Ответственный редактор А.С. Богатин

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторной работе для студентов
естественных факультетов
Определение модуля упругости из растяжения
Ростов - на – Дону
2006
2
Методические указания разработаны кандидатом физико – математических наук,
доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики Е.Я.Файном, ассистентом кафедры общей физики М.Б. Файн.
Ответственный редактор
А.С. Богатин
Компьютерный набор и верстка
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол №11 от 17.01.06г.
3
Определение модуля упругости из растяжения
Краткая теория.
Деформация тела, неисчезающая по прекращению действия на него силы,
называется пластической, а если исчезает – упругой. Деформируемое тело,
благодаря изменению в нём молекулярных сил взаимодействия, противодействует
силе, вызывающей деформацию. Сила, с которой деформируемое тело
противодействует силе, вызывающей деформацию, называется силой упругости.
Величина, измеряемая силой упругости, приходящейся на единицу площади,
называется механическим напряжением:

F
S
(1)
Единицы измерения механического напряжения 1Па и 1 Н/мм2. Допустим, что на
закрепленный стержень (трос, провод) действуют силой F. От того стержень
растянется, длина его  0 увеличится на  и станет  . Разность  -  0 = 
называется абсолютным удлинением, которая показывает на сколько изменилась
при деформации вся длина тела. Отношение

  называется относительным

удлинением.
Экспериментально установлено, что для данного материала в пределах
упругой деформации отношение механического напряжения к относительному
удлинению есть величина постоянная. Это отношении называется модулем
Юнга.
E


(2)
Различные материалы имеют различный модуль Юнга. Например, модуль Юнга
стальной проволоки марки СТ – 3 приблизительно равен 2105 Н/мм2 , меди
1.2  10 5
Н/мм2. Модуль Юнга численно равен механическому напряжению,
4
которое надо приложить к стержню, чтобы растяжением увеличить его длину в
два раза.
Заменив в формуле (2) механическое напряжение (1), получим формулу
закона Гука:
F  E

S

(3)
Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения, прямо
пропорциональна относительному удлинению  

деформированного

тела
(изменением S пренебрегаем). С использованием коэффициента жесткости k
Закон Гука запишется так:
F  k  x.
То есть сила упругости, возникающая при упругой деформации, прямо
пропорциональна величине деформации x (смещения) и направлена в сторону,
противоположную этому смещению (поэтому в выражении и появился минус).
Закон Гука имеет место только в пределах упругой деформации. Он
является одним из основных в теории упругости.
Используя уравнение (3), получим формулу для вычисления модуля Юнга:
E
F 0
S  
(4)
Способность материала сопротивляться разрушению, называется прочностью.
Наибольшее напряжение, при котором материал при деформации не разрушается,
называется пределом прочности пр. Так, предел прочности стальной проволоки 7810 7 Н/м2.Чтобы не допускать разрушения деталей машин, нагрузку не доводят
до предела прочности материала. С этой целью для них установлены допускаемые
напряжения дн, которые составляют лишь некоторую часть от предела прочности
их материала. Число, показывающее во сколько раз предел прочности больше
допускаемого напряжения, называется коэффициентом запаса прочности:
k
 пр
 дн
5
Механические свойства материала при разных деформациях определяют
опытным
путём
специальными
устройствами, в которых автоматически
записывается
график
деформации
(рис.1) .
Для анализа разобьём график на части.
Участок 0 – 1. На этом участке
удлинение прямо пропорционально
напряжению  ~  (а значит и  ~  ),
т.е. выполняется закон Гука.
Рис.1.
1. Участок 1 – 2. На этом участке (он мал) закон Гука уже не выполняется, но
деформация ещё упругая, т.е. если снять деформирующую силу, то
деформация исчезнет и тело.
2.Участок 2 – 3. На этом участке упругая деформация постепенно исчезает,
переходя в пластическую.
3.Участок 3 – 4. Начиная с точки три, деформация начинает увеличиваться без
заметного увеличения механического напряжения: деформирующая сила
остаётся постоянной, а площадь сечения образца из-за его удлинения
уменьшается, что даёт мало заметное увеличение (область текучести).
4. За пределом прочности (точка 5) в образце образуется шейка, и он
разрушается.
6
Описание прибора.
Прибор Лермантова состоит из двух кронштейнов 1 и 2 , расположенных
один над другим, и один из них (1) служит для укрепления проволоки из
исследуемого материала. При нагрузке, для чего груз 6 кладётся на полочку 3,
проволока удлиняется и стержень – рычаг 4, скреплённый с зеркальцем 5,
вращается. При удлинении проволоки на  , зеркальце 5 повернётся на угол  и
будет иметь место соотношение:
tg 

b
(5)
где b – длина стержня – рычага 4. Изменение положения зеркальца 5 определяется
по световой шкале 7, изображение которой рассматривается через зрительную
трубу 8, имеющую в окуляре крест нитей или одну горизонталью нить. Если n разность делений шкалы при повороте зеркальца на угол  , а D - расстояние от
зеркальца до световой шкалы, то в этом случае:
tg 2 
n
D
(6)
Удлинение проволоки  очень мало, поэтому и очень мал угол  ; это даёт
возможность принять tg 2  2  tg . Приравняв (5) и (6) получим:
 
n  b
2 D
(7)
Грузы в 9.8 Н (1 кг) и 19.6 Н (2 кг) и т.д., необходимые для растяжения проволоки,
находятся на полочке 6.
7
8
Выполнение работы.
1. Ознакомится с конструкцией Лермантова для определения модуля Юнга.
Рекомендуем все константы собрать в одну и вычислять её один раз:
E
здесь  
F 0
m  g   0 2  D  4 m 8 D 0 g m






S     d 2  h
b
h bd 2
h
8 D 0  g
,
b   d 2
где E – искомый модуль Юнга в Н/мм2,
F – деформирующая сила в Н,
 0 – начальная длина проволоки от нижнего винта – зажима до верхнего в
мм,
S – площадь сечения проволоки в мм2,
 - удлинение проволоки под действием силы в мм,
h - удлинение проволоки по световой шкале в мм,
b – длина стержня – рычажка 4 до зеркала в мм,
m – масса груза в килограммах.
D – расстояние от зеркала до световой шкалы в мм.
Определить модуль Юнга при деформирующей силе в 9,8 Н (1 кг), 19,6 Н
(2кг), 29,4 Н (3 кг) и т.д.
2. Вращением винта 10 опустить арретир 9, чтобы проволочка 3 своим весом
натянула проволоку. Измерить длину проволоки и её радиус. Вычислить
площадь сечения проволоки.
3. Измерить длину стержня – рычажка 4 зеркала.
4. Включить свет световой шкалы. Перемещая световую шкалу 7 и зрительную трубу 8, найти в трубе изображение шкалы. Смещая винтом трубу по
вертикали, совместить ее нить 4 с одним из делений световой шкалы (для
9
удобства отсчета с делением, равным числу с нулем: 20 или 40, 60 и т.д. в
мм). От этого деления h0, будет отсчитываться удлинение проволоки. Запишите его в таблицу.
5. Измерить расстояние D между зеркалом и световой шкалой, после этого не
сдвигать ни шкалу, ни трубу.
6. Поднять арретиром нижнее крепление проволоки, положить на полочку 3
груз в 9,8 Н.
7. Опустить арретир 9 и через трубу определить, на сколько мм удлинилась
проволока под действием силы в 9,8 Н. Полученные данные из первого эксперемента занести в таблицу.
8. Подняв арретиром 9 нижнее крепление проволоки, снять с полочки груз в
9,8 Н.
9. Выполняя указания п.п. 2 – 9, продолжать эксперемент с деформирующей
силой в 19,6 Н, а затем в 29,6 Н и т. д.
10.Вычислить удлинение проволоки ∆l1, ∆l2, ∆l3….. и на миллиметровой бумаге
построить график функции ∆l=f(F). Какой закон отображает тот график?
11.Вычислить модули Юнга Е1, Е2, Е3 и его среднее значение.
12.Вычислить абсолютную погрешность ∆Е и полученное значение Еср модуля
Юнга.
E  E  (
 0
d (h) b D
 2



)
0
d
h
b
D
∆l0, ∆d, ∆(∆h), ∆b, ∆D – погрешность соответственного измерения. Полученные
значения модуля Юнга для стали марки СТ – 3 записать
Еср-∆Еср  Е  Еср+∆Еср
13. Зарисовать прибор Лермантова.
10
m,кг
F, H
∆h, ↓
∆h, ↑
∆hср,
мм
мм
мм
∆l, мм Е*10^6, Еср  10 6
Па
1
2
3
4
5
6
7
Контрольные вопросы:
1. Природа сил упругости и причина их образования.
2. Упругая, пластическая и остаточная деформации.
3. Механическое напряжение, относительное удлинение.
4. Закон Гука, анализ диаграммы растяжения.
5. Физическое содержание модуля Юнга.
Па