8 класс Задание 3 1) Упростить выражение:

8 класс
Задание 3
1) Упростить выражение: b  1  4b  b 4  8b 2  16 .
Решение.
2b  1 при b  2
b  1  4b  b 4  8b 8  16  b  1  4b  b 2  4  b  1  b  2  
при b  2.
3
2) Два пешехода идут вниз по движущемуся эскалатору метро. Первый за время спуска
насчитал 40 ступеней, а второй – 60 ступеней. Один из них идет в 2 раза быстрее другого.
Сколько ступеней им пришлось бы пройти, если бы эскалатор стоял?
Решение. Пусть скорость 1-го пешехода
ступеней в минуту. Тогда скорость 2-го
40
пешехода 2x ступеней в минуту. Время спуска 1-го пешехода
мин. Время спуска 2-го
x
60 30

пешехода
мин. Пусть скорость эскалатора y ступеней в минуту. За время
2x
x
40
движения 1-го пешехода эскалатор опустился на y 
ступеней и длина его пути будет
x
40 y
30
40 
равна
ступеней. За время движения 2-го пешехода он опустился на y 
x
x
30 y
ступеней и длина его пути будет равна 60 
ступеней. Отсюда получаем уравнение
x
40 y
30 y
40  2 x
30  2 x
40 
 60 
 y  2 x. Имеем
40 
 120 или 60 
 120 . Значит,
x
x
x
x
пешеходам пришлось бы пройти по 120 ступеней.
x
Ответ: 120 ступеней.
3) При каких значениях a уравнение a  1x 2  2a  1x  a  2  0 имеет один корень?
Решение. Уравнение будет иметь один корень, если a  1  0 или дискриминант D  0 .
D
1
2
 a  1  a  1a  2  0, a 2  2a  1  a 2  2a  a  2  0, a  .
4
5
1
, a  1.
5
4) Один из корней уравнения 3x 2  27 x  c  0 на 1 больше другого. Найти c.
Ответ: a 
27
c
, x1 x 2  . По условию x2  x1  1. Имеем
3
3
27
c
c
x1  x1  1 
, x1  4, x1  x1  1  , 44  1  , c  60 .
3
3
3
Ответ: c  60 .
Решение. Применим теорему Виета: x1  x 2 
5) В ромбе ABCD на сторонах AB и BC отложены равные отрезки BE и BF. Доказать, что
 DEF =  DFE.
B
F
C
E
A
D
Решение. Рассмотрим  AED и  FCD. Они равны по первому признаку равенства
треугольников (AD = DC, AE = FC,  A =  C по условию). Отсюда ED = FD.
Значит
 EFD - равнобедренный. Отсюда  DEF =  DFE