Построение таблиц истинности. Каждое составное

Построение таблиц истинности.
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического
выражения), в которую войдут логические переменные, обозначающие высказывание, и
знаки логических операций, обозначающие логические функции.
Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию
F(X1, X2, ...,Xn), аргументами которой являются логические переменные X1, X2, ..., Xn
(простые высказывания). Сама функция и аргументы могут принимать только два
различных значения “истина” (1) и “ложь” (0).
Мы уже рассмотрели функции двух переменных:
 логическое умножение F(A,B)=AB
 логическое сложение F(A,B)=AB
 логическое отрицание F(A)= A ,
в котором значение второго аргумента можно считать равным нулю.
Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора
значений аргументов. По формуле n=2t можем определить какое количество функций
двух аргументов может существовать
N= 24 = 16.
Таким образом, существует 16 логических функций двух аргументов.
Аргументы
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
F1
0
0
0
0
F2
0
0
0
1
F3
0
0
1
0
F4
0
0
1
1
F5
0
1
0
0
F6
0
1
0
1
Логические функции
F7 F8 F9 F10 F11
0 0 1
1
1
1 1 0
0
0
1 1 0
0
1
0 1 0
1
0
F12 F13 F14 F15
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
F16
1
1
1
1
Из таблицы видно, что здесь логическая функция F2 является функцией
логического умножения, F3 - функцией логического сложения, F13 - функцией
логического отрицания для аргумента А и F11 - функцией логического отрицания для
аргумента В.
Каждая функция задается собственной таблицей истинности. А что такое
таблица истинности?
Таблицу,
показывающую,
какие
значения
принимает
сложное
высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых
высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания.
Сложные высказывания часто называют формулами логики высказываний.
Для любой формулы алгебры логики достаточно просто построить таблицу
истинности
Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между
всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.
Алгоритм построения таблицы истинности:
 Подсчитать n -количество переменных в формуле;
 Определить число строк в таблице m=2n;
 Подсчитать количество логических операций в формуле;
 Установить последовательность выполнения логических операций с учетом
скобок и приоритетов;
 Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число
операций;
 Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют
собой натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2n-1;
 Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические
операции в соответствии с установленной в п.4. последовательности.
Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений
переменных всего четыре: 2n=22=4
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)
Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений
переменных восемь: 2m=23=8.
(0, 0 , 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)
(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)
Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцать
и так далее
Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица,
содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения
промежуточных формул.
Пример:
Составим таблицу истинности для формулы:
_
___
x  y  x y  x,
1) формула содержит две переменные x и y то есть. N=2
2) 2n=4 (возможные наборы)
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)
Переменные
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
_
x
1
1
0
0
Промежуточные логические
формулы
_
____
_
___
xy
x y
x y
x  y  x y
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
Формула
_
___
x  y  x y  x
1
1
1
1
Рассматривая данное логическое выражение мы видим, что при построении
таблицы истинности мы получаем в результате истинное высказывание.
Если сложное высказывание истинно при всех значениях входящих в него
переменных, то такое высказывание называется тождественно-истинным или
тавталогией (обозначается константой 1).
Например:
1) Все математические, физические законы и законы других наук являются
тавтологиями.
(а+b)2 = a2 + 2ab + b2
2) Дождь будет или дождя не будет.
Это высказывание всегда истинно.
_
Его математическая запись: А  А.
Является ли сложное высказывание тождественно-истинным можно проверить
по таблице истинности. Во многих случаях когда трудно установить верно ли мы
рассуждаем, всегда ли истинным будет наше утверждение, удобно применять средства
математической логики.
Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него
переменных, то такое
высказывание называется тождественно-ложным
(обозначается константой 0).
Тождественно-ложным является высказывание:
“Компьютер включен и компьютер не включен (выключен).
_
А  А.
Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных
наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют
равносильными, или тождественными, или эквивалентными.
Высказывания А и В равносильны (А=В) тогда и только тогда, когда их
эквивалентность АВ является тождественно-истинным высказыванием.
Рассмотрим два высказывания:
Х=“Не может быть, что Оля выучила урок и отказалась отвечать”.
_____
Х=АВ
Y=“Или Оля не отказалась отвечать, или не выучила урок”.
_ _
Y=AB
Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний Х и Y,
достаточно построить их таблицы истинности.
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
_
А
1
1
0
0
_
В
1
0
1
0
АВ
0
0
0
1
_____
Х=АВ
1
1
1
0
_ _
Y=АВ
1
1
1
0
XY
1
1
1
1