ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ ПРИ КОНЕЧНО-

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ ПРИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
УДК 539.31: 674.817
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ
ПРИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
АЛЬЕС М.Ю.
Институт прикладной механики УрО РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
________________________________________________________________________________
АННОТАЦИЯ. Рассматривается задача теории упругости, обладающая симметрией решения относительно
двух поверхностей. Путем введения псевдограниц образуется минимально возможная область интегрирования,
а, исходя из функционала Лагранжа, формулируются граничные условия на поверхностях симметрии
напряженно-деформированного состояния (НДС).
________________________________________________________________________________________________
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод конечных элементов, напряженно-деформированное состояние, псевдограницы,
функционал Лагранжа
Можно считать общепризнанным, что в настоящее время одним из наиболее
эффективных численных методов решения краевых задач механики деформируемого
твердого тела является метод конечных элементов (МКЭ). Важным при практическом
решении задачи МКЭ в условиях ограниченности ресурсов ЭВМ является выбор области
интегрирования возможно меньших размеров. Очевидным примером такой реализации
является использование свойства возможной симметрии решения. Однако, при этом, на
поверхностях, отсекающих область интегрирования от остальной части тела, могут
возникнуть некоторые особенности, которые, без ограничения общности и для простоты
изложения, проиллюстрируем на задаче теории упругости.
Для тела V , ограниченного поверхностью S (Su  S f  S , Su  S f  ) запишем [1]
i ij  0 ,
(1)
ij  0,5(iu j  j ui ) ,
(2)
W
ij 
,
ij
(3)
ui S  ui* ,
u
(4)
ij n j
(5)
Sf
 fi,
где ij , ij — тензоры напряжений и деформаций; ui — перемещения; W — упругий
потенциал; ni — внешняя нормаль к поверхности тела; i — ковариантная производная;
Su , S f — части поверхности тела, на которых заданы перемещения ui* и внешняя
поверхностная нагрузка fi .
У с л о в и е 1 . Пусть задача обладает симметрией решения, например, относительно
поверхностей SaA и SdD (рис. 1).
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 12, №3
297
АЛЬЕС М.Ю.
x2

x3
E

A
a
D
e
B
x1
0

b
d 
Рис. 1.
aA , dD — следы поверхностей S aA

(*)  0
x3
и SdD на плоскости x1 0 x2
В силу симметрии, напряженно-деформированное состояние (НДС) полностью
определяется полями НДС в секторе OAD . Необходимое и достаточное условие симметрии
решения относительно поверхностей SaA и SdD : на линиях aA , dD (в плоскости x1 , x2 )
должны отсутствовать нормальные к ним составляющие вектора перемещений un  0 и
касательные составляющие вектора внутренних усилий   0 . Образуем минимально
возможную область интегрирования aADd путем введения псевдограниц aA , dD и
рассмотрим граничные условия на них в полярной системе координат (r , ) .
С л е д с т в и е 1 . Согласно сформированному только что условию симметрии задачи
будем иметь:
u
 0,
aA,dD
(6)
f r aA,dD  0 ,
(7)
Таким образом, в полярных координатах на границах aA , dD частично известны
перемещения (6) и частично — силы (7); соотношения (6, 7) замыкают задачу1.
У с л о в и е 2 . Известно, однако, что в криволинейных координатах (здесь в r ,  )
решать задачу МКЭ не всегда удобно. Например, в данном случае, если геометрия области
существенно отличается от кругового цилиндра. Во всяком случае, требуется вводить
конечные элементы специального вида [2]. Затрудняются процедуры адаптации и
перестроения сетки для уточнения численного решения. Более универсальными и удобными
[3] являются элементы в виде треугольников (тетраэдров в трехмерном случае). Их
применение требует введения декартовых координат.
С л е д с т в и е 2 . Сформулируем граничные условия на псевдограницах aA и dD
в декартовых координатах ( x1 , x2 ) . Из условия симметрии НДС очевидно имеем:
на aA
u1  0 ,
(8)
2
(9)
f 0,
на dD
u1  u2 tg   0 ,
(10)
1
2
(11)
f tg   f  0 .
1
Условие (7) справедливо для псевдограниц aA , dD , но очевидно не относится собственно к точкам a , A , d , D со
стороны физических границ области интегрирования.
298
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 12, №3
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ ПРИ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
В отличие от условий (6, 7) и (8, 9) соотношения (10, 11) не позволяют однозначно
замкнуть задачу на псевдогранице dD . Покажем это исходя из функционала Лагранжа,
условие стационарности которого имеет вид [1]
ij
ij
i
(12)
  j  ui dV    n j ui dS   f ui dS  0 .
V
S
S
Из (12) с учетом того, что S  S f  Su  S ps ( S ps — поверхность псевдограниц),
а пересечение перечисленных поверхностей отсутствует, следуют соотношения
i ij  0 , ij n j
 f i ,  ij n j ui dS   f i ui dS  0 .
Sf
S ps
S ps
(13)
Обозначим поверхности псевдограниц aA , dD соответственно через SaA , SdD .
Имеем S ps  SaA  SdD , SaA  SdD   .
У с л о в и е 3 . Согласно (8), (10) наложим на функционал Лагранжа дополнительные
условия
u1
 0 , u1
 tg  u2
.
SaA
SdD
SdD
Следствие 3.
Тогда из соотношения (13) с учетом (9), (11) получим следующие
естественные граничные условия на aA и dD
 0.
2 j n j
 0 ,  1j tg   2 j  n j
(14)
SdD


SaA
Таким образом, решение задачи заключается в выборе такого поля перемещений,
удовлетворяющего кинематическим условиям на поверхности тела, чтобы вычисленное по
нему посредством соотношений Коши (2) и физических уравнений (3) поле напряжений
удовлетворяло бы уравнениям равновесия (1) в объеме и естественным граничным условиям
(5) на поверхности тела. Однако вся трудность состоит в том, что существует бесчисленное
множество систем перемещений, удовлетворяющих накладываемому на функционал
условию (10).
У с л о в и е 4 . Для того, чтобы на второй псевдогранице построить граничное условие,
однозначно замыкающее задачу, поступим следующим образом. Рассмотрим внутри области
интегрирования в окрестности линии симметрии dD поверхность eE . Расширим
минимально возможную область интегрирования (сектор aADd ), образовав симметричную
«внутренней» поверхности eE относительно dD псевдограницу bB . Согласно построению
перемещения точек тела, принадлежавших bB и eE , симметричны относительно dD , т.е.
имеет место линейная зависимость
,
(15)
ui
 Nij u j
S
S
bB
eE
где Nij — линейный оператор, компоненты которого в данном случае имеют вид
  cos2 sin 2 
(16)
Nij  
.
cos2
 sin 2
Примем соотношение (15) в качестве кинематических граничных условий, которым
следует удовлетворить на псевдогранице bB .
С л е д с т в и е 4 . И з условия стационарности (12) будем иметь
i ij  0 , ij n j
0,
 f i , 2 j n j
Sf
SaA
ij
i
  n j ui dS   f ui dS  0 .
SbB
SbB
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 12, №3
(17)
299
АЛЬЕС М.Ю.
Согласно (15) соотношение(17) можно записать в виде
i
 ij

uk
dS  0 .
   n j Nik  f Nik 
S
S
eE
SbB
bB
Отсюда, в силу произвольности uk
, получим
SeE
 ij n N  f i N 

j ik
ik  S  0 .

bB
(18)
Вследствие симметрии bB , eE аналогично соотношению (15) имеют место линейные
зависимости
 fk
, Nik f i
,
nj
 N jmnm
SbB
SbB
SeE
SeE
N jm Nik ij
 km
,
SbB
SeE
с учетом которых выражение (18) принимает вид
 km n  f k 


m


0.
SeE
Последнее выражение представляет собой условие на границе контакта eE между
мысленно разделенными объемами области интегрирования. Напомним, что по определению
тензора напряжений эти соотношения справедливы в каждой точке объема тела,
следовательно, граничные условия (15) корректны и однозначно замыкают задачу.
Использование симметрии НДС тела в декартовой системе координат привело к
специальному типу граничных условий. На псевдогранице bB неизвестны ни силы, ни
перемещения. На вектор перемещений u S
множества псевдограничных точек здесь
bB
накладывается условие в виде линейной зависимости (15) от вектора перемещений u S
eE
2
некоторого симметричного множества внутренних точек области интегрирования .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зенкевич.О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир. 1975. 541 с.
2. Лурье А.И. Теория упругости. М. : Наука. 1970. 939 с.
3. Круглякова Л.В., Неледова А.В., Тишкин В.Ф. и др. Неструктурированные адаптивные сетки для задач
математической физики (обзор) // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 3. С.93-116.
________________________________________________________________________________________________
ABOUT EMPLOYMENT METHOD OF SYMMETRY CHARACTERISTICS TASK BY FINITE-ELEMENTS
SOLUTION OF DEFORMATION TASKS
Alies M.Yu.
Institute of Applied Mechanics, Ural Branch of RAS, Izhevsk, Russia
SUMMARY. With an example is demonstrated the task theory of elasticity with symmetry solution relatively twice
surfaces. By advent pseudo bounds generated marginally possible domain of integration. The boundary conditions of
symmetry surfaces for mode of deformation are formulate based on Lagrange functional.
KEYWORDS: finite elements method, mode of deformation, pseudo bounds, Lagrange functional.
Альес Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ИПМ
Уро РАН, тел. (3412) 20-34-76, e-mail: aliesmy@mail.ru
2
Возвращаясь к соотношению (10), заметим, что оно может использоваться в качестве одной из характеристик контроля
точности решения.
300
ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И МЕЗОСКОПИЯ. Том 12, №3