаправленные статистические
критерии. Необходимость применения критериев объясняется тем,
что каждое значение в векторах X 6001 и Y6001 является числом во
многом случайным. Например, вследствие невозможности
выполнить измерение абсолютно точно, а также в следствие
неизвестных нам причин, влияющих на результат измерения.
Совокупность таких причин модно называть «неизвестными
случайными факторами». Это означает, что и вычисленные
значения xср , yср  значения случайные, и S X2 , S X , SY2 , SY  также
значения каких-то случайных величин. Следовательно, и значение
rxy есть значение какой-то случайной величины. Иначе говоря,
результат rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 случайный. Другими словами, так как
коэффициент корреляции rxy вычислен по данным выборки – его
значения случайные. Требуется проверить является ли найденное
значение rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 значимым. В начале проверим не является
ли значение коэффициента rX 6 0 0 1Y6 0 0 1 на самом деле равным нулю, а
значение rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 одной из реализаций какого-то случайного
процесса. Сформулируем гипотезу о том, что rX 6 0 0 1Y6 0 0 1  0 как
нулевую гипотезу:
H 0 : rX 60 01Y60 01  0 .
14
Известно [4, стр.185], что при справедливости нулевой гипотезы
статистика
t
rxy n  2
1  rxy
2
(7)
распределена по Стьюденту с k  n  2 степенями свободы.
Напомним, что случайная величина t распределена по закону
Стьюдента, если ее плотность вероятностей f (t ) записывается как
 k 1
 k 1


2
 2  1  t  2 ,
f (t ) 

k 
k
   (  k ) 
2
(8)
где через  обозначена гамма-функция или интеграл Эйлера 2-го
рода.
Применив формулу (7), выполнив вычисления, находим, что в
нашемслучае значение t  11.4 . Теперь, воспользовавшись
выражением (8) при k  13  2  11 степенях свободы, находим

2
 f (t )dt  2  (9.8 10
8
)  2  10 7   – вероятность ошибки
11.4
первого рода. Это означает, что отвергая гипотезу H 0 о том, что
rX 6 00 1Y6 00 1  0 , мы совершим очень малую ошибку первого рода,
вероятность которой   2 10 7  0 . На этом основании гипотезу
H 0 : rX 60 01Y60 01  0 отвергаем. Сформулируем результат: нами
доказано, что коэффициент корреляции rX 6 0 0 1Y6 0 0 1 не равен нулю,
однако мы ещё не знаем чему он равен в действительности. Мы
знаем только, что его случайное значение rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 . Для
дальнейшего уточнения значения коэффициента корреляции
rX 6 00 1Y6 00 1 воспользуемся методом доверительных интервалов.
Пусть истинное значение коэффициента корреляции rX 6 00 1Y6 00 1 нам
не известно, но мы знаем вычисленное выборочное значение
15
rX 6 00 1Y6 00 1  0.96 . Найдем интервал значений коэффициента rX 6 00 1Y6 00 1 ,
в котором находится его истинное, но пока не известное нам
значение. Для нахождения интервала нужно вычислить некоторую
величину Z , используя преобразование Фишера:
Z
1 1 r
ln
.
2 1 r
(9)
В нашем случае, использовав (9), находим Z  1.95 . Известно, что
статистика величины Z распределена нормально с математическим
ожиданием
MZ 
1 1 r
1
ln
；  Z2 
.
2 1 r
n3
（10）
В нашем случае выполнив вычисления находим, что
M Z  1.95 ,  Z2  0.1 , то есть  Z  0.1  0.32 . Это означает,что
плотность вероятностей величины Z записывается как

1
f (Z ) 
e
0.32  2
( Z 1.95) 2
20.322
.
(11)
С помощью выражения (11), задав надёжность  , не трудно найти
значение некоторой величины t , которое принято называть
критическим и обозначать t кр . Значение t кр является решением
уравнения
t кр
f
N
( x, M Z ,  Z )dx   .
(12)
t кр
t кр
В нашем случае (12) запишется как
f
N
( x,1.95,0.32)dx  0.95 , где
t кр
f N ( x, M Z ,  Z ) – плотность вероятностей нормального закона.
Решив уравнение, находим, что t кр  2.48 . Известно, что
доверительный интервал для истинного значения коэффициента
корреляции rxy находится применением выражения
tкр 
t



  rxy  th Z  кр  .
th Z 
n3 
n3 


16
(13)
В
нашем
случае
(13)
записывается
как
2.48 
2.48 


Выполнив
th1.95 
  rX 6001Y6001  th1.95 
 .
13  3 
13  3 


очевидные вычисления, находим: 0.82  rX 600 1Y600 1  0.99 . Это
означает, что с надежностью   0.95 искомое нами значение
коэффициента корреляции rX 6 00 1Y6 00 1 находится в интервале (0.82,
0.99). Такое значение коэффициента корреляции можно считать
весьма высоким. Однако в процессе его применения нужно
помнить, что за истинное значение коэффициента корреляции
rX 6 00 1Y6 00 1 допустимо принять любое из значений интервала (0.82,
0.99).
Сформулируем результат. Результаты измерений потребления
кислорода испытателем 6001 при дозированной нагрузке до
вдыхания гелия и послекоррелированы с коэффициентом
корреляции из интервала (0.82, 0.99) с надежностью 0.95.
Напомним,что нами доказана коррелированность величин, а не их
зависимость.
Известно,
что
величины
могут
быть
коррелированными, но при этом независимыми. Используя
коэффициент корреляции можно найти линейную регрессионную
модель связи между значениями X 6001 и Y6001 . Методы нахождения
регрессионных моделей будут описаны в следующих частях
пособия.
2.3 Метод доверительных интервалов.
Пусть в нашем распоряжении имеются два вектора результатов
измерений одинаковой размерности, в которых элементы векторов
есть результаты измерений численных значений случайных величин
X и Y . При нахождении доверительных интервалов
математических ожиданий M X и M Y возможны 2 метода. Метод 1
применяется в случае, в котором случайные величины X и
Y независимые. Метод 2 – когда зависимые. Точное установление
факта зависимости или независимости случайной величины X и
Y далеко не всегда представляется возможным. Трудности
установления факта зависимости – независимости включают в себя
17
в том числе и отсутствие в настоящий момент времени найденных
решений отдельных внутриматематических задач. Поэтому в целях
нахождения решений прикладных задач в настоящее время весьма
часто, фактически, используются некоторые договорённости о
зависимости – независимости, не имеющие достаточно полной
математической обоснованности. В частности, случай широко
распространенный в физиологии, в котором в начале опыта
замеряются исходные характеристики системы, затем на систему
производится какое-то воздействие, после чего снова замеряются
значения характеристик системы – принято называть случаем «до –
после» и считать результаты имерений зависимыми. Нами в пункте
2.2 настоящего параграфа доказано наличие в исследуемой системе
корреляции, а не зависимости. На самом деле известно, что
величины могут быть коррелироваными, но при этом
независимыми. Например, соотнеся количеста поступивших на 1
курс студентов Софийского государственного университета и
высоту подъема воды в реке Дунай, не трудно вычислить, что
коэффициент корреляции равен 0.97. Не трудно также убедиться в
том, что коэффициент корреляции значим и находится в интервале
(0.96,0.98) с надежностью   0.9973 . Вместе с тем очевидно, что
никакой зависимости между высотой подъема воды в Дунае и
успешностью поступления в Софийский гос.университет нет. На
самом деле окончание вступительных экзаменов в данном
университете приходится на середину августа. В силу
гидрологических причин каждый год в это время в Дунае наиболее
высокий уровень воды. Таковым он был и до создания Софийского
университета, то есть подъем воды был, а поступивших в
университет не было ни одного.
Продолжим решение нашей задачи. В силу договоренности
будем считать, что в нашем случае случайные величины
X 6001 и Y6001 зависимые. Применим метод доверительный интервалов
для доказательного выяснения того, произошли изменения
потребления кислорода испытателями после дыхания гелием или не
произошли. Для решения такого типа задач удобно использовать не
непосредственно выборки X 6001 и Y6001 , а значения разностей их
элементов: x1  y1 , x2  y2 ,...xn  yn . При таком подходе гипотеза о
том,
18
что
xср  yср
эквивалентна
гипотезе
о
том,
что X 6001  Y6001 обладает нулевым средним. Тогда n найденных
разностей можно рассмотреть как n значений непрерывной
случайной
величины
с
нулевым
средним.
Обозначим
x1  y1 , x2  y2 ,...xn  yn через d1 , d 2 ,...d n , через d*
d* 
1 n
 di ,
n i 1
( d i  d* ) 2
.
Sd  
n 1
i 1
(14)
n
(15)
Доказано, что в этом случае величина
t
d*
Sd
n
распределена по закону Стьюдента с ( n  1) степенями свободы.
(16)
В качестве примера выполним вычисления для испытателя 6001
до и после дыхания гелием. Результаты измерений потребления
кислорода во время физической работы до дыхания гелием запишем
в виде вектора X=(0.35, 0.79, 1.27, 1.36, 1.52, 1.65, 1.79, 1.9, 2.05,
2.14, 2.49, 2.64, 2.7). После дыхания гелием Y=(0.37, 0.8, 1.17, 1.42,
1.55, 1.67, 1.83, 1.95, 2.13, 2.34, 2.54, 2.69, 3.03). Воспользовавшись
(14), выполнив вычисления, находим, что d*  0.065 .
Воспользовавшись (15), выполнив вычисления, находим, что
S d  0.1. Воспользовавшись (16), выполнив вычисления, находим,
что t  2.31. Известно, что закон Стьюдента записывается как (8).
Следовательно
 12  1 
12 1


2


 2  1  t  2 dt    0.02 . То есть отвергая
  12 

k 
2
 
   (12 ) 
2
гипотезу H 0 : xср  yср мы совершим ошибку с вероятностью 0.02.
 2.31
Считая
гипотезу
вероятность
H 0 : xср  yср
0.02
отклоняем.
достаточно
малой,
Гипотеза проверена как
левосторонняя в силу того, что значение t  2.31 , то есть
отрицательное.
19
Сформулируем результат. Потребление кислорода во время
физической работы до дыхания гелием испытателем 6001 и после
дыхания гелием разное. Иначе говоря доверительный интервал
значений xср и y ср не пересекаются. То есть потребление кислорода
после дыхания гелием возрасло в среднем на 0.065 л/мин.
Изменение количества потребления кислорода при физической
работе испытателем 6001 после дыхания гелием доказано.
Выполним количественную оценку изменения. Известно [5], что
точность результатов расчетов не может превосходить точности
результатов измерений. Нами найдено, что средняя разность
потребления кислорода равна 0.065. Известно, что точность
измерений объемов потребляемого кислорода в состоянии
относительного покоя  0.05 л/мин. Известно, что при замерах,
выполненных при физической работе испытателя при возрастании
нагрузки точность результатов измерения падает, то есть разброс
значений превышает 0.05 л/мин. В нашем случае в следствие того,
что средняя разность потребления кислорода до и после дыхания
гелием равна 0.065, можно обоснованно утверждать, что
зарегистрированная разность находится в рамках границ точности
прибора.
Для количественной оценки неопределенности результатов
измерений, возникающей в следствие ограниченной точности
приборов принято использовать меру неопределенности, значения
которой оценивается применением формулы [6, c.68]
Q2
H 0 (Q)    p0 (Q) ln p0 (Q)dQ ,
(17)
Q1
где
p0 (Q) – плотность вероятности значений измеряемой
величины, Q1 , Q1 – значения границ измеряемой величины. В
пособии [6] сказано, что задача нахождения закона распределения
p0 (Q) не решена. В учебнике [7, с.72] сообщено, что
приблизительно в 92% закон p0 (Q) распределения не является
нормальным.
20
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Вектор значений потребления кислорода испытателем
во время нагрузки до дыхания аргоном Z=(0.44, 0.67, 1.2, 1.48, 1.58,
1.68, 1.86, 2.06, 2.24, 2.35, 2.48, 2.64, 2.76), после дыхания аргоном
V=(0.35, 0.82, 1.2, 1.44, 1.52, 1.64, 1.88, 1.98, 2.15, 2.3, 2.48, 2.58, 2.78)
– см. табл.1 данного пособия. Воспользовавшись методом
доверительных интервалов решить задачу о том изменилось ли
потребление кислорода во время нагрузки после дыхания аргоном.
Указание. См. § 2 раздел 2.3 настоящего пособия.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Wasserman K., Hansen J.E., Sue D.Y., Whipp B.J., Casaburi R.
Principles of exercise testing and interpretation. Lea&Febiger. A
waverly company. 1994. – 479 pp.
Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для
биологов. Новосибирск. Наука. 1974. – 408 с.
Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А., Решетникова
И.О. Математическая статистика. 2-е изд. переработ. и доп.
– М.: Высшая школа. 1981. – 371 с.
Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и
математическая статистика. Примеры и задачи: Учебн.
пособие. – под ред. К.К.Кузьмича. – Мн.: Новое знание.
2002. – 250 с.
Назаров Н.Г. Метрология. Основные понятия и
математические модели: Учебное пособие для вузов. М.:
Высшая школа. 2002. – 348 с.
Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и
контроля качества. Учебн.пособие. М.: Издательство
стандартов. 1987. – 320 с.
Орлов А.И. Эконометрика: Учебник для вузов. М.: Изд.
«Экзамен». 2004. – 576 с.
Дополнительная литература
8.
Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели
биологических продукционных процессов: Учебн.пособие.
Изд-во московского университета. 1993. – 302 с.
21
Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в
биологии. Изд. 2-е, испр. и доп. М.-Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика». 2011. – 560 с.
10. Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для
биологов. Новосибирск. Наука, Сибирское отд. 1974. – 410
с.
11. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов: пер. с
англ. М.: Высш.школа. 1983. – 383 с.
12. Курицкий Б.Я. Математические методы в физиологии. Издво Л. Наука. Ленингр. отд. 1969. – 292 с.
9.
ООО Фирма «Слово»
123007, Москва, Хорошевское шоссе, д. 76 A
E-mail: v_krugovykh@mail.ru
Подписано в печать _____.
Бумага офсетная №. 1.
Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5.
Тираж 150 экз. Заказ № 22
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии
ООО «Альфа-Принт»
Москва, Б. Новодмитровская, 14, кор. 2
22