6-й семинар, гидродинамика, истечение из отверстий и

1
6-й семинар, 2016 г.
6. «Гидродинамика»
6. 1. Истечение жидкости через отверстия, насадки, водосливы.
Рассматриваются только установившиеся режимы истечения, при которых уровень
жидкости в сосудах не меняется.
Истечение из отверстия. Коэффициентом сжатия называется отношение площади
сжатого сечения струи к площади отверстия

fc d c2
 .
fo d o2
(1)
Сжатие струи называется совершенным, если стенки резервуара удалены от
центра отверстия на расстояние l > 3dо и не оказывают влияния на сжатие струи.
Сжатие струи называется несовершенным, если стенки резервуара удалены от
центра отверстия на расстояние l < 3dо и оказывают влияние на сжатие струи.
При совершенном сжатии величина диаметра струи в сжатом сечении по
экспериментальным данным [1] приблизительно равна dс≈0,8do, тогда ε≈0,64.
Коэффициент сжатия зависит от формы отверстия, положения отверстия относительно
стенок резервуара, например, в центре симметрии дна или не в центре, от числа
Рейнольдса и от соотношения диаметра дна резервуара и отверстия.
Рис.1. Истечение из отверстия: а) истечение идеальной жидкости; б) истечение реальной
жидкости, изменение направления движения струек при входе в отверстие; в) определение
траектории движения струи.
При истечении идеальной (трения нет) жидкости из отверстия (рис.1а) уравнение
Бернулли для сечений 0-0 и 1-1
2
Исходные данные : z0  Н , p0  0, V0  0, z1  0, p1  0, V1
P0 V02
P1 V12
V12
z0 

 z2 

, 2) H  0  0  0  0 
, V1  2 g H
 g 2g
 g 2g
2g
Скорость идеальной жидкости на выходе из отверстия равна скорости в сечении
отверстия, трения нет, струя не сжимается.
V1  VИ  2 gH .
(2)
Это формула Торричелли: скорость Vи истечения идеальной жидкости через
отверстие в тонкой стенке на глубине Н от поверхности такая же, как и у тела, свободно
падающего с высоты Н, где g – ускорение свободного падения. Торричелли получил эту
формулу, приравняв кинетическую энергию, приобретенную струей (1/2)mV2 , ее
потерянной потенциальной энергии mgh: mgh  mV 2 / 2, V  2 gh .
При истечении реальной вязкой жидкости из-за вязкости и трения слоев жидкости
появляются потери, они учитываются, как потери скоростного напора с помощью
коэффициента потерь – ζ. Усреднение скоростей при выводе уравнения Бернулли для
вязкой жидкости добавляет в уравнение Бернулли коэффициент Кориолиса α (рис.1б).
Исходные данные : z0  Н , p0  0, V0  0, z1  0, p1  0, V1  VС ,  , 
z0 
P0
V2
P
V2
V2
V2
V2
V2
  0 0  z1  0   0 0  01 0 , 2) H  1 1  01 1  (1  01 ) 1
g
2g
g
2g
2g
2g
2g
2g
Скорость реальной жидкости на выходе из отверстия в сжатом сечении
1
(3)
V1  Vc 
2 gH  VИ .
( 2   )
Коэффициент скорости φ равен отношению скорости истечения идеальной
жидкости к скорости истечения реальной жидкости.

Vи
1

Vс
(1  01 )
(4)
Для турбулентного режима движения жидкости α1=1 и коэффициент скорости
равен   1/ (1   ). Экспериментальное значение коэффициента, полученное при
лабораторной работе №1 будет близко к φ≈0,97, используя его можно получить
коэффициент сопротивления отверстия с острой кромкой при совершенном сжатии
о.к.  01
1

2
1 
1
 1  0, 06.
0,97 2
(5)
Обычно значение этого коэффициента выбирается из диапазона ξ=0,04-0,06.
Расход жидкости через отверстие равен произведению скорости на площадь с
учетом коэффициентов φ и ε
3
Q  f oVo  f cVc   f o 2 gH   f o 2 gH ,
(6)
    0,64*0,97  0,62
,
где μ- коэффициент расхода, fо – площадь отверстия, Vo – скорость в отверстии,
f c   f o - площадь в сжатом сечении струи, ε - коэффициент сжатия, Н- напор истечения.
Рис.2. Истечение из отверстия при установившемся движении жидкости и при
совершенном сжатии.
При истечении из замкнутого резервуара в газообразную среду (рис.2) напор
истечения Н представляет разность значений гидростатического напора в резервуаре и в
центре сжатого сечения струи
H  h  ( p1  p2 ) /  g
где h - глубина центра сжатого сечения струи от уровня жидкости; p1 - давление в
резервуаре над жидкостью; р2 - давление среды, в которую вытекает струя; ρ - плотность
жидкости.
Пьезометрическая плоскость с Ратм располагается выше при Р1>Ратм или ниже
свободной поверхности жидкости при Р1<Ратм.
При истечении в атмосферу напор истечения представляет глубину расположения
центра сжатого сечения струи от пьезометрического уровня (уровня атмосферного
давления) в резервуаре:
H  h  pи /(  g ),
(7)
где ри = р1-рат - избыточное давление в резервуаре над жидкостью.
Сжатое сечение находится на расстоянии l =0,5dо от плоскости отверстия, напор
истечения для малого отверстия (d0 < H) можно относить к его центру.
4
В избыточных давлениях уравнение Бернулли несжимаемой вязкой жидкости для
уровня в резервуаре 1 и сечения 2
Н  z1 
где h12   12
P1
V2
P
V2
V2
 1 1  z2  2   2 2   2
g
2g
g
2g
2g
V2 2
- потеря напора от уровня 1-го до сечения 2, z– высота центра
2g
сечения над плоскостью сравнения или геометрический напор, Р– давление в центре
сечения, P/ρg - пьезометрический напор, V – средняя скорость в сечении, V2/2g скоростной напор, α - коэффициент Кориолиса, ζ1-2 – коэффициент сопротивления между
первым и вторым сечением. ζ1-2 - коэффициент сопротивления отверстия – отношение
потерь напора к среднему скоростному напору в отверстии.
Значения коэффициентов истечения φ , ε и μ круглого малого отверстия зависят от
формы его кромок, условий подтока жидкости к отверстию, числа Рейнольдса
Re  (d0 2 gH ) / ,
(8)
где Vu  2 gH - скорость идеальной жидкости или в данном случае, скорость в
отверстии, когда жидкость еще не сжата, ν - кинематическая вязкость жидкости.
Зависимость коэффициентов истечения от Re для малого круглого отверстия с
острой кромкой дана в обработке А.Д. Альтшуля на рис.3. Значения μ в функции Re
приведены ниже.
Рис.3. График зависимости коэффициентов истечения от числа Рейнольдса
5
При Re> 105 число Рейнольдса практически не влияет на коэффициенты истечения
(квадратичная зона истечения), и для расчетов можно пользоваться следующими
средними значениями:
φ = 0,97; ε= 0,62; μ = 0,60.
(9)
Коэффициент полезного действия отверстия с острой кромкой - отношение
удельной кинетической энергии струи к напору истечения:
 
V2

  2 
.
2 gH
 
(10)
η = 1/(1+ζ) = φ
(11)
При больших Re α=1
При определении расхода для малых отверстий некруглой формы и больших Re
значения коэффициент расхода в формуле (6) можно принимать μ= 0,6.
При истечении под уровень (рис.4) скорость жидкости в сжатом сечении струи и
расход определяются по формулам (3) и (4), в которых напор истечения Н представляет
разность гидростатических напоров, выражаемую разностью пьезометрических уровней в
резервуарах:
H  h1  h2 
Ри1  Ри 2
g
(12)
Рис.4. Истечение из отверстия под уровень
Коэффициенты истечения для затопленного отверстия можно принимать такими
же, как при истечении в атмосферу. При истечении через затопленное отверстие расход не
зависит от глубины расположения отверстия под уровнями, а зависит от разности
уровней.
Приведенные выше значения коэффициентов истечения относятся к
совершенному сжатию струи.
6
При расположении боковых стенок вблизи отверстия их направляющее действие
уменьшает степень сжатия струи; при этом коэффициенты сжатия струи и расхода
возрастают.
Коэффициент сжатия при несовершенном сжатии
При истечении из цилиндрического резервуара ограниченной площади F1 через
круглое отверстие F0, расположенное на его оси (рис. 5), среднее значение коэффициента
сжатия струи при больших значениях Re можно определять по эмпирической формуле
1  0, 62  0,38( F0 / F1 )2 .
(13)
Определение скорости и расхода жидкости при несовершенном сжатии (рис.5)
Рис.5. Истечение при несовершенном сжатии.
Уравнение Бернулли и неразрывности
z1 
p1
V2
p
V2
 1 1  z2  2   2 2  hп ,
g
2g
g
2g
Q  V1 F1  V21 F0 , V1  V21
F0
,
F1
hп  
V22
2g
Напор истечения Н, представляющий разность гидростатических напоров в
сечениях 1 и 2:
H  ( z1 
p1
p
)  ( z2  2 ),
g
g
(14)
получим скорость истечения
V2 
1
 2    1 (
1 F0
F1
2 gH ,
)
(15)
2
в этом случае коэффициент скорости равен  
1
 2    1 (
1 F0
F1
)2
7
Расход
при несовершенном сжатии
1F0
Q
 2    1 (
 F0
F1
2 gH
(16),
)2
где коэффициент расхода 1  1
В квадратичной зоне истечения можно приближенно принимать значения
коэффициента кинетической энергии α1 = α2 = 1 и коэффициента сопротивления отверстия
ζ= 0,06.
Расход через большое отверстие, вертикальный размер которого одного порядка с
напором истечения, определяется по формуле (16), в которой Н - напор истечения,
отнесенный к высоте расположения центра тяжести отверстия (при истечении в
атмосферу из открытого резервуара - к глубине центра тяжести отверстия под свободной
поверхностью).
Пример расчета. Рассмотрим схему на рис. 6, жидкость нагнетаемая в левый бак,
перетекает в правый бак через отверстие диаметром d1 (расположенное в боковой стенке
на высоте а) и вытекает затем в атмосферу через донное отверстие диаметром d2.
Рис.6. Пример расчета
Определим расход Q из бака и высоту h2 уровня в правой секции, считая
известными высоту уровня h1 и показание манометра ри в левой секции. При постоянных
уровнях жидкости расходы через боковое и донное отверстия равны. Для выбора
расчетных зависимостей необходимо предварительно выяснить условия истечения
жидкости через боковое отверстие. Предположим, что h2 = а, тогда расход через боковое
отверстие
Q  1
 d12
4
2 g (hи  h1  a),
где hи  ри /(  g ). Расход через донное отверстие
8
Q2  2
 d 22
4
2 ga .
Если окажется, что Q1> Q2, то в действительности h2 > а и боковое отверстие
затоплено; если Q1 < Q2, то h2 < а и боковое отверстие не затоплено.
В первом случае условие равенства расходов дает систему уравнений
Q  1
 d12
4
2 g (hи  h1  h2 )  2
 d 22
4
2 gh2
из которой определяются уровень h2 и расход Q. Во втором случае
Q  1
 d12
4
2 g (hи  h1  а)  2
 d 22
4
2 gh2
7. При истечении жидкости из больших резервуаров через насадки (короткие
трубки различной формы (рис.7) скорость истечения на выходе из насадка и расход
определяются по формулам (3) и (6). В формуле (6) F0 заменяется выходной площадью
насадка Fн.
Рис.7. Истечение из насадка
Для плавно сужающегося насадка без сжатия струи на выходе (ε = 1) можно
принимать в квадратичной зоне сопротивления μ = φ = 0,97.
8. Для некоторых насадков коэффициенты истечения могут быть приближенно
определены расчетом, путем суммирования потерь на отдельных участках потока.
Для внешнего цилиндрического насадка (рис.8) потерю напора можно представить
в виде суммы:
9
Рис.8. Определение суммарного коэффициента сопротивления насадка
hп   V22 / (2 g )  h1 x  hx 2 ,
где h1-x - потеря при входе в насадок на участке до сжатого сечения струи от 1 до
х,
hх-2 - потеря при расширении потока на участке между сжатым - х и выходным
сечением - 2.
Предполагая наличие квадратичной зоны истечения и выражая эти потери по

формулам, получим
где h1 x
Vx2
  1 x
,
2g
hx 2
V 2 (Vx  V )2
V2
  1 x x 
,
2g
2g
2g
(Vx  V )2

, ζ1-х - коэффициент сопротивления отверстия с
2g
острой кромкой, Vx - скорость в сжатом сечении струи. По уравнению расхода
VFН=VxFХ,
Vх =V/εх,
где Fx- площадь сжатого сечения; εх - коэффициент сжатия струи при входе в
насадок.
Значение εх, зависит от соотношения площадей насадка Fн и резервуара F1 и может
быть определено по формуле (13).
Подставляя в выражение суммы потерь значение Vх, находим коэффициент
сопротивления насадка
  0
1
x
2
(
1
x
 1) 2 , (6.15)
Скорость истечения и расход, сжатие струи на выходе из насадка отсутствует
V
1
F
1    ( н )2
F1
2 gH ,
Q  V * FH
При истечении из большого резервуара (рис. 7) сжатие струи в сечении х является
совершенным. Расчет дает в этом случае для средних значений ζ0 и εx - ζ=0,5. Скорость и
расход определяются по формулам (3) и (6), в которых

1
 0,82
1 
10
По опытным данным, коэффициент расхода цилиндрического насадка в
квадратичной зоне сопротивления при длинах l = (2 -3)dн составляет μ= 0,82 -0,81.
Представление об изменениях напора потока и его составляющих при истечении
жидкости через насадок дается графиком напоров (см. рис. 8). Линия напора и
пьезометрическая линия на этом графике изображают ход изменения полного и
гидростатического напоров по длине насадка от начального сечения перед входом в
насадок до выходного сечения.
Пьезометрический напор рн /(ρg) в любом сечении насадка определяется
расстоянием по вертикали от оси насадка до пьезометрической линии, скоростной напор
V2 /(2g) - расстоянием по вертикали между пьезометрической линией и линией напора.
Рис.9. Истечение из насадков и построение линии напоров.
Если в промежуточных сечениях насадка скорости имеют большие значения, чем
скорость выхода из насадка, то в этих сечениях при истечении в атмосферу возникает
вакуум (пьезометрическая линия проходит здесь ниже оси насадка).
Так, наибольший вакуум рв, возникающий внутри цилиндрического насадка в
сжатом сечении струи,
Рв Pат  Pх V
1

 (Vх  V )  2 2 (  1) H .
g
g
g
х
(17)
Истечение через насадок в атмосферу с заполнением выходного сечения насадка
возможно только при напорах, меньших предельного Hпр, который соответствует падению
абсолютного давления в сжатом сечении до давления насыщенных паров жидкости (рx =
рнп):
H пр 
Pат  PН . П .
1
2 2 (  1)  g
x
(18)
11
При Н >= Нпр происходит срыв режима работы насадка: струя отрывается от
стенок, и процесс сменяется истечением через отверстие с острой кромкой.
При истечении через затопленный насадок его работа под более высоким напором,
чем некоторое предельное значение (зависящее от заглубления насадка), сопровождается
кавитацией.
Пример расчета истечения в атмосферу из большого резервуара через конический
насадок с плавно скругленным входом под постоянным статическим напором Н
(рис.9).
Заданы входной d и выходной D диаметры диффузора, а также коэффициент
сопротивления ζ1 входного участка насадка и коэффициент потерь φд в диффузоре.
1 . Определить расход Q через насадок и построить график напоров по его длине.
2. Найти предельный напор Нпр насадка.
3. Определить, при каком выходном диаметре D пропускная способность насадка
будет максимальной.
Для рассматриваемого насадка, предполагая квадратичную зону истечения и
пренебрегая неравномерностью распределения скоростей по сечению, имеем
    1/ 1   ,
где ζ - коэффициент сопротивления насадка.
Пользуясь приемом суммирования потерь, получаем

V2
(V  V )2
V2
 1 1   Д 1
,
2g
2g
2g
где v1, и v - скорости во входном и выходном сечениях диффузора. Так как по
уравнению расхода
V1F1  V2 F2 , V1  V2 F2 / F1  V2 D / d  V2 n то
V1f1=V2f2
коэффициент сопротивления
ζ = ζ1n2 + φд(n - 1)2,
Скорость истечения и расход
V2   2 gH ; Q  
где n = (D/d)2.
d2
4
2 gH
Построение графика напоров дано на рис.9. Наибольший вакуум имеет место во
входном сечении диффузора. По уравнению Бернулли для движения жидкости в
диффузоре
Рв V 21  V2 2
(V  V )2

Д 1 2 .
g
2g
2g
Последнее соотношение позволяет рассчитать предельный напор насадка;
используя подстановку V1  V2 n приведем выражение для вакуума к виду
12
Рв V2 2 2

[n  1   Д (n  1)2 ]   2 [n2  1   Д (n  1)2 ]H .
 g 2g
Подставляя далее выражение φ через ζ, а также максимальное значение вакуума рв
= рат - рнп, получим для предельного напора
1   1n2   Д (n  1)2 PаТ  PН . П .
H пр  2
*
n  1   Д (n  1)2
g
Для определения выходного диаметра D, отвечающего максимальной пропускной
способности насадка (максимальному расходу при данном напоре), удобнее всего
воспользоваться уравнением Бернулли, записанным для свободной поверхности жидкости
в резервуаре и для выходного сечения насадка:
V2 2
V12
(V1  V2 )2
H
 1
Д *
,
2g
2g
g
V12 1
1
H
[ 2   1   Д *(1  )2 ].
2g n
n
Максимальному значению скорости V1, (и, следовательно, расхода) при
постоянном Н отвечает минимум выражения в квадратных скобках. Исследуя это
выражение на минимум по n , получаем (принимая ζ1, и φд постоянными)
1 Д
1 Д
2
1
.
 2 Д (1  )  0; n 
. Следовательно, искомый выходной диаметр D  d
Д
n
n
Д
Заметим, что насадок такого диаметра характеризуется максимальным вакуумом во
входном сечении диффузора при данном напоре истечения и, следовательно,
минимальным предельным напором.
Расход через незатопленный прямоугольный водослив в тонкой стенке (рис. 19)
Q  mbH 2 gH , (19)
где m - коэффициент расхода; b - ширина порога водослива; H -напор над порогом
водослива.
Рис.10 . Расход через водослив.
При истечении свободной струёй коэффициент расхода водослива можно
определить по эмпирической формуле (все размеры в метрах):
13
m  (0, 405 
0,0027
B b
b2 H 2
 0,03
)*[1  0,55 2
]
H
B
B (H P)2
У водослива без бокового сжатия b= В.
Для треугольного водослива с углом α при вершине (рис. 19б)
Qm
bH
2
2 gH  m * tg

2
H 2 2 gH ,
где коэффициент расхода можно в среднем принимать т = 0,32.
1. Евреинов. Гидравлика.