Математический анализ (доп) - Томский политехнический

Томский политехнический университет
Лекции по
Мат. анализу
I Семестр.
Томск
2009г.
Содержание:
Вопрос № 1 Понятие «Множества»:
1. Пустое множество.
2. Подмножества.
а) Круги Эйлера.
3. Операции над множествами.
4. Свойства.
5. Понятие соответствия.
6. Эквивалентность множеств.
7. Множество:
а) Конечное.
б) Счётное.
в)Мощности континуума.
Множество – не имеет точного определения. Множества определяются,
как совокупность некоторых объектов, мыслимых, как единое целое.
Объекты определяются по характерному признаку и называются
элементами множества.
Сами множества могут быть элементами другого множества.
Обозначения:
∙ Множества: А, В, …, X, Y, Z.
∙ Элементы: а, в, …, x, y, z.
∙ Принадлежность: ε.
∙ Пустое множество: Ø.
Пустое множество – это такое множество, в котором нет элементов.
Множество А называют подмножеством В если каждый элемент
множества А принадлежит множеству В.
A  B – операция включения.
Иллюстрация действий с множествами осуществляется с помощью кругов
Эйлера.
Операция включения обладает свойством аддитивности, то есть если
A  B и B  C ,то A  C .
Множество А называется равным множеству В, если A  B и B  A .
Операции над множествами:
Пересечение: M  A  B если оно состоит из элементов, входящих в оба
этих множества.
M  A  B  x | x  A  x  B.
Свойства:
а) Коммутативность, или перестановочность.
б) Пересечение любого множества с пустым даёт пустое
множество.
в) A  A  A
г) Если A B ,то A  B  A .
Объединение: M  A  B , если оно состоит из тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств, при этом общие элементы
учитываются только один раз.
M  A  B  x | x  A  x  B
Свойства:
а) Коммутативность.
б) Объединение с пустым множеством даёт само множество.
в) Объединение с самим собой даёт исходное множество.
г) Если A  B , то A  B  B .
Соответствие между множествами:
Между А и В существует правило, по которому по элементу из
множества А можно найти элемент из множества В.
Соответствие называют взаимнооднозначным, если для любого
элемента из множества А можно найти единственный элемент из
f
b.
множества В, и наоборот, так что a 
Дадим следующие определения:
А – называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
А и В – называют эквивалентными, если между ними можно установить
взаимнооднозначное соответствие.
А – называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных
чисел.
А – называется мощности континуума, если оно эквивалентно интервалу
от нуля, до единицы.
Вопрос № 2
Множество вещественных чисел:
1. Числовая прямая.
2. Метрика.
3. Ограниченность множества.
4. Теорем о существовании точных верхней и нижней граней.
Множеством вещественных чисел называется множеств, состоящие из
разнообразных бесконечных десятичных дробей.
Множество, состоящие из периодических дробей – множество
рациональных чисел.
Множество рациональных чисел состоит из бесконечных десятичных не
периодических дробей.
Числовая прямая:
Ставя каждой точке М длину единичного отрезка ОМ со знаком «+», если
М и Е лежат по одну сторону, и «-», если по разные, мы получаем
взаимнооднозначное соответствие между точками прямой, как
геометрическими объектами, и вещественными числами.
M  x  R х – координата точки М, а саму координатную прямую –
координатным пространством.
Введём на координатной прямой метрику, то есть понятие расстояния ρ
между М1 и М2, где М1(х1), М1(х2). По формуле  M1, M 2   x2  x1 2  x2  x1
После введения метрики пространство называют эвклидовым
координатным пространством, и обозначают R.
Любой интервал, содержащий точку М называют её окрестностью.
Для всех М(х) x   ; x    называют ε-окрестностью точки М
Ограниченность числового множества:
Пусть Х содержит хотя бы один элемент, тогда:
Х называется ограниченным сверху, если существует M  R , такое что для
всех х из Х x  M
Число М называют верхней границей. Ясно, что этих чисел бесчисленное
множество.
Х называется ограниченным снизу, если существует m R , такое, что для
всех х из Х x  m
Число m называют нижней гранью.
{Х} называется ограниченным, если существуют рациональный числа,
такое, что для всех x m  x  M и существует A  0 такое, что для всех
x x x  A .
Наименьшая из всех верхних граней множества называется его точной
верхней гранью. x  sup x
Наибольшая из всех нижних множества называется его точной нижней
гранью. x  inf x
Теорем о существовании точных верхней и нижней граней:
x  x. Если x ограничена сверху (снизу), то существует конечная точная
верхняя (нижняя) грань этого множества.
n-мерное евклидово пространство:
Упорядоченный набор x1, x2 , x3 ,, xn  называют n-мерной точкой.
Множество всех мыслимых n-мерных точек называют n-мерным
арифметическим пространством.
Арифметическое пространство называют n-мерным евклидовым
пространством, если в нём введена метрика, то есть понятие расстояния –
набор M 1 x11, x12 , x31 ,, x1n , M 2 x12 , x22 , x32 ,, xn2    M 1, M 2  
 x
n
i 1
2
i
 xi1

2
– Rn
ε-окрестность в точке M x  R называют множеством M xi  R n так, что
0
 M 0 , M   
0
i
n
На пример в двухмерном пространстве:


n  2 M 0 x10 , x20 ; M  x1 , x2 
 x  x 
2
i 1
i
0 2
i

Некоторые характеристики Rn:
Точка М называется внутренней точкой M   R n , если существует
ε-окрестность этой точки, целиком входящая в это множество.
Точка М называется граничной точкой, если в любой её окрестности есть
точки как входящие в множество, так и нет.
Множество называется открытым, или областью, если все её точки
внутренние.
Множество называется замкнутым, если оно содержит все граничные
точки.
Множество называется ограниченным, если все его точки принадлежат
шару конечного радиуса.
Множество называется связанным, если любые две его точки можно
соединить ломанной с конечным числом звеньев, все точки которой
принадлежат данному множеству.
Вопрос № 3 Понятие функции, как отображения:
1. Понятие функции, как отображения.
2. График функции.
3. Способы задания функций.
4. Классификация функций.
5. Основные элементарные функции.
f
Соответствие X  Y называется отображение Х в Y, если существует у,
принадлежащий Y.
f
Соответствие X  Y называется отображение Х на Y, если для всех у из Y
f
существует х из Х такой, что x  y элемент х может быть не единственным.
Отображение чисел множества Х в R называется числовой функцией.
∙ х – область определения функции – D(f);
∙ y – область значения функции
– E(f);
∙
f
D f  E  f 
на
Графиком y  f x  множество точек плоскости M | x; f x | x  X .
Классификация функций:
y  Arc sin x
 Однозначные и многозначные:
x2  y2  R2
 Явные и неявные:
 x  R cos t

 y  R sin t
 Элементарные и неэлементарные:
o Любая функция, полученная конечным числом основных
элементарных функций, а так же путём арифметических
действий, в конечном числе я является элементарной функцией.
y  3 arcsin
1
x5
o Не элементарная функция – y  n!
Вопрос № 4 Числовая последовательность:
1.
2.
3.
4.
5.
Числовая последовательность.
Определение предела.
Геометрическая интерпретация.
Сходящаяся последовательность.
Критерий Коши.
Пусть в Rn для всех к из N  M k  xik   R n , получаемый таким образом
f
 i 1 n 
набор точек M
i
i K  
называют точной последовательностью в Rn.
Точка А из Rn есть lim M k  если для всех ε>0 существует Nε такой, что при
k 
 
всех k  N  A, M    , при этом M k называют lim M k  A
k
k 
k 
Для R1 задание точной M k  равносильно заданию M k координат этих
точек xi i  n   .
То есть M k  – счётное множество чисел, занумерованных всеми
натуральными числами и расположенными в порядке возрастания номеров.
Эти числа называется элементами последовательности, а хn – общий элемент.
Задать числовую последовательность – значит задать формулу её общего
элемента.
xn , если для всех ε>0 существует Nε такой, что при
Число а называется lim
n
всех n  N xn  a   ; a    xn  a   – вне интервала находится конечное число
Nε элементов последовательности.
Критерий Коши сходимости последовательности:
Для сходимости последовательности необходимо и достаточно для всех ε>0
что бы существовал N такой, что при всех п> Nε при всех   N : xn  p  xn   .
Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
X n  a и lim X n  b a  b . Для определённости положим
Предположим lim
n 
n 
a b.
Возьмём   b  a  0 , тогда существует N1 такой, что при всех п>N1
выполняется xn  a   и существует N2 такой, что при всех п>N2 выполняется
xn  b  
Пусть N  max N1, N2  , тогда п>N. Одновременное выполнение xn  a   и
п>N2, что невозможно даже при указанном ε ε-окрестность, так как а и в не
пересекаются.
Полученное противоречие доказывает единственность предела.
Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
Последовательность Хп называется ограниченной, если существует точка М
из R такая, что m  xn  M при всех п, а так же есть А>0 такая, что xn  A /
Последовательность хп называется неограниченной, если для всех А>0
(сколько угодно больших) есть N такое, что xN  A .
Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:
X n  a  для ε=1 есть Nε такой, что при всех N>Nε
Доказательство: lim
n 
xn  a  1,a  1  xn  a  1
M   max a 1, a  1, тогда для п > Nε: xn  M 


A  max  xi ; M  , то при всех п xn  A .
1..

Вопрос № 7 Монотонные последовательности:
1. Монотонные последовательности.
2. Теорема о сходимости монотонной последовательности.
{xn} называется возрастающей, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1<x2, и
не убывает, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1<=x2
{xn} называется убывающей, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1>x2, и не
убывает, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1>=x2
Теорема: Возрастающая последовательность ограничена сверху и имеет
конечный предел. Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет
конечный предел.
Доказательство: (Возрастающая последовательность ограничена сверху и
имеет конечный предел.): хп1<xn2 при любых п1<п2 и хп<=М при любых п.
По теореме об ограниченном множестве есть число a  sup xn  , то есть хп<=а,
а так же для всех ε>0 найдётся N такой, что xN  a   . Тогда при всех п>N
xn  xN  a   , или xn  a    a  xn   , тогда при n>N
0  a  xn      a  xn   , другими словами a  xn   , xn  a   .
(Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет конечный
предел): хп1>xn2 при любых п1<п2 и хп>=m при любых п. По теореме об
ограниченном множестве есть число a  sup xn , то есть хп<=а, а так же для
всех ε>0 найдётся N такой, что xN  a   . Тогда при всех п>N – a    xN  xn
Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:
Последовательность бесконечно малая, если для всех ε>0 найдётся Nε
такой, что при всех п> Nε xn   , xn  0   , lim xn  0
n
Свойства бесконечно большой последовательности:
 Сумма двух бесконечно малых последовательностей даёт бесконечно
малую последовательность.
xn  0; lim yn  0 , тогда рассмотрим сумму этих двух
o Пусть lim
n 
n 
последовательностей: По условию ε>0 найдётся N1 такой, что
всех п>N1 xn   2 и найдётся N2 такой, что всех п>N2 yn   2
o N  max N1, N2  , тогда при всех п>N: xn  yn  xn  yn  2  2  
 Разность двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно
малая последовательность.
 Следствие: Алгебраическая сумма бесконечно малой
величины – есть бесконечно малая величина.
 Бесконечно малая последовательность ограничена, так как являет
собой частный случай сходящейся последовательности.
 Произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную – есть бесконечно малая последовательность
xn  0 и при всех п: xn  A . Возьмём ε>0, тогда
o Пусть lim
n
найдётся Nε такой, что при всех п> Nε xn   A . Оценим
xn  yn  xn  yn  A  A  
 Следствие: произведение конечного числа бесконечно
малых последовательностей – есть бесконечно малая
последовательность.
 Если все элементы бесконечно малой последовательности одному и
тому же С, то С=0.
 Если xn  – бесконечно большая, то обратная к ней – бесконечно
малая.
Вопрос № 9 Бесконечно большие последовательности и их свойства:
1. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
а) Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
последовательностями.
Последовательность бесконечно большая, если для всех А>0 найдётся N
такой, что при всех п> N xn  A .




Свойства бесконечно малой последовательности:
Сумма бесконечно больших последовательности одного знака –
бесконечно большая последовательность.
Разность даёт неопределённое выражение.
Произведение двух бесконечно больших последовательностей –
бесконечно большая последовательность.
Отношение двух бесконечно больших последовательностей не
определена.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
последовательностями:
lim xn  0  lim xn  a   0
n 
n 
xn  a , однозначно для каждого ε>0 найдётся Nε такой, что
Действительно lim
n
при всех п> Nε xn  a    xn  a   0
n
Вопрос № 10 Теорема об арифметических действиях над
последовательностями, имеющими конечный предел:
lim xn  a; lim yn  b; тогда:
n 
n 
xn  yn   a  b . Доказательство:
1. lim
n 
lim xn  a – обозначим xn  a   n  0 при п стремящемся к нулю.
n
n 
lim y n  b – обозначим yn  b   n  0 при п стремящемся к нулю.
n 
n 
Докажем, что xn  yn   a  b – бесконечно мала:
xn  yn   a  b  a   n  b   n   a  b  a   n  b   n  a  b   n   n  –
бесконечно малая величина.
 xn  y n   a  b
2. lim
n 
 xn  y n   a  b
3. lim
n 
 xn   a
4. lim
 y 
b
n 
n
b0
Вопрос № 11 Теоремы о переходе к пределу в неравенствах:
xn  a и при n>N xn  b  a  b . Доказательство:
1. Пусть lim
n
Предположим a<b, то есть b-a>0. Возьмём   b  a , для него
существует Nε такой, что при всех п> Nε>=N: xn  a  b  a , или
 b  a  x  a  b  a  xn  bn  N – противоречие показывает, что a  b
xn  a и при n>N xn  b  a  b . Доказательство:
2. Пусть lim
n
Предположим a<b, то есть b-a<0. Возьмём   a  b , для него
существует Nε такой, что при всех п> Nε>=N: xn  a  b  a , или
 a  b  x  a  a  b  xn  bn  N – противоречие показывает, что a  b
Следствия:
xn  a, lim y n  b и для всех n  N : xn  yn  a  b
1. Пусть nlim

n 
xn  a и для всех n  N : b  xn  c  b  a  c
2. Пусть lim
n
xn  a, lim y n  a и для всех n  N : xn  zn  yn  zn – сходится, и
3. Пусть lim
n 
n 
lim z n  a
n 
Вопрос № 12 Предел функции:
1. Определение предела функции.
2. Функции одной переменно по Коши и по Гейне.
Функция п-переменных: Пусть каждой точке M  M   R n по некоторому
закону ставится в соответствие число “U”, тогда говорят, что на M  задана
числовая функция п-переменных: U  f M   f xi 
i 1.. n
Рассмотрим точку A R , во всей её окрестности существуют точки  M ,
где A  M , при этом M – область определения функции.
U  f M  , если для всех
Говорят, что число “b” – Mlim
A
n
  0   0 : M удовлетворяющих условию  M , A 0;   выполняется
неравенство: f M   b   – По Коши.
U  f M  , если для всех последующих
Говорят, что число “b” – Mlim
A
точек M k  сходится в точке А, соответствующая числовая
последовательность f M k  сходится к числу “b” при к, стремящимся
к бесконечности. – По Гейне.
U  f M  если для всех   0" a"  0 : M
Число “b” называют Mlim

удовлетворяющих условию  0, M   A выполняется неравенство:


f M   b   O oi 
 i 1.. n 
Для построения R1 пусть y  f x , где x  R1 , определена в некоторой
окрестности точки x  0 , за исключением, быть может, самой точки.
Вопрос № 13 Теоремы об арифметических действиях над функциями,
имеющими конечный предел:
Определение предела функции по Гейне позволяет перенести все
результаты, полученные для сходящихся последовательностей на функции,
имеющие конечный предел. В частности справедливы теоремы об
арифметических действиях:
f  x   a; lim g  x   b , тогда:
Пусть lim
x 0
x 0
 f x   g x   b  c
1. lim
x 0
 f x   g x   b  c
2. lim
x 0
 f x  g x   b  c
3. lim
x 0
 f x  / g x   b / c
4. lim
x 0
Бесконечный предел:
lim f  x    – говорят, что функция имеет бесконечный предел, если для всех
x 0
A  0 A : x : x  a  0, A  : f x  A
Вопрос № 14 Замечательный предел
Pn  x 
x Q  x 
m
lim
Pn x   a0 x n  a1 x n1    an1 x  an 
n
a
i 1
a0 0
i 1
xi
a
a 
n
 x  a0  1    nn   Pn x   

x
x
x 

 n
a
a    : n  m
 x  a0  1    nn   
 
P x 
x
x   a0
lim n
 lim 

:n  m
x Q  x 
x
b1
bm    b0
m
m
 x  b0     m   0 : n  m
x
x  


sin x
 1:
x 0
x
lim
lim
x 0
sin x
 1:
x
Угол АОМ=х
МС перпендикулярно
АО; МС есть синус х.
АВ – тангенс х
Из геометрических
соображений MC< дуги
АМ < AB
sin x  x  tgx для х больших нуля.
sin x  x  tgx : sin x  1 
x
1
sin x

 cos x 
1
sin x cos x
x
Если х больше нуля, то –х меньше нуля, и
cos x  x  cos x,
sin x  x sin x
sin x

 cos x 
 1 для x  0, x  0
x
x
x
Перейдём к пределу:
Согласно теореме о переходе в неравенство получим:
sin x
 1 так как lim cos x  1, lim 1  1
x0
x0
x
x0
lim
Вопрос № 15: Второй замечательный предел:
Pn x 
x  Q  x 
m
1 
  1 n
 lim 1    lim 1  n n   e
 n   n  n  0



lim
n
 
 1
lim 1    1 Можно показать, что эта последовательность является
n 
 n
возрастающей и ограниченной сверху, а значит имеет конечный придел.
n
x
1
 1
 1
lim 1    e  2,71828 , аналогично для lim 1   ; lim 1  x  x
n 
x 
 n
 x  x 
Вопрос № 17: Непрерывность функции одной переменной в точке и на
множестве:
1. Непрерывность функции одной переменной в точке и на множестве.
2. Свойства функций, непрерывных в точке.
Пусть U  f M  определена на M   D f   R n . Рассмотрим A D f  такое,
что в любой её ε-окрестности содержится точка M  D f  отличная от А.
U  f M  непрерывна в А, если существует конечный предел lim f M   f  A .
M A
U  f M  непрерывна на M   D f   R n , если она непрерывна в каждой
точке этого множества.
Рассмотрим в А полное приращение f x  U  f M   f  A , тогда ясно, что
для непрерывной функции в А необходимо и достаточно что бы
 U  f M   f  A   0 .
M A
Свойства непрерывных функций:
1. Пусть f M  и g M  непрерывны в А, тогда
f M   g M , f M   g M ,
f M 
g M   0 так же непрерывны в А.
g M 
2. Пусть U  f M  непрерывны в А и f  A  0 , тогда существует
окрестность точки А, в которой f M   0 и сохраняет свой знак
f M  .
Доказательство: f M   0 ; возьмём ε>0 так, что 0    f  A . Для
выбранного ε существует   0 такой, что для всех точек М условие
0   M , A   ; f M   f  A   , f  A    f M   f  A    f M   0 в
указанной окрестности точки А. f  A  0
3. (О промежуточном значении) U  f M  непрерывна на M , и точки
А и В принадлежат данному множеству, для всех С, где
f  A  C  f B на всей непрерывной прямой L, соединяющей А и В
существует М0 такое, что f M 0   C . При этом предполагается, что
рассматривается связное множество.
4. Непрерывная на компакте1 функция ограничена на нём.
5. Непрерывная на компакте функция достигает на нём точной
верхней и нижней грани, то есть существуют М1,2 из M , такие,
что f M1   sup f M , f M 2   inf  f M 
M 
M 
6. Непрерывная на компакте функция равномерно2 непрерывна на нём.
Вопрос № 18: Понятие сложной функции:
1. Понятие сложной функции.
2. Непрерывность сложной функции в точке.
Пусть x   t  определена на t , и y  f x  определена на x   t , тогда на
t определена следующая функция y  f  t  – суперпозиция функций.
Если x   t  непрерывна в a  t и y  f x  непрерывна в b   a , то
y  f  t  непрерывна в точке а.
Заметим, что основные элементарные функции непрерывны в каждой точке
своей области определения. Все элементарные функции непрерывны в своей
области определения.
n
Замкнутое ограниченное множество в R называется «компактом»
2
U  f M равномерно непрерывна на M , если для всех   0 
1
М1,2
 
 
из  M1 , M 2  0;   : f M1   f M 2   
 0 такая, что для всех точек
Вопрос № 19: Классификация точек разрыва:
1. Классификация точек разрыва.
2. Понятие кусочно-непрерывной функции.
Точка называется точкой разрыва, если в ней нарушается определение
непрерывности функции. Точки разрыва делятся на две категории:
Если существуют односторонние конечные пределы в точке, то точку
называют точкой разрыва первого рода, в частном случае, если
конечны односторонние пределы, то точку называют точкой
устранимого разрыва.
Если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, или не
существует, то точку называют точкой разрыва второго рода.
Функция непрерывна на отрезке А-В, если она непрерывна на интервале
А-В, а так же существует и конечна f a  0  f a (непрерывность справа), а
так же существует и конечна f b  0  f b (непрерывность слева).
U  f M  кусочно-непрерывна на отрезке А-В, если она непрерывна на
интервале А-В, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода,
и существуют конечные правый и левый пределы.
Вопрос № 20: Комплексные числа:
1. Комплексные числа.
2. Комплексная плоскость.
3. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Число вида: z  x  yi , где х,у – действительные числа, а i – число, квадрат
которого даёт минус единицу – мнимая единица!
z  x  yi Re  x  yi   x
Im x  yi   y
z  x  yi – сопряжонное.
Арифметические действия над комплексными числами:
z1  x1  y1i
z 2  x2  y 2 i
1) z1  z 2  x1  x2  y1i  y 2i   x1  x2    y1  y2 i
2) z1  z 2  x1  x2  y1i  y 2i   x1  x2    y1  y 2 i
3) z1  z 2  x1 x2  x2 y1i  x1 y 2  y1 y2i 2  x1 x2  x2 y1i  x1 y2i  y1 y2 
 x1 x2  y1 y2   x1 y2  x2 y1 i
z  z   x  yi x  yi   x 2  y 2i 2  x 2  y 2  0
z
x  y1i  x1  y1i  x2  y 2i   x1 x2  y1 y 2 x1 y2  x2 y1 i x1 x2  y1 y2 x1 y2  x2 y1
3) 1  1




i
z 2 x2  y 2 i
x22  y 22
x22  y22
x22  y 22
x22  y 22
Степени числа i:
i0  1
i4  1
i1  i
i 5  i 4 1  i 4  i1  i
i 2  1 i 6  i 4  2  i 4  i 2  1
i 3  i
i 7  i 4 3  i 4  i 3  i
Вопрос № 21: Тригонометрическая форма записи комплексных чисел:
1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
2. Возведение в степень.
3. Извлечение корня.
Комплексное число характеризуется упорядоченной парой чисел, ей
соответствует единичная точка на плоскости при выбранной системе
координат. Говорят, что она изображает комплексное число, а координатную
плоскость называют комплексной плоскостью. На плоскости совмещены
полярная и декартова система координат так, что полюс полярной системы
совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось
совпадает с осью ОХ.
Задаются радиус – то есть модуль комплексного числа и угол φ равный
арктангенсу отношения мнимой части комплексного числа к его
действительной части.
Тогда комплексное число будет выглядеть так:
z  r cos   sin    i 
r  x2  y2
x  r cos 
 y
x
  arctan  
y  r sin 
Формула Эйлера:
cos   sin    i  ei
z  r  ei
Возведение в степень:
z n  r n  ei n  r n cos n  sin n   i 
Извлечение корня:
Введём понятие всех значений: Arg z   argz   2k , тогда
n

  2k    2k  
z  n r  cos
  sin
  i ; k  0..n  1
n
n  


Вопрос № 22: Производная функции одной переменной:
1. Производная функции одной переменной.
2. Геометрическая интерпретация.
3. Уравнение нормали и касательной к графику.
Пусть y  f x  определена на интервале А-В. Фиксированной точке х
придадим приращение так, что бы точка x  dx принадлежала интервалу А-В.
 y  f x  x   f x  – приращение функции в точке х, соответствует
приращению у.
y f x  x   f x 

x
x

Придел разности отношения приращения функции к приращению
аргумента, при стремлении последнего к нулю называется производной
функции в точке х.
Физический смысл:
Пусть y  f x  закон прямолинейного движения точки по прямолинейному
пути.
Отношение приращений функции к аргументу – средняя скорость
движения за время Δх, а производная – мгновенная скорость в точке.
Геометрический смысл:
y  f x  tg – производная – тангенс угла наклона касательной, к прямой
в точке, к оси абсцисс.
Уравнение касательной и нормали:
Возьмём на касательной произвольную точку, тогда:
для любой точки на касательной  y  y0  f x x  x0  .
y  y0
 f  x  – верно
x  x0
 y  f x x  x0   f x0 
Прямая, перпендикулярная касательной называется нормалью к графику в
точке. Известно, что у перпендикулярных прямых угловые коэффициенты
связаны следующим образом: k1k2  1 , следовательно уравнение нормали
будет выглядеть следующим образом:
y
1
 x  x0   f  x0  .
f  x 
Вопрос № 23: Правила дифференцирования:
1. Правила дифференцирования суммы.
а) разности.
б) произведения.
в)частного.
Пусть функции ux, vx имеют конечные производные, тогда:
u  v   u   v u  v   u v  vu
u u v  vu

v
v2
Докажем, что производная суммы – есть сумма производных:
 u  x   x   u  x  v x   x   v x  
u  x   x   vx   x   u  x   v x 
 
 lim 

 x 0
 x 0
x
x
x


lim
 u x   x   u x  
 v x   x   v x  
  lim 
  u x   v x 
lim 
 x 0
x
x

  x  0

Вопрос № 24: Производная сложной и обратной функции:
1. Производная сложной функции.
2. Производная обратной функции.
3. Логарифмическая производная.
Если для всех значений функции из области её определения можно
поставить в соответствие единственный х из области определения функции:
y  f x , то говорят, что на множестве E f  задана обратная функция
x  f 1  y  с областью определения E f  и областью значения D f 
Теорема о существовании обратной функции:
y  f x  определена, непрерывна и возрастает (убывает) в окрестности
точки х0, где f x0   0 , тогда в окрестности y0  f x0  определена обратная
функция – непрерывная монотонная и имеющая в точке у0 производную,
равную
1
f  x0 
Производная сложной функции:
Пусть y  f u  имеет в точке и конечную производную, а u   u  имеет в
точке х конечную производную, тогда y  f  x имеет в точке х конечную
производную: y  f u  x  f  x  x
Логарифмическая производная:
Пусть y  f x  больше нуля и имеет в точке х производную, тогда:
ln y  – логарифмическая производная
ln y   1  y 
y
y  f x 
y

 y   y  ln y 
y
Вопрос № 25: Параметрическое дифференцирование, производные высших
порядков:
y  f x  – в свою очередь то же является функцией, если для f x в точке х
существует производная, то её называют производной второго порядка.

y    f  x   f  x 
Аналогично y   f x   f x 
 x  xt 
yx  : 
 y  y t 
Параметрическое дифференцирование:
Пусть х(t) и у(t) имеют в точке t производную, при этом функция х(t) имеет
обратную функцию в окрестности рассматриваемой точки, тогда существует
производная yx  , которая вычисляется по формуле:
yx 
yt
xt


Действительно yx  yt  t x  y 
1 yt
 , где t x  обратная к xt 
xt xt
Вопрос № 26: Понятие дифференцируемой функции в точке х:
1. Понятие дифференцируемой функции в точке х.
2. Теорема о дифференцируемой функции.
y  f x  – называется дифференцируемой в точке х, если приращение
функции представимо в виде:  y  A x  x , где А – независимо от
приращения аргумента, а α стремится к нулю, при стремлении приращения
аргумента к нулю.
Утверждение: Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна
в ней. Действительно при стремлении приращений функции и аргумента к
нулю, что и означает непрерывность функции в точке.
Дифференциал функции – это производная функции, умноженная на
дифференциал аргумента.
Для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно
существование в этой точке конечной производной.
Вопрос № 27: Понятие дифференциала:
1. Понятие дифференциала.
а) Геометрический смысл дифференциала.
u
2. Формула для вычисления дифференциала d u  v ; d u  v ; d  
v

 x0
y  A x    x 
 lim

x 0
y
 y  x   A
x

Учитывая, что независимая переменная совпадает с dx:
dy  yx dx
Геометрический смысл дифференциала:
Рассматривается треугольник, построенный на касательной к графику.
Отношение катетов прямоугольного треугольника, катетами которого
являются приращения функции и аргумента. Отсюда отношение катетов
будет равно: tg  приращение функции:  y  f x x  dy
Производная ординаты касательно при переходе от точки х к точке x+dx
равна величине дифференциала.
Формулы вычисления дифференциалов:
Если
dy
 y  x   dy  y  x dx , то можно получить следующие свойства
dx
дифференциала:
Пусть ux, vx дифференцируемы в точке х, тогда
1) d u  v   du  dv
2) d u  v   vdu  udv
 u  vdu  udv
3) d   
v0
v2
v
Вопрос № 28: Дифференциал сложной функции:
1. Дифференциал сложной функции.
2. Инвариантность формы первого дифференциала.
dy  yx dx . Пусть y  yx , где x   t  , причём x   t  дифференцируема в
точек t, тогда: y  yx дифференцируема в точке x   t  , тогда по теореме о
сложной функции для y  y t  yt   yx  xt  .
Заметим, что t независимая переменная для y  y  t   yt  
тогда
dy
dx
и xt  
,
dt
dt
dy
dx
dy
 f  x    dt 
 f  x   dy  f  x dx формула дифференциала для
dt
dt
dx
x   t 
Формула совпадает для независимых переменных х, это свойство
называется инвариантностью формы записи дифференциала.
Вопрос № 29: Дифференциалы высших порядков:
1. Дифференциалы высших порядков.
2. Нарушение инвариантности формы записи второго дифференциала.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого
дифференциала.

d 2 y  d dy  d n y  d d n1 y
 
d 3 y  d d dy   d d 2 y

Вычислим d 2 y , когда х неизвестная переменная.
d 2 y  d dy   d  f x dx   d  f x dx   f x dx dx  f x dx 2  f x  
Ясно, что d y  f x dx  f
n 
n
n
Рассмотрим y  f x, x   t  :
n 
d2y
dx 2
dny
x   n
dx
d 2 y  d dy   d  f x dx   d  f x dx  f x d dx   f x dx 2  f x d 2 x
Из полученного результата видно, что второй дифференциал не обладает
свойством инвариантной формы записи.
Вопрос №29: Правило Лопиталя, Формула Тейлора:
Правило Лопиталя:
Пусть f x, g x дифференцируемы в окрестности точки а, за исключением
быть может самой точки, и gx  0 .
f  x   0, lim g  x   0 , тогда если существует lim
Пусть lim
x0
x0
x0
lim
x 0
f  x 
, то существует и
g  x 
f x 
f x 
f x 
, и тогда lim
. Аналогичное утверждение имеет место,
 lim
x  0 g  x 
x 0 g x 
g x 
когда предел функции стремится к бесконечности.
Пример: lim
x0
1
ln x   
    lim x  0
x
   x0 1
Формула Тейлора:
Пусть f x  дифференцируема в окрестности точки х0 n 1 раз, то есть имеет
производную до п минус первого порядка включительно, тогда для всех точек х из
этой окрестности выполняется следующее:
n
n
n

f  x0 
x  x0 1  f x0  x  x0 2    f x0  x  x0 3   f x0  x  x0 n
f x   f  x0  
1!
2!
n!
n!
i 0
n
 f n  x0 

x  x0 n   Rn x 
f x    
n!
i 0 

n1
  x  x n1;   x    x  x 
f
R x  
0
0
0
1. n
n  1!
0   1
n
0x  x0 
2. Rn x   0 x  x0 n  lim
0
xx0  x  x n
0


– Форма Лагранжа.
– Форма Плана
Частным случаем формы Тейлора является формула Макларена, когда х0=0:
f x   f 0  
n
n
n
f 0 1 f 0  2
x  
x     f 0 x 3   f 0 x n
1!
2!
n!
n!
i 0
n
 f n 0  n 
x    Rn 0
f x    
n!
i 0 

Вопрос № 31: Возрастание, убывание функции в точке:
1. Возрастание функции в точке.
2. Убывание функции в точке.
3. Достаточное условие.
Функция y  f x существует в окрестности точки и дифференцируема в
ней.
Говорят, что функция возрастает в точке с, если для x  c  f x  f c , а для
x  c  f x  f c, и убывает, если x  c  f x  f c , а для x  c  f x  f c .
Достаточное условие возрастания и убывания функции:
Если существует первая производная функции в точке, и она больше
нуля, то это означает, что для каждого
  0   0 : 0  x  c    :
f c    
f x   f c 
 f c    ,    f c    ,
xc
f x   f c 
 f c   
xc
 : 0    f c   f c     0 
f x   f c 
0
xc
x  c :  x  c  0  : f  x   f c   0  f  x   f c 
тогда если
x  c :  x  c  0  : f x   f c   0  f  x   f c 
Если существует первая производная функции в точке, и она меньше
нуля, то это означает, что для каждого *
Функция возрастает на интервале а-в, если она возрастает в каждой точке
этого интервала, тогда ясно, что первая производная больше нуля, для х из
этого интервала. Следовательно функция возрастает на интервале, если
первая её производная больше нуля, и убывает на интервале, если первая
производная меньше нуля.
Функция возрастает (убывает) на интервале, если для каждой пары точек
х1,2 из интервала, таких, что первая меньше (больше) второй, значение
функции в первой точке меньше (больше), чем во второй.
Вопрос № 32: Экстремумы:
1. Экстремумы.
2. Необходимое условие существования.
3. Достаточные условия существования.
Локальные экстремумы:
Пусть функция определена в окрестности точки с.
Функция имеет локальный максимум в точке, если существует такая её
окрестность, в которой значение функции будет меньше, чем значение
функции в этой точке, и локальный минимум в обратном случае.
Необходимое условие экстремума:
Если функция дифференцируема в точке, и имеет в этой точке локальный
экстремум, то первая производная этой функции равна нулю.
Доказательство: пусть первая производная не равна нулю, тогда:
Если первая производная больше нуля, то функция возрастает;
Если первая производная меньше нуля, то функция убывает;
Противоречие показывает, что первая производная не может быть отлична от
нуля.
Решая уравнение f x  0 получаем так называемую критическую точку
первой производной, а так же точку возможного экстремума.
Достаточное условие экстремума:
Пусть функция дифференцируема в окрестности точки, а так же первая
производная от функции в этой точке равна нулю, тогда:
Если для x  c  f x  0, x  c  f x  0 , то функция в точке имеет
локальный максимум;
Если для x  c  f x  0, x  c  f x  0 ,о функция в точке имеет локальный
минимум.
Если первая производная функции в окрестности точки сохраняет свой знак,
то в этой точке нет экстремума.
Достаточное условие экстремума:
Если функция дифференцируема в точке, и имеет конечную вторую
производную, то:
Если вторая производная меньше нуля, то функция максимальна в точке;
Если вторая производная больше нуля, то функция имеет минимум.
при первой производной, равной нулю.
Доказательство:
На основании определения возрастания и убывания функции, из условия, что
вторая производная меньше нуля, следует, что функция минимальна в точке,
так как первая производная равна нулю, то:
x  c  f  x   0
x  c  f  x   0
Аналогично и вторая производная равна нулю.
Критические точки первой производной – это такие точки, в которых
первая производная либо не существует, либо бесконечна.
Общее достаточное условие существования экстремума:
Функция определена в точке, непрерывна и дифференцируема в её
окрестности, быть может за исключением самой точки.
Если для x  c  f x  0 , для x  c  f x  0 , то у функции существует
локальный максимум.
Если для x  c  f x  0 , для x  c  f x  0 , то у функции существует
локальный минимум.
Если в окрестности точки функция сохраняет свой знак, то экстремум
отсутствует.
Вопрос № 33: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
1. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
2. Теорема Вейерштрасса.
3. Способы отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке.
Теорема Вейерштрасса:
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего
максимального м минимального значения на нём, то есть существует такая
пара точек, значение функции в которых принимает максимальное и
минимальное значение.
Минимальное и максимальное значение достигается либо в точках
локального экстремума, либо на концах отрезка.
Способы отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке:
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
необходимо найти точки локальных экстремумов и отобрать те из них,
которые принадлежат отрезку. Вычислить и сравнить значения функции в
этих точках. Затем выбрать из них минимальные и максимальные.
Замечание: Если на отрезке существует только один экстремум, то в этой
точке и достигается максимальное или минимальное значение функции.
Вопрос № 34: Направление выпуклости графика функции:
1. Направление выпуклости графика функции.
2. Достаточное условие.
Пусть функция задана на интервале.
График функции считается выпуклым вверх, если все точки данного
интервала лежат ниже касательной.
График функции считается выпуклым вниз, если все точки данного
промежутка лежат выше касательной.
Точка перегиба – это точка, принадлежащая графику функции, в которой
происходит смена направления выпуклости. Происходит смена знака второй
производной.
Достаточное условие выпуклости графика функции:
Функция на интервале имеет конечную производную второго порядка.
Если вторая производная больше нуля, то график выпукл вниз, иначе вверх.
Если вторая производная равна нулю, то данная точка – точка перегиба.
Вопрос № 35: Точки перегиба графика функции:
1. Точки перегиба графика функции.
2. Необходимое условие точки перегиба.
3. Достаточное условие точки перегиба.
Необходимое условие точки перегиба:
Пусть значение второй производной в точке не равно нулю, то в силу
непрерывности, вторая производная сохраняет свой знак следовательно
учитывая теорему о существовании выпуклости графика функции, в
окрестности точки не меняется направление выпуклости функции, что
противоречит условию…
Если значение второй производной равно нулю, то это критическая точка
второй производной, и в ней возможен перегиб. Эти точки исследуются при
помощи достаточного условия.
Пусть для функции существует вторая производная в окрестности точки, и
она равна нулю, если слева и справа от точки у второй производной разные
знаки, следовательно, точка является точкой перегиба, иначе перегиба нет.
Общий случай:
Для функции существует вторая производная в окрестности точки, за
исключением, быть может, самой точки. Функция непрерывна, и существует
касательная в данной точке, хотя бы параллельная оси ординат. Если слева и
справа знаки второй производной разные, то данная точка является точкой
перегиба, иначе нет.
Вопрос № 36: Асимптоты графика функции:
1. Асимптоты графика функции.
2. Схема построения графика.
Прямая является асимптотой, если при стремлении одной из хорд к
бесконечности расстояние между точками графика и этой прямой стремится
к нулю.
Асимптоты делятся на:
 Вертикальные
 Наклонные
x  a – вертикальный асимптот функции, если правый или левый предел
равен бесконечности.
y  kx  b – наклонный асимптот. Коэффициент наклона определяется, как
предел отношения функции к аргументу, при стремлении последнего к плюс
бесконечности (правый асимптот). Смещение определяется, как предел
разности функции и произведения коэффициента наклона на аргумент, при
стремлении последнего к плюс бесконечности (правый асимптот).
Схема построения графика функции:
Определить область определения и область значения функции.
Найти пересечения графика функции с осями (нули функции).
Определить чётность/нечётность функции.
Найти экстремумы, промежутки возрастания/убывания функции.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найти асимптоты.
На основе 4,5 – ого пунктов заполнить таблицу.
Вопрос № 37: Понятие п-мерной точки, п-мерного пространства:
1. Понятие п-мерной точки.
2. Понятие п-мерного пространства.
3. Открытые и замкнутые множества.
4. Область в Rn.
5. Связность.
6. Понятие функции многих вещественных переменных.
7. Линии уровня.
8. Поверхности уровня.
Функция u  f x, y, z  – множество точек x, y, z  , где f x, y, z   A .
При выполнении условия о существовании неявно заданной функции, это
множество точек обозначается поверхностью и называется поверхностью
уровня для функции u  f x, y, z  . Заметим, что вектор градиента функции
перпендикулярен поверхности в любой её точке.
Если функция задана z  f x, y  , то существуют её непрерывные частные
производные, при условии существования неявной функции, линию
называют линией уровня для функции. Вектор градиента функции
перпендикулярен линии уровня в любой её точке.
*********
Вопрос № 38: Частные производные:
1. Частные производные.
а) Геометрическая интерпретация при п=2.
Дифференцирование функции многих переменных:
f
Для всех M xi  M   R n U на M  задана скалярная функция U  f M  , или
скалярное поле.
При п=2 z  f x, y  определена в пространстве некоторая поверхность.
Понятие частных дифференциалов:
z  f x, y  определена в окрестности точки x, y 
Придадим приращение х, тогда функция получит частное приращение:
z  f x  x, y   f x, y 
Определение: Придел отношения приращения функции к приращению
аргумента, при стремлении последнего к нулю – если он существует –
называется частной производной функции по переменной х в точке x, y  и
обозначается:
lim
 x 0
z z

 z x
x
x


x
Из определения следует, что отыскание частных производных – есть
дифференцирование функции z  f x, y  , как функции одной переменной. По
этом правила дифференцирования, а также таблица производных
сохраняется.
Геометрический смысл частных производных:
y  y 0 – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости.
tg  f xx0 , y0  , то есть значение f xx0 , y0  – есть тангенс угла наклона
касательной, проведенной к линии пересечения поверхности z  f x, y  и
плоскости y  y 0 , в точке, где x  x 0 .
Вопрос № 39: Дифференцируемость функции f M , M  R n
1. Дифференцируемость функции f M , M  R n .
2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.
Рассмотрим u  f x, y, z  , определённую в точке x, y, z  .
u  f x, y, z  дифференцируема в x, y, z  , если её полное приращение
 u  f x  x, y   y, z   z   f x, y, z  представимо в виде  u  A x  B y  C z  o 
А,В,С – не зависят от приращений аргументов, а


x2  y 2  z 2
o   lim
 0
o  

0
Необходимые условия дифференцирования:
Пусть u  f x, y, z  дифференцируема в точке x, y, z  :
u  f x, y, z  непрерывна в x, y, z  .
Существуют частные производные по всем переменным.
Доказательство:
Из (  u  A x  B y  C z  o  ) следует: при приращениях всех
переменных, стремящихся к нулю, величина приращения функции
тоже стремится к нулю.
Докажем, что частная производная по х равна А:
Возьмём все приращения, кроме приращения по х, равными нулю,
тогда:  u  f x  x, y   y, z   z   f x, y, z   u x
u
d dx 
 A
при
x
x
u x  A


x  0 получим:
Аналогично доказываются и остальные частные производные.
Достаточные условия дифференцирования:
Если u  f x, y, z  имеет в точке x, y, z  непрерывные частные производные,
то полное приращение будет представлено в виде:

u  u x  x  u y  y  u z  z  o 
Вопрос № 40: Производная по направлению:
1. Производная по направлению.
2. Градиент скалярного поля.
3. Связь с производной по направлению.
u  f x, y, z  e  cos  ; cos  ; cos  
Если функция u  f x, y, z  дифференцируема в точке x, y, z  , то существует
производная по направлению e .
u
de
 u x M cos   u y M cos   u z M cos 
M
M 0  x0 ; y 0 ; z 0  M 0 M  t e , t  0
M 0M  te  t e  t
u M   u M 0 
u  x0  t cos  ; y0  t cos  ; z 0  cos    u  x0 ; y0 ; z 0 
u
 lim
 lim

t 0
de t 0
t
M 0M
u  x0  t cos  ; y0  t cos  ; z 0  cos    u  x0 ; y0 ; z 0 

de
t 0
 u x M 0 cos   u y M 0 cos   u z M 0 cos 
Для u  f x; y; z 
grad u 
M
 u x M ; u y M ; u z M 
Согласно Формуле вычисления скалярного произведения градиент
запишется следующим образом:


u
 grad u  M 0   e  grad u  M 0   e  cos grad u  M 0  ^ e
de
u
0
1. Если gradU M 0   0 
de M 0
2.
u
de

 gradU M 0 
M0
3. В направлении градиента
u
de
 gradU M 0 
M0
Пусть M  множество точек, где f x, y   0 и точка M 0 x0 ; y0  принадлежат
этому множеству. В окрестности точки М0 существуют частные производные
f x; f  y   0 . Следовательно для всех в0 больших нуля прямоугольный
треугольник:   x  x0   a;  y  y0   b | 0  b  b0  . Существует пирамида:
 x0 ; y0 M , пересекающая треугольник. ***
y x , x  x0   a, f x; f  y   0, x  x0   a
dy
f x 

dx
f  y 
f x; f  y   0  df  0  f xdx  f ydy  0  f x  f y
f
dy
dy

 x
dx
dx
f y
Вопрос № 41: Дифференциал f(M), M принадлежит Rn:
1. Дифференциал f(M), M принадлежит Rn.
2. Линеаризация функции.
3. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
Дифференциал функции:
Дифференциалом функции u  f x, y, z  является главное линейное
отношение приращений переменных, как часть полного приращения
дифференцированной функции, то есть  u  A x  B y  C z  o  .
Формула для вычисления дифференциала:
du  u x dx  u y dy  u z dz .
При п=2, то есть z  f x, y 
dz  z x dx  z y dy
Производные второго порядка для функций п-переменных:
Производной второго порядка функции п-переменных называется
производная от производной п-1-ого порядка по каждой из переменных.
Линеаризация функции:
При малы приращениях из  u  A x  B y  C z  o  следует, что  u  du
f x  x; y   y; z   z   f x; y; z   ux dx  uy dy  uz d
f x  x; y   y; z   z   f x; y; z   ux dx  uy dy  uz d
Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных:
Дифференциал функции двух переменных – это приращение аппликаты
касательной плоскости, при переходе от точки x0 , y0  на касательной
плоскости в точку x, y  .
Вопрос № 42: Производная сложной функции многих переменных:
1. Производная сложной функции многих переменных.
2. Полная производная.
Дифференцирование сложной функции:
1. Пусть u  f x, y, z  , где x  xt ; y  yt ; z  zt  , где множество значений
xt , yt , zt  принадлежит области определения функции, тогда:
u  f xt , yt , zt  – сложная функция одной переменной t, тогда:
если xt , yt , zt  дифференцируемы в точке t, а u  f x, y, z 
дифференцируема, соответственно, в точке x, y, z  , то и
дифференцируема по t, и существует дифференциал:
du
 u x  xt   u y  yt   u z  z t  – эта производная называется полной
dt
производной.
2. Пусть u  f x, y, z  , где x  xt, ; y  yt, ; z  zt,  , пусть x, y, z
дифференцируемы в точке t ,  , а u  f x, y, z  дифференцируема,
соответственно, в точке x, y, z  , тогда функция дифференцируема как
U t,  и существует дифференциал
U t  U x  xt   U y  yt   U z  zt 
U  U x  x   U y  y   U z  z 
Вопрос № 43: Понятие о функциях, заданных неявно:
1. Понятия о функциях, заданных неявно.
а) Их дифференцирование.
2. Касательная плоскость.
3. Нормаль к поверхности.
Касательная и нормаль к поверхности:
В случае явного указания поверхности, то есть z  f x, y  , где f x, y 
существует и непрерывна в области точки M 0 x0 ; y0 ; z0 , z0  f x0 ; y0  , тогда:
z  z0  f xM 0   x  x0   f y M 0    y  y0 , где x, y, z  – приращение аппликаты
касательной плоскости, при переходе от точки x0 , y0  на касательной
плоскости в точку x, y  .
В случае неявного задания функции – f x, y, z   0 , если при этом
выполняется условие о неявно заданной функции, то вблизи функции
x0 ; y0 ; z0  ????
Тогда уравнение касательной плоскости выглядит так:
z  z 0  z x M 0    x  x0   z y M 0    y  y0 , где x, y, z  учитывая формы для z x , z y в
случае неявного задания:
f  M 
f xM 0 
x  x0   y 0  y  y0   f zM 0 
f zM 0 
f zM 0 
f xM 0 x  x0   f y M 0  y  y0   f zM 0 z  z0   0
z  z0 
 grad f M 0   M 0 M  0  grad f M 0   M 0 M
Назовём нормалью к поверхностью прямую, перпендикулярную
касательной плоскости в любой точке:
1
x  x0   1  y  y0   1 z  z0   0
f xM 0 
f y M 0 
f zM 0 
Вопрос № 44: Частные производные высших порядков:
1. Частные производные высших порядков.
2. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
3. Дифференциалы высших порядков.
4. Формула Тейлора для функции многих переменных.
Вообще частные производные порядка к от функции u  f M  , где
M x1 , xn – называется производная от производной к-1-ого порядка по
каждой из переменной.
Определение: zx имеет частные производные по х, то есть существуют
zx x , то её называют производной второго порядка для функции
обозначают zxx 
z  f x, y  и
2z
, аналогично z xy  z x y
2
x
Теорема о смешанных производных:
Пусть для z  f x, y  существуют частные производные первого порядка,
тогда: z xy  z yx
Заметим, что для элементарных функций смешанные производные так же
элементарные функции.
Дифференциалы высших порядков:
Для функции z  f x, y  существует непрерывная производная второго
порядка. Вторым дифференциалом функции z  f x, y  называется
дифференциал от первого дифференциала функции. d 2 z  d dz 
d z x dx  z y dy   d z x dx  d z y dy  z xx dx  z xy dy   z xy dx  z yy dy dy 
2



 z xx dx 2  2 z xy dxdy  z yy dy 2    dx   dy  z
y
 x

Используя метод математической индукции можно доказать, что н-ного
порядка:
n

 
d z  d d z   dx  dy  z
y 
 x
U  f M , M  R n
n

n 1

k
 



d U  d d U  
dx1 
dx2   
dxk  U
x2
xk
 x1

k


k 1
Формула Тейлора:
U  f M , M  x1 ,..., xn   R n существует в окрестности точки M 0 x10 ,..., xn0 
непрерывна производная до п-1-ого порядка включительно, тогда
 
 
 
 
1
1
1
U  f M   f M 0  df M 0  d 2 f M 0  d 3 f M 0  ...
1!
2!
3!
~
~
1
1
 
...  d n f M 0 
d n 1 f  M ,  M x10   x1  x10 ,..., xn0   xn  xn0
n  1!
n!
 

 





Вопрос № 45: Экстремум функции многих переменных:
1. Экстремум функции многих переменных.
2. Необходимое условие существования экстремума.
3. Формулировка достаточных условий существования экстремума.
Говорят, что для функции U  f M , M x1 ,..., xn  R n существует минимальное
(максимальное) значение в точке М0 из области определения, если у М0
существует окрестность, во всех точках которой:
f M   f M 0   f M   f M 0  , или приращение функции меньше нуля, для
максимума, и больше для минимума.
Необходимое условие существования экстремума:
Экстремум функции существует только тогда, когда существуют и равны
нулю первые частные производные по всем переменным функции.
Доказательство:
 
U  f x , x , x ,...x – это функция одной переменной х1, которая в точке x ,0 ;
U x1 M 0  0
0
1
0
2
0
3
0
n
0
1
Существует экстремум, отсюда, как известно для функции одной переменной
её производная по переменной х10 в точке равна нулю. Это частная
производная функции по переменной х1, для U  f x10 , x20 , x30 ,...xn0  U x M 0   0
Такая точка называется стационарной.
Следствие:
В стационарной точечке производная функции равна нулю, вектор
градиента функции в стационарной точке равен нулевому вектору.
1
Все стационарные точки являются точками возможного экстремума, в этой
точке рассматривается достаточное условие экстремума.
Функция в окрестности стационарной точки, частные производные второго
порядка непрерывны:
 
 
 
 
 
1
1
1
~
f  f M   f M 0  df M 0  d 2 f M 0  d 3 f M
1!
2!
3!
2
o
  M 0 M o  2  lim
0

 

f 
 0

   
1 2
d f M 0  o  2 – то есть знак приращения определяется знаком
2!
второго дифференциала.
 
n
n
 
 
 
d 2 f M 0   f xi x j M 0 dxi dx j , где f xi x j M 0  f xj xi M 0
i 1 j 1
 
ai , j : f xi x j M 0
 
n
n
d 2 f M 0   ai , j dxi dx j
i 1 j 1
Выражение такого вида, где ai , j  a j ,i называется квадратичной формой.
Для определения знака квадратичной формы используется критерий
Сильвестра.
a11  a1n
Рассмотрим  n  
an1
 , вычислим его главные миноры.
 ann
1. Если все миноры больше нуля, то квадратичная форма является
положительно определённой, функция имеет минимум в точке.
2. Если идёт чередование знаков, причём первый минор отрицателен, то
квадратичная форма является отрицательно определённой, функция
имеет минимум в точке.
3. При любых других расстановках знаков у миноров квадратичная
форма является неопределённой по знаку, и функция не имеет в точке
экстремума.
4. Если квадратичная форма равна нулю, при условии, что не все
приращения равны нулю, то для исследования на экстремум следует
применять производные более высоких порядков.
Вопрос № 46: Первообразная:
1. Первообразная.
2. Теорема об общем виде первообразной.
3. Неопределённый интеграл и его свойства.
4. Достаточное условие существования.
F x  – называется первообразной от f x  на некотором промежутке Х, если
F x  дифференцируема на нём, и для всех х из Х F x  f x
Операция отыскания всех первообразных функции f x  называется
интегрированием.
Если F x  первообразная для f x  , то F x  c , где с- константа то же
является первообразной, а так же любая первообразная f x  имеет вид
F x   c
Доказательство:
1. Если F x  f x, то F x   c   f x 
Действительно F x   c   F x   f x 
2. Пусть F x  f x и существует Ox : Ox  f x для всех х из Х.
Рассмотрим F x   Ox   F x   Ox   f x   f x   0 – единственная
функция, производная от которой равна нулю – константа,
следовательно рассмотренные нами первообразные различаются на
константу.
Таким образом общий вид первообразной F x  c , эта функция называется
неопределённым интегралом для заданной f x  . Её обозначают:
 f x dx  F x   c , выражение f xdx – под интегральным выражением, а саму
функцию – под интегральной функцией.
Свойства неопределённого интеграла:
1. d  f x dx  f x  – дифференциал из интеграла – сама функция.


2.  F x dx  F x   c   d F x   F x   c
3.  kf ( x)dx  k  f x dx, k  const
4.   f x   g x dx   f x dx   g x dx
Достаточное условие существования неопределённого дифференциала:
Если f x  непрерывна на Х, то существует первообразная принадлежащая
этому интервалу.
Вопрос № 47: Замена переменной, как один из основных методов
интегрирования:
Метод замены переменной основан на утверждении, что
 f t dt  F t   c,   f  x    x dx  F  x   c
Доказательство:
Функции f t , x, x непрерывны на соответствующем промежутке.
По правилу дифференцирования сложной функции:
F  x   F  x    x   f  x    x  – что и требовалось доказать.
Пример:  sin 3 x  cos xdx 
t  sin x
t4
sin 4 x
  t 3 dt   c 
c
dt  cos xdx
4
4
Заметим, что при введении новой переменной в под интегральном
выражении должна быть её производная.
Вопрос № 48: Метод интегрирования по частям:
1. Метод интегрирования по частям.
а) Вывод формулы.
Пусть U x,V x имеют на Х непрерывную производную.
Рассмотрим дифференциал от произведения d U V   VdU  UdV , возьмём
интеграл от обоих частей равенства UV   VdU   UdV , от сюда получается
формул дифференцирования по частям.
 UdV  UV   VdU
V   x 3 dx 
U  ln x
x4
1 41
3
x
ln
xdx


ln
x

x dx 
4
1

4
4 x
dU  dx  x
x
4

x4
1 3
x4
1 x4
x4
x4
1 4
x4

ln x   x dx  ln x 
 c  ln x 
 c   x ln x 
 c 
4
4
4
4 4
4
16
4
4

Типы функций, интегрируемых данным методом:
sin x 
cosx 
x ln x,   R, U  ln x

Pn  x    x  , U  Pn  x  n
x arctg x, n  R, U  arctg x
e


x

a

Замечание:
Существуют элементарные функции, первообразная для которых не
выражается через элементарные функции, такие интегралы называют
неберущимися:
e

 x2
dx
sin x
dx
x
cos x
 x dx
 cos x dx
2
1
 sin x dx  ln x dx
2
Вопрос № 49: Интегрирование элементарных дробей:
1. Интегрирование элементарных дробей.
2. Интегрирование дробно-рациональной функции.
Вывод рекуррентной формулы:
In  
In 
x
x
2
In  
x

x
x

x
2
2
1
2

n
 a2
x
a
 2n  I n  2n  a n I n 1

2 n
1
2
a
dx a  R a  0

2 n
dx 

x

 2n 
a
x
2 n
a
2 n
2n  a  I n 1 
x
x
x
1
a
dV  dx
2
 2n  x
 a2
1
2
x
a
2
x
2
U
 a2
x

n
dx 
n 1


2 n
dU  

2 n
x
x
2n  x
2
V x
x
2
a
dx  2n  a 2 
 2n 

2 n
x
1
2
 a2

 a2
x
x
n 1
2
2

n 1
dx

a 
 a2 a2
2 n 1

dx 
dx
 2n  1I n
1
2n  1

In
n
2
2
2
2n  a x  a
2n  a 2
1
1
x
I1   2
dx  arctg  c
2 1
a
a
x a
I n 1 


I2  
x


1
2
a

2 2
dx 
1
1 1
x
 2 arctg  c
2
2a
2a a
a
Интегрирование рациональных дробей.
Pn  x 
– дробная рациональная функция. Правильная, если п<m, и
Qm  x 
неправильная в обратном случае.
Заметим, что из неправильной дроби модно выделить целую часть и
представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной
дроби.
Среди всех правильных дробей выделяют элементарные и простые дроби.
A
Элементарные дроби – это дроби вида:
; A, a  R, k  N
( x  a)
Mx  N
k
( x 2  px  q ) k
; M , N , p, q, k  R
D  p 2  4q  0
Интегрирование элементарных дробей:
Интегрирование элементарных дробей:
A
 x  a dx  d x  a   dx
a) k  1
1.
A
b) k  1
 x  a 
k

1
d x  a   A ln x  a  c
xa
1 k
Ax  a 
k
dx  d x  a   dx  A x  a  d x  a  
c 
1 k
 A
A
1
c
1  k x  a k 1
x 2  px  q  x 2  2 px

p2
q 
4
2
Mx  N
dx

2
2
 x 2  px  q
p  4q  p 2 
p

  x    a2
x  
2
4
2



t  x
a) k  1

2.
p
2
p
x
M
1
2 c
... 
ln x 2  px  q  Mx  N  arctg
2
a
a
p2
2
px
2
2
x  px  q  x 

q 
2 4
Mx  N
dx 
2
2
k
p  4q  p 2 
p

x 2  px  q
  x    a2
x  
2
4
2



b) k  1
p

M t    N
2
   2 2
dt  ...
t a
p
2
dt  dx x  t 




z  t 2  a 2 ; dz  2tdt 
M
...

1
2
t  dt  dz
2
dz 
p
1
  N  M 
4
2  t 2  a2

z

 ...

k
dt
***
Вопрос №50: Интегрирование тригонометрических и иррациональных
выражений:
Rsin x, cos x – дробное рациональное выражение от sin x, cos x
Интегрирование производится с помощью универсальной подстановки:
t  tg
x
2
x
x
1  tan 2
2
2
t
2 
2  1 t
sin x 
cos
x

x t  t2
x 1 t 2
1  tan 2
1  tan 2
2
2
x
2
 arctan t  x  2 arctan t dx 
dt
2
1 t 2
 2t 1  t 2 


R
sin
x
,
cos
x
dx

R

  1  t 2 , 1  t 2 dx
2 tan
Однако эта замена иногда приводит к очень сложным выражениям, по этом
модно предложить другую замену:
R sin x, cos x    Rsin x, cos x   t  cos x
Rsin x, cos x    Rsin x, cos x   t  sin x
R sin x, cos x   Rsin x, cos x   t  tan x
Так же можно применять тригонометрические преобразования:
1  sin 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
sin 2 x  2 sin
2
2
1
sin   cos   sin      sin    
2
1
sin   sin   cos     cos   
2
1
cos   cos   cos     cos   
2
sin 2 x 
Интегрирование иррациональности:
Основная идея заключается в том, что бы рационализировать
подынтегральное выражение.
ax  b
cx  d
ax  b
tm 
cx  d
m
t cx  dt m  ax  b
tm

 R x;
m
ax  b 
dx 
cx  d 


x ct m  a  b  dt  x 
pk
p1
 

ax  b  q1
ax  b  qk

 R x; cx  d ;...; cx  d


Pn x 
ax 2  bx  c
 ...
b  dt
ct m  a

dx  t  n ax  b  ...

cx  d

dx  Qn 1 x   ax 2  bx  c   
1
ax 2  bx  c
dx
Многочлен п-1-ой степени с неопределёнными коэффициентами.
1
 x   
x  px  q
n
 Rz;
 Rz;
 Rz;
2
dx  t 

m  z dz  z  m tan t
z  m dz  z  m sec t
1
x 
m 2  z 2 dz  z  m sin t
2
2
2
2
Вопрос № 51: Задачи, приводящие к определённому интегралу:
Физический смысл интеграла:
Пусть y  f x  0 представляет собой закон скорости движения
материальной точки вдоль оси ординат. Ставится задача вычислить путь
между двумя пунктами, который проходит точка.
Отрезок разбивается на малые промежутки, число которых стремится к
бесконечности. В этом случае путь считается, как сумма значений функции
на этих промежутках. При увеличении числа промежутков на отрезке,
получаемая сумма будет стремиться к истинному значению пути.
В этом случае путь нужно считать, как предел суммы значений функции на
атом отрезке.
Вопрос № 52: Интегральные суммы:
1. Интегральные суммы.
2. Определённый интеграл.
3. Геометрический смысл.
4. Свойства, связанные с равенствами.
5. Понятие подынтегральной функции.
Геометрический смысл интеграла:
Геометрический смысл интеграла представляет собой площадь фигуры –
кривой, состоящей из бесконечного количества прямоугольников.
Эта площадь приблизительно равна площади криволинейной трапеции.
Построение определённого интеграла:
y  f x  определена на отрезке. Разобьём его на малые части и возьмём на
xk1; xk  точку k тогда
n
Число I xk ; k    f  k  xk – называется определённым интегралом для
k 1
функции y  f x  на отрезке.
Число I  lim I xk ; k  если   0      I k ; xk   I   – называется
0
определённым интегралом для функции на отрезке, и обозначается:
b
I   f x dx
a
Классификация интегрируемых функций:
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нём.
2. Если функция монотонная и ограничена на отрезке, значит она
интегрируема на нём.
Свойства определенного интеграла:
a
1.
 f x dx  0
a
a
2.
 dx  b  a
a
a
3.
b
f x dx    f x dx

b
a
4. Если две различные функции интегрируемы на отрезке, значит их
сумма, разность, произведение так же интегрируема на отрезке.
5. Если функция имеет интеграл на отрезке, значит произведение
функции на константу так же имеет интеграл.
6. Если функция интегрируема на отрезке, то она интегрируема на всех
отрезках, входящих в первый.
Оценки интегралов:
1. Если функция интегрируема на отрезке, неотрицательна, для х из
отрезка, тогда её интеграл на отрезке так же неотрицателен.
Действительно все интегральные суммы больше, либо равны нулю, а
по свойству их общий придел больше, либо равен нулю.
Следствие:
b
f x   m  a; b   f x dx  mb  a 
a
2. Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке, то
b
 f xdx  c  0
a
3. Если две различные функции интегрируемы на отрезке, и первая
больше второй, то интеграл от первой будет больше интеграла от
второй на отрезке.
Следствие:
Если функция интегрируема на отрезке, то модуль функции так же
интегрируем на отрезке, и имеет место оценка, что модуль интеграла
функции меньше, либо равен интегралу модуля функции.
Теорема о среднем:
Функция интегрируема на отрезке.
b
m  inf  f x , M  sup  f x    : m    M :  f x dx   b  a 
a
Доказательство:
m  f  x   M , x  a; b 
b
b
b
a
a
 mf x dx   f x dx   Mf x dx
a
b
mb  a    f  x dx  M b  a : b  a   0
a
b
m
b
1
1
f  x dx  M   
f  x dx 

b  a  a
b  a  a
b
 f x dx    b  a 
a
Следствие:
Если функция непрерывна на отрезке, то существует ξ из отрезка, для
которой   f   , тогда
b
 f x dx  f  b  a , f   – среднее значение функции на
a
отрезке.
Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.
2. Свойства.
3. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
Пусть функция интегрируема на отрезке, фиксируем точку С из отрезка.
Для всех х функция интегрируема на отрезке x; C , тогда на отрезке a; b
x
определена функция F x    f t dt – это интеграл с переменным верхним
c
пределом.
Если функция непрерывна на отрезке, то для неё существует первообразная
x
на этом отрезке, одной из первообразных является функция F x    f t dt ,
c
следовательно:

x

1. F x     f t dt   f x 
c

x
2. Функция F x    f t dt непрерывна на отрезке a; b .
c
Заметим, что в выражении точка С – любая точка из отрезка.
Основная формула интегрального исчисления:
Было доказано, что две любые первообразные от функции отличаются на
константу, тогда любую первообразную для функции можно представить в
виде:
x
x
F x    f t dt  c , вычислив F a  : F a    f t dt  0
a
a
b
b
a
a
F b  : F b    f t dt  F a    f t dt  F b   F a 
Вопрос № 55: Интегрирование по частям и замени переменной в
определённом интеграле:
Замена переменной в определённом интеграле:
Замена переменной в определённом интеграле производится так же, как и в
неопределённом, только необходимо пересчитать пределы интегрирования,
подставив их в подстановочную формулу.
Интегрирование по частям в определённом интеграле:
Для U x,V x на отрезке существуют непрерывные производные, тогда
b
b
UdV  UV a  VdU
b
a
a
Доказательство:
b
 d UV   UV   d UV   UV
b
a
a
b
b
 UdV  UV a   VdU
b
a
a
Вопрос № 56: Приложение определённого интеграла к вычислению площадей
плоских фигур и длин дуг:
Площадь плоской фигуры:
Функция неотрицательна на отрезке, тогда из геометрического смысла
определённого интеграла следует, что площадь, вычисляется по формуле
b
S   f x dx .
a
Пусть функция задана параметрически, неотрицательна на отрезке, и
существуют и непрерывны первые производные xt , yt , то площадь такой

фигуры – S   yt   xt dx

Площадь криволинейного сектора:
2
r  r    S   r 2  d
1
Длинна дуги:
L : x  xt , y  yt , t   ;  , производные непрерывны на отрезке, тогда кривая

спрямляема, и её длинна    xt 2   yx 2 dt

L : y  f x, x a; b , производная функции непрерывна на отрезке, тогда
b
кривая спрямляема, и её длинна    1   yx 2 dx
a
Пусть прямая задана в полярной системе координат, производная функции
непрерывна на заданном отрезке, тогда кривая спрямляема, и её длинна

2


r 2    r   d
2
1
Длинна дуги пространственной прямой:
 x  xt 
 y  y t  xt 


L:
yt  – непрерывны на отрезке, тогда кривая спрямляема, и её
 z  z t 
z t  
t   ;  

длинна    xt 2   yt 2  zt 2 dt

Вопрос № 57: Вычисление площадей поверхностей тел вращения:
1. Вычисление площадей поверхностей тел вращения.
2. Вычисление объёмов тел вращения.
3. Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям.
Объём тел вращения:
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси Х и вокруг оси У
получаются различные объёмы.
Пусть функция неотрицательна на отрезке, и непрерывна на нём, тогда
объёмы
b
b
VX    y x dx Vy  2  x  y 2 x dx
2
a
a
Более общий случай:
Пусть заданы две функции, причём одна больше, либо равна другой, и обе
неотрицательны на отрезке, тогда
b


VX    f1 x   f 2 x  dx
a
2
2
Пусть заданы две функции, причём одна больше, либо равна другой, отрезок
лежит, целиком, правее от начала отсчёта, тогда
b
Vy  2  x f 2 x   f1 x dx
a
В параметрическом виде:

2 2
V p    r 3  sin d
3 1
Объём тела с известной площадью поперечного сечения:
Пусть некоторое ограниченное тело лежит над отрезком оси ОХ. При
произвольном х из отрезка рассечём тело перпендикулярно оси.
S x  – площадь сечения, если она непрерывна на отрезке, то объём можно
найти по формуле:
b
V   S x dx
a
Площадь поверхности вращения:
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси, она описывает
поверхность, площадь которой:
b
1. S X  2  yx  1   yx 2 dx
a
b
2. S X  2  yt  xt 2   yt 2 dx
a
b
3. S p  2  r  sin  r 2    r  2 d
a
Вопрос № 58: Несобственный интеграл с бесконечным пределом
интегрирования:
1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования.
а) Определение.
б) Сходимость.
2. Понятие о неопределённом интеграле от функции, неограниченной на
отрезке интегрирования.
3. Свойства.