Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии
138. Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 +...+ 1999?
Подсказка
Попробуйте сосчитать сумму. Вспомните Карла Гаусса.
139. На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна
клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего
рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.
_
_|_|_
_|_|_|_|_
_|_|_|_|_|_|_
|_|_|_|_|_|_|_|
.....................
_ _ _ _
_
_ _ _
|_|_|_|_|
.......
|_|_|_|_|
Рис. 1
140. Найти сумму а) 1+11+111+...+111...1, где последнее число содержит n единиц;
б)аналогичная задача, когда вместо единиц стоят пятерки.
Подсказка
Решите аналогичную задачу, где вместо единиц стоят девятки.
141. Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за
третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
142. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов
этой прогрессии является степенью двойки (то есть имеет вид 2n, где n — натуральное
число). Докажите, что n — также степень двойки.
143. Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
144. Натуральный ряд разбит на n арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий). Пусть d 1,d2,...,dn - разности
этих прогрессий. Докажите, что 1/d1+1/d2+...+1/dn=1.
Подсказка
В длинном куске натурального ряда числа из первой прогрессии составляют долю,
равную примерно 1/d1.
145. а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти
эти числа и доказать, что других нет.
б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.
146. Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической прогрессии являются натуральными числами. Верно ли, что 99-ый член этой прогрессии также является
натуральным числом?
Подсказка
Знаменатель прогрессии может быть иррациональным числом.
147. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n
дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний)
съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это
возможно?
148. Докажите, что в любой арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковой суммой цифр.
Подсказка
Для достаточно больших чисел m и n члены прогрессии с номерами 10m+1, 10n+1
будут иметь одинаковую сумму цифр.
149. Найти сумму 1 + 2002 + 20022 + ... + 2002n.
150. Натуральный ряд 1,2,3,... разбит на несколько (конечное число) арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится
на разность.
Подсказка
Можно рассмотреть прогрессию, в которую входит число, равное произведению
разностей всех прогрессий.
151. Найдите сумму 6+66+666+...+666..6, где в записи последнего числа присутствуют n шестерок.
Подсказка
Число, записываемое c помощью k шестерок, равно 2(10k-1)/3.
152. Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий, каждая из которых состоит из натуральных чисел. Всегда ли можно указать натуральное число, которое не содержится ни в одной из этих прогрессий?
Подсказка
Покажите, что каждая из прогрессий содержит не более одного простого числа.
153. Может ли сумма 1000 последовательных нечётных чисел быть седьмой степенью натурального числа?
Подсказка
Выведите формулу суммы тысячи последовательных нечетных чисел.
154. Имеется несколько гирь, общая масса которых равна 1 кг. Каждой гире присвоен свой номер: 1, 2, 3, .... Доказать, что найдётся такой номер n, что масса гири с номером n строго больше
кг.
155. Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ... Существует
ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
156. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не
превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из
них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
157. Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?
158. Известно, что сумма первых n членов геометрической прогрессии, состоящей
из положительных чисел, равна S, а сумма обратных величин первых n членов этой прогрессии равна R. Найдите произведение первых n членов этой прогрессии.
Подсказка
Воспользуйтесь формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии;
обратные величины к членам геометрической прогресии также образуют геометрическую
прогрессию.
159. Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа.
Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
160. Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг,
374 кг, ..., 468 кг (массы составляют арифметическую прогрессию с разностью 2 кг), на
семи трёхтонках?
161. Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
162. Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами. Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?
163. Существует ли такое N и такие N-1 бесконечных арифметических прогрессий
с разностями 2, 3, 4, ..., N, что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из
этих прогрессий?
164. Можно ли из геометрической прогрессии 1,1/2, 1/22,1/23,... выделить геометрическую прогрессию с суммой членов, равной 1/7 или 1/5 ?
165. Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел
найдется n одинаковых.