Первомайская общеобразовательная школа

Первомайская общеобразовательная школа
Реферат
Применение математики при
решении задач по химии
Выполнила: ученица 11 класса
Домнина Н.А.
Руководители: Дуденко В.Ф.
учитель химии, Кулаева Л.М.
учитель математики
Первомайское - 2006
План:
I. Введение.
II. Основная часть:
1. Пропорции.
2. Линейные уравнения.
3. Линейные неравенства.
4. Системы уравнений.
5. Неопределённые уравнения.
6. Химия и теория графов.
III. Заключение.
Введение.
В процессе изучения химии широко используется
решение задач. Решение химических задач связано с
применением математики. Химия и математика неразрывно
связаны между собой. Решение многих задач основано на
расчетах с помощью методов алгебры: уравнений, систем
уравнений и неравенств. Сущность алгебраического метода
заключается в том, что неизвестную величину обозначают
Х и подставляют все данные в формулу алгоритма.
Достоинством алгебраического метода является то, что он
равным образом подходит для решения как простых, так и
сложных задач. Это позволяет упростить алгоритм решения
задач с усложнёнными данными, которые часто
встречаются в практике работы химических лабораторий и
на производстве.
В большинстве химических задач используются
простейшие
математические
методы:
пропорции,
уравнения первой степени с одним или несколькими
неизвестными, системы уравнений, квадратные уравнения.
Этими методами решаются задачи нескольких типов:
действия над растворами, расчет массовой доли,
нахождение химической формулы и другие.
Алгебраический метод наиболее универсальный при
решении химических задач. В химии нужны элементарные
знания математики: несложные арифметические действия,
пропорции, уравнения, для решения задач, выводов
формул, обосновании теорий.
1. Пропорции
Самым простым способом решения задач является
применение пропорций.
Условие задачи: Какова масса оксида кальция,
полученного при разложении 400 грамм карбоната кальция?
Решение:
400г.
Х г.
СаСО3=СаО+СО2↑
1 моль
100 г.
1 моль
56 г.
М(СаСО3)=40+12+16*3=100г/моль
М(СаО)=40+16=56г/моль
n(СаСО3)=n(СаО)= 1 моль =>
m=n*M =>
m(СаСО3)=100г.
m(СаО)=56 г.
Составим пропорцию:
400/100=х/56
Х=400*56/100=224г.
Ответ: m(СаО)=224 г.
Условие задачи: В избытке воды растворили 11,5 г.
металлического натрия. Какой объём водорода выделится при
этом?
Решение:
11,5 г.
Х л.
2НОН+2Na=2NaOH+H2↑
2 моль
2*23 г.
1 моль
22,4 л.
11,5/2*23=х/22,4
Х=11,5*22,4/2*23=5,6л.
Ответ: 5,6 л.
Условие задачи: Вычислите массовую долю (в %) хлорида
натрия в растворе, полученном в результате растворения 44 г.
Поваренной соли в двух литрах воды.
Решение: Найдём массу раствора, для этого найдём массу
растворителя:
m(H2O)=p*V=2*1=2кг=2000г.
m(р-ра)=m(р-ля)+m(вещ-ва)=2000+44=2044г.
В 2044 г. содержится 44г соли
В 100 г
Хг соли
2044/100=44/Х
2044х=44*100
Х=44*100/2044=2,15
Ответ: %w(NaCl)=2,15%
2. Линейные уравнения.
Условие задачи: При горении 5,4 г. трёхвалентного
металла образуется 10,2г. его оксида. Определить Ar
металла и назвать его.
Решение:
5.4г.
10,2 г.
4Me+O2=2Me2O3
4 моль
Х г.
2 моль
2(2х+48)г
Пусть Х-Ar(Ме), тогда (2х+48)г/моль-Мr(Me2O3)
Составим пропорцию:
5,4/х=10,2/2(2х+48) =>
5,4*2(2х+48)=4х*10,2
10,8(2х+48)=40,8х
21,6х+518,4=40,8х
518,4=40,8х-21,6х
518,4=19,2х
Х=27, Ответ: Аr=27 => Al.
3. Линейные неравенства.
Условие задачи: К 100 г. воды в стакане добавили 60 г.
безводного сульфата железа. Через некоторое время
образовался насыщенный раствор и выпали кристаллы соли
FeSO4∙7H2O. Осадок отделили и взвесили. Масса влажных
кристаллов составляла 58 г. Определить возможную
массовую долю сульфата железа в насыщенном растворе.
Решение:
Пусть %w1(FeSO4)=Х, а %w2(FeSO4)=y.
При добавлении к 100 г. воды 60 г. сульфата железа
образовалось 12г. кристаллов и (100+60-58)г. насыщенного
раствора:
(100+60-58)Х+58y=60
Уравнение включает два неизвестных и имеет
бесконечное множество решений. В дополнении к уравнению
составим неравенство, учитывая, что %w(FeSO4) в кристаллах
больше, чем в насыщенном растворе:
Х<Y
Перепишем уравнения:
Y=(30-51)x/29; x<(30-51x)/29;
29x<30-51x
80x<30
X<0.375
Известно, что %w(FeSO4) в кристаллогидрате>
%w(FeSO4) во влажных кристаллах.
М(FeSO4)/ М (FeSO4∙7H2O)> y; или y<0.547;
(30-51x)/29<0.547
Приведем к общему знаменателю:
30-51х<15.863
-51x<-14.137
X<0.277
Ответ: 0,277<%w(FeSO4)<0.375
Условие задачи: Из раствора выпарили 58 г. воды, и
при этом выпало в осадок 2 г. безводной соли. Не меняя
условий, из этого же раствора выпарили ещё 34 г. воды. В
результате чего выпало ещё 6 г. соли. Определить возможную
массовую долю соли в исходном растворе.
Решение: Пусть Х=%w(соли) в исходном растворе
Y=%w(соли) в насыщенном растворе
Пусть в исходном растворе было m*x грамм соли.
После выпаривания: (х-58-2)=х-60)y грамм соли
m*x=(m-60)y+2 (содержит 3 неизвестных и не имеет
однозначного решения)
(m-60)y=(m-60-37-4)y+6
my-60=my-100y+6
40y=6
y=0.15 (подставим в первое уравнение)
mx=(m-60)0.15+2
mx=0.15m-9+2
mx=0.15x-7
x=(0.15m-7)/m=0.15m/m-7/m=0.15-7/m
Но масса раствора не могла быть меньше 100 грамм
(так как выпарили 92 г.воды и 8 г. соли)=>
m>100, x>0.15-7/m или x>0.15-7/100 => x>0.08
С другой стороны, %w(соли) в исходном растворе
была меньше, чем в насыщенном растворе x<0.15 =>
0.08<x<0.15
Ответ: 0,08<%w(соли)<0.15
4. Системы уравнений.
Условие задачи: Массовая доля серебра в соли предельной
одноосновной кислоты составляет 70,95%. Написать
молекулярную формулу этой кислоты, если известно, что она
состоит из углерода, водорода и кислорода.
Решение: Условный вид формул:
СxHyOz и СxHy-1OzAg
M(СxHy-1OzAg)=x*M(C)+(y-1)*M(H)+z*M(O)+M(Ag)=
12x+y-1+16z+108
(12x+y-1+16z+108)*0.7059=108
(12x+y+16z+107)*0.7059=108
8.4708x+0.7059y+11.2944z=32.4687
12x+y+16z=46
Одноосновная кислота имеет общую формулу:
СxH2хО2 или СxHyO2
y=2x, z=2
12x+y+16*2=46
2x=y
12x+2x+32=46, y=2x=2*1=2
14x=14
X=1 => СxH2хО2 или СН2О2, или НСООН
Ответ: формула кислоты НСООН.
Условие задачи: В 400 г. водного раствора содержится
41,8 г. фенола, уксусной кислоты и акриловой кислоты. Для
полной нейтрализации 10 г. этого раствора потребовалось
9,52мл. раствора гидроксида натрия с массовой долей щелочи
6% и плотностью 1,05г/мл. При обработке 10 г. того же
раствора бромной водой с массовой долей 3% до
прекращения обесцвечивания было затрачено 66,65 г.
бромной воды. Рассчитайте массовые доли веществ в
исходном растворе.
Решение:Составим уравнения реакций с гидроксидом
натрия:
x моль
С6Н5ОН+NaOH=С6Н5ОNa+H2O
Y моль
CH3COOH+NaOH=CH3COONa+ H2O
Z моль
CH2==CHCOOH+NaOH=CH2==CHCOONa+ H2O
Составим уравнения реакций с бромной водой:
С6Н5ОН+3Br2= С6Н5Br3OH+3HBr
CH2==CHCOOH+ Br2= CH2Br – CHBrCOOH
CH3COOH+Br2
n(NaOH)=m*w/M*100=9.52*1.05*6/40*100=0.0105 моль
n(Br2)=m*w/M*100=66.65*3/160*100=.0125моль
m(смеси в 10 г. р-ра)=m(смеси)*m(р-ра)/m(водн.р-ра)
=41,8*10/400=1,045 г.
Пусть n(С6Н5ОН)=х, n(CH3COOH)=y, n(CH2==CHCOOH)=z
Найдём М массы веществ:
М(С6Н5ОН)=72+5+17=94
М(CH3COOH)=24+4+32=60
М(CH2==CHCOOH)36+4+32=72
94х+60y+72z=1.045
x+y+z=0.015
3x+z=0.0125
Выразим z из третьего уравнения:
Z=0.0125-3x
94x+60y=0.9-216x=1.045
y-2x=0.025
y=0.025+2x
0.15+120x-122x=0.145
2x=0.005
X=0.0025 y=0.0075
m=n*M
z=0.005
Найдем массы веществ:
m(С6Н5ОН)94*0.0025=0.235г.
m(CH3COOH)60*0.0075=0.45г.
m(CH2==CHCOOH)=0.36г.
%w(вещ-ва)=m(в-ва)*100/m(р-ра)
Найдем массовые СО2е доли веществ в растворе:
%w(С6Н5ОН)=0.235*100/10=2.35%
%w(CH3COOH)=0.45*100/10=4.5%
%w(CH2==CHCOOH)=0.36*100/10=3.6%
Ответ: %w(С6Н5ОН)=2,35%
%w(CH3COOH)=4,5%
%w(CH2==CHCOOH)=3,6%
Условие задачи: плотность газовой смеси, состоящей из
СО и СО2, по воздуху составляет 1,214. Определите состав
газовой смеси в мольных (объёмных) долях.
Решение:
М(смеси)=Двозд.*М(возд.)=1,214*29г/моль=35,2г/моль
Пусть х-число молей СО, y-число молей СО2, тогда:
28х+44y=35.2
22.4x+22.4y=22.4
x=1-y
28(1-y)+44y=35.2
28-28y+44y=35.2
16y=7.2
Y=0.45
x=1-0.45=0.55
Ответ: мольная доля СО=0,55%
мольная доля СО2=0,45%
5. Неопределённые уравнения.
Условие задачи: Для сжижения, каких одноатомных
спиртов, находящихся в парообразном состоянии,
требуется семикратный объём кислорода?
Решение:
4СхHyO+(4x+y-2)O2=4x СО2+2yH2O
4 моль
(4x+y-2)
7n(СхHyO)=n(O2)
28=4x+y-2
Y=30-4x
Уравнение неопределённое и имеет множество решений.
Совместим неравенство. Известно, что число атомов Н2 в
молекуле спирта не может быть меньше 4 и не превышает
числа атомов Н2 в молекуле углеводорода.
4<y<2x+2
4<30-4y<2x+2
4<30-4x
30-4x<2x+2
x<6.5
x>4.7
Но х- целое число, поэтому может принимать только целые
значения: 5 или 6. Если х=5, y=10; x=6,y=6 => есть формулы
С5Н9ОН и С6Н5ОН, последняя формула отвечает фенолу.
Ответ: спирт с формулой С5Н9ОН.
6.
Химия и теория графов.
Некоторые задачи по химии легко решать с помощью
графов.
Условие задачи: Насыщенным углеводородом называется
соединение атома углерода С, имеющего валентность 4, и
водорода Н, имеющего валентность 1, в котором при
заданном числе атомов углерода содержится наибольшее
число атомов водорода. Найдите формулу насыщенного
углеводорода, содержащего n атомов углерода.
Решение: Рассмотрим граф, в котором вершинами
являются атомы, а рёбрами - соответствующие валентные
связи между ними. Покажем от противного, что в графе не
существует цикла, то есть возможности, переходя по рёбрам
графа из вершины в вершину, вернуться в исходную
вершину. Если цикл есть, то должен быть составлен из атомов
углерода, поскольку водород имеет валентность 1 и может
соединяться только с одним атомом. В случае существования
цикла разорвём связь между двумя атомами углерода и
присоединим к каждому из них ещё по одному атому
водорода. Число атомов водорода увеличится, значит,
исходный граф описывал не молекулу насыщенного
углеводорода.
Н
Н
Н Н
Н
Н Н Н
Построенной графе можно перейти по ребрам от
любой вершины к любой другой, в нем нет циклов.Такой
граф называется деревом.
Пусть молекула содержит n атомов углерода и m
атомов водорода, тогда граф будет содержать n+m вершин.
Далее воспользуемся соотношением: в дереве число рёбер на
единицу меньше числа вершин. Следовательно, в графе n+m-
1 рёбер. Из вершины графа, обозначающих атомы углерода,
выходит по 4 ребра, а из вершин, обозначающих атомы
водорода,-1. Используя простой факт, что сумма степеней
вершин, то есть сумма числа рёбер, выходящих из вершин,
равна удвоенному числу рёбер (это утверждение очевидно,
поскольку каждое ребро соединяет ровно две вершины, и
называется леммой о рукопожатиях), можно написать
соотношения: 4n+m=2(n+m-1). Отсюда получаем, что
m=2т+2.
Следовательно, формула насыщенного углеводорода,
имеющего n атомов углерода: СnН2n+2.
Заключение
Использование математических знаний при решении задач по
химии помогает упростить алгоритм решения задач с
усложненными данными ,которые часто встречаются в практике
химических лабораторий и на производстве. Это помогает легко
и быстро решать как простые задачи с использованием
пропорций ,так и сложные-с использованием систем уравнений
.Но для тех, кто ладит с математикой ,этот способ намного
удобнее арифметического или физического. Использование
математики дает возможность показать ее высокую
практическую значимость.
Список использованной литературы:
1. А.А.Кушнарев “Учимся решать задачи по химии”
2. Ю.М.Лабий “Решение задач по химии с помощью уравнений и
неравенств”
3. Научно-методический журнал “Химия в школе” №6 1999
год.
4. Л.А.Слета, Ю.В. Холин ,А.В.Черный “Конкурсные задачи по
химии”