Урок алгебры в 9 классе Тема урока: « Решение систем уравнений второй степени» Тип урока: урок формирования новых умений. Цели: Обучающая: Закрепить умение решать системы уравнений второй степени. Повторить алгоритм решения систем уравнений второй степени. Развивающая: Рассмотреть некоторые нестандартные приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными, решение текстовых задач с помощью систем. Воспитательная: Способствовать формированию умений обобщать, проводить рассуждения, анализировать. Развивать мышление и речь. ХОД УРОКА: I. Организация класса Объявление темы, цели урока. II. Проверка домашнего задания: Решения № 435,б; на экране. Учащиеся сравнивают результаты д/р, делают анализ ошибок. Ответы: №432 в)(3; -1); № 435 б) (-3,5; 2,5) и (3,5; -2,5) Вычислите координаты точек пересечения парабол у = 3х2 – 8х -2 и у = х2 – 4. Решение: находим решение уравнения 3х2 – 8х -2 = х2 – 4. х2 -4х+1 =0, х1 = 2+√3, х2 = 2 - √3 Тогда у1 = 4√3 +3; у2 = 3 - 4√3. Ответ: ( 2+√3; 4√3 + 3 ) и (2 - √3; 3 - 4√3) III. Фронтальный опрос: Вопросы Ответы 1.Что называется решением Решением уравнения с двумя уравнения с двумя переменными? переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. 2. Равносильные уравнения – это… Это два уравнения с двумя переменными, имеющие одно и то же множество решений. 3.Что мы называем графиком Графиком уравнения с двумя уравнения с двумя переменными? переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. 4. Сколько пар решений может иметь Одну. Две, несколько пар чисел. система уравнений? 5. Назовите, что является графиком следующих функции? а) х2 + у2 = 9 б) х – 2у =8 в)| х| = 2 г) ху = 6 д) х2 + (у -1)2 = 1 а) окружность с центром (0;0) и r = 3. б) прямая у = 0,5х – 4. В) прямые х = 2 и х = -2. 6 Г) у = - гипербола I и III четверти. х Д) окруж с центром (0;1) и r = 1. IV. Самостоятельная работа Задание: указать номер верного ответа (на карточках). Решить систему Возможные ответы Вариант 1 х2 - у2 = -5, 2 х2 - у2 = -1. 2 х – у =4, ху – у2 = -2. 1) (2;3), (-2; -3) 2) (2; 3); (-2; 3) и (2; -3); (-2;-3) 3) (2; -2); (-2; 2) и (3; -3); (-3;-3) 1 1) (-1; 1) и (2 ; 3) 3 2) (-1; 1) и (-2; 4) 1 3) (2 ; 3) и (-1; 1). 3 Верные ответы: 1 вариант: № 2 2 вариант: № 3 V. « Для тех, кто хочет знать больше» Фронтальная работа (15 мин) 1) Решим систему: х2 – 9у2 –х + 3у = 0, х2 –ху +у =7. Решение: Многочлен из левой части 1-го уравнения разложим на множители: х2 – 9у2 –х + 3у = (х – 3у) (х + 3у) – (х – 3у) = (х – 3у) (х + 3у - 1), тогда получаем равносильную систему: (х – 3у) (х + 3у - 1) = 0, х – 3у = 0, 2 х –ху +у =7. х + 3у – 1 =0; х + 3у – 1 =0, х –ху +у =7. Решим отдельно 1-ую систему: х – 3у = 0, х + 3у – 1 =0; х = 3у, 9у2 -3у2 +у – 7 = 0; Из 2-го уравнения: 6у2 +у -7 = 0 1 Д = 169, у1 =- 1 , у2 = 1. 6 1 1 1 Тогда х1 =-3 и х2 = 3. Получили пары (-3 ; -1 ) и (3; 1). 2 2 6 Из второй системы: х = -3у + 1, (-3у + 1)2 – у(-3у + 1) + у – 7 = 0 2у2 - у – 1 = 0 1 У3 = - , у4 = 1. Тогда х3= 2,5 и х4 = -2. 2 1 Получили пары (2,5; − ) и (-2; 1) 1 1 2 1 Ответ: (-3 ; -1 ); (3; 1) и (2,5; − ) и (-2; 1) 2 6 2 2 2) Решим систему: х + 3ху + у2 = 11, ху + х + у = 5; Решение: уравнения этой системы содержат сумму переменных (х + у), Произведение ху и сумму квадратов (х2 + у2 ). Если в этой системе заменить х на у, а у на х, то получим ту же систему. Такие системы называют симметричными. Их удобно решать, вводя новые переменные. Пусть х + у = u, ху = v , Тогда х2 + у2 = (х +у)2 - 2ху = u2 - 2v. Получаем u2 - 2v + 3v = 11, u2 + v = 11 v + u = 5; v + u = 5; Решив эту систему способом подстановки, найдём, что u1 = -2; v1 = 7; u2 = 3; v2 = 2. Тогда, подставив в замену, получим: х + у = -2, х + у = 3, ху = 7; и ху = 2; Первая система даёт: Вторая система: х = -2 – у, (-2 - у) у = 7 -у2 – 2у – 7 = 0 Д = - 24 < 0 решений нет. х = 3 – у, у(3 - у) = 2; -у2 + 3у – 2 = 0 Д = 1, у1 = 1, у2 = 2; тогда х1 = 2, х2 = 1. Ответ: (1; 2); (2; 1) Для той группы учащихся, которым такая работа непосильна, можно предложить задачи из учебника № 538 Решение: составим систему: х +у = 5 (х - у), х2 - у2 = 180. ОДЗ: х, у > 0. Ответ: 18 и 12. № 541. Решение: пусть число десятков – х, а число единиц – у, тогда данное число имеет вид 10х + у. Из условия имеем: 4(х +у) = 10х + у, 2ху = 10х + у; Получим х = 3, у = 6, 10* 3 +6 = 36. Ответ: 36 Если позволит время можно «устроить» обмен информацией между этими группами. VI. Из материалов ГИА 2х + 3у= 4, Задание: При каком р верно решение системы х – у = -3, x+ 2у = р ? Решение: Надо решить систему 2х + 3у= 4, х – у = -3, получим пару (-1; 2) и эту пару подставим в третье уравнение: -1 + 2*2 =р р =3 Ответ: система имеет решение при р =3. дома решите аналогичное задание: при каком р система имеет решение VII. Итог урока VIII. Домашнее задание: №441, № 444(б)