Поиск решения нестандартных тригонометрических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа с. Бессоновка
«Поиск решения нестандартных тригонометрических
уравнений»
Работу выполнил ученик 10 класса
Донсков Игорь
Руководитель: учитель математики
Башкирова Антонина Васильевна
Бессоновка
2013.
Тема: «Поиск решения нестандартных тригонометрических
уравнений»
Цель: Научиться самостоятельному поиску размышления и творчества в выборе
математических знаний для решения тригонометрических уравнений.
Задачи:



актуализировать, обобщить теоретические знания по теме «Решение
тригонометрических уравнений»;
разработать алгоритм действий;
научиться видеть связь между математикой и окружающей жизнью.
Содержание:
1. Что такое математическая модель и математическое моделирование?
2.Основные приёмы решения тригонометрических уравнений.
Методы решения тригонометрических уравнений.
3. Поиск решения нестандартных тригонометрических уравнений
4.Выводы.
Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.
Норберт Винер, американский учёный (1894-1964год).
Психология уже свыше ста лет занимается исследованием процессов решения задач
человеком. В результате этих исследований открыто много интересных закономерностей
и найдены важные характеристики процессов решения задач. Особый интерес
представляет общая характеристика этого процесса, данная известным советским
психологом Сергеем Леонидовичем Рубинштейном (1889-1960). Он характеризовал
решение задач человеком как процесс их переформулирования, в котором непрерывно
производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их
соотнесения.
Естественно возникают вопросы: а в чем состоит это переформулирование? Что мы
делаем с задачей, когда ее переформулируем? Что получаем? Какими средствами
достигается переформулирование? Какие задачи являются способами ее моделирования,
построения ее моделей.
Что такое модель и моделирование?
В науке широко используется метод моделирования. Заключается он в том, что для
исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в
каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект
изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения
этих задач переносят на первоначальное явление или объект.
Пример. Люди издавна интересуются, как устроена наша Вселенная. Этот интерес не
только чисто познавательный, но и сугубо практический, ибо люди хотели научиться
предсказывать периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как
затмения Солнца и Луны, наступление времен года и т. д. Для решения этих задач
ученые строили свои представления о Вселенной в виде схемы — картины мира, в
которой объекты Вселенной — Солнце и звезды, планеты, Земля и Луна
изображались точками, движущимися по каким-то кривым — траекториям их движения.
Таковы, например, схемы, построенные Птолемеем,
в которых центральное место занимала наша Земля, или схема
Коперника, в которой центр занимало Солнце. С помощью этих
схем ученые решали задачи предсказания отдельных астрономически явлений.
Эти схемы, эти картины мира суть модели Вселенной, а метод
исследования Вселенной, нахождения законов о Вселенной и решении задач, связанных с
нею, с помощью этих моделей является методом моделирования.
Другой пример. Люди издавна интересуются, как они сами устроены, как функционирует
человеческий организм. Но исследовать эти вопросы на живом человеческом организме
очень трудно, ибо такое изучение до появления особых приборов было связано с гибелью
организма. Тогда ученые стали исследовать устройство человеческого организма на
подобных ему организмах животных (обезьян, собак и пр.) Изучение организма
животных, их функционирования помогло установить многие важнейшие закономерности
функционирования человеческого организма. Примером
может служить знаменитые
исследования И. П. Павлова на собаках. В этих исследованиях животные организмы
выступали в качестве моделей человеческого организма, а применяемый при этом метод
исследования есть метод моделирования.
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути
занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической
моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью
осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений.
Математическая модель — это математическое представление реальности.
Математическое моделирование — это процесс построения и изучения математических
моделей.
В моей работе математическая модель есть тригонометрические уравнения, а
математическое моделирование – приемы, методы, рекомендации решения эти уравнений.
Основные приёмы решения тригонометрических уравнений.
1.Приведение уравнения к однородному.
2.Разложение левой части уравнения на множители.
3.Введение вспомогательного угла.
4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в
произведение.
5.Приведение к квадратному уравнению.
6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7.Универсальная подстановка.
8.Графическое решение.
Рекомендации для решения тригонометрических уравнений
1.Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции,
использовав формулы без изменения аргументов
2.Если аргументы функций отличаются в 2 раза, попробовать получить одинаковые
аргументы, использовав формулы двойного аргумента
3.Если аргументы функций отличаются в 4 раза, попробовать их привести к
промежуточному двойному аргументу
4.Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить
степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного
умножения
5.Если есть сумма одноименных функций 1 степени с разными аргументами (вне
случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего
множителя
6.Если есть сумма разноименных функций 1 степени с разными аргументами (вне
случаев 2,3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5
7.Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов,
попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это
выражение на синус (косинус) подходящего аргумента.
8.Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в
виде значений функции угла, использовав формулы без изменения аргументов
Методы решения тригонометрических уравнений.
1.Метод введения новой переменной:
а) однородные уравнения;
алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений 1 степени:
• разделить обе части уравнения на cos x ≠0
• решить получившееся выражение
Алгоритм применяется только для уравнений, где cos x ≠0
Если предположить, что cos x=0,то получается что и cosx=0 и sinx=0, а это
невозможно ,т.к. это противоречит основному тригонометрическому тождеству.
Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений 2 степени:
Алгоритм решения уравнения:
a Sin2 x + b Sin x * Cos x + c Cos2x=0
1. Посмотрите, есть ли в уравнении член a Sin2 x .
2. Если член a Sin2 x в уравнение есть (т. е. а≠0), то делим уравнение на Cos2x ≠ 0 и
вводим новую переменную t = tg x.
3. Если член а Sin2 х в уравнении нет (т. е. а=0), то уравнение решается методом
разложения на множители: за скобки выносят Cos x .
Решение уравнений
a Sin2 x + b Sin x * Cos x + c Cos2x=0
Разделим левую и правую часть на Cos2x;
Получается:
a tg2 x + b tg2 x + c = 0
Замена:
Пусть t = tg x,
Cos2x ≠ 0; х ≠ П/2+Пk
a t2 + b t + c = 0
D = (-b)2 – 4*a*c
t 1 , 2 = ( -b ± \!D) / 2*a
tg x = t 1
tg x = t 2
x=arctg t 1+Пn
x=arctg t 2+ Пn
n Є Z
б) универсальная тригонометрическая подстановка.
Она, в принципе, применима к любым уравнениям вида R (sinx,cosx)=0,где
R-символ некоторого рационального выражения. Основан этот метод на
следующих рассуждениях.
x
1  tg 2
2;
Cosx 
2 x
1  tg
2
x
2tg
2 .
Sinx 
2 x
1  tg
2
Если x≠π+2πn, то справедливы следующие тождества:
В самом деле:
x
x
x
1  sin 2
cos 2  sin 2
2
2
2
x
x
2 x
2 x
2 x
1  tg
cos
cos
cos 2  sin 2
2 
2 
2
2
2  cos x  cos x;
1)

x
x
x
x
x
x
1
1  tg 2
1  sin 2
cos 2  sin 2
cos 2  sin 2
2
2
2
2
2
2
2 x
2 x
cos
cos
2
2
x
2 sin
2
x
x
2tg
cos
2
2  2 sin x  2 cos x  sin x;
2)

x
1
2
2
1  tg 2
x
2
cos 2
2
Поэтому подстановка u=tgx/2 преобразует уравнение R (sinx, cosx)=0 в уравнение
R (2u ∕ 1+u2, 1-u2 ∕ 1+u2)=0. Левая часть этого уравнения является рациональным
выражением с одной переменной u. Значит, указанная подстановка привела
тригонометрическое уравнение к рациональному виду. Подстановку u=tgx/2
принято называть универсальной подстановкой.
Почему сделано ограничение x≠π+2πn? Потому, что если x=π+2πn,то x/2=π/2+πn, и
тогда tg x/2 не определен. Поскольку использование универсальной подстановки
возможно лишь при
x≠π+2πn, нужно всегда специально проверять, не являются ли числа вида x=π+2πn
решениями
заданного уравнения.
в)Если в тригонометрическое уравнение входят только выражения
sinx + cosx и sin2x ,то, применяя подстановку sinx + cosx = y или
sinx – cosx = y, можно получить уравнение относительно y.
Пример.
Решить уравнение cosx –sinx – sinxcosx = 0.
Сделаем подстановку cosx – sinx = y и возведем обе части равенства в квадрат: cosx –
2sinxcosx + sin2x = y2
1 – 2sinxcosx = y2
Тогда sinxcosx = ½(1 – y2) и sin2x = 1- y2.
Подставляя полученные соотношения в исходное уравнение, имеем cosx – sinx –
sinxcosx = 0
y2 + 2y – 1 = 0
y = -1 + √2,
y = -1 - √2
cosx – sinx = -1 + √2,
cosx – sinx = -1 - √2;
x = 2πn ± arccos √2 -1/√2 – π/4,
x € Ø.
Ответ: x = 2πn ± arccos √2 – 1/ √2 – π/4; n € Z.
2.Метод разложения на множители.
Метод разложения на множители заключается в следующем: если
То всякое решение уравнения f(x)=0
Является решением совокупности уравнений f1(x)=0, f2(x)=0,… fn(x)=0
(1)
(2)
Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является
решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2)
могут не входить в область определения функции
.
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на
множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента,
после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние
корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений
исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область
допустимых значений.
3.Метод введения вспомогательного аргумента.
. Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно:
модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна
1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый
вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
4. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных
уравнений.
Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к
уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный
метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства
функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др.
Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии
у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его,
например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена
сверху, причем
, а функция g(x) ограничена снизу, причем
, то
уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении
. Иногда для решения
уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить
абсциссы точек пересечения.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование
уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего
тригонометрического уравнения.
Методы решения нестандартных задач
1. Расчленение на стандартные или более простые задачи с помощью
разбиения на части:
1) условий задачи;
2) объекта задачи;
3) требований задачи;
2. Замена данной задачи, ей равносильной с помощью:
1)преобразования
условия;
2) замены переменных
(неизвестных);
3) замены
(кодирования)
объектом другими;
3. Введение вспомогательных элементов для:
1) сближения данных
искомых;
2) расчленения задачи
на части;
3) придания задачи
определенности;
Пример1. Решить уравнение sinх sin2х sin3х = 1
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, переводя дважды произведение в сумму
или разность: sinх sin2х sin3х = 1/2(соsх – соs 3х) sin3х = 1/2соsх sin3х –1/2соs 3х sin3х =
1/4(sin4х + sin2х - sin6х). Таким образом, уравнение примет вид: sin4х + sin2х - sin6х= 4.
Анализируем полученное уравнение и получаем вывод: это равенство не возможно ни при
каких х, т.к. модуль суммы не превышает суммы модулей, а синус не превышает единицы,
то левая часть не превышает 3, следовательно, правая часть не может быть равна 4.
Ответ: данное уравнение не имеет решений.
Пример2. Решить уравнение sin10х + соs10х = 1.
Решение. Анализируем данное уравнение:
Так как
|sin x|  1, |cos x|  1
Равенство sin10х + соs10х = 1 выполняется только тогда, когда:
Объединив 1) и 2), получим:
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение sin2 х + sin2 у = 0.
Решение. Исследуем данное уравнение и приходим к выводу, что сумма двух
неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю.
Значит, имеем систему:
Ответ: Решением является любая пара целых чисел.
Пример 4. При каких значениях х справедливо равенство
lg tg (x — | x |) = 0?
(1)
Поиски решения и решение.
Логарифм числа ранен пулю тогда и только тогда, когда это число равно 1. Поэтому tg (х
— | х |) = 1. Отсюда

x—|x|= + n
(2)
4

При х  0 равенство (2) принимает вид: 0 =
+  n. Но это
4
невозможно, так как n — целое число. Этот результат не является неожиданным. Ведь
при х  0 равенство (1) теряет смысл.

При Х < 0 равенство (2) принимает вид: Х-(-Х) = + 
4




Отсюда X =   , где целое число k должно удовлетворять неравенству   <0,
8
2
8
2
1
т.е. неравенству k<  .
4


Следовательно, х =   , где k = -1, -2, -3, … .
8
2
Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня,
состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно
решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те,
которые удовлетворяют неравенствам.
Пример 5. Решить уравнение sin(  lg x) + cos(  lg x)= 1.
Поиски решения. На первый взгляд предложенная задача может показаться по своему
внешнему виду трудной. В действительности же ее решение можно считать
общеизвестным. В самом деле, если положить  lg x=y, то задача сведется к решению
уравнения
1
Sin y + cos y = 1, а затем к уравнению вида lg x = y


Решение. Пусть  lg x=y. Тогда sin y + cos y = 1, или 2 sin( y  )  1 .
4
Применим метод вспомогательного аргумента:
b

1
a siny + b cosy = c sin(y+t), sint = , c= 2 , sin t =
,t= ,
c
4
2


значит siny + cosy = 2 sin(y+ ), 2 sin(y+ ) = 1,
4
4
 
Отсюда у = k   (1) k . - .
4 4
При k = 2m имеем: y = 2m  .

При k = 2m+1 получим: y = 2m  +
2
1
2m

Из уравнений  lg x= 2m  и  lg x=2m  + имеем соответственно х = 10 2 m и х =10 2
2
Пример 6. Решить уравнение (sin x + sin2x + sin3x) 3 =sin 3 x + sin 3 2x + sin 3 3x.
Поиски решения и решение. Если начинать преобразование данного уравнения с
применения формул тригонометрии, то уравнение будет становиться все более сложным и
никаких перспектив к ее решению открываться не будет. При этих условиях естественно
обратить внимание на алгебраическую структуру уравнения. Записав уравнение в виде:
(sin x + sin2x + sin3x) 3 -( sin 3 x + sin 3 2x + sin 3 3x)=0,
(1)
мы видим, что его левая часть представляет собой разность между кубом суммы трех
слагаемых и суммой кубов этих слагаемых, т. е. выражение вида
(а + b + с)3— (а3 + b3 + с3). Но, как известно из алгебры, эта разность разлагается на
множители и может быть заменена тождественно равным ей произведением:
3 (а+ b) (а+с) (b+с). Теперь способ решения данного уравнения найден. Разложив на
множители левую часть уравнения (1), получим:
3(sin x + sin2x)(sin x + sin3x)(sin2x + sin3x)= 0.
Решение данного уравнения приводится к решению каждого из следующих
трех уравнении: 1) sin x + sin2x = 0, 2) sin x + sin3x = 0, 3) sin2x + sin3x= 0,
1) sinx + sin2x = 0,
3x
x
2 sin
* cos  0 ,
2
2
3x
x
sin
 0,
cos  0 .
2
2
2n
x
,
x    2n .n  Z
3
2)2sin2x*cosx = 0
Sin2x = 0,
cosx = 0,


X = т , x =  m , m  Z
2
2
5х
х
3)2sin *cos = 0,
2
2
5х
х
sin
= 0,
cos =0,
2
2
2
x =  ,
x    2 , k  Z.
5
2n

2
Ответ:
;   2n ; т ;  , n,m,k  Z
5
3
2
1
1
1
1

 ... 

Пример 7. Решить уравнение
n
sin 2 x sin 4 x
sin 2 x sin x
Поиски решения и решение. Нельзя решить данное уравнение без целесообразного
преобразования его левой части. При этом можно предполагать, что наиболее
эффективным преобразованием будет такое, при котором дроби, стоящие в левой части,
представятся относительно тригонометрических функций в форме целых выражений.
Начнем с преобразования первой дроби:
1
cos 2 x  sin 2 x 2 cos 2 x  (cos 2 x  sin 2 x) 2 cos 2 x cos 2 x




 ctgx  ctg 2 x.
sin x
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
Применив это преобразование к каждому слагаемому, получим:
1
(ctgx-ctg2x)+(ctg2x-ctg4x)+…+(ctg2 n 1 x-ctg2 n x)=
,
sin x
Или
1
.
sin x
Применяя формулу
sin(    )
ctg  -ctg  
,
sin  sin 
придадим последнему уравнению вид:
1
sin( 2 n x  x)
=
.
n
sin x sin 2 x sin x
Отсюда sin(2nх — х)=sin2nх, так как в силу данного уравнения sinx  0 .
Ctgx- ctg2 n x=
Пользуясь условием равенства синусов, найдем:
2nх — х = ( — 1)к2nх +  .
При четных значениях к получим: х = —  . Это значение —  не является корнем
данного уравнения, так как при х = —  данное уравнение не имеет смысла.
При нечетных значениях к имеем: 2nх — х =  — 2nх, или 2*2nх — х =  . Отсюда

X= n 1
.
2 1
Эти значения х при любых нечетных значениях k являются корнями первоначально
заданного уравнения.

Ответ: X= n 1
.
2 1
Пример 8. Найти наименьшее значение а, при котором уравнение 2 — sin x — cos2x =

a(2sinx + 1) имеет на интервале (0;
) единственное решение. Найти это решение.
2
Решение. Приведем исходное уравнение к квадратному относительно переменной t =
sin x. Получим 2 — sin x — (1-2 sin 2 x) = a(2sinx + l), откуда 2t 2 - (2a + l)t +1 -a = 0.

Так как при x £ (0; ) 0 < t = sin z < 1, то условие задачи формулируется следующим
2
образом:
найти наименьшее значение параметра а, при котором уравнение f(t) = 0, где f(t) = 2t 2 —
(2a + l)t + l —а, имеет единственное решение на интервале (0; 1).
Уравнение f(t) = 0 может иметь единственное решение в двух случаях:
2
а) f(0)*f(1)<0  (1-a)(2-3a)<0  <a<1.
3
2
(2a  1)  8(1  a )  0
4a 2  12a  7  0
D  0



 1
б) 
1
3
t 0  [0;1]
0  (2a  1)  1
  a  .
4
2

 2
Корни уравнения 4а 2 + 12а —7 = 0 а 1 = —3, а 2 =
значение параметра a =
При
а =
1
.
2
1
уравнение f(t)=0 имеет корень
2
интервале (0;
1
1 3
. Так -3  ( ; ), то наименьшее
2
2 2


) имеет решение x = .
2
6
t =
1
, а уравнение
2
sinx =
1
2
на
Ответ: а =
1

,х= .
2
6
Пример 10. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной
зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо
другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества
решений.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных
тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + n, nZ; х2 + 5х - (6+n) =
0, nz;
Д = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4n, nZ; х1,2 = (-5 ± √(49 + 4n))/2, nz
Решение имеет смысл, если 49 + 4n > 0, т.е. n ≥ -49/4; n ≥ -3.
Итак, при решении нестандартных тригонометрических уравнений я усвоил
следующее:
1. Прочитав уравнение, надо попытаться установить, к какому виду оно принадлежит.
2. Если вы узнали в нем стандартное тригонометрическое уравнение знакомого вида, то
примените для его решения известное вам общее правило.
3. Если же оно не является стандартным, то следует действовать в следующих
направлениях:
а) вычленять из уравнения или разбивать его на уравнения стандартного вида (способ
разбиения);
б) ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры,
вспомогательные аргументы (способ вспомогательных элементов);
в) переформулировать его, заменить другим равносильным уравнением (способ
моделирования).
4. Решение нестандартных уравнений есть искусство, которым можно овладеть лишь в
результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению его и постоянной
тренировки в решении разнообразных тригонометрических уравнений, которые, я думаю,
в ближайшее время мне пригодятся при сдаче ЕГЭ.
Используемая литература:
1. В.В. Локоть: Задачи с параметрами и их решения «Тригонометрия: уравнения,
неравенства системы» 10 класс;
2. А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа профильный уровень» 10 класс,
часть 1, 2;
3. В.Ф. Осипов «Конкурсные задачи по математике»;
4. М.И. Сканави «Сборник задач по математике для поступающих во втузы»;
5. С.И. Туманов «Поиски решения задачи»;
6. Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий «Как научиться решать задачи»;