ВШЭ, 15-я Апрельская конференция, тезисы (11.11.13

ВШЭ, 15-я Апрельская конференция, тезисы (11.11.13)
Комбинированный метод построения дифференцируемых функций полезности по торговой статистике
В.К. Горбунов
Ульяновский государственный университет
vkgorbunov@mail.ru
В предлагаемом докладе будет представлен способ построения коллективных дифференцируемых функций полезности по торговой статистике в последовательных классах параметризации с использованием непараметрического анализа спроса Африата-Вэриана, разработанного в рамках теории индивидуального потребления. Это предложение нуждается в аргументации, поскольку понятие коллективной функции полезности, рационализирующей рыночный спрос, в современной теории потребительского спроса (Mas-Colell et al., 1995) не определено эффективно.
Современная теория спроса построена как теория индивидуального потребителя (точнее, покупателя), выбирающего наиболее предпочтительный набор благ на множестве, доступном
при данных ценах и расходах. В классическом варианте, имеющем содержательную аналитическую теорию спроса (сравнительную статику), потребитель действует независимо от
других потребителей, максимизируя личную (порядковую) функцию полезности. Эта модель
спроса является чрезмерно упрощённой и не позволяет перейти к аналогичной модели рыночного спроса, в которой агрегированный по покупателям спрос определяется как аргумент
максимизации коллективной функции полезности на множестве благ, доступных при данных
ценах и совокупных расходах всех покупателей рынка. Именно совокупные расходы являются определяемыми торговой статистикой, представляющей наборы «цены-количества» на
периоде сбора статистики.
Общее решение проблемы существования коллективной функции полезности было получено
в 1953 году У. Горманом (Gorman, 1953), который показал, что для существования коллективной функции полезности, порождающей рыночный спрос, являющийся суммой конечного
числа спросов, порождаемых индивидуальными функциями полезности, необходимо и достаточно, чтобы все кривые Энгеля были параллельными прямыми с одинаковыми направлениями. Это противоречит разнообразию субъективных предпочтений и наличию благ различной субъективной ценности, при которых непрямые кривые Энгеля должны существовать
(Crawford, Pendakur, 2013). Подобное противоречие схемы рыночного спроса Вальраса установлено также в недавних работах В.И. Зоркальцева 1997-2010 гг. (Зоркальцев, 2010).
Несмотря на результат Гормана, демонстрирующий невозможность построения реалистичной теории рыночного спроса по схеме Вальраса, поиск условий на индивидуальные предпочтения и распределение доходов, обеспечивающих существование коллективной функции
предпочтения, продолжается (Chipman, 2006; Varian, 2006; Cherchye et al., 2013). Однако в
рамках существующей теории «выяснить их специфику до сих пор не удается, а без этого
ответы на многие фундаментальные вопросы теории не могут быть получены» (Полтерович, 1998).
В работах автора (Горбунов: 2004, 2009) предложена концепция статистического ансамбля
покупателей рынка как априорного объекта теории и моделирования рыночного спроса без
обращения к описанию индивидуальных потребителей. На этой основе вся аналитическая
теория индивидуального спроса сохраняется как теория рыночного спроса. Особенно продуктивно этот подход проявился в теории рыночного равновесия (Горбунов: 2011, 2013).
При этом показано, что модель Вальраса-Касселя, для которой впервые Абрахамом Вальдом
(Wald, 1951) было доказано существование и единственность равновесия, является более реалистичной и перспективной для приложений, чем модель «мэйнстрима» Эрроу и Дебре.
Коллективная функция полезности должна строиться по торговой статистике – конечным
набором данных о ценах и количествах продаж товаров выделенной номенклатуры. Не каждый рынок адекватен классической теории спроса, поэтому возможность построения функ-
1
ции полезности, рационализирующей данную статистику, должна обосновываться, а её адекватность должна оцениваться.
Существует два подхода к построению функций полезности. Первый – классический параметрический метод наименьших квадратов (МНК). Здесь функция полезности ищется в некотором параметрическом классе непрерывно дифференцируемых возрастающих вогнутых
или квазивогнутых функций. Свойства дифференцируемости и строгой квазивогнутости искомой функции обеспечивают однозначность и дифференцируемость расчётного спроса. Для
такого спроса определена матрица Слуцкого, позволяющая выполнить глубокий содержательный анализ спроса.
В случае, более сложном, чем класс функций Кобба-Дугласа, задача МНК относится к нелинейному программированию. Она достаточно просто решается, если известны аналитические
формулы расчётного спроса. Возможная сильная нелинейность и многоэкстремальность задачи преодолевается последовательным усложнением классов параметризации и использованием приёмов стабилизации, основанных на идее продолжения по параметру. В случае,
когда формулы спроса неизвестны, задача МНК существенно усложняется. Принципиальным недостатком параметрического метода является трудность выбора класса параметризации. Плохой результат построения функции полезности в любом классе не исключает возможность лучшего результата в другом классе.
Относительно новым и малоизвестным в России является непараметрический метод анализа
потребительского (индивидуального, как считал его автор) спроса, представленного торговой статистикой, предложенный в классической статье С. Африата (Afriat, 1967) и развитый
в работах Х. Вэриана (Varian: 1982, 1983) и других исследователей. Этот анализ представляет
количественный критерий проверки адекватности классической модели наблюдаемому спросу, и в случае адекватности позволяет строить по торговой статистике кусочно-линейную
рационализирующую функцию предпочтения. Но такая функция недифференцируема и порождает многозначное отображение спроса, неудобное для прикладных целей и недоступное
для анализа Слуцкого (сравнительной статики).
Непараметрический метод Африата-Вэриана предназначен для анализа индивидуального потребительского поведения, однако ничто не мешает применять его для анализа рыночной
статистики на её совместность с классической моделью потребительского, уже коллективного, выбора. Уже в статье Вэриана (Varian, 1982) этот метод применён без каких-либо дополнительных обоснований для оценки верхней и нижней границ «истинного индекса стоимости
жизни» Конюса – первого аналитического индекса – для статистики совокупного потребления в США в 1947-78 годах. В недавней работе (Varian, 2006) Вэриан пишет: “To my surprise,
the aggregate consumption data easily satisfied the revealed preference conditions”1. Наш опыт
(Горбунов, Козлова, 2008) использования метода Африата-Вэриана для построения инвариантных и квазиинвариантных (Горбунов 2004) индексов для реальных данных современных
рынков также демонстрирует во всех случаях соответствие коллективного потребительского
поведения классической модели максимизации полезности. Известны работы других исследователей для (эвристического) построения инвариантных индексов рыночного спроса непараметрическим методом.
В докладе будет представлена методика и опыт построения коллективной функции полезности по торговой статистике в параметрическом классе с использованием теоремы Африата
(неравенств Африата) в качестве критерия существования рационализирующей функции
(Горбунов, Ледовских, 2011). Значения искомой функции и её градиента в точках статистического спроса, определяемые неравенствами Африата, могут использоваться для построения функции при отсутствии аналитического вида спроса.
К моему удивлению, агрегированные данные о потреблении легко удовлетворяли условиям выявленного
предпочтения (значит и принципу максимизации полезности, ВГ).
1
2
Список литературы
Mas-Colell A., Whinston M. and Green J. (1995) Microeconomic Theory. New York: Oxford
University Press.
Зоркальцев В.И. (2010) Проблема агрегирования экономических субъектов // Вестник Новосибирского гос. унив. Сер.: Соц.-экон. науки. Т. 10, вып.1, 107- 118.
Горбунов В.К. (2004) Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. М.: Экономика.
Горбунов В.К. (2009) Особенности агрегирования потребительского спроса // Журнал Экономической Теории. №1, 85-04.
Горбунов В.К. (2011) Экономическое равновесие и агрегирование покупателей: реабилитация теоремы Вальда // ЖЭТ. № 3, 130-143.
Горбунов В.К. (2013) Модель экономики с регулярным рыночным спросом и единственным
равновесием // XIV Международная научная конф. – М.: ВШЭ.
Горбунов В.К., Козлова Л.А. (2008) Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. № 3
(19), 120-27.
Горбунов В.К., Ледовских А.Г. (2011) Построение дифференцируемых функций полезности
по торговой статистике // Труды XV Байкальской междунар. школы-семинара «Методы
оптимизации и их приложения». – Иркутск. Т. 6, 108-117.
Полтерович В.М. (1998) Кризис экономической теории // Экономическая наука современной
России. № 1, 46-66.
Afriat S.N. (1967) The construction of utility functions from expenditure data // International Economic Rewiev. V.8. №1, 67-77.
Cherchye L., Crawford I., De Rock B., Vermeulen F. (2013) Gorman revisited: Nonparametric
conditions for exact linear aggregation // CES. Discussion paper, DPS13.05, March 2013.
Chipman J.S.( 2006) Aggregation and estimation in the theory of demand // History of Political
Economy. V. 38. Iss. SUPPL, 106-129.
Crawford I., Pendakur K. (2013) How many types are there? // The Economic Journal. Is. 567,
77-95.
Gorman W.M. (1953) Community preference fields // Econometrica. V. 21, № 1, 63-80.
Varian H. (1982) The nonparametric approach to demand analysis // Econometrica. V.50. №4.
P.945 - 973.
Varian H. (1983) Non-parametric tests of consumer behaviour // The Review of Economic Studies.
V.50. P.99-110.
Varian H. (2006) Revealed preference // Samuelsonian Economics and the 21-st Century / Eds. M.
Szenberg et al. Oxford University Press, Oxford, England.
Wald A. (1951) On some systems of equations of mathematical economics // Econometrica. V. 19,
368-403 (нем. ориг. – 1936 г.).
3