IIкурс «Механизация сельского хозяйства» и

Лекция №1
Численное решение алгебраических уравнений
Не всякое уравнение может быть решено точно. Доказано, что нельзя
построить формулу, по которой можно было бы решать произвольные
уравнения четвёртой степени.
Рассмотрим
способы
нахождения
приближенных
значений
действительных корней уравнения.
Решение этой задачи состоит из двух этапов:
1.
Определение количества действительных корней уравнения и
интервалов их изоляции.
2.
Нахождение приближенного значения корня и уточнение этого
значения.
Первая часть этой задачи обычно решается графически.
Пусть задано уравнение f(x)=0. Построим в декартовой системе
координат
график
построенной
функции
кривой
с
y=f(x).
осью
OX
Абсциссы
точек
приближенно
пересечения
дадут
значения
действительных корней уравнения
x1, x2, x3, x4. Затем выделяют участки, где будут лежать корни:
2  x  1 ;
0  x 1 ;
1 x  2 ;
3 x  4.
Иногда y=f(x) такая функция, что
график её построить затруднительно,
тогда уравнение f(x)=0 следует
преобразовать к виду f1(x)=f2(x),
построить графики y= f1(x) и y= f2(x).
1
Абсциссы точек пересечения кривых будут действительными корнями
уравнения.
x
Пример: Решить уравнение x  2 x  1 ; 2 
1
или x  2  x
x
Строим графики функций y=x и y=2-x. Точка их пересечения
принадлежит отрезку 0;1 . После того, как выделены
участки , где будут лежать корни приступают к их
уточнению.
Для
этого
можно
построить
на
выделенных участках график функции в более
крупном
масштабе,
используя
миллиметровую
бумагу. Однако это все же грубое приближение
корня.
Более точное приближение корня производится: аналитически. Для
этого используется одно из свойств непрерывных функций: если функция
f(x) непрерывна на a; b , и на концах этого отрезка принимает значения
разных знаков, то между точками a и b найдется, по крайней мере, одна такая
точка x  c , что f(c)=0.
Мы будем интервал
a; b
считать таким малым, что на нем лежит
только один корень нашего уравнения. Этот отрезок
a; b будем называть
интервалом изоляции корня.
Чтобы выбранный интервал являлся интервалом изоляции корня
необходимо:
1.
Функция f(x) вместе со своими производными первого и второго
отрезков непрерывна на отрезке a; b
2.
3.
f(x) на концах отрезка a; b принимает значения разных знаков.
f x и f x  сохраняют на a; b определённый знак
Эти условия гарантируют, что корень уравнения содержится в
интервале a; b и других корней на этом участке нет.
2
Далее следует уточнить корень. Для этого интервал изоляции надо
сужать, то есть уменьшать. Это делается разными способами:
1-ый способ
Деление интервала изоляции пополам.
Пусть дан интервал изоляции a; b
Находим его середину c1 
ab
и вычисляем f(c1). В качестве нового
2
отрезка берем ту половину отрезка a; b , на концах которого функция f(x)
принимает значения разных знаков. a1;с1  ; 2) c2 
a  с1
; если
2
f  c2   0 ,
то новый отрезок a1;с2  и так далее.
Сужение отрезка производится до тех пор, пока левая и правая границы
не станут равными с точностью равной требуемой точности корня.
Несмотря на принципиальную простоту корня, этот метод неудобен,
так как требует зачастую большого количества итерацией.
2-ой способ
Способ хорд
Идея этого метода состоит в том, что на достаточно малом промежутке
a; b кривую y=f(x) заменяют прямой (хордой) и в качестве приближенного
значения корня принимают точку пересечения
хорды с осью OX. Пусть эта точка x0. Значение
x0 найдется так:
Составим уравнение хорды:
xa
y  f a 

.
b  a f b   f a 
Для точки x0 пересечения хорды с осью
OX , y=0 , поэтому
b  a  f a 
x01  a
 f a 
1

, откуда: x0  a 
f b   f a 
ba
f b   f a 
(1)
3
Если f x01   0 , т о корень находится на отрезке x01 ; b , можно снова
применить формулу (1) и так далее.
3-ий способ
Метод касательных
Пусть опять x0 корень уравнения
f(x)=0 находится в интервале a; b .
В качестве приближения корня
примем абсциссу точки пересечения
касательной к кривой либо в точке А,
либо в точке В, с осью OX.
Касательную обычно проводят
через
ту
точку,
в
функции совпадает со знаком второй производной.
f b  0 и
которой
знак
В нашем случае
1
f   b   0 . Найдем x0 . Составим случайное уравнение
касательной, проходящей через любую точку «с» кривой:
1
y  f c  f c x  c , так как нам надо значение x0 , то:


 f c   f c   x01  c , откуда x01  c 
f c 
f c 
(2)
Теперь корень находится на отрезке a; x01  , так как f x 1   0 .
Применив формулу (2) к новому отрезку
a; x    ,
1
0
находим новое
2 
значение корня x0 , и так далее.
4-ый способ
Комбинированный метод
Метод хорд и метод касательных дают приближение корня с разных
сторон x0, то есть одно из них дает значение с недостатком, другое с
избытком. Поэтому обычно бывает выгодно применять оба эти способа
4
одновременно, благодаря чему уточнение корня может быть получено
быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень x0 отделен и находится на отрезке
a; b
Рассмотрим следующий случай:
1)
Пусть f x и f x  на отрезке a; b одинаковых знаков
f x   0 и f x  0
a)
Слева метод,
б) f x   0 и f x  0
справа метод касательных, следовательно надо
применить формулы так:
x1  a 
f a   b  a 
;
f b   f a 
x2  b 
f b 
f b 
(3)
Находим x1 ; x2 
2)
Пусть теперь f x и f x  на отрезке a; b разных знаков:
а) f x  0 , f x  0
б) f x  0 ,
f x  0
5
Здесь слева надо применить метод касательных, а справа метод хорд и
формулы для вычисления запишется так:
x1  a 
f a 
;
f a 
x2  b 
f b   b  a 
f b   f a 
(4)
Метод применяется до тех пор, пока левая и правая границы отрезка
изоляции не станут равными с точностью, равной требуемой точности корня.
Итак, чтобы найти корни уравнения следует:
1.
Графическим способом определить число корней уравнения и
интервалы их изоляции;
2.
Проверить условия единственности корня в интервале изоляции;
3.
Выбрать формулы для сужения интервала изоляции;
4.
Найти корень с заданной степенью точности.
Пример: 2 x 3  x  4  0 .
Найти корень с точностью до 0,1.
Преобразуем уравнение к виду:
1) 2 x 3   x  4 ;
y  2x 3 ;
y  x  4 ;
 2;1
f x   2 x 3  x  4
a)
f x   6 x 2  1
f x   12 x непрерывна на  2;1
b)
f  2  14  0 ;
f  1  1  0 -
разные знаки;
f  x   0 ;
c)
f   x   0 -  2;1
Разные знаки, следовательно:
x1  a 
f a 
;
f a 
x2  b 
f b   b  a 
f b   f a 
1ая итерация f a   6   22  1  25
x11  2 
 14
14
 2 
 1.44
25
25
6
x21  1 
1 1
1
 1   1.07
1  14
15
1.44;1.07
2ая итерация
f 1.44  13.44
f a1   3.41
f b1   0.48
x12   1.44
x22   1.12
x
1.44;1.12
 1.44   1.12 
 1.13
2
Ответ: x  1.13
7