Олимпиадные задания для 7 класса

Олимпиадные задания для 7 класса.
Олимпиада после летних каникул.
1. Как, не пользуясь измерительными инструментами, от шнура длиной
2
1
3 м отрезать 2 м?
2. Решите уравнение | | x – 386 | – 7 | = 5.
3. Натуральное число n делится на 12 и имеет 14 различных
делителей (положительных). Найдите число n.
4. На координатной плоскости обозначена точка А (2; 1). Найдите все
точки, имеющие целые координаты, которые находятся на расстоянии 5 от
точки А.
5. Лифт едет с 1-го на 6-й этаж 15 секунд. За сколько секунд он проедет со
2-го по 10-й этаж?
Турнир смекалистых.
Раунд 1
1. Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у
которых ни первая, ни вторая слева цифры не пятёрки?
2. Верно ли утверждение, что число f (n) = n2 + n + 41 простое при любом
целом n?
3. Длину прямоугольника уменьшили на 2,4 м, а ширину увеличили на 30
%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась на 4 % больше
площади старого. Найдите новую длину прямоугольника.
4. Рассказывая о своем дедушке, Катя каждый раз старалась назвать его
по-новому: «отец брата отца», «брат отца брата», «отец отца брата», «брат
отца отца». Сколько раз Катя ошиблась? (Все братья родные!)
5. Представьте, что все лжецы живут в одном городе, а все рыцари – в
другом. Как выяснить у аборигена, куда ведёт интересующая нас дорога – в
город рыцарей или в город лжецов?
Раунд 2.
1 . Пять кошек поймали 5 мышек за 5 минут. Сколько кошек поймают 10
мышек за 10 минут?
2. В тёмной кладовой без порядка лежат ботинки: 10 пар чёрных и 10 пар
коричневых. Сколько ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы
одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета? В темноте нельзя
отличить не только цвет ботинка, но и левый от правого.
3. Какое наибольшее число клеток доски 6 Ч 6 можно покрасить так,
чтобы никакие две закрашенные клетки не соприкасались даже в одной
точке?
4. Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и
ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах. Сколько было
гусей, если на последний остров сел один последний гусь?
5. Натуральное число n делится на 18 и имеет 14 различных
положительных делителей. Найдите число n.
Математический бой.
Раунд 1
1. Хулиган Ваня разорвал школьную стенгазету на 10 кусков. Затем
некоторые из кусков он разорвал ещё на 10 кусков, затем некоторые из
кусков – ещё на 10 кусков и т. д. На следующий день собрали 1009 кусков.
Все ли кусочки нашли?
2. Имеются 4 пакета и чашечные весы без гирь. За 5 взвешиваний
расположите пакеты по весу.
3. На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его
можно было раздать поровну как троим, так и четверым?
4. 30 лет назад возрасты Ани, Бори и Вали относились как 1 : 2 : 5. Сейчас
возрасты Ани и Бори относятся как 6 : 7. Сколько сейчас лет Вале?
5. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую свою цифру
и на сумму своих цифр.
Раунд 2
1. Сравните a и b, если 5 ∙ (a – 1) = a2 + b.
2. Апельсин стоит 278 тубриков, а лимон – 455 тубриков. Куплено
несколько фруктов общей стоимостью 3842 тубрика.
Сколько куплено лимонов?
3. Магазин снизил цену на стиральную машину на 10 %, при этом в
результате продажи получает прибыль 8 %. Какую прибыль получал магазин
до снижения цены?
4. Найдите все двузначные числа, которые после перестановки цифр
увеличиваются на 75 %.
5. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение х2у3 = 612?
Олимпиада 1.
1. В баке не менее 10 литров бензина. Можно ли отлить 6 литров с
помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
2. Решите уравнение (x – y)2 + (х – 3)2 + | 2x + y + z | = 0.
3. Можно ли разменять 37 рублей на десять монет достоинством в
1 рубль, 3 рубля и 5 рублей?
4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых
имеют размеры 7 Ч 11 и 4 Ч 8. Какие размеры может иметь третий
прямоугольник? Найдите все возможные варианты.
5. Одно и то же число поделили с остатком на 3, на 12 и на 54. Сумма трёх
полученных остатков оказалась равна 39. Найдите остаток, полученный при
делении на 3.
Олимпиада 2.
1. Можно ли разменять 29 рублей на восемь монет достоинством в
1 рубль, 3 рубля и 5 рублей?
2. Коробейник купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает
покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От
каждого покупателя коробейник получает одинаковую прибыль. Какова
оптовая цена ручки?
3. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра числа строго
больше суммы цифр, стоящих правее неё. В частности, четвёртая цифра
больше пятой.
4. Белка за 20 минут приносит орех в гнездо. Далеко ли от орешника её
гнездо, если известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с
орехом 3 м/с?
1
5. В классе число отсутствующих учеников составляет 6 часть от числа
присутствующих. После того как из класса вышел один ученик, число
1
отсутствующих стало равно 5 числа присутствующих. Сколько учеников
учится в этом классе?
Олимпиада 3.
1. – Который час? – спросили Пифагора. Он ответил:
– До конца суток остается дважды две пятых того, что уже протекло от
начала.
В какое время суток был задан вопрос?
2. Определите, сколько диагоналей в выпуклом произвольном восьмиугольнике.
3. Докажите, что при любом целом а выражение а3 – 7а делится на шесть.
4. Найдите стороны прямоугольника, у которого периметр численно равен
площади, а стороны – натуральные числа.
5. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 6 и имеющие ровно 14
различных делителей.
Олимпиада 4.
1. Решите систему уравнений
 x  y  z  45,
 y  z  t  70,


 z  t  x  65,
t  x  y  60.
1
1
2
2. Известно, что х + х = 11. Чему равно х2 + х ?
1
3. Известно, что a + а – целое число, а a не целое.
1
3
Докажите, что a3 + а – целое число.
4. Решите уравнение | x – 7 | = x – 7.
5. Натуральное число кратно 11.
Может ли сумма его цифр равняться 111?