Нулевой вариант олимпиады по теории и методике обучения

Задания заочного тура олимпиады по теории и методике обучения
математике для учителей
I. Методический блок
1. Решите задачу:
10
4,5   lg xdx  9
1
Доказать
неравенство:
,
не
прибегая
к
непосредственному вычислению интеграла.
Предложите еще два задания из других тем школьного курса математики,
при решении которых используется тот же метод. (9 баллов)
2. Составьте совокупность вспомогательных задач для организации
деятельности учащихся по поиску решения задачи:
При каких значениях а система имеет единственное решение? (10 баллов)
3  2 x  5 x  4  3 y  5 x 2  3a
 2
 x  y 2  1
8x
 2 графически и аналитически.
5
Укажите рациональный метод решения. Ответ обоснуйте. (5 баллов)
3. Решите уравнение cos 2 x  cos
4. Решите задачу возможно большим числом способов.
В какой из тем школьного курса математики возможно использование
соответствующего способа?
Задача. Найти все значения р, при каждом из которых множество
решений неравенства p  x 2  p  x  2  0 не содержит ни одного решения


неравенства x  1 . (10 баллов)
2
5. Определите, какие из данных функций являются периодическими:


1) 2 sin x ; 2) sin 3  x   ; 3) tg x 2  1
3

Обоснуйте необходимость включения предложенных задач в урок итогового
повторения по теме «Функция».
Обоснуйте необходимость включения предложенных задач в урок итогового
повторения по теме «Тригонометрическая функция».
Сформулируйте дидактические цели к каждому уроку с позиции
компетентностного подхода. (6 баллов)
1
6. Какую работу по развитию универсальных учебных действий учащихся
можно организовать на основе предложенной системы задач.
Задача 1. Доказать, что если две хорды окружности пересекаются, то
произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков
другой хорды.
Задача 2. Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания)
и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что
AB 2  AP  AQ .
Задача 3. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две
секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1 и С1, а другая
– в точках В2 и С2. Докажите, что AB1  AC1  AB2  AC2 . (8 баллов)
7. Решите задачу всеми возможными способами и спроектируйте организацию
деятельности учащихся по поиску решения задачи векторным методом с
позиции реализации формирования ключевых компетенций учащихся.
Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AD  a ,
AB  b , AA1  c . Найти расстояние между (AD1) и (DB1) и вычислить его
при a  4, b  6, c  4 3 . (10 баллов)
8. Решите задачу.
Задача. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы
равна d и составляет угол  с плоскостью другой боковой грани. Найти
объём призмы.
Найдите ошибку в предложенном ниже решении. Опишите этапы работы над
ошибкой. (8 баллов)
Решение ученика. Пусть ABCA1B1C1 – правильная призма, диагональ
BC1=d и составляет с плоскостью AA1B1B угол  . Найдём VABCA1 B1C1 .
Так как BA1 – проекция прямой BC1 на плоскости AA1B1B, то
A1 BC1   .
Рассмотрим BA1C1 : BA1C1  90 , A1 BC1   , BC1=d. Тогда
A1C1
 sin  , следовательно, A1C1  d  sin  .
BC1
A1 B1C1
–
равносторонний,
следовательно,
1
d 2  sin 2   3
2
S A B C  A1С1  sin 60 
.
2
2
Из прямоугольного треугольника BB1C1 : BB1  d 2  d 2 sin 2  
 d cos .
d 2 3  sin 2 
 d cos .
Тогда, V ABCA B C  S A B C  BB1 
2
d 3 3  sin 2  cos
V ABCA B C 
.
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2
II. Математический блок
1. Найдите четырехзначное число, у которого две первые цифры, так же как
и две последние, одинаковы, а само оно совпадает с квадратом целого числа.
(4 балла)
1
4
Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге,
часть
которой проходит по городу. Длина городского участка равна S. Скорость
9v
«Рено» в городе равна 2v, а за пределами города равна 4 . Скорость
«Крайслера» в городе равна v, а за пределами города равна 3v. Автомобили
одновременно въезжают в город. Через какое время: а) автомобили снова
одновременно въедут в город; б) будет происходить обгон одного
автомобиля другим?
(6 баллов)
16 x6  2 5x  2  59cos  2 x2   59cos  5x  2 
3
2. Решите уравнение
.
(8 баллов)
3. Маяк, отстоящий от корабля на а миль, виден с него под углом 
относительно южного направления и притом с западной стороны. Сколько
миль должен проплыть корабль в юго-западном направлении, чтобы маяк
находился на севере от корабля? При каких условиях задача имеет решение?
(4 балла)
4.
Дан параллелограмм ABCD, в котором ABD  35 . Известно также, что
центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CAD
расположены на BD . Чему равен ABC ?
(4 балла)
o
5. Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды,
развертку которой можно вырезать из квадрата со стороной а. (6 баллов)
6. Конус и цилиндр имеют равные основания и равные высоты. Их
основания принадлежат одной плоскости и касаются друг друга. Два шара,
радиусы которых равны радиусу основания конуса, касаются между собой,
боковых поверхностей конуса и цилиндра и плоскости, содержащей
основание цилиндра и вершину конуса. Найдите угол при вершине осевого
сечения конуса.
(8 баллов)
3