Простейшие тригонометрические уравнения

Методика решения тригонометрических уравнений
Учитель математики МОБУ СОШ № 19
МО КОреновский район
Выскребец Татьяна Владимировна
Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно
означает «измерение треугольников». Как и все разделы математики, зародившиеся в
глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с
которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует
прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.
В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального
математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи
которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения,
распространение волн, некоторые атмосферные явления и прочее.
Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в
школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии
и продолжают в 10-11 классах.
Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться
дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь
способы решения некоторых типов таких уравнений.
1. Простейшие тригонометрические уравнения
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
3. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
4. Решение однородных уравнений.
5. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
6. Решение уравнений с применением формул понижения степени.
7. Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.
8. Решение уравнений методом универсальной подстановки.
9. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.
10.Использование ограниченности функций при решении тригонометрических
уравнений.
11.Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных
уравнений.
12. Справочник
13. Примеры для самостоятельного решения
Простейшие тригонометрические уравнения
Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:
Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение
может быть записано без применения общих формул:
,
,
;
,
,
.
Каждая из функций
Функция
определена на отрезке [-1; 1] и
является нечетной, то есть
четной, ни нечетной:
Функции
и
Функция
и
. Функция
не является ни
.
определены на всей числовой прямой и
является нечетной, то есть
. Функция
не является ни
четной, ни нечетной:
.
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным
способом к одному или нескольким простейшим.
Пример 1. Решить уравнение
(1)
Пример 2. Решить уравнение
(2)
Пример 3. Решить уравнение
(3)
(4)
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
Метод разложения на множители заключается в следующем: если
То всякое решение уравнения
(1)
Является решением совокупности уравнений
(2)
Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением
уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область
определения функции
.
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители,
функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения
решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим
способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни,
которые входят в найденную область допустимых значений.
Пример 1. Решить уравнение
(3)
↔
(4)
Пример 2. Решить уравнение
(5)
(6)
Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические
тождества:
Пример 1. Решить уравнение
(1)
Пример 2. Решить уравнение
(2)
Решение однородных уравнений.
Уравнение вида
(1)
где
– действительные числа, называются однородными уравнениями степени
относительно функций
и
.
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида
(2)
при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла
,
а также тождество
Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений
не являются корнями уравнения (1), так как, если, например,
(1) следует, что и
или
, то из уравнения
, что противоречит основному тригонометрическому тождеству
. Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на
и
ввести подстановку
Пример 1. Решить уравнение
(3)
Пример 1. Решить уравнение
(4)
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Рассмотрим уравнение
(1)
Разделим левую и правую часть уравнения (1) на
Так как
то существует угол φ такой, что
при этом
Тогда уравнение (1) примет вид
:
Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор
и выбор
Пример 1. Решить уравнение
будут не всегда равносильны.
(2)
Пример 2. Решить уравнение
(3)
Решение уравнений с применением формул понижения степени.
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы
понижения степени
Примеры для самостоятельного решения:
Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.
При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы
(1)
(2)
Пример 1. Решить уравнение
(3)
Решение уравнений методом универсальной подстановки.
Тригонометрическое уравнение вида
(1)
где R – рациональная функция,
, с помощью тригонометрических формул двойного и
тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно
аргументов
после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному
уравнению относительно
подстановки
с помощью формул универсальной тригонометрической
(2)
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения,
поскольку
не определен в точках
проверять, являются ли углы
, поэтому в таких случаях нужно
корнями исходного уравнения.
Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.
Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том,
что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические
неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам.
Пример 1. Решить уравнение
(1)
(2)
Пример 2. Решить уравнение
(3)
(4)
(5)
Использование ограниченности функций при решении тригонометрических
уравнений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности
функций
и
, то есть следующие неравенства:
Пример 1. Решить уравнение
,
,
.
(1)
(2)
(3)
Пример 2. Решить уравнение
(4)
(5)
Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных
уравнений.
Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или
иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях
оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность,
ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает
на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень
единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке
X ограничена сверху, причем
, а функция g(x) ограничена снизу, причем
, то
уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении
. Иногда для решения уравнения
f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения.
В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования
тригонометрических уравнений.
Пример 1. Решить уравнение
(1)
(2)
Пример 2. Решить уравнение
(3)
Справочник
Числовая окружность
Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов
Знаки тригонометрических функций
Основные тригонометрические формулы
Формулы сложения и вычитания
тригонометрических функций
Формулы двойного угла
Формулы понижения степени
Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнением называется равенство тригонометрических выражений,
содержащее неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций.
Решить тригонометрическое уравнение - значит найти все его корни - все значения переменной,
удовлетворяющее уравнению. Решение тригонометрических уравнений сводятся к решению
простейших тригонометрических уравнений, нахождение корней которых приведено в таблице:
Вид
Формулы решений тригонометрических
Частные случаи
уравнения
уравнений
,
Если
, то
,
,
Если
, то
,
а- любое число
а-любое число
Тестирование
Вариант №1
А
-1
А
-2
А
-3
А
-4
А
-5
А
-6
А
-7
А
-8
Вариант №2
А1
А2
А3
А4
А-
5
А6
А-7
А8