1.4. Распределение Больцмана 1.4.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10 21кг. Во сколько раз уменьшится их концентрация при увеличении высоты на h = 10 м? Температура воздуха остаётся постоянной Т = 300 К. Решение: 1. Запишем уравнение распределения частиц в силовом поле, в данном случае, в поле силы тяжести U , (1) n n 0 exp k BT где n концентрация частиц в искомой точке пространства, n0 концентрация частиц на уровне, принятом за нулевой, U потенциальная энергия частиц, kB постоянная Людвига Больцмана, Т абсолютная температура. 2. Как известно, в поле силы тяжести, частицы, имеющие массу, обладают потенциальной энергией U = mgz, где z расстояние от поверхности земли до данной частицы. Таким образом, поверхность планеты выбирается как эквипотенциаль нулевого уровня. Уравнение (1) в этой связи можно переписать следующим образом mgz . (2) n n 0 exp k BT 3. Чтобы определить во сколько раз изменится концентрация пылинок при изменении высоты на h = 10м, необходимо найти отношение их концентраций. Примем начальную высоту за h, тогда уравнение (2) для заданных условий можно переписать следующим образом mgh mg (h h , n 2 n 0 exp , (3) n 1 n 0 exp k BT k BT 4. Поделим уравнения (3) друг на друга mg h n1 10 21 10 10 exp e 23,8 2,2 10 10 . exp (4) 23 n2 k T 1 , 4 10 300 B 1.4.2. Одинаковые частицы массой m = 1015 кг каждая распределены в однородном гравитационном поле напряжённостью G = 210 7 H/кг. Определить отношение концентраций частиц n1/n2, отстоявших 74 на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии z = 10 м. Температуру считать постоянной и равной Т = 290 К. Решение 1. Напряжённость гравитационного поля G [Н/кг] по размерности эквивалента размерности ускорения свободного падения g [м/с2], поэтому для определения отношения концентраций можно воспользоваться уравнением (4) предыдущей задачи mG z n1 10 15 2 10 7 10 exp e 0,5 1,63 . (1) exp 23 n2 k T 1 , 4 10 290 B 1.4.3. В некой неубранной комнате при постоянной температуре Т = 300 К витают в воздухе взвешенные частички массой m = 110 21 кг. Отношение концентрации пылинок на высоте h = 1 м и у пола составляет h/h0 = 0,8. Возможно ли по этим данным определить значение постоянной Авогадро? Решение 1. Запишем уравнение распределения частиц в постоянном силовом поле Больцмана U , (1) n n 0 exp k BT 2. Постоянная Больцмана может быть выражена через универсальную газовую постоянную и число Авогадро kB = R/NA, уравнение (1) перепишется следующим образом mghN A n n 0 exp (2) . RT 3. Отношение концентраций примет следующий вид n mghN A 0,8 exp (3) , n0 RT откуда RT ln 0,8 8,3 300 0,24 mghN A ln 0,8 5,98 10 23 . (4) , N A 21 RT mgh 10 10 1 1.4.4. Отношение концентрации взвешенных частиц в слоях, отстоящих на расстоянии h = 1 м друг от друга, равно е. Частицы находятся в однородном поле силы тяжести при постоянной температуре Т = 300 К. Найти силу F, действующую на частицу. 75 Решение 1. Воспользуемся уравнением (1) задачи 1.4.2 и выразим из него действующую на частицу силу mG z Fh n1 exp e , (1) exp n2 k BT k BT k T ln e 1,4 10 23 300 1 F B 4,2 10 21 H . (2) h 1 1.4.5. Известно, что Блез Паскаль исследуя природу атмосферного давления, просил свих родственников подниматься с ртутным барометром на гору Пюи-де-Дом и делать записи показаний. На сколько изменились показания прибора при поднятии его на высоту h = 100 м при постоянной температуре Т = 300 К. Решение 1. Будем считать, что у подножия горы атмосферное давление нормальное, т.е. р0 = 0,1 МПа, молярная масса воздуха = 310 2 кг/моль. 2. Запишем далее барометрическую формулу и преобразуем её для показаний барометра на высоте h = 100 м. gh gh p p 0 exp (1) , p p 0 exp . RT RT 3 10 2 10 100 9,876 10 4 Па . p 10 5 exp (2) 8 , 3 290 3. Разность показаний барометра у подножья горы и на высоте 100 м над уровнем моря составит p p 0 p 1,23 10 3 Па . (3) 1.4.6. При вертикальном подъёме аэростата на борту которого установлен барометр, зафиксировали уменьшение давления в три раза по сравнению с нормальным р0 =0,1 МПа. Температура Т = 290 К оставалась постоянной. На какой высоте это произошло? Решение 1. На искомой высоте показания барометра составили p = p0/3 3,3104 Па. Барометрическая формула примет при этом вид p gh ln0,333 RT gh p p 0 exp , h . (1) , ln RT g p RT 0 76 h 1,1 8,3 290 8826 м . 3 10 -2 10 (2) 1.4.7. В кабине летательного аппарата барометр показывает давление р = 70 кПа. На какой высоте находится аппарат, если при взлёте барометр фиксировал давление р0 = 0,1 МПа? Температуру считать постоянной Т = 290 К. Решение 1. Представим барометрическую формулу в следующем виде p gh exp , p0 RT откуда h ln 0,143 RT 1,94 8,3 290 15565 м . g 3 10 2 10 (1) (2) 1.4.8. На некоторой высоте при температуре Т = 220 К бортовой барометр самолёта показывает давление р0 = 24 кПа. На сколько изменилась высота, ели показания прибора изменились на р = 100 Па? Решение 1. Запишем барометрическую формулу, воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи p 0 p p p gh gh exp (1) , ln 0 . p0 p0 RT RT 2. Выразим из уравнения (1) величину h p p RT ln 0 p 0 4 10 3 8,3 220 (2) h 25 м . g 3 10 2 10 1.4.9. Барометр на борту летательного аппарата показывает давление р = 70 кПа. Какова будет величина ошибки при определении высоты в горизонтальном полёте h, если температура воздуха изменится на Т = 4 К ? Решение 1. Представим барометрическое уравнение следующим образом 77 p gh exp . p0 RT (1) 2. Выразим из уравнения (1) величину ошибки h и подставим заданные величины ln p p 0 RT ln 7 10 4 110 5 8,3 4 (2) h 39,5 м . g 3 10 2 10 1.4.10. Установить, пользуясь функцией распределения Больцмана, распределение однородных частиц массой m, с концентрацией n, в центрифуге в функции расстояния от оси вращения r. Ротор центрифуги вращается с постоянной угловой скоростью . Решение 1. В данном случае частицы будут находиться в поле центробежных сил, поэтому энергия частицы будет определяться уравнением mv 2 m2 r 2 . (1) 2 2 2. Распределение частиц вдоль радиуса центрифуги в общем виде можно представить следующим образом , (2) n n 0 exp k BT где n концентрация частиц на данном удалении от оси вращения, n0 концентрация частиц на оси вращения, энергия частицы, в данном случае кинетическая. 3. Подставим в уравнение (2) значение энергии из соотношения (1) m2 r 2 . (3) n n 0 exp 2k B T 1.4.11. Ротор ультрацентрифуги радиуса r = 1 м вращается с частотой n = 100 с -1, раскручивает газообразное вещество с относительной молекулярной массой Mr = 103 при температуре Т = 1000 К. Определить отношение концентрации частиц на оси устройства и на его периферии nr/n0. Решение 1. Молярная масса газообразного вещества равна = 1 кг/моль, угловая скорость ротора центрифуги равна = 2n = 6,28102 рад/с 2. Для определения отношения концентраций воспользуемся урав78 нением (3) предыдущей задачи, заменив предварительно комбинацию величин m/kB, на /R 2 r 2 . n r n 0 exp (1) 2RT 3. Определим отношение концентраций, поделив уравнение (1) на осевую концентрацию n0 nr 2 r 2 1 628 2 1 exp e 24 2,6 10 10 , exp (2) 3 n0 2 RT 2 8 , 3 10 высокая скорость вращения ротора обеспечивает значительные центростремительные ускорения, что и приводит к сосредоточению большинства молекул газа в периферийной части ультрацентрифуги. 1.4.12. В центрифуге находится криптон, при температуре Т = 300 К. Ротор центрифуги радиусом r = 0,5 м вращается с постоянной частотой n = 50 с -1. Определить давление газа на стенки ротора p, если на оси вращения давление равно нормальному атмосферному давлению р0 = 105 Па. Решение 1. Запишем уравнение распределения Больцмана в следующем виде 2n 2 r 2 2 r 2 p 0 exp (1) p p 0 exp . 2RT 2RT 2. Определим величину давления на стенки ротора 0,84 314 2 0,25 5 4,3 6 p 10 5 exp 10 e 7,4 10 Па . 2 8 300 1.4.13. Центрифуга с радиусом ротора r = 0,4 м и угловой скоростью вращения = 500 рад/с заполнена газом при температуре Т = 300 К. Давление у стенки ротора в 2,1 раза больше нормального атмосферного давления р0 = 105 Па. Определить, какой газ находится в центрифуге? Решение 1. Для идентификации газа необходимо определить его относительную молекулярную массу, для чего достаточно уравнение (1) предыдущей задачи переписать в следующем виде 2 r 2 2 r 2 p , , p p 0 exp exp r (1) p0 2RT 2RT 79 ln p p 0 2RT 0,74 16,6 271 (2) 83 . 3 2 2 10 r 2 10 3500 2 0,16 Наиболее близким по относительной молекулярной массе к полученному результату является радон. r 1.4.14. Определите величину давления в вертикальной шахте глубиной 2 км, если по всей её высоте температура и ускорение свободного падения сохраняются постоянными: Т = 10 0С, g 10 с/с2. Решение 1. В данном случае при определении потенциальной энергии единичной молекулы необходимо учесть величину заглубления 3 10 2 10 2 10 3 gh 5 0,13 МПа . p p 0 exp (1) 10 exp 8,3 283 RT 1.4.16. Планер по причине безопасности может подниматься на высоту, где атмосферное давление р составляет 60% от нормального р0= 0,1 МПа. Найти предельную высоту полёта планера, если температура воздуха за его бортом остаётся постоянной и равной t = 5 0С. Решение 1. Предельную высоту полёта планера определим, используя барометрическую формулу в следующем виде p gh gh p p 0 exp . (1) , ln RT p RT 0 2. Решим уравнение (1) относительно искомой высоты полёта RT ln0,6 8,3 278 0,5 h 3846 м . (2) g 0,3 1.4.17. На высоте h1 = 8000 м ощущается кислородное голодание. Для создания приемлемых условий в герметичных багажных отсеках транспортных самолётов поддерживается давление, соответствующее высоте h2 = 2000 м. Определить разность давлений в кабине самолёта и за бортом при температуре воздуха t2 = 10 0C. Решение 1. Определим давление р2 на высоте h2, воспользовавшись барометрической формулой 80 gh 2 0,03 10 2 10 3 110 5 exp 0,769 10 5 Па . (1) p 2 p 0 exp RT 8,3 283 2 2. Определим давление воздуха за бортом на высоте h1 = 8000 м gh1 0,3 8 10 3 10 5 exp 0,36 10 5 Па . (2) p1 p 0 exp RT 8 , 3 283 2 3. Разность давлений в грузовом отсеке и за бортом, таким образом, составит p p 2 p1 0,41 10 5 Па . (3) 14.18. Плотность воздуха зависит от высоты подъёма над поверхностью земли. Определить отношение плотностей воздуха на высоте h1 = 10 км, где температура равна t1= 50 0C и на поверхности при температуре t2 = 27 0C. Нормальное атмосферное давление принять равным p0 = 0,1 МПа. Решение 1. Зависимость плотности от давления можно установить из уравнения Клайперона Менделеева. Для плотности воздуха 0 на поверхности земли p RT2 m m RT2 p 0 V RT2 , p 0 0 , 0 0 , (1) V RT2 10 5 0,03 кг (2) 1,2 3 . 8,3 300 м 2. Плотность воздуха на высоте h1 определим, преобразовав барометрическую формулу gh1 gh1 p1 p 0 , , (3) p1 p 0 exp exp V V RT1 RT1 0 gh1 0,03 10 10 4 1,2 exp 1 0 exp 8,3 223 RT1 3. Отношение плотностей определится как 0 1,2 5,2 . 1 0,23 81 кг 0,23 3 . м (4) (5) 1.5. Длина свободного пробега молекул и частота их столкновения 1.5.1. Атомарный водород содержат при давлении р = 1 Па при температуре Т = 50 К. Какова длина свободного пробега атомов? Решение 1. Запишем уравнение для длины свободного пробега 1 , 2 d 02 n (1) где d 0 1,510 10 м эффективный диаметр атома или молекулы, который, как правило, заимствуется из справочника, n концентрация, в данном случае атомов. 2. В уравнении (1) неизвестна концентрация атомов, которую можно найти, воспользовавшись следствием основного уравнения МКТ p p nk B T, n . (2) k BT 3. Подставим значение n из уравнения (2) в уравнение (1) k BT 1,4 10 2350 7 10 3 м . (3) 20 2 1 , 41 3 , 14 2 , 25 10 1 2 d 0 p 1.5.2. Определить величину давления р при котором длина свободного пробега молекул хлора Cl2 составляет = 0,1 м, если температура газа равна Т = 1000 К. Решение 1. Из уравнения для давления газа выразим величину концентрации молекул, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи p p nk B T, n . (1) k BT 2. Подставим выражение для концентрации из (1) в уравнение для длины свободного пробега k BT . (2) 2 d 02 p 3. Выразим из уравнения (2) искомое давление, при учёте значения диаметра молекул d0 = 3,710 10 м 82 p k BT 2d 02 1,4 10 -23 10 3 0,23 Па . 0,11,41 3,14 1,37 10 19 (3) 1.5.3. В газоразрядной трубке объёмом V = 1 л содержится гелий массой m = 2 г. Определить длину свободного пробега молекул газа. Решение 1. Диаметр молекул гелия примем равным d0 = 210 10 м, молярная масса гелия = 410 3 кг/моль. 2. Запишем уравнение для длины свободного пробега молекул газа, воспользовавшись уравнением (3) задачи 1.5.1 k BT . (1) 2 d 02 p 3. Давление р выразим из уравнения Клайперона Менделеева m (2) p RT . V 4. Совместим уравнения (1) и (2) k B TV k B V 1,4 10 2 3 4 10 3 10 3 1,9 10 8 м 2 0 3 2 d 02 mRT 2 d 02 mR 1,41 3,14 4 10 2 10 8,3 1.5.4. Средняя длина пробега молекул кислорода О2 составляет = 10 см. Определить плотность газа. Решение 1. Воспользуемся последним уравнением предыдущей задачи k B TV k B V , 2 2 d 0 mRT 2 d 02 mR и выразим из него плотность = m/V k B . 2 d 02 R 2. Разрешим уравнение (2) относительно плотности k B . 2d 02 R (1) (2) (3) 3. Подставим в уравнение (3) следующие характеристики газа: = 3210 3 кг/моль, d 02 3 10 1 0 м 83 1.4 10 23 32 10 3 кг 1,3 10 6 3 . 20 0,11,41 3,14 9 10 8,3 м (4) 1.5.5. Электровакуумный прибор содержит некоторое количество атмосферного воздуха при температуре t = 100 0С. Давление в колбе составляет р = 110 2 Па. Можно ли считать прибор вакуумированным, ели характерный размер устройства L = 10 см? Решение 1. Чтобы установить высокий ли вакуум внутри прибора, необходимо, чтобы длина свободного пробега имеющихся молекул газа была существенно больше характерного размера, т.е. L. 2. Перепишем уравнение (1) задачи 1.5.3 k BT . (1) 2 d 02 p 3. Подставим в последнее уравнение заданные по условию задачи параметры, а также d 0 3,210 10 м 1,4 10 -23 373 (2) 118 м . 1,41 3,14 110 19 10 4 4. Так как L 1180 , можно считать, что прибор является высоко вакуумированным устройством. 1.5.6. Молекулы водорода Н2 имеют при нормальных условиях среднюю длину свободного пробега 110 7 м. Оценить диаметр молекулы водорода и сравнить с табличным значением. Решение 1. Для оценки диаметра молекулы водорода воспользуемся уравнением (2) задачи 1.5.2 k BT , (1) 2 d 02 p откуда выразим диаметр d0 2d 02 p k B T, d 0 k BT 2p . (2) 2. Подставим в уравнение (2) заданные по условию величины и табличные данные и оценим диаметр молекулы водорода 84 1,41 10 23 273 2,94 10 10 м . (3) 110 7 1,41 3,14 10 5 3. В соответствии с табличными данными диаметр молекулы водорода составляет d0 = 2,510 10 м, ошибка приближённой оценки составляет 15%. d0 1.5.7. Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота N2 в воздухе при нормальных условиях. Диаметр молекулы азота принять равным d0 = 0,32 нм. Решение 1. Запишем табличные данные, дополняющие условие задачи: р = 0,1 МПа, Т = 273 К, = 2810 3 кг/моль. 2. Определим среднюю длину свободного пробега, воспользовавшись уравнением (1) предыдущей задачи k BT 1,4 10 -2 3 273 84 ,5 нм . (1) 1 9 5 2 d 02 p 4,42 10 10 1.5.8. На околоземной орбите, на высоте h = 100 км среднегодовая температура составляет, примерно t 77 0С. Диаметр молекул водорода и гелия, которые наиболее вероятны на этих высотах, можно принять равным d0 210 10 м. Определить длину свободного пробега молекул этих газов. Решение 1. Чтобы воспользоваться уравнением (1) предыдущей задачи, необходимо вычислить давление на заданной высоте 2 10 3 10 5 gh 5 4 p p 0 exp (1) 10 exp 3 10 Па . RT 8 , 3 196 2. Определим среднюю длину свободного пробега молекул k BT 1,4 10 -23 196 5 10 7 м . (2) 20 4 2 d 02 p 4,42 4 10 3 10 1.5.9. На высоте h = 300 км над поверхностью Земли концентрация частиц составляет n 1015 1/м3. Средний диаметр частиц равен d0 = 0,3 нм. Определить длину свободного пробега частиц на этой высоте. 85 Решение 1. Длина свободного пробега частиц определится в этом случае по уравнению 1 1 5630 м . (1) 20 15 2 d 02 n 4.44 4 10 10 Полученный результат не является удивительным, потому что концентрация частиц на обсуждаемой высоте мала, поэтому околоземную среду можно считать вакуумом. 1.5.10. В закрытом сосуде азот N2 содержится при давлении 100 кПа и температуре 27 0С. определить длину свободного пробега молекул Решение 1. В данном случае уместна формула (1) задачи 1.5.7, т.е. k BT 1,4 10 23 300 9,5 10 11 м . 19 8 2 2 d 0 p 1,41 3,14 110 10 (1) 1.5.11. Установить зависимость средней длины свободного пробега молекул идеального газа от величины давления при изохорном и изобарном процессах. Решение 1. Установим зависимость =f(p) для изохорного процесса, для чего запишем уравнение Клайперона Менделеева в следующем виде m RT RT . (1) p V 2. Подставим полученное уравнение давления в формулу (1) предыдущей задачи k BT k B T k B . (2) 2 2 2 d 0 p 2 d 0 RT 2 d 02 R 3. Уравнение (2) представляет собой набор постоянных величин, плотность газа так же не меняется = m/V, потому что объём неизменен во время изменения состояния. Таким образом, при изохорном процессе средняя длина свободного пробега молекул идеального газа не зависит от величины давления. 4. Проанализируем зависимость =f(p) для изобарного процесса при p = const. В этом случае согласно уравнению (2) длина свободного пробега будет обратно пропорциональна величине давления р 1/р. 86 1.5.12. Определить среднее число столкновений z за 1 секунду молекулы азота N2, находящегося при давлении 1 МПа и температуре t = 27 0C. Решение 1. Запишем уравнение для среднего числа столкновений молекул газа z 2 d 02 n v . где d 2 0 (1) квадрат эффективного диаметра молекулы, n концентрация мо- лекул, v средняя арифметическая скорость молекул. 2. Определим концентрацию молекул из уравнения для давления газа p p nk B T, n . (2) k BT 3. Найдём далее среднюю арифметическую скорость молекул газа при заданных условиях 8RT . (3) 4. Подставим полученные значения концентрации и средней скорости v Ар и табличные значение диаметра молекулы d0 = 3,210 10 м и v Ар молярной массы азота = 2810 3 кг/моль в исходное уравнение (1) z 2d 02 p 8RT 10 6 8 8,3 300 4,44 10 19 23 k BT 1,4 10 300 3,14 28 10 3 5 10 1 0 с 1 . (4) 1.5.13. Молекулярный водород при нормальных условиях занимает объём V = 10 9 м3. Найти число столкновений N , которые испытывают все молекулы газа в течение 1 с. Решение 1. По условию задачи: = 210 3 кг/моль, d0 = 2,510 10 м, р = 0,1 МПа, Т = 273 К. 2. Определим массу газа заключенного в заданном объёме m pV . (1) pV RT m RT 3. Найдём число молекул газа, составляющих заданный объём 87 mN A m N , N . (2) NA 4. Средняя арифметическая скорость молекул водорода составит 8RT . (3) 5. Для нахождения концентрации молекул воспользуемся уравнением (2) N pVN A pN A p . (4) n V VRT RT k BT 6. Определим среднее число столкновений одной молекулы водорода за 1 секунду v z 2d 02 n v 2d 02 p kB 8R , T 10 5 8 8,3 1,2 10 10 c 1 1,4 10 23 3,14 2 10 3 273 7. Найдём число столкновений всех молекул за 1 секунду pV 10 5 10 9 N z N z 1,2 10 10 3 10 26 . k BT 1,4 10 -23 273 z 4,44 6,25 10 20 (5) (6) (7) 1.5.14. В газоразрядной трубке находится неон при температуре Т = 300 К и давлении р = 1 Па. Определить число атомов газа, ударяющихся за 1 секунду о катод прибора, имеющий форму диска площадью s = 110 4 м. Решение 1. Определим концентрацию молекул газа в трубке p p nk B T, n . (1) k BT 2. Запишем уравнение для средней арифметической скорости молекул неона 8RT . (2) 3. Определим среднее значение числа столкновений молекул, приняв величину эффективного диаметра молекулы d0 = 3,510 10 м v 88 z 2d 02 n v 2d 02 p 8RT , k B T (3) 8 8,3 300 (4) 7 10 4 c 1 . 1,4 10 300 3,14 2 10 2 4. Определим площадь поперечного сечение одной молекулы неона 1 3,14 1,2 10 19 (5) s 0 d 02 9,4 10 20 м 2 . 4 4 5. Найдём число , способных одновременно соприкоснуться с поверхностью катода s 1 10 4 N 110 15 . (6) s 0 9,4 10 20 6. Определим общее число атомов неона, попадающих на катод в течение 1 секунды (7) N N z 7 1019 . z 4,44 1,2 10 19 1 23 1.5.15. Определить среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при температуре T = 250 K и давлении р = 100 Па. Решение 1. Для определения средней частоты соударения молекул кислорода воспользуемся уравнением (3) предыдущей задачи p 8R . (1) k B T 2. Среднее время свободного пробега между соударениями молекул будет численно равно периоду соударений, т.е. z 2d 02 n v 2d 02 k T k 1 T B2 B2 . (2) z pd 16 R pd 0 16 R 0 3. Подставим в уравнение (2), наряду с заданными по условию задачи величинами, следующие табличные данные: = 3210 3 кг/моль, d0 = 310 10 м, R = 8,3 Дж/(мольК) 1,4 10 -23 3,14 10 2 9 10 20 3,14 32 10 3 250 215 нс . 133 (3) 1.5.16. Установить зависимость средней длины свободного пробега молекул идеального газа от температуры Т при изохорном процессе. 89 Решение 1. Запишем уравнения для средней длины свободного пробега молекулы и уравнение для концентрации молекул, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.5.14 k BT p 1 , , . (1) n 2 k BT 2 d 0 n 2 d 02 p 2. Выразим далее давление р из уравнения Клапейрона Менделеева и подставим в уравнение (1) k B TV RT pV RT, p , , (2) V 2 d 02 RT k BV , (3) 2 d 02 R где количество вещества, V объём газа. 3. Как видно из уравнения (3) длина свободного пробега молекул от температуры не зависит. 1.5.17. Найти зависимость среднего числа столкновений молекул z идеального газа в 1 секунду от давления р при изохорном способе изменения состояния. Зависимости представить в виде качественного графика. Решение 1.Запишем уравнение для среднего числа столкновений молекул идеального газа, подставив в это уравнение значение концентрации молекул из уравнения (1) предыдущей задачи z 2 d 02 n v 2 d 02 (1) 2. Выразим температуру из уравнения Клайперона Менделеева pV pV RT, T , (2) R и подставим значение Т в уравнение (1) z z 2 d 02 0 8Rp 2 . k 2B T p 2d 02 90 8Rp 2 R 8R 2 p 2 2 d 0 k 2B pV k 2B V 8N 2A mp , 2V z p . (3) 1.5.18. Какую максимальную концентрацию молекул водородаН2 нужно обеспечить, чтобы в сферическом сосуде радиусом r = 0,1 м они не сталкивались друг с другом? Решение 1. Чтобы выполнялось заданное условие необходимо, чтобы средняя длина свободного пробега превосходила размеры сосуда, т.е. 1 2r . (1) 2 d 02 n 2. выразим из уравнения (1) концентрацию атомов водорода Н подставив значение эффективного диаметра молекул d0 = 0,25 нм 1 1 1 n 1,8 10 19 3 . (2) 20 2 1 , 41 3 , 14 6 , 25 10 0 , 2 м 2 d 0 2r 1.5.19. Оценить число молекул воздуха, соударяющихся в секунду со стеной вашей комнаты на её площади S = 110 4 м2. Решение 1. Запишем дополнительные данные, соответствующие условиям жилой комнаты: d0 0,3 нм; T = 300 K, р = 0,1 МПа; = 310 2 кг/моль. 2. Определим среднюю частоту столкновения молекул воздуха, воспользовавшись уравнением (1) задачи 1.5.15 z 2d 02 n v 2d 02 p kB 8R . T (1) 10 5 66,4 (2) 4,4 10 9 c 1 . 1,4 10 23 3,14 3 10 2 300 3. Найдём число молекул воздуха, способных одновременно попадать на заданную площадь стены S 6S 6 10 4 S z z 4,4 10 9 3 10 34 c 1 . (3) 3 29 s0 d 0 3,14 2,7 10 z 4,44 9 10 20 1.5.20. В разреженном газе с постоянной скоростью v движется шар радиуса r. Число молекул в единице объёма равно n, масса одной молекулы составляет m0. Скорость движения шара во много раз превышает скорость теплового движения молекул vv0. Оценить силу сопротивления, действующую на шар 91 Решение 1. Поскольку vv0, то можно считать, что при встрече с молекулой, шар сообщает ей импульс, который модно определить из закона сохранения импульса (1) F t m 0 v m 0 v 0 , так как m0v m0v, то (2) F t m 0 v . 2. Определим далее количество молекул, способных одновременно встретится с поверхностью шара при его поступательном движении S 4r 2 4r 2 (3) N1 2 . s0 d 02 d0 3. Средняя частота столкновения с шаром будет примерно равна средней частоте их столкновений при тепловом движении z 2 nd 02 v . (4) 4. Число частиц одновременно сталкивающихся с поверхностью шара N z N 1 4 2 r 2 nv . (5) 5. Сила сопротивления, таким образом, определится суммарным импульсом, сообщаемым шаром в единицу времени всем, встречающимся молекулам m v F N 0 4 2 nm 0 v 2 r 2 . (6) t 1.5.21.Космический аппарат сферической формы радиуса r = 0,564 м входит в верхние слои атмосферы с первой космической скоростью v 8 км/с. Разреженна газовая среда характеризуется давлением воздуха р = 10 4 Па и температурой Т = 1500 К. Определить среднее число столкновений аппарата с молекулами воздуха в течение 1 с. Решение 1. За промежуток времени t аппарат столкнётся со всеми молекулами, содержащимися в цилиндре площадью S = r2 1 м2 и длиной L = vt, число которых определится в виде (1) N nV nr 2 vt , где n концентрация молекул воздуха. 2. Молекулы в данном случае можно считать неподвижными, т.к. скорость аппарата во много раз меньше скорости теплового движения молекул. Концентрация молекул, при этом, может быть выражена через 92 уравнения состояния p . (2) k BT 3. Подставим значение концентрации в уравнение (1) для единицы времени и получим искомое число частиц r 2 pv 3,14 0,318 10 4 8 10 3 1 N 4 10 19 . (3) 23 k BT 1,4 10 1500 c n 1.5.22. Сферический сосуд радиусом r = 0,1 м содержит гелий, концентрация атомов которого такова, что они не испытывают столкновений между собой. Какая масса газа заключена в сосуде? Решение 1. Длина свободного пробега атомов газа по условию данной задачи должна быть больше характерного размера ограничивающего его сосуда, т.е. 2r 1 2r . (1) 2 nd 02 2. Примем далее d0 = 0,2 нм и решим уравнение (1) относительно критического значения концентрации 1 n cr . (2) 2r 2d 02 3. Определим далее максимальное число атомов, соответствующих условию отсутствия столкновений 4 2r 2 N max n cr r 3 . (3) 3 3 2d 02 4. Используя понятие количества вещества, найдём массу гелия содержащегося в заданных условиях при его молярной массе = 410 3 кг/моль N max 2r 2 4 10 3 2 10 2 m 8 10 10 кг . (4) -20 23 2 NA 3 1 ,41 4 10 6 10 3 2d 0 N A 93