ВШЭ, 15-я Апрельская конференция доклад (версия 5.03.14

ВШЭ, 15-я Апрельская конференция
доклад (версия 5.03.14)
Комбинированный метод построения коллективных дифференцируемых
функций полезности по торговой статистике
В.К. Горбунов
Ульяновский государственный университет vkgorbunov@mail.ru
Введение
Современная теория спроса (Mas-Colell et al., 1995; Бусыгин и др., 2008) построена как
теория индивидуального потребителя (точнее, покупателя), выбирающего наиболее предпочтительный набор благ на множестве, доступном при данных ценах и расходах. В классическом варианте этой теории, восходящей к работам У. Джевонса и Л. Вальраса, потребитель
действует независимо от других потребителей, максимизируя личную (порядковую) функцию полезности. Эта модель спроса является чрезмерно упрощённой и не позволяет перейти
к аналогичной модели рыночного спроса, представляющего интерес для позитивной экономической теории и экономической практики. В такой модели агрегированный по покупателям спрос определяется как аргумент максимизации коллективной функции полезности
(КФП) на множестве благ, доступных при данных ценах и совокупных расходах всех покупателей рынка. Именно совокупные расходы определяются торговой статистикой, представляющей наборы «цены-количества» на периоде сбора статистики. Противоречие схемы
Вальраса, определяющей рыночный спрос как сумму индивидуальных спросов независимых
индивидов, впервые было установлено в 1953 году У. Горманом (Gorman, 1953). Более точно
противоречие схемы Вальраса установлено также в недавних работах В.И. Зоркальцева 19972010 гг. (Зоркальцев, 2010), который показал (также в рамках классической теории максимизации полезности), что КФП существует тогда и только тогда, когда (классические) предпочтения индивидов одинаковы и однородны. Но предпочтения реальных людей разнообразны и неоднородны. Существенность неоднородности для реального использования теории
спроса исследовалась, в частности, в недавней работе (Crawford, Pendakur, 2013).
Несмотря на результат Гормана-Зоркальцева, демонстрирующий невозможность построения реалистичной теории рыночного спроса по схеме Вальраса, поиск условий на индивидуальные предпочтения и распределение доходов, обеспечивающих существование
коллективной функции предпочтения, продолжается (Chipman, 2006; Varian, 2006; Cherchye
et al., 2013).
В работах автора (Горбунов: 2004, 2009) предложена концепция статистического ансамбля покупателей рынка как априорного объекта теории и моделирования рыночного
спроса без обращения к описанию индивидуальных потребителей. На этой основе вся аналитическая теория индивидуального спроса сохраняется как теория рыночного спроса. Особенно продуктивно этот подход проявился в теории рыночного равновесия (Горбунов: 2011,
2013). При этом показано, что модель общего равновесия Касселя-Вальда (Cassel, 1918;
Wald, 1951), основанная на консолидированном представлении потребителей, является более
реалистичной и перспективной для приложений, чем модель «мэйнстрима» Эрроу и Дебре,
построенная на основе схемы спроса Вальраса.
Существует два подхода к построению функций полезности. Первый – классический
параметрический метод наименьших квадратов (МНК). Здесь функция полезности ищется в
некотором параметрическом классе непрерывно дифференцируемых возрастающих вогнутых или квазивогнутых функций. Свойства дифференцируемости и строгой квазивогнутости
искомой функции обеспечивают однозначность и дифференцируемость расчётного спроса.
Для такого спроса определена матрица Слуцкого, позволяющая выполнить глубокий содержательный анализ спроса.
В случае, более сложном, чем класс функций Кобба-Дугласа, задача МНК относится к
нелинейному программированию. Она достаточно просто решается, если известны аналитические формулы расчётного спроса. В случае, когда формулы спроса неизвестны, задача
1
МНК существенно усложняется. Принципиальным недостатком параметрического метода
является трудность выбора класса параметризации. Плохой результат построения функции
полезности в любом классе не исключает возможность лучшего результата в другом классе.
Относительно новым и малоизвестным в России является непараметрический метод
анализа потребительского (индивидуального, как считал его автор С. Африат) спроса, представленного торговой статистикой, предложенный в классической статье (Afriat, 1967) и развитый в работах ряда исследователей, прежде всего Х. Вэриана (Varian: 1982, 1983, 2006).
Этот анализ представляет количественный критерий проверки адекватности классической
модели наблюдаемому спросу, и в случае адекватности позволяет строить по торговой статистике кусочно-линейную рационализирующую функцию предпочтения. Но такая функция
недифференцируема и порождает многозначное отображение спроса, неудобное для прикладных целей и недоступное для анализа Слуцкого (сравнительной статики).
Ничто не мешает применять непараметрический метод Африата-Вэриана для анализа
рыночной статистики на её совместность с классической моделью спроса, но с коллективной
ФП. Уже в статье Вэриана (Varian, 1982) этот метод применён без каких-либо дополнительных обоснований для оценки верхней и нижней границ «истинного индекса стоимости жизни» Конюса – первого аналитического индекса – для статистики совокупного потребления в
США в 1947-78 годах. В недавней работе (Varian, 2006) Вэриан писал: “To my surprise, the
aggregate consumption data easily satisfied the revealed preference conditions”1. Наш опыт (Горбунов, Козлова, 2008; Козлова, 2010) использования метода Африата-Вэриана для построения инвариантных и квазиинвариантных (Горбунов 2004) индексов для реальных данных современных рынков также демонстрирует во всех случаях соответствие рыночных статистик
спроса классической модели максимизации полезности. Известны работы других исследователей для (эвристического) построения инвариантных индексов рыночного спроса непараметрическим методом.
Далее представлена методика и опыт построения коллективных функций полезности по
торговой статистике в параметрическом классе с использованием теоремы Африата в качестве критерия существования рационализирующей функции (Горбунов, Ледовских, 2011).
1. Задача построения функции полезности
Пусть исследуется рынок n бесконечно делимых благ. Введём пространство благ En –
неотрицательный ортант евклидова пространства E n со скалярным произведением , .
Классическая задача потребительского спроса заключается в максимизации непрерывной,
возрастающей и квазивогнутой функции полезности u (x) на множестве благ, доступных
при данных ценах p и расходах (expenditures) e на данном рынке:
v( p, e)  max u( x) : p, x  e, x  0.
(1.1)
Значение v ( p, e) задачи выпуклого программирования (1.1) называется косвенной
функцией полезности. Она определяет функцию спроса2 как зависимость x( p, e) покупаемого набора товаров от цен и величины расходов. Будем считать задачу регулярной, имеющей
при каждом наборе положительных параметров  p,e  единственное решение x( p, e) –
непрерывно дифференцируемую функцию. При дополнительном предположении невырожденности спроса x( p,e )  0 (все блага продаются) задача (1.1) может рассматриваться как
классическая. Необходимое и достаточное условие, определяющее решение x( p, e) и множитель Лагранжа  ( p, e) , имеет вид системы нелинейных уравнений
К моему удивлению, агрегированные данные о потреблении легко удовлетворяли условиям выявленного
предпочтения (значит и принципу максимизации полезности, ВГ).
2
В общем случае – многозначное соответствие.
1
2
u( x )
  p,
x
p,x  e .
(1.2)
В регулярном случае множитель  ( p, e) = v( p,e ) / e и называется предельной полезностью
расходов e.
Конкретные рынки представляются торговой статистикой, под которой здесь понимается конечный набор цен p t  En и количеств продаж x t  En за отчётный период:
p ,x
t
t

: t  0, T .
(1.3)
Эти данные определяют также потребительские расходы et  p t , x t .
Использование модели (1.1) требует решения обратной задачи теории спроса, заключающейся в построении такой функции полезности u (x) , что расчётный спрос x( p, e) достаточно точно аппроксимирует данные (1.3). Мы решаем обратную задачу в параметрических
классах дифференцируемых функций полезности u  x;w : w W  , где w – параметры
функции и множество W определяется ограничениями, обеспечивающими свойства положительности, возрастания и квазивогнутости функций u  x;w . Соответствующий спрос будет
x( p,e; w ) . Условия соответствия расчётного и статистического спросов в идеальном варианте представляются равенствами
x( pt , et ; w)  xt , t  0, T .
(1.4)
Равенства (1.4) в общем случае не выполняются по трём причинам: условность модели
(1.1), ограничение области поиска классом функций, неточность статистических данных. Соответственно, наилучшие параметры w данного класса определяются методом наименьших
квадратов, т.е. минимизацией функции квадратичной невязки
1 T n
( w )    xi ( p t , et ; w )  xit 
2 t 0 i 1
2
(1.5)
при условии w W .
Задачи МНК часто рассматриваются в рамках регрессионного анализа, при этом качество решения определяется свойствами остатков – невязок уравнений (1.4)
rit  xi ( pt , et ; wˆ )  xit , i  1, n, t  0, T .
(1.6)
Эти невязки являются моделью ошибок моделирования. Представляют интерес относительные отклонения расчётного и статистического спросов и их наибольшая величина
 x  max
i ,t
| rit |
xit
(1.7)
Остатки регрессии (1.6) могут рассматриваться как псевдослучайные числа, если известны какие-то вероятностные характеристики истинных ошибок. В общем нелинейном
случае такой информации нет кроме, возможно, предположения статистической независимости ошибок по каждой компоненте спроса. Для проверки этой независимости можно использовать критерий Дарбина-Уотсона. Этот критерий проверяет стандартную гипотезу об
отсутствии автокорреляции компонент остатков регрессии (1.6), для чего требуется
вычислить величины
T
DWi 
( r
t
i
 rit 1 ) 2
t =2
T
( r )
t 2
i
t =1
3
, i  1, n .
Возможные значения величин DWi находятся в интервале от 0 до 4. Если автокорреляция
остатков i -компоненты отсутствует, то DWi  2 . Критерий Дарбина-Уотсона мы считаем
вспомогательным для основных критериев невязки (1.5) и (1.7). Дополнительный критерий
качества построения функции полезности представляет непараметрический метод анализа
статистического спроса (1.3).
2. Непараметрический метод
Обратная задача для модели (1.1) поставлена и исследована Африатом в (Afriat, 1967) в
наиболее широком классе положительных возрастающих функций. Здесь требуется найти
функцию полезности u (x) , удовлетворяющую условиям


u( xt )  max u  x  : p t ,x  et ,x  0 , t  0,T .
(2.1)
Такая функция называется рационализирующей данные (1.3).
Вводятся числа Африата ut  u( x t ) , t   ( pt , et ) и кросс-коэффициенты
ets  p t , x s , ats  ets  et , s ,t  0 ,T .
Теорема Африата3. Непрерывная, возрастающая, вогнутая функция полезности, рационализирующая данные (1.3), существуёт тогда и только тогда, когда существует положительное решение ut , t  неравенств
us  ut  t ats  0,
s, t  0, T , s  t .
(2.2)
В качестве рационализирующей функции Африат нашёл кусочно-линейную функцию
u ( x)  min ut  t p t , x  x t . Такая функция порождает многозначные функции спроса, неt


доступные для сравнительной статики.
В случае однородных предпочтений (это возможно для некоторых сегментов рынка)
выполняются равенства ut  t et , и система Африата (2.2) распадается на две эквивалентные
«специальные» системы, определяющие, соответственно, числа {ut } и {t } (Varian, 1983;
Горбунов, 2004).
Системы Африата, как и регрессионная система (1.4), могут быть несовместными как
вследствие погрешностей исходных данных, так и в силу неадекватности классической модели спроса данному рынку. Это требует регуляризации задачи положительного решения
этой системы на основе дополнительной информации об искомом решении (неоднозначном
в совместном случае) и учёте уровня погрешностей данных. В (Горбунов, 2004; Горбунов,
Козлова, 2008) описан релаксационно-штрафной метод построения нормального решения
неравенств (2.2), «ослабленных» введением в правую часть параметра релаксации r , обеспечивающего совместность системы
us  ut  t ats  r, s, t  0, T , s  t .
(2.3)
Система (2.2) имеет две степени свободы, поэтому можно ввести условия на искомые числа
0  1, u0  e0 .
(2.4)
Определяется наименьшее значение параметра r , при котором система (2.3) совместна, и
находится её решение ut , t , ближайшее к пробному решению, определяемому индексами
Фишера, соответствующими данным (1.3) (Горбунов, 2004, с.125).
Пороговое значение параметра r * , выше которого гипотеза существования рационализирующей функции полезности отвергается, определяется точностью задания коэффициен-
3
Приводим основное утверждение теоремы Африата из (Varian, 1982).
4
тов ats  ets  et , которая зависит от точности данных (1.3). Обозначим e  max | ets  et | и
t ,s
через  e – относительную погрешность перекрёстных стоимостей ets . Тогда следует положить
r*   e  e .
(2.5)
Если система (2.3) оказалась разрешимой при значении r  r* , то можно ставить задачу построения дифференцируемой функции полезности в некотором параметрическом классе u  x;w .
3. Использование теоремы Африата в параметрическом методе
ˆ  рационализирует
Легко видеть, что дифференцируемая функция полезности u  x;w
данные (1.3) в смысле (2.1), если её «квазичисла» Африата
1 u ( x t ; wˆ )
ˆ  , ˆt  t
uˆ t  u  x t ; w
, t  0,T ,
x1
p1
(2.1)
удовлетворяют неравенствам (2.2). Мерой нарушения неравенств (2.2) является величина


rˆ  max uˆ s  uˆ t  ˆt ats .
s ,t
(2.2)
ˆ  может рассматриваться в качестве рационализирующей при выполФункция u  x;w
нении условия r̂  r* . Для корректного учёта порога (2.5) нарушения исходных неравенств
ˆ  следует учесть условия (2.4). Это возможно в силу
(2.2) при построении функции u  x;w
инвариантности функций полезности относительно монотонных преобразований (Горбунов,
2004, с.102).
При оценке качества функций полезности различных классов степень нарушения неравенств Африата (2.2) для чисел (2.1) может использоваться как дополнительный критерий.
Функция полезности является средством анализа основного объекта – потребительского
спроса. Её основное качество относительно статистического спроса (1.3), должно уточняться
в терминах спроса, как это описано в п.1. Можно ожидать, что это качество будет лучше, если функцию полезности строить по основной схеме анализа спроса – минимизации невязки
спроса (1.5). Теорема Африата может при этом использоваться для дополнительного контроля качества через критерий (2.2).
Сложность основной схемы анализа спроса определяется наличием или отсутствием
аналитических формул спроса x( p,e; w ) , рационализируемых функцией полезности u  x;w .
Если такие формулы имеются и функция полезности имеет вторые производные по переменным x и параметрам w , то функционал невязки (1.5) имеет первые и вторые производные и
его минимизация может выполняется методом Ньютона. Технические проблемы минимизации, связанные с возможной овражностью и многоэкстремальностью можно преодолевать
последовательным усложнением классов функций полезности, начиная с простейшего класса
Кобба-Дугласа, с использованием на каждом этапе предыдущих результатов.
В случае, когда аналитические формулы спроса не известны, минимизация невязки
(1.5) существенно осложняется. Эту проблему мы предполагаем рассмотреть на следующем
этапе.
4. Примеры
Описанная методика построения дифференцируемых функций полезности реализована
на тестовых примерах и реальных статистиках спроса для следующих классов функций.
1. Степенная мультипликативная (Кобба-Дугласа):
5
n
u  x    xii ,
i 1
n

 i  0,
Спрос, порождаемый этой функцией, xi  p, e  
i 1
ie
pi
i
 1.
, i  1, n .
2. Степенная средняя (ПЭЗ):
 n

u  x     i xi   
 i 1

1/ 
, i  0,
n

i 1
i
1    0 .
 1,
Здесь спрос
x1  p, e  
e
p  
p1    i 1 
i  2  p1  i 
n

p  
xi  p, e    i 1 
 p1 i 
,

x1  p, e  , i  2, n ,
1
– эластичность замещения одного из благ другим..
 1
3. Функция Джири
параметр  
n
u  x    ( xi   i )i ,
i 1
 i  0,
n

i 1
i
1.
n

 e   j p j  , i  1, n .
pi 
j 1

Задача построения функции КД наиболее простая, и её результаты – оцененные параметры ˆi  – полезно использовать при построении функций ПЭЗ и Джири. В первом случае
Спрос (линейная система расходов) xi  p, e    i 
i 
следует задавать начальные приближения  i0  ˆ i и  0 – малым числом. Во втором  i0  ˆ i
и  i0  0 .
Приведём результаты построения приведенных функций для тестового примера из (Руководство, 2007, гл. 19) на условных данных, приблизительно отражающих ситуацию в промышленно развитых странах с 1973 года до середины 1990-х годов. В таблице представлена
динамика потребления 6 предварительно агрегированных благ: 1 – сельскохозяйственная
продукция, 2 - энергоносители, 3 – традиционные промышленные товары, 4 – высокотехнологичные промышленные товары, 5 – традиционные услуги, 6 – высокотехнологичные услуги. Один период соответствует приблизительно пяти годам.
Таблица. Цены и количества проданных продуктов
Период
t
0
1
2
3
4
1
1,0
1,2
1,0
0,8
1,0
2
1,0
3,0
1,0
0,5
1,0
Цены
3
4
1,0 1,0
1,3 0,7
1,5 0,5
1,6 0,3
1,6 0,1
5
1,0
1,4
1,7
1,9
2,0
6
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
1
1,0
0,8
1,0
1,2
0,9
2
1,0
0,9
1,1
1,2
1,2
Количества
3
4
2,0 1,0
1,9 1,3
1,8 3,0
1,9 6,0
2,0 12,0
5
4,5
4,7
5,0
5,6
6,5
6
0,5
0,6
0,8
1,3
2,5
Расходы
10,00
14,10
15,28
17,56
20,00
Результаты построения функций по критериям (1.5), (1.7), (2.3):
1. Функция КД: ˆ  (0.07;0.057;0.202;0.064;0.578;0.027) . Невязка  (ˆ ) =12.91, r̂  1.69 .
2. Функция ПЭЗ: ˆ   0.015 0.013 0.088 0.059 0.817 0.008  , ˆ  0.87 ,  ( ˆ , ˆ ) =
9.70, r̂ =67.26.
3. Функция Джири: ˆ  1.3 108 ;9.6 109 ;1.75 108 ;3.14 108 ;1.0;1.25 108  ,
6
ˆ   0.58 0.7 1.55 0.89 1.83 107
0.19  ,  (ˆ , ˆ ) =3.35, r̂ = 5.21.
Видно, что качество функций полезности относительно данной статистики возрастает с
усложнением класса функций.
Список литературы
Mas-Colell A., Whinston M. and Green J. (1995) Microeconomic Theory. New York: Oxford
University Press.
Бусыгин В.П., Желободько Е.В., Цыплаков А.А. Микроэкономика: третий уровень: в 2
томах: Т.I: учебник. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2008.
Зоркальцев В.И. (2010) Проблема агрегирования экономических субъектов // Вестник Новосибирского гос. унив. Сер.: Соц.-экон. науки. Т. 10, вып.1, 107- 118.
Горбунов В.К. (2004) Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. М.: Экономика.
Горбунов В.К. (2009) Особенности агрегирования потребительского спроса // Журнал Экономической Теории. №1, 85-04.
Горбунов В.К. (2011) Экономическое равновесие и агрегирование покупателей: реабилитация теоремы Вальда // ЖЭТ. № 3, 130-143.
Горбунов В.К. (2013) К теории рыночного спроса: регулярность и экономическое равновесие // Экономическая наука современной России. 2013. №4, 19-35.
Горбунов В.К., Козлова Л.А. (2008) Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. № 3
(19), 120-27.
Горбунов В.К., Ледовских А.Г. (2011) Построение дифференцируемых функций полезности
по торговой статистике // Труды XV Байкальской междунар. школы-семинара «Методы
оптимизации и их приложения». – Иркутск. Т. 6.
Козлова Л.А. (2010) Алгоритмы и программы построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса. Дисс. . . . канд. техн. наук. Ульяновск: Изд-во
Ульяновского гос. ун-та.
Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика. Вашингтон. МВФ. 2007.
Afriat S.N. (1967) The construction of utility functions from expenditure data // International Economic Review. V.8. №1. P.67-77.
Cassel G. The theory of social economy. N.Y.: Augustus M. Kelley, 1967 (1-е нем. изд. 1918).
Cherchye L., Crawford I., De Rock B., Vermeulen F. (2013) Gorman revisited: Nonparametric
conditions for exact linear aggregation // CES. Discussion paper, DPS13.05, March 2013.
Chipman J.S.( 2006) Aggregation and estimation in the theory of demand // History of Political
Economy. V. 38. Iss. SUPPL, 106-129.
Crawford I., Pendakur K. (2013) How many types are there? // The Economic Journal. Is. 567,
77-95.
Gorman W.M. (1953) Community preference fields // Econometrica. V. 21, № 1, 63-80.
Varian H. (1982) The nonparametric approach to demand analysis // Econometrica. V.50. №4.
P.945 - 973.
Varian H. (1983) Non-parametric tests of consumer behaviour // The Review of Economic Studies.
V.50. P.99-110.
Varian H. (2006) Revealed preference // Samuelsonian Economics and the 21-st Century / Eds. M.
Szenberg et al. Oxford University Press, Oxford, England.
Wald A. (1951) On some systems of equations of mathematical economics // Econometrica. V. 19,
368-403 (нем. ориг. – 1936 г.).
7