  

Задание 1. Расчет частотных характеристик электрической цепи.
1. 1.1. Рассчитаем комплексную функцию входного сопротивления:
Z вх  j   R1  j L1 
R2 R3
2000  2000
 1000  0,01 j 
 2000  0,01 j
R2  R3
2000  2000
Амплитудно-частотная характеристика входного сопротивления:
Zвх    Zвх  j   20002   0,01   4 106  104  2
2
Фазо-частотная характеристика входного сопротивления:
 0,01 
6
  arctg  5 10  
 2000 
 Zвх    arg Z вх  j   arctg 
1.2.
Рассчитаем комплексную функцию коэффициента передачи напряжения:
KU  j  
U вых

U вх
R2 R3
R2  R3
R1  j L1 
R2 R3
R2  R3

1000
2000  0,01 j


2000  0,01 j 2000  0,01 j
2 106
10


j
4 106  104  2 4 106  104  2
Амплитудно-частотная характеристика передаточной функции:
KU    KU  j  
1000
4 106  104  2
Фазо-частотная характеристика передаточной функции:
 10
6
 2 10
к    arg KU  j   arctg 

6
  arctg  5 10  

2. Построим графики ZВХ(), Zвх, KU(), к, при заданных элементах
схемы в абсолютном и логарифмическом масштабе по оси частот:
2.1. Графики в абсолютном масштабе:
110
4
810
3
610
3
410
3
210
3
Z ( w)
0
0
210
5
410
5
610
5
5
810
6
110
w
ZВХ()
2
1.5
fiz ( w) 1
0.5
0
0
6
210
410
6
610
w
Zвх
6
810
6
110
7
0.4
0.3
Ku( w)
0.2
0.1
0
0
6
110
210
6
310
6
410
6
510
6
w
KU()
0
 20
fik ( w) 
180 40

 60
 80
210
6
410
6
610
w
к
6
810
6
110
7
2.2.
Графики в логарифмическом масштабе:
110
5
810
4
610
4
410
4
210
4
Z ( w)
0
3
110
110
4
110
5
110
6
7
110
w
ZВХ()
80
60
fiz ( w) 
180

40
20
0
100
110
3
4
110
110
5
110
w
Zвх
6
7
110
110
8
110
9
0.4
0.3
Ku( w)
0.2
0.1
0
3
110
110
4
110
5
110
6
7
110
110
8
110
9
w
KU()
0
 20
fik ( w) 
180 40

 60
 80
100
110
3
110
4
110
w
к
5
110
6
7
110
110
8
3. Построим годографы ZВХ(j), KU(j):
4
110
3
810
3
610
Im( Z ( w) )
3
410
3
210
0
110
0
3
3
210
310
3
3
410
Re( Z ( w) )
ZВХ(j)
0
 0.1
Im( Ku( w) )
 0.2
 0.3
0
0.1
0.2
0.3
Re( Ku( w) )
KU(j)
0.4
0.5
4. Т. к. схема содержит один реактивный элемент, то резонанс возникнуть не
может. На полученных графиках отсутствуют критические точки, следовательно, характерных частот в данном случае нет.
5. Качественно поясним ход построенных зависимостей:
5.1. Входное сопротивление.
Т. к. при постоянном токе (   0 ) индуктивность представляет собой короткое
замыкание, то входное сопротивление будет равным сумме активных сопротивлений (2000 Ом). При возрастании частоты возрастает индуктивное сопротивление ( X L   L ), в следствие чего возрастает и входное.
При постоянном токе сдвиг фаз равен нулю. Когда частота устремляется к бесконечности индуктивное сопротивление составляет основную долю во входном сопротивлении, поэтому сдвиг фаз между током и напряжением будет
равно 90о.
5.2.
Передаточная функция по напряжению.
При постоянном токе индуктивное сопротивление равно нулю, поэтому передаточная функция принимает следующий вид:
U вых 2 106
KU 

 0,5
U вх 4 106
При увеличении частоты увеличивается индуктивное сопротивление, и большая часть напряжения падает на индуктивности, и в пределе выходное напряжение становится равным нулю.
Т. к. выходное напряжение прямопропорционально току в цепи, то сдвиг фаз
между ним и входным напряжением будет определятся фазовой характеристикой входного сопротивления.
Задание 2. Расчет линейной цепи при импульсном воздействии.
1. Для заданной электрической цепи рассчитаем классическим и операторным методом переходную характеристику.
1.1.
Классический метод.
Составим дифференциальное уравнение цепи:
uвх  uL  uR  uвых
uL  L
diL
dt
iL 
uвых
R  R3
R  R3 duвых
 uвых 2
 uL  L 2
R2 R3
R2 R3
R2 R3 dt
R2  R3
uR  iL R1  uвых
R1  R2  R3 
R2 R3
uвх  L
R  R  R3 
R2  R3 duвых
 uвых 1 2
 uвых
R2 R3 dt
R2 R3
uвх  L
 R  R  R3  
R2  R3 duвых
 uвых  1 2
 1
R2 R3 dt
R
R
2 3


Перепишем полученное уравнение для единичного ступенчатого входного
воздействия:
L
 R  R  R3  
R2  R3 dh  t 
 h t   1 2
 1  1 t 
R2 R3
dt
R
R
2 3


0,01
105
 1000  2000  2000  
2000  2000 dh  t 
 h t  
 1  1 t 
2000  2000 dt
2000

2000


dh  t 
dt
 2h  t   1 t 
Определим принужденную составляющую (
dh  t 
dt
hпр  0,5
Определим свободную составляющую:
dhсв
 2hсв  0
dt
hсв  Ae pt
105
105 p  2  0
2
p   5  2 105
10
A  hсв  0   h  0   hпр  0   0  0,5  0,5
hсв  0,5e 210 t
5
Таким образом получаем:

h  t   hпр  hсв  0,5  0,5e210 t  0,5  1  e210 t
5
5

 0 ):
1.2.
Операторный метод.
Запишем дифференциальное уравнений для переходной функции в операторной форме:
105
dh  t 
dt
 2h  t   1 t 
105 ph  p   2h  p  
h p 
1
p 105 p  2 
1
p

0,5 105  2 105  p  p 
105 p  p  2 105 

0,5
0,5

p p  2 105
Сделаем обратное преобразование Лапласа и получим оригинал:
h(t )  L1 h  p   0,5  0,5e210 t
5
2. Построим график переходной характеристики:
0.4
0.3
h( t )
0.2
0.1
0
0
110
5
210
5
5
310
410
5
t
3. Определим по графикам параметры переходной характеристики и сравним
их с расчетными:
3.1. Постоянная времени:
Для определения постоянной времени проведем на графике переходной характеристики касательную в точке 0.
  0,5 105 c
Расчетное значение постоянной времени:
p 
3.2.
1
 0,5 105 c
5
2 10
Время установления:
t уст  1,15 105 c
1  e210 t  0,9
ln(0,1)
t уст  
 1,151105 c
5
2 10
5
0.8
0.6
h( t )
T( t)
0.4
0.2
0
0
110
5
210
5
310
5
410
5
t
4. Согласно закону коммутации, ток индуктивности не может измениться
мгновенно, он изменяется в данном случае апериодически с постоянной
времени   0,5 105 c . Т. к. выходное напряжение пропорционально току,
то оно должно изменяться аналогично. Поэтому при подаче на вход схемы
единичного сигнала на выходе напряжение изменяется апериодически с
постоянной времени   0,5 105 c .