ТЕМА 3. Функции и их свойства Литература 1. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов. Единый государственный экзамен 2009. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся//ФИПИ, М.: Интеллект-Центр, 2009. 2. Ф.Ф. Лысенко. Алгебра. 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации2009// Ростов-на-Дону: ООО «Легион», 2008. 3. Ф.Ф. Лысенко. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания // Ростов-на-Дону: ООО «Легион», 2008. 4. С.С. Минаева, Л.О. Рослова. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации (по новой форме). 9 класс //М.: Издательство «Экзамен», 2008. 5. Л.О.Денищева, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов, И.Н.Сергеев. ЕГЭ-2008. Федеральный банк экзаменационных материалов (открытый сегмент). Математика// ФИПИ, М.: Эксмо, 2007. 6. Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р.Рязановский, П.В.Семенов. Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебнотренировочные материалы для подготовки учащихся//ФИПИ, М.: Интеллект-Центр, 2007. 7. В.И.Ишина, Е.М.Бойченко, Г.А.Захарова. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы 2007// ФИПИ, М.: Вентана-Граф, 2007. 8. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания // Ростов-на-Дону, Легион, 2007. 9. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы: Репетиционная сессия 1. // М.: Вентана-Граф, 2006. 10. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы: Репетиционная сессия 2. // М.: Вентана-Граф, 2006. 11. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев, Ю.А.Глазков. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы: Репетиционная сессия 3. // М.: Вентана-Граф, 2007. 12. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев, Ю.А.Глазков. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы: Репетиционная сессия 4. // М.: Вентана-Граф, 2007. 13. Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, А.Р.Резановский, П.М.Камаев. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы: Репетиционная сессия 5. // М.: Вентана-Граф, 2007. ПРИМЕРЫ Пример 1. Найдите наименьшее значение функции f ( x) |x-5,5|≤2,5. 2x при x 16 2 1) 0,1 2) 0,3 3) 0,5 4) 0,2 Решение: 1) |x-5,5|≤2,5 -2,5≤x-5,5≤2,5 3≤x≤8. 2) f ( x) 2( x 2 16) 2 x 2 x 16 x 2 . 2 ( x 2 16) 2 ( x 2 16) 2 f ( x) 0 при x=4 и x=-4. Заметим, что -4[3;8]. Имеем: f (3) 6 8 16 0,24 , f (4) 0,25 , f (8) 0,2 . 25 32 80 Наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке [3;8] равно 0,2 (ответ 0,2). Пример 2. Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при −2≤x≤1. Найдите значение выражения f(-5)-f(-1)+f(12). 1) -3 2) -4 3) 4 4) 0 Решение: Обозначим период данной функции через T. Согласно условию T=3, откуда f(-5)-f(-1)+f(12)= f(-5+T)-f(-1)+f(12-4T)= f(-2)-f(-1)+f(0)=-3-3+2=-4 (ответ -4). Пример 3. Функция y=f(x) определена на промежутке (a;b). На рисунке изображен график её производной. Укажите число точек максимума функции y=f(x) на промежутке (a;b). 1) 3 2) 5 3) 4 4) 7 Решение: Дифференцируемая функция достигает максимума в некоторой точке, если в левой полуокрестности этой точки её производная положительна, а в правой – отрицательна. На заданном графике таких точек четыре (ответ 4). Пример 4. Укажите наибольшее целое число из области определения функции y=(35-|3x-11|)-0,5. 1) 15 2) 10 3) 14 4) 16 Решение: Область определения данной функции задается неравенством 35-|3x-11|>0. Решим его: 1 3 35-|3x-11|>0 |3x-11|<35 -35<3x-11<35 -24<3x<46 -8<x<15 . Тем самым область определения данной функции есть интервал 1 3 (-8; 15 ). Наибольшее целое число из этого интервала равно 15 (ответ 15). Пример 5. Найдите значение функции у = 3 f ( x) 2 f ( x) в точке х0, если 2 g ( x) 3 g ( x) известно, что функция у = f(x) — четная, функция у = g(x) — нечетная, f(x0)=5, g(x0) = 1. 1) 2 Решение: 2) 5 3) 8 4) 1 1) Так как функция у = f(x) — четная, то по определению для любого значения из области определения функции выполняется равенство f(-x)= f(x). Следовательно, f(-x0)=f(x0)=5. 2) Так как функция у = g(x) — нечетная, то по определению для любого значения из области определения функции выполняется равенство g(-x)= -g(x). Следовательно, g(-x0) =-g(x0) =- 1. 3) Подставив заданные и полученные значения функций в формулу, имеем: у = 3 f ( x0 ) 2 f ( x0 ) 35 2 5 1 (ответ 1). 2 g ( x0 ) 3g ( x0 ) 2 1 3 (1) Пример 6. Какая из данных функций убывает на всей области определения? 1) у = sinx; 2) у = ln x; 3) у = |х|; 4) у = -x. 1) 1 2) 4 3) 3 4) 2 Решение: 1) Функция у = sinx возрастает на одних и убывает на других частях области определения. 2) Функция у = lnx — логарифмическая с основанием е > 1, следовательно, она возрастает на всей области определения. 3) Функция у = |х| убывает на промежутке (-; 0] и возрастает на промежутке [0; +). 4) Функция у = -x 1 1 < 1, то функция x — показательная, так как x 1 = ( ) . Так как -x 1 x (а значит, и функция -x) убывает на всей области определения (о т в е т 4). Пример 7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = 7х - 5sinx в точке с абсциссой х0 = . 2 1) 5 2 2 2)2 3) 3,5-7 4)7 Решение: Угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в данной точке х0. Найдем производную данной функции: у'= 7 - 5cosx. Вычислим ее значение при заданном значении аргумента: у' = 7 - 5cos Пример 8. y 8x 6 x 2 , x 1) 11 8 Найдите площадь = 7 - 50 = 7 (о т в е т 7). 2 фигуры, ограниченной линиями 1 , x 1, y 0 . 2 2) 1 8 3) 6 4) 13 5 Решение: 1 x2 x3 S= (8 x 6 x )dx (8 6 ) 2 3 1 1 2 2 2 3 1 1 1 (4 x 2 2 x 3 ) 1 (4 2) (4 3 ) 2 2 2 1 2 3 3 11 11 2 (1 ) 1 (ответ ). 8 8 8 8 Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите область определения функции y 6 1 log 0,7 x . 2. Найдите множество значений функции у = 6х –12. 3. Найдите наибольшее значение функции f (x) =х (2x−3)6 при |x−1,5|≤0,5. 4. Найдите наибольшее значение функции y 40 х 2 3 х на промежутке [1; 7]. 5. Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при −2≤x≤1. Найдите значение выражения 6. f (1) f (9) . f ( 2 ) Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 6. При −2≤ x< 4 она задается формулой f (x) =|x−2|−3. Найдите значение выражения 4 f (11) −2 f (−15). 7. Функция у = f (x) определена на промежутке (– 2; 7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у=f(x) на промежутке (−2;7). 8. Функция y f x определена на промежутке (–3; 7). График ее производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции y f x на промежутке (–3; 7). y y = f (x) 1 1 0 x 9. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции у = ln( х 2 x 3 ) . 10. Найдите значение функции у = f(-x)g(x)-g(-x) в точке х0, если известно, что функция у = f(x) — четная, функция у = g(x) — нечетная, f(x0) = 2, g(x0) = 2. 11. Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения. 1 3 1) у = x ; 2) у = ctgx; 3) y= cosx; 4) y = |-x|. 12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3 5 x и 3 4 у = - x + 6. 13. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = 4 в его точке с абсциссой х0 = - 2. x 14. На рисунке изображён график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.