Ключевые понятия и свойства функции

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
При решении задач, предлагаемых в пособии, потребуются знания ниже
перечисленных фактов.
1. Определение функции.
Функцией f называется правило, по которому каждому элементу х множества Х
ставится в соответствие единственный элемент у из множества У.
2. Способы задания функции:
а) табличный;
б) аналитический (одним или несколькими аналитическими выражениями);
в) графический;
г) словесным описанием.
3. Определения свойств функций.
а) Область определения функции
Областью определения функции y=f(x) называется множество всех значений х,
при которых функция существует (при аналитическом задании – те значения х,
при которых данная формула(ы) имеет смысл; при графическом задании –
промежуток оси Ох, который отображает график при проектировании на ось Ох).
Область определения функции обозначается D(f) или X.
б) Множество значений функции
Множеством значений функции y=f(x) называется множество всех значений у,
которые может принимать функция при значениях х из ее области определения.
Множество значений функции обозначают E(f) или Y. При графическом задании
функции
E(f) – промежуток оси Оу, в который отображается график при
проектировании на ось Оу.
в) Четные и нечетные функции
Функция y=f(x) называется четной, если для любого х из D(f) существует в D(f) –
х; f(-x)=f(x).
Примечание: Из определения следует, что область определения четной
функции симметрична относительно начала координат, график четной функции
симметричен относительно оси Оу.
Функция у=f(x) называется нечетной, если для любого х из D(f)
f(-x)=-f(x).
Примечание: Из определения следует, что область определения и график
нечетной функции симметричны относительно начала координат.
г) Возрастающие и убывающие функции
Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке, если из того, что
х1<x2, следует f(х1) < f(x2).
Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке, если из того, что х1> x2,
следует f(х1) > f(x2).
Примечания: В своей области определения функция может возрастать на
одних промежутках, и убывать на других.
 При
аналитическом
способе
задания
исследование
функций
на
возрастание и убывание производится путем исследования знака разности
f(х2) - f(x1) и использования свойств неравенств;
 При графическом способе задания исследование функций на возрастание
(убывание) производится путем определения по графику промежутков
оси абсцисс, на котором график функции «поднимается вверх»
(«опускается вниз»).
д) Нули функции
Нулями функции называются те значения аргумента, в которых значение
функции равно нулю.
Примечание: При графическом задании функции нули функции – это
абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс.
е) Точки максимума и минимума
Окрестностью точки х0 называется интервал (х0-h, x0+h).
Примечание: Изменяя число h, можно получить различные окрестности точки
х0:
Точка х0 называется точкой максимума функции у=f(x), если значение функции в
точке х0 больше всех других ее значений, принимаемых в окрестности этой
точки, т.е. f(х0)> f(x), если х≠х0. Значение функции в точке х0 называется
максимумом функции и обозначается уmax=f(x0).
Точка х0 называется точкой минимума функции у=f(x), если значение функции в
точке х0 меньше всех других ее значений, принимаемых в окрестности этой
точки, т.е. f(х0) < f(x), если х≠х0. Значение функции в точке х0 называется
минимумом функции и обозначается уmin=f(x0).
Примечание: Если функция задана графически, то в точке максимума
функция принимает значение, больше всех значений, принимаемых в точках,
близких к этой точке, а в точке минимума – значение функции меньше всех ее
значений, принимаемых в точках, близких к этой точке.
ж) Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшим значением функции называется самое большое ее значение среди
всех значений, которые принимает функция на заданном промежутке.
Наименьшим значением функции называется самое маленькое среди всех
значений, которое функция принимает на заданном промежутке.
Примечание: В зависимости от вида промежутка и свойств функции y=f(x)
она может иметь и наибольшее и наименьшее значения; может иметь только
одно из них; может не иметь ни одного из них.
з) Промежутки знакопостоянства функции
Под промежутками знакопостоянства функции понимают те промежутки
области определения, в которых функция имеет постоянный знак (или + или –).
Примечания:
1) При аналитическом способе задания функции исследование функции на
знакопостоянство сводится к решению совокупности неравенств f(x)>0,
f(x)<0.
2) При
графическом
знакопостоянство
способе
задания
производится
путем
функции
исследование
определения
по
на
графику
промежутков оси абсцисс, на которых график функции расположен над
осью Ох (на них функция имеет положительный знак) и под осью Ох (на
них функция имеет отрицательный знак).
назад