Примерное тематическое планирование учебного материала по

открытый интегрированный
урок в 10 классе
Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции.
Точки экстремума функции .
Подготовила
Ваганова И.Г.
Учитель математики
2012-2013 уч.г.
1
Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции.
Точки экстремума функции .
(открытый интегрированный урок в 10 классе).
Цель интегрированного урока – дать учащимся всесторонние (углубленные и
расширенные) знания о производной, применение ее к решению различных задач;
показать связь математики с другими предметами , с целью подготовки к ЕГЭ, развивать
речь учащихся, мышление, вычислительную культуру, воспитывать интерес к предмету,
чувство ответственности.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний
Ход урока.
1. Организационный момент.
Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.
Вводное слово учителя:
Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на
математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только
математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и
техники.
Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? В каких отраслях она
применяется?
Цель наших совместных действий определим следующим образом: в ходе урока мы
должны убедиться в значимости знаний, получаемых на уроках математики, и их
прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач.
Историческая справка
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11
веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные элементы
дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач
теоретической механики, физики и астрономии. В этом мы с вами сегодня и убедимся.
2. Актуализация знаний. Фронтальная работа
а) Что называется производной функции в точке?
б) В чем заключается геометрический смысл производной?
2
в) В чем заключается механический смысл производной?
г) Как найти наибольшее (наименьшее ) значение функции
Продолжите фразу
1. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если…
2. Функция называется убывающей на данном промежутке, если…
3. Точка х0 называется точкой минимума, если…
4. Точка х0 называется точкой максимума, если…
5. Критическими точками функции называют точки…
6. Назовите общий вид уравнения касательной.
7. Точки экстремума это
3. Устная работа
5) На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите
функцию, производная которой в точке а равна 1.
Ответ:
(3)
1)
2)
y
y
y=g(x)
y=f(x)
0
1
a
-1 0 1
1
a
-1 1
x
3)
4)
y
x
y
y=h(x)
0
-1
-1 1 1
0 a
-1
1
1 a
x
y=p(x)
3
x
Производная на ЕГЭ
4
4. Письменная работа . Рассмотрим задачи прикладного характера, где
используется производная . А для этого нам понадобятся формулы
Использование производной в физике
υ(t) = х/(t) – скорость
a (t)=υ/ (t) - ускорение
J (t) = q/(t) - сила тока
C(t) = Q/(t) - теплоемкость
d(l)=m/(l) - линейная плотность
K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения
ω (t)= φ/(t) - угловая скорость
а (t)= ω/(t) - угловое ускорение
N(t) = A/(t) - мощность
П (t) = υ / (t) - производительность труда,
где υ (t) - объем продукции
J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,
где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.
Задача1. Цементный завод производит Х т цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные
мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими
(наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.
Задача 2.
При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с
начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если
сопротивлением ветра пренебречь?
Задача 3
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч
при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией
f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший?
Найдите этот расход.
Задача 4.
Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется
уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49х2 , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором
5
суточный удой будет наибольшим.
5. Самостоятельная работа
1. Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) = 5/3t3+15/2t2+50t+70, где 1 <= t <= 8. Вычислите производительность труда П при t =7 ч.
2. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U0 с начальной высоты h0,
меняется по закону h =h0+U0*t-gt2/2, где g » 10м/c – ускорение силы тяжести. Покажите,
что энергия камня Е=тv2/ 2 + mgh, где т – масса снежка, не зависит от времени.
6. Заключительная часть. Сегодня на уроке мы убедились в важности производной.
Ее использование в физике , экономике. Но это еще не все области наук , в которых она
имеет место.
Подведение итогов. Выставление оценок. Домашнее задание
Ответы
Задача 1.
Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
Y= -х2+98х+200.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны,
это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно,
можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности
усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей
доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2
Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция
времени.Откуда следует: . Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной
породы достигают уровня 720 м от края вулкана
Задача 3.
Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f'(х)=0,0034х-0,18.Тогда
f'(х)=0 при
х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,0034>0,
следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.
Задача 4
Решение. Исследуем зависимость суточного удоя с помощью производной у1(х)=6,860,98х=0, х=7 – точка максимума, следовательно 7 лет это тот возраст дойных коров, при
6
котором суточный удой будет наибольшим.
Домашняя работа
Задачи ЕГЭ (группа В)
Функция y=f(x) определена на промежутке [-6;3]. График производной изображен на
рисунке.
у
-5
-2
y=f ' (x)
0
2
1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения :
2) Как называются точки -5, -2, 0, 2 ?
3)
Ответить на вопросы:
Укажите число точек максимума.
Найти число точек экстремумов.
Укажите число точек минимума функции.
Укажите число промежутков возрастания функции.
Укажите количество точек графика функции, в которых касательная
параллельна оси ОХ.
Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции
Укажите количество промежутков убывания функции.
Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции
Укажите количество интервалов убывания функции.
1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону
s(t)= t2+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.
2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся
прямолинейно по закону х(t) = 2t3- t2 при t = 2с.
7
Домашнее задание
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0
2) 1
3) 2
4) 4
5)5
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х 5-5х3+1.
Ответы: 1) 0
2) 1
3) 2
4) 4
5) 5
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
5) 4
х в точке минимума.
4. Найдите значение функции у = 2х2 1
Ответы: 1) - 3
3
2) - 8
1
3) - 4
1
4) - 8
5) 0
5. Найдите количество точек экстремума функции у =
Ответы: 1) 1
2)2
3) 3
4) 4
5) 0
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2
Ответы: 1)0 2) 1
3) 2
2 х 3  3х 2  1
8х 3
.
х.
1
5) 5
4) 3
7 х 3  3х 2  9
5х 3
7. Найти количество точек экстремумов функции у =
.
Ответы: 1)2
2) 3
3) 1
4) 0
5) 4
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4
Ответы: 1) 0
1
2) 3
1
3) 6
1
4) 9
5) 1
8
х.