х 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2 f(x) 1 1,5 1,7 1,3 1,7 2 2,1 2,5 3

120
х
f(x)
0
1
0,2
1,5
0,4
1,7
0,6
1,3
0,8
1,7
1,
2
1,2
2,1
1,4
2,5
1,6
3
1,8
3,2
2
3,5
Линейный сплайн S1 ( x ) задаётся уравнением прямой, проходящей через две
точки
y − yi
x − xi
x − xi
=
⇒ S1 ( x ) = y = y i +
( y − yi ) .
y i+1 − y i x i+1 − x i
x i+1 − x i i+1
Введем понятие шага интерполяции h = x i+1 − x i . Имеем
S1 ( x ) = f ( x i ) + ( x − x i )
Так как 0,5 ∈[0,4;0,6 ]
(x
i
f ( x i+1 ) − f ( x i )
h
= 0,4 x i+1 = 0,6) то S1 ( 0,5) = f ( 0,4) + ( 0,5 − 0,4)
1,3 − 1,7
= 1,5
0,2
§8 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Постановка задачи Рассмотрим задачу нахождения действительных корней
уравнения
f ( x) = 0
(6)
где f ( x ) алгебраическая или трансцендентная функция.
Известные точные методы решения уравнений пригодны только для узкого
класса уравнений. Однако в общем случае решения уравнения (6) находят
приближенно.
Решение такой задачи разбивается на 2 этапа :
1) отделение корней (определение малых отрезков [a;b], в которых
находится только один действительный корень уравнения)
2) приближенное вычисление отделенного корня с заданной
точностью.
Отделение действительных корней.
Под отделением действительного корня уравнения f ( x ) = 0 понимают
нахождение отрезка [a;b], в котором лежит только один корень данного уравнения.
Этот отрезок называют промежутком изоляции корня
Известны различные графические и аналитические методы отделения корней
уравнения (6).
Наиболее наглядный метод отделения корней уравнения f ( x ) = 0 состоит в
определении (приближенно) координат точек пересечения графика функции y = f ( x )
с осью абсцисс.
121
y
0
x
с1
a
с2
с3
b
На примере видно, что приближенные значения корней изолированы на
отрезках x1* ∈ [a; c1 ], x2* ∈ [c1 ; c2 ], x3* ∈ [c2 ; c3 ], x4* ∈ [c4 ; b]
Если y = f ( x ) сложная. То построение графика может быть затруднено. В этом
случае можно использовать представление функции в виде f ( x ) = ϕ1 ( x ) − ϕ 2 ( x ) = 0 и
надо записать ϕ1 ( x ) = ϕ2 ( x ) , так чтобы сравнительно просто было построить графики
функций y = ϕ1 ( x ) и y = ϕ2 ( x ) . Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут
корнями уравнения (6).
y
x
0
a
b
Промежутки изоляции корней можно получать аналитически, используя теоремы о
свойствах функций (непрерывных на отрезке).
Уравнение f ( x ) = 0 имеет на [ a; b] единственный корень, если
1) функция y = f ( x ) непрерывна на [ a; b] ;
2) f ( a) f ( b) < 0 ;
3) f ′( x ) сохраняет знак на [ a; b] .
Пример Найти промежутки изоляции действительных корней уравнения
3
x + x −1 = 0 .
122
Воспользуемся графическим методом отделения корней : построим графики
функций y = x 3 и y = 1 − x . Придем к выводу, что корень принадлежит промежутку
y
[0;1].
1
1
x
0
Уточнение корня. Постанова задачи.
Задача отыскания приближенного значения корня с заданной точностью ε
сводится к нахождению отрезка [ a; b] ( b − a < ε ) , содержащего только один корень
уравнения (6). Эту задачу называют задачей уточнения корня.
Метод половинного деления.
Пусть известно, что [ a; b] содержит один единственный корень уравнения f ( x ) = 0 и
f ( a) < 0, f ( b) > 0 . Требуется найти его значение с заданной точностью
y
с
0
x
а
b
делим пополам, определяем точку c = ( a + b) / 2 и f ( c) . Если
f ( c ) < 0, f ( b) > 0 то корень x* ∈ [c; b] (если f ( c ) > 0, f ( b) < 0 , то корень x* ∈ [a; c] ) т.е.
отрезок изоляции корня сузили вдвое до отрезка.
Отрезок
123
Если b − c < ε , то искомый корень уравнения найден с заданной точностью ε и
любое число из [c; b] можно считать его значением. В противном случае процесс
деления пополам можно продолжать.
В методе половинного деления погрешность решения находится в прямой
зависимости от числа деления отрезка пополам. При n делениях погрешность равна
b−a
. Поэтому если произвести достаточно много делений, то искомый корень
2n
можно вычислить с любой степенью точности. Рассмотренный метод удобен еще и
тем . что в нем используются однотипные вычисления, поэтому он удобен при
реализации вычислений на ЭВМ.
Метод хорд.
Пусть на [ a; b] находится единственный корень уравнения f ( x ) = 0 ,
f ( a) < 0, f ( b) > 0 и f ′( x ) , f ′′( x ) сохраняют знак на этом отрезке. Точки A( a; f ( a) ) и
B( b; f ( b) ) дуги кривой соединим хордой АВ, уравнение которой
y − f ( a)
x−a
=
f ( b) − f ( a) b − a
(7)
Абсцисса
точки пересечения хорды с осью ОХ является первым
приближением значения корня x * . Значение x1 найдем, решив совместно уравнения
хорды (7) и оси ОХ :
y − f ( a)
x − a⎫
=
f ( a)( b − a)
⎪
f ( b) − f ( a) b − a ⎬ ⇒ x = a −
f ( b) − f ( a)
⎪
y=0
⎭
(8)
y
х1
0
х2
x
b
а
Таким образом, получено первое приближение значения корня x1
x1 = a −
f ( a )( b − a )
f ( b) − f ( a )
124
т.е. получили суженный промежуток [ x1 , b] изоляции корня. Применив к нему
формулу (8) найдем второе приближение корня
x 2 = x1 −
f ( x1 )( b − x1 )
f ( b) − f ( x1 )
продолжая этот процесс, получим n-е приближение значения корня уравнения:
x n = x n−1 −
f ( x n−1 )( b − x n−1 )
(9)
f ( b) − f ( x n−1 )
при этом замечаем, что в формуле (9) точка b фиксируется, т.е. один конец хорды с
абсциссой b неподвижен, а другой при каждом приближении меняется. Из рисунка
видно, что f ( b) > 0 и кривая вогнута, следовательно, f ′′( b) > 0 .
Неподвижным является тот конец хорды где знак f ( x ) совпадает со знаком
f ′′( x ) . Если неподвижным является другой конец хорды, т.е. f ( a) и f ′′( a) имеют
одинаковые знаки, то n-е приближение значения корня определяется по формуле
x n = x n −1 −
f ( x n −1 )( x n −1 − a)
(10)
f ( x n −1 ) − f ( a)
Оба итерационных процесса (9) и (10) сходятся, причем
xn − x * ≤
xn − x * ≤
f (xn )
m
, m = min f ′( x ) ,
x ∈[ a ; b ]
M−m
x n − x n−1 , M = max f ′( x )
x ∈[ a ; b ]
m
Метод касательных (Метод Ньютона)
Пусть на [ a; b] имеется единственный корень уравнения f ( x ) = 0 , f ( a) f ( b) < 0 и
f ′′( x ) на [ a; b] сохраняет знак.
y
х1
х2
0
x
а
b
Из рисунка видно, что если провести касательную к графику функции y = f ( x )
в точке с абсциссой а ( в этой точке знаки f ( x ) и f ′′( x ) совпадают) то абсцисса точки
пересечения касательной с осью ОХ будет первым приближением корня уравнения.
125
Касательная, проведенная в точке с абсциссой b, может пересечь ось абсцисс в точке,
не принадлежащей [ a; b] (в этой точки знаки f ( x ) и f ′′( x ) противоположны).
Запишем уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в той точке, где
f ( x ) и f ′′( x ) имеют одинаковые знаки. В случае, изображенном на рисунке это точка
а. Общее уравнение касательной:
y − f ( a) = f ′( a )( x − a)
Найдем точку пересечения касательной с осью ОХ
y − f ( a) = f ′( a)( x − a) ⎫
f ( a)
.
⎬⇒ x = a−
f ′( a )
y=0
⎭
Полученное значение есть первое приближение корня. Второе приближение
получаем в ходе итерационного процесса
x 2 = x1 −
повторяя вычисления получаем формулы
xn = xn−1 −
причем
где c = a −
f ( x1 )
f ′( x1 )
,
f (xn−1 )
f ′(xn−1 )
n∈ N ,
⎧a, f ( a) f ( c) < 0,
⎪
x 0 = ⎨b, f ( a) f ( c) > 0,
⎪
⎩c, f ( c) = 0,
( b − a) f ( a)
. Тогда последовательность приближений ( x n ) сходится к корню
f ( b) − f ( a )
x * при n → ∞ и для ∀n ∈ N справедливы неравенства:
f (xn )
M
xn − x * ≤
, x n − x * ≤ 1 ( x n − x n−1 ),
m
2m
m = min f ′( x ) ; M1 = max f ′′( x ) .
где
x ∈[ a ; b ]
x ∈[ a ; b ]
Случай, когда вторая производная совпадает по знаку со значением функции в точке
b, можно проиллюстрировать следующим рисунком
y
а
0
x
х2
х1 b