С5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 27х6 + (2х – а)3 + 9х2 + 6х = 3а имеет более одного корня Решение 27х6 + (2х – а)3 + 9х2 + 6х = 3а 27х6 + + 9х2 + = - (2х – а)3 - 6х + 3а (3х2)3 + 3(3х2) = (а – 2х)3 + 3(а – 2х) 3х2 = m, а – 2х = n m3 + 3m = n3 + 3n, функция у = m3 + 3m – возрастающая, значит, m = n, т.е. 3х2 = а – 2х, 3х2 + 2х – а = 0, уравнение имеет более одного корня, если D = 1 + 3а >0, а > - 1/3 С5 Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х При а ≤ 0 неравенство не выполняется. Пусть а > 0, соs2х – 1 = - sin2 х, перепишем неравенство в виде: а( 4 – sinх)4 + а > 2 + sin2 х а(( 4 – sinх)4 + 1) > 2 + sin2 х оценим левую часть, учитывая, что а >0: 3 ≤ 4 – sinх ≤ 5, 81 ≤ ( 4 – sinх)4 ≤ 625, 82а ≤ а(( 4 – sinх)4 + 1) ≤ 626а оценим правую часть: 2 ≤ 2 + sin2 х ≤ 3 чтобы неравенство было верным при любом х, нужно, чтобы 82а>3, т.е. а>3/82 С6: Инвариант. Пусть кузнечики в начале в вершинах квадрата с координатами (0;1), (1;1), (1;0) , а незанятая вершина (0;0). После каждого прыжка каждая координата меняется на четное число. Поэтому никакие возможные изменения координат, занятых в начале клеток, не могут дать точку с двумя чётными координатами. То есть в вершину (0;0) попасть невозможно. С5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение Решение Пусть sinx=t, где 0 ≤ t ≤ 1, тогда получим уравнение √𝑡 + а = t2 – а, где t ≥ - а Рассмотрим функции f(x) = √𝑡 + а и g(x) = t2 – а. Функции f(x) = √𝑡 + а и g(x) = t2 – а взаимно обратные, возрастающие, их графики симметричны относительно прямой у = t. Если они имеют общие точки, то эти точки лежат на прямой у = t. Т.е. получим уравнение t2 – а = t, t2 - t – а = 0, D = 1 + 4а, 1 + 4а ≥0, а ≥ - ¼, , х1,2 = 1±√1+4а 2 , т.к. 0 ≤ t ≤ 1, то 0 ≤ 1±√1+4а 2 ≤ 1, 0 ≤ 1 ± √1 + 4а ≤ 2, уравнение имеет хотя бы одно решение, если 1 + √1 + 4а ≤ 2 Откуда - 1/4 ≤ а ≤ 0