Министерство образования Республики Башкортостан УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

Министерство образования Республики Башкортостан
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по УВР
_____________ Л.Р. Туктарова
«_____» ______________2014 г.
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ДИСЦИПЛИНА «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
специальность 230115 «Программирование в компьютерных системах
(базовой и углубленной подготовки)»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
СОГЛАСОВАНО
__________________ Р.Р. Рахимов
РАССМОТРЕНО
на заседании кафедры математических и
естественно-научных дисциплин
_____________ В.Ф.Султанова
«_____» ______________2014 г.
Уфа 2014 г.
РАЗРАБОТЧИК
___________ Г.Р. Идрисова
Содержание
Стр.
Предисловие
Практическая работа № 1 «Действия над матрицами. Вычисление
определителей»
Практическая работа № 2 «Решение систем линейных уравнений
методом обратной матрицы»
Практическая работа № 3 «Решение систем линейных уравнений
методом Крамера»
Практическая работа № 4 «Решение систем линейных уравнений
методом Гаусса»
Практическая работа № 5 «Операции над векторами. Вычисление модуля
и скалярного произведения»
Практическая работа № 6 «Составление уравнений прямых на плоскости.
Определение взаимного расположения прямых»
Практическая работа № 7 «Решение задач на кривые второго порядка»
Практическая работа № 8 «Вычисление пределов. Раскрытие
неопределенностей»
Практическая работа № 9 «Вычисление односторонних пределов.
Исследование функций на непрерывность. Классификация точек
разрыва»
Практическая работа № 10 «Дифференцирование сложной функции»
Практическая работа № 11 «Физические и геометрические приложения
производной»
Практическая работа № 12 «Нахождение экстремумов функции,
нахождение наименьшего и наибольшего значений функций на отрезке»
Практическая работа № 13 «Полное исследование функции. Построение
графиков»
Практическая работа № 14 «Вычисление неопределенных интегралов»
Практическая работа № 15 «Вычисление определенных интегралов»
Практическая работа № 16 «Вычисление площадей плоских фигур и
объемов тел вращения»
Практическая работа № 17 «Вычисление пределов, частных производных
и дифференциалов функций нескольких действительных переменных»
Практическая работа № 18 «Решение задач на вычисление двойных
интегралов и их приложение»
Практическая работа № 19 « Выполнение действий над комплексными
числами в алгебраической форме »
Практическая работа № 20 «Действия над комплексными числами в
тригонометрической и показательной форме»
Практическая работа № 21 « Решение дифференциальных уравнений
первого порядка »
Практическая работа № 22 «Решение дифференциальных уравнений
второго порядка»
Практическая работа № 23 «Решение дифференциальных уравнений
второго порядка»
Практическая работа № 24 «Исследование на сходимость положительных
и знакочередующихся рядов»
Практическая работа № 25 «Нахождение области сходимости степенного
ряда. Разложение в ряд Тейлора-Маклорена элементарных функций»
3
5
10
14
18
21
27
36
42
48
54
58
62
68
73
79
85
94
99
109
115
124
131
131
136
141
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания для выполнения практических работ являются частью
основной
профессиональной
образовательной
программы
Государственного
образовательной учреждения среднего профессионального образования «Уфимский
государственный колледж радиоэлектроники» по специальности СПО 230115
«Программирование в компьютерных системах (базовой и углубленной подготовки)» в
соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.
Методические указания по выполнению практических работ
адресованы
студентам очной и заочной с элементами дистанционных технологий формы обучения.
Методические указания созданы в помощь для работы на занятиях, подготовки к
практическим работам, правильного составления отчетов.
Приступая к выполнению практической
работы, необходимо внимательно
прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню подготовки в
соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения
(ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме
практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Все задания к практической работе необходимо выполнять в соответствии с
инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной
методике.
Отчет о практической работе необходимо выполнить по приведенному алгоритму,
опираясь на образец.
Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для
получения зачета по дисциплине «Элементы высшей математики» и допуска к экзамену,
поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения
неудовлетворительной оценки за практическую необходимо найти время для ее
выполнения или пересдачи.
Правила выполнения практических работ
1. Студент должен прийти на лабораторное занятие подготовленным к выполнению
лабораторной работы.
2. После проведения лабораторной работы студент должен представить отчет о
проделанной работе.
3. Отчет о проделанной работе следует выполнять в журнале лабораторных работ
на листах формата А4 с одной стороны листа.
Оценку по лабораторной работе студент получает, если:
- студентом работа выполнена в полном объеме;
- студент может пояснить выполнение любого этапа работы;
- отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы;
- студент отвечает на контрольные вопросы на удовлетворительную оценку и
выше.
Зачет по выполнению лабораторных работ студент получает при условии
выполнения всех предусмотренных программой лабораторных работ после сдачи журнала
с отчетами по работам и оценкам.
Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач
возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо
обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения
дополнительных занятий.
3
Обеспеченность занятия (средства обучения):
1.
Учебно-методическая литература:
- Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов – М.:
Юнити, 2005 г.
2.
Справочная литература:
Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах:
Учебное пособие - М. Новая волна, 2005, 2 кн.,
Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М.
Высшая школа, 2006,
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для
средних спец. учеб. заведений – М.:Высшая школа, 2007.
3.
Технические средства обучения:
- Калькулятор.
Порядок выполнения отчета по практической работе
1)Ознакомиться с теоретическим материалом по лабораторной работе.
2)Записать краткий конспект теоретической части.
3)Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4)Продемонстрировать результаты выполнения предложенных заданий
преподавателю.
5)Ответить на контрольные вопросы.
6)Записать выводы о проделанной работе.
4
Лабораторная работа № 1
«Действия над матрицами. Вычисление определителей»
Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определители.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- выполнять операции над матрицами.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой
длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде
 a11a12 ...a1n 


 a 21a 22 ...a 2 n 
A
................... 


 a a ...a 
 m1 m 2 mn 
или сокращенно: A  (aij ) , где i  1, m (т.е. i  1,2,3,..., m ) – номер строки, j  1, n (т.е.
j  1,2,3,..., n ) - номер столбца. Матрицу A называют матрицей размера m n и пишут
Amn . Числа a ij , составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица,
полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется
матрицей транспонированной к данной и обозначается AT .
Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух матриц Amn  aij  и Bmn  bij  называется матрица C mn  cij  такая, что
cij  aij  bij ( i  1, m , j  1, n ).Аналогично определяется разность матриц.
Умножение вектора на число
Произведением матрицы Amn  aij  на число k называется матрица Bmn  bij  такая,
что bij  k  aij ( i  1, m , j  1, n ).
Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число
столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы
Amn  aij  на матрицу Bn p  bijk  называется матрица Сmз  сшл  такая, что
сik  ai1  b1k  ai 2  b2 k  ...  ain  bnk , где i  1, m , k  1, p,
5
т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме
произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го
столбца матрицы В.
Тогда произведение A  B не определено, так как число столбцов матрицы А (их 3) не
совпадает с числом строк матрицы В (их 2). При этом определено произведение B  A ,
которое считают следующим образом:
1 3   1 2 1  1  9 2  3 1  0  10 5 1
  
  
  
.
A  B  
1 2   3 1 0  1  6 2  2 1  0   7 4 1
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. A  B  C    A  B  C;
3.  A  B  C  AC  BC ;
2. A  B  C   AB  AC;
4.   AB  AB,
Определитель матрицы
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или А , или  ),
называемое ее определителем, следующим образом:
1. n  1. A  a1 ; det A  a1.
a 
a
a
a
2. n  2. A   11 12 ; det A  11 12  a11  a22  a12  a21.
a21 a22
 a21 a22 
a11 a12 a13
 a11 a12 a13 


b
3. n  3, A   a21 a22 a23 ; det A  a21 a22 a23  a1 2
b3
a

a
a
a
a
a
31
32
33
31
32
33


c2
a
 b1 2
c3
a3
c2
a
 c1 2
c3
a3
b2
b3
Свойства определителей
Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам
параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Свойство1. («Элементарные преобразования определителей»). Определитель не
изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы
параллельного ряда, умноженные на любое число.
Минором некоторого элемента a ij определителя n-го порядка называется
определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки
и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m ij .
Так если:
a11 a12 a13
a
a 23
a
a13
.
  a 21 a 22 a 23 , то m11  22
, m32  11
a 21 a 23
a32 a33
a31 a32 a33
Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор,
взятый со знаком «плюс», если сумма i  j четное число, и со знаком «минус», если
эта сумма нечетная. Обозначается Aij .
6
Aij  (1)i  j  mij .
Свойство 2. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»).
Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на
соответствующие им алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го
порядка свойство 7 означает, что
a11 a12 a13
  a 21 a 22 a 23  a11  A11  a12  A12  a13  A13 .
a31 a32 a33
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A≠0. В
противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.
Союзная и обратная матрицы
Матрицей союзной к матрице А называется матрица:
 A11

A
A*=  12
...

A
 1n
A21 ... An1 

A 22 ... An 2 
,
... ... ... 

A2 n ... Ann 
где А ij - алгебраическое дополнение элемента а ij данной матрицы А. Матрица А 1
называется обратной матрице А, если выполняется условие А·А 1 =А 1 ·А=Е,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Пусть А – невырожденная матрица
 a11

A=  a 21
a
 31
a12
a 22
a32
a13 

23  , и det A≠0.
a33 
Составим союзную матрицу
 a11

A*=  a 21
a
 31
Тогда A
1
a12
a 22
a32
 A11
A*
1 
1
=
, т.е. A =
·  A21
det A
det A 
 A31
a13 

23 
a33 
A12
A22
A32
A13 

A23  .
A33 
Отметим свойства обратной матрицы:
1
1. det(A 1 ) =
;
det A
2. (A·B) 1 =B 1 ·A 1 ;
3. (A 1 ) Т =(A Т ) 1 .
7
Пример по выполнению практической работы
 2  3  3 3   5


Пример 1. 
5    2  5   2
4
0

0 
 0 1 2
0  2 4 
, k  2, A  k  
.
Пример 2. A  
 3 4 5
 6 8 10 
1 2 1
1 3 
, B  
 .
Пример 3. A  
3 1 0
1 2 
 2  3
 .
Пример 4. Найти определитель матрицы 
5 6 
2 3
 2  6  5  (3)  12  (15)  27.
Решение:
5 6
Пример 5. Вычислить определитель
3 2 1
4 5
2 5
2 4
 2 4 5 3
2
1
 3(4  3  2  5)  2(2  3  5  1)  1(2  2  4  1) 
2 3
1 3
1 2
1 2 3
 3(12  10)  2(6  5)  6  2  4
Ответ: =4.
Пример 7. Найти А
1  2

Решение:    2 1
3 2

1  2 3 


, если А   2 1  2 
 3 2  4


3
 1 2
2 2
2 1
2
  2
3
 (4  4)  2(8  6)  3(4  3)  1
2 4
3 4
3 2

 4
1
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
1 2
1 2
А11  (1)11
0
А23  (1) 2  3 
 (2  6)  8
2 4
3 2
А12  (1)1 2
2 2
 (8  6)  2
3 4
А31  (1)31 
2 3
 4 3 1
1 2
А13  (1)1 3
2 1
 (4  3)  1
3 2
А32  (1)3 2 
1 3
 (2  6)  8
2 2
А21  (1) 2 1 
2 3
 (8  6)  2
2 4
А22  (1) 2  2 
1 3
 4  9  13
3 4
А33  (1)3 3 
1 2
1 4  5
2 1
8
 0

Союзная матрица будет следующей: А   2
1

*
 0 2

1
1
А1   А* 
  2  13

1 
8
1
2
 13
8
1

8  . Вычислим обратную матрицу:
5 
1  0 2
 
8     2 13
5    1 8
 1

 8
 5 
Проверкой А  А1  Е убеждаемся, что обратная матрица найдена верно.
Задания для практического занятия:
Даны матрицы А и В. Найти:
1. A+ B, A-B
2. C=2A-3B
3. AB; BA
4. det A; det B
5. A‾ ¹, B‾ ¹. Проверить правильность их нахождения умножением А  А1 и В  В 1 :
Вариант 1
Вариант 2
 2 1 0 
0  2 5 




A=  3
1
2 ; B =4  3 3  ;
  2 4  2
 3 5  1




 2 1 1
 1 3  4




A = 3
0 4 ; B =  4 2 0 
  3 0 6
0 1 1




Вариант 3
 0 4 1
 4 2  3




A =  1 5 3 ;
B =1 0 2  ;
  2 3 2
3 4 5 




Вариант 4
 3 3  4
 0 1 5




A =  3  4 4 ; B =  2 0 5  ;
 5 3 4 
 2  2 3




Контрольные вопросы
1. Что называется матрицей? Дать определения основных понятий матрицы;
2. Какая матрица называется квадратной? Единичной?
3. Какие операции можно производить над матрицами?
4. Что такое определитель матрицы? Перечислите его свойства;
5. Как вычислить минор и алгебраическое дополнение элемента a ij матрицы А?
7. Как найти союзную и обратную матрицы для матрицы А?
9
Практическая работа № 2
«Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом обратной
матрицы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Система линейных уравнений. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n
неизвестных, называется система вида
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

.............................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
где числа
aij ,
(1)
i  1, m, j  1, n , называются коэффициентами системы, числа b j _____
свободными членами. Подлежат нахождению числа xi , где i  0, n . Такую систему
удобно записывать в компактной матричной форме:
A  X  B,
(2)
здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
 a11a12 ...a1n 
 x1 


 
 a 21a 22 ...a 2 n 
 x2 
A
,
X

 ...   вектор - столбец из неизвестных x j
................... 


 
x 
 a a ...a 
 n
 m1 m 2 mn 
 b1 
 
b 
B   2   вектор - столбец из свободных членов b j
...
 
b 
 m
(3)
Расширенной матрицей системы называется матрица A , дополненная столбцом членов
10
 a11a12 ...a1nb1 


 a21a22 ...a2 nb2 
A
................... 


 a a ...a b 
 m1 m 2 mn m 
(4)
Решением системы называется n значений неизвестных x1  с1 , x2  с2 , x n  с n , при
подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется
определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет
более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным
решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система
совместна, значит найти ее общее значение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и
то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при
элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования
выполняются лишь над строками матрицы.
Решение систем методом обратных матриц
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

.............................................
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn ,
(5)
или в матричной форме A  X  B . Основная матрица А такойсистемы квадратная.
Определитель этой матрицы:
a11........a1n
  ................
an1........ann
называется главным определителем системы. Если определитель системы отличен от
нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы
уравнений в случае   0 . Умножив обе части уравнения A  X  B слева на матрицу
А 1 , получим A 1  A  X  A 1  B.
Поскольку A1  A  E и E  X  X , то
X  A 1  B.
(6)
Отыскание решения системы по формуле (1) называют методом обратных матриц
решения системы.
11
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему уравнений методом обратных матриц:
 х1  2 х2  3х3  6;

2 х1  х2  2 х3  6;
3х  2 х  4 х  11.
2
4
 1
Решение:
1  2 3 

 1 2
2 2
2 1
  2 1  2  
  2
3
 (4  4)  2(8  6)  3(4  3)  1
3 4
3 2
 3 2  4 2  4


Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
А11  (1)11
1 2
0
2 4
А12  (1)1 2
2 2
 (8  6)  2
3 4
А31  (1)31 
2 3
 4 3 1
1 2
А13  (1)1 3
2 1
 (4  3)  1
3 2
А32  (1)3 2 
1 3
 (2  6)  8
2 2
А23  (1) 2  3 
А21  (1) 2 1 
2 3
 (8  6)  2
2 4
А22  (1) 2  2 
1 3
 4  9  13
3 4
1 2
 (2  6)  8
3 2
А33  (1)3 3 
 0

Союзная матрица будет следующей: А   2
1

Вычислим обратную матрицу:
*
 0 2

1
1
А1   А* 
  2  13

1 
8
1
2
 13
8
1 2
1 4  5
2 1
1

8.
5 
1  0 2
 
8     2 13
5    1 8
 1

 8
 5 
Найдем решение системы по формуле (6):
 0 2 1    6  1 

    
Х  А  В    2 13  8    6    2  .
  1 8  5   11    1

    
1
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1)
12
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а)
 2 х1  4 х3  2;

 х1  х 2  2 х3  1;
3х  х  1;
3
 2
б)
3х1  x 2  х3  3;

9 х1  х 2  2 х3  8;
 x  х  х  1;
2
3
 1
в)
2 х1  3x 2  3х3  x 4  13;
 х  х  2 х  x  5;
 1
2
3
4

2 x1  х 2  4 х3  x 4  1;
3х1  2 x 2  3х3  5 x 4  2.
в)
2 х1  3x 2  х3  x 4  3;
3х  х  2 х  x  8;
 1
2
3
4

 x1  х 2  3х3  2 x 4  6;
 х1  2 x 2  3х3  5 x 4  3.
в)
 х1  2 x 2  3х3  2 x 4  6;
2 х  4 х  2 х  3x  18;
 1
2
3
4

3x1  2 х 2  х3  2 x 4  4;
2 х1  3x 2  2 х3  x 4  8.
Вариант 2
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
 11;
3х1  4 х2

а) 
5 х2  6 х3  28;
 х
 2 х3  7;
 1
б)
 х1  2 x 2  х3  5;

2 х1  3х 2  3х3  1;
 х  5 х  9;
3
 2
Вариант 3
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а)
2 х  3 у  z  14;

3x  y  2 z  5;
 x  2 y  z  7;

 3х1  1x 2  3х3  10;

 2 х 2  х3  4;
2 x  1х  3х  3;
2
3
 1
б)
Вариант 4
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а)
2 х1  х 2  3х3  1;

 х1  3х 2  2 х3  10;
3х  4 х  х  5;
2
3
 1
б)
 2 x2  5 х3  12;

 2 х1  х2  3х3  7;
 x  x  х  4;
2
3
 1
в)
2 х1  2 x 2  х3  8;
 х  х  х  3;
 1
2
3

x

2
х

2 х3  x 4  3;
2
 1
3x 2  2 х3  2 x 4  3.
Контрольные вопросы
1. Укажите общий вид системы n линейных уравнений с n неизвестными;
2. Что значит решить систему уравнений? Дать определение общего и частного решений;
3. Опишите метод обратных матриц решения систем линейных уравнений.
13
Практическая работа № 3
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Матричное равенство X  A 1  B. запишем в виде:
 x1 
 b1 
 
 
 A11 A21 ... An1   b2 
 x2 
 .  1  A A ... A   . 
n2
    12 22
  ,
 .    ...................   . 
 
 A A ... A   . 
nn  
 1n 2 n
. 

x 
b 
 n
 n
(7)
или
 x1   A11b1  A21b2  ...  An1bn 
 


 x2  
 .   A12b1  A22b2  ...  An 2bn 
.
 


.  
   .................................... 
 .   A1nb1  A2 nb2  ...  Annbn 
x  

 n 


Отсюда следует, что
A11b1  A21b2  ...  An1bn

A b  A22b2  ...  An 2 bn
x2  112 1

...............................................
(8)
x1 
xn 
(9)
A1n b1  A2 n b2  ...  Annbn
.

Но A11b1  A21b2  ...  An1bn есть разложение определителя
14
b1a12 ...a1n
1 
b2 a22 ...a2 n
................
bn an 2 ...ann
по элементам первого столбца. Определитель 1 получается из определителя  путем

замены первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Итак, x1  1 .

2
, где  2 получен из  путем замены второго столбца



коэффициентов столбцом свободных членов, x3  3 ,......., xn  n . Формулы


Аналогично x2 
xi 
i
, i  1, n

(10)
называются формулами Крамера.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему методом Крамера:
3x1 + x2 – 2x3 = 6;
5x1 – 3x2 + 2x3 = -4;
4x1 – 2x2 – 3x3 = -2.
Находим главный определитель системы:
∆=
3 1 -2
5 -3 2 = 3∙(-3) ∙ (-3) + 1∙ 2∙ 4 + 5∙(-2) ∙ (-2) – 4∙(-3) ∙ (-2) – 5∙ 1∙(-3) –
4 -2 -3
- (-2) ∙ 2∙ 3 =27 +8 +20 -24 + 15 + 12 = 58.
Так как главный определитель системы не равен нулю, то она совместна. Находим
определители: ∆x1, ∆x2, ∆x3. Определитель ∆x1 получается из главного определителя ∆
путём замены в нём первого столбца на столбец свободных членов.
∆x1 =
6 1 -2
-4 -3 2
-2 -2 -3
= 54 – 4 – 16 + 12 – 12 + 24 = 58.
Т.к. ∆x1 отличен от нуля, значит решение системы единственное. Определитель ∆x2
получается из главного определителя ∆ путём замены в нём второго столбца на столбец
свободных членов.
15
3 6 -2
∆x2 = 5 -4 2
4 -2 -3
= 36 + 48 + 20 – 32 + 90 + 12 = 174.
Определитель ∆x3 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём третьего
столбца на столбец свободных членов.
∆x3 =
3 1 6
5 -3 -4
4 -2 -2
= 18 – 16 – 60 + 72 + 10 – 24 = 0.
 174

1 58
0
 3 ; x3  3 = = 0.
=
=1; x2 = x2  2 =
 58
58
58


Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 3; 0).
По формулам Крамера: x1 = x1 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Решить систему методом Крамера:
а)
 2 х1  х2  х3  4;

  х1  2 х2  2 х3  14;
 4 х  2 х  х  7;
2
3
 1
б)
5 x  y  3z  2

4 x  3 y  2 z  16
2 x  3 y  z  17

в)
 х1  2 x 2  3х3  2 x 4
2 х  х  2 х  3 x
 1
2
3
4

3x1  2 х 2  х3  2 x 4
2 х1  3x 2  2 х3  x 4
 1;
 2;
 5;
 11.
Вариант 2
1. Решить систему методом Крамера:
а)
2 х1  х2  х3  14;

3х1  4 х2  2 х3  11;
3х  2 х  4 х  11;
2
3
 1
б)
 x  2 y  3z  6;

2 x  3 y  4 z  20;
3x  2 y  5 z  6;

 х1  2 x 2  3х3  x 4  6;
2 х  3х  4 х  4 x  7;
 1
2
3
4

3x1  х 2  2 х3  2 x 4  9;
 х1  3x 2  7 х3  6 x 4  7.
в)
Вариант 3
1. Решить систему методом Крамера:
а)
2 х1  3 х 2  х3  2;

2 х1  х2  4 х3  9;
6 х  5 х  2 х  17;
2
3
 1
б)
3x  2 y  z  10;

 x  5 y  2 z  15;
2 x  2 y  z  3;

в)
3х1  2 x 2  5 х3  x 4  3;
2 х  3х  1х  5 x  3;
 1
2
3
4

 x1  2 х 2  4 x 4  3;
 х1  x 2  4 х3  9 x 4  22.
Вариант 4
1. Решить систему методом Крамера:
а)
 х1  2 х 2  х3  9;

2 х1  х 2 3 х3  13;

3 х1  2 х 2 5 х3  1;
б)
2 x  y  3z  1;

 x  3 y  2 z  10;
3x  4 y  z  5;

в)
3х1  8 x 2  3х3  x 4  4;
2 х  3х  4 х  x  4;
 1
2
3
4

 x1  3х 2  2 х3  2 x 4  3;
5 х1  8 x 2  4 х3  2 x 4  8.
16
Контрольные вопросы
1. В каком случае система уравнений будет несовместной при решении методом Крамера;
2. Напишите общий вид формул Крамера;
3. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений.
17
Практическая работа № 4
«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных
алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном
исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

.............................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
(11)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход)
система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду:
a11 x1  a12 x2  ...  a1k xk  ...  а1n xn  b1 ,

a22 x2  ...  a2 k xk  ...  a2 n xn  b2 ,


.............................................

akk xk  ...  akn xn  bk ,
(12)
где k  n, aii  0, i  1, k. Коэффициенты aii называются главными элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательно определении неизвестных из этой
ступенчатой системы.
Замечание 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k  n , то
исходная система (11) имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим
x n , из предпоследнего уравнения xn1 , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все
остальные неизвестные xn 2 ,..., x1.
18
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему методом Гаусса:
2 x1  x2  3x3  5 x4  1,
 x  x  5x
 2,
 1
2
3

3x1  2 x2  2 x3  5 x4  3,
7 x1  5 x2  9 x3  10 x4  8.
Решение: в результате элементарных преобразований над расширенной матрицей
системы:
5
 2 1 3

0
1 1  5
3  2  2  5

 7  5  9  10

1 1

0 1
0 1

0 2

5
13
13
26
1   1 -1  5
0
 
2  2 -1 3
5
~
3  3 - 2  2  5
 
8   7 - 5  9  10
2

1
~
3

8 
2  1 1  5 0
2 
 

 5  3   0 1 13  5  3 
~
 5  3  0 0
0
0
0 
 

 10  6   0 0
0
0
0 
0
Исходная система свелась к ступенчатой:
 x1  x2  5 x3  2,

 x2  13x3  5 x4  3.
Поэтому общее решение системы: x2  5x4  13x3  3; x1  5 x4  8 x3  1.
Если положить, например, x3  0, x4  0, найдем одно из частных решений этой системы
x1  1, x2  3, x3  0, x4  0.
Пример 2. Решить систему методом Гаусса:
 x1  x2  x3  3,
2 x  3x  2 x  7,
 1
2
3

3x1  x2  x3  5,
5 x1  x2  x3  3.
Решение. Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной
матрицы системы:
1
1 1

2 3 2
3 1
1

5 1 1

3 1 1
1
3  1
 
 
7 0 1
0
1  0
~
~
5 0  2  2  4  0
 
 
3   0  6  6  12   0
1 1 3 1
 
1 0 1 0
~
1 1 2 0
 
1 1 2   0
1 1 3

1 0 1
.
0 1 1

0 0 0 
19
Полученная матрица соответствует системе
 x1  x 2  x3  3,

 x 2  1,
 x  1.
 3
Осуществляя обратный ход, находим x1  1, x2  1, x3  1.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а)
 х  у  z  0;

 2 x  y  z  6;
 x  y  z  3;

б)
 х1  2 х3  5;

2 х1  2 х 2  5 х3  10;
3x  2 х  2 х  1;
2
3
 1
 2 x1  x2  2 x3  x4  9;
 x  2 x  x  2 x  24;
 1
2
3
4
в) 
3x1  x2  x3  x4  1;
 x1  3x2  3x3  4 x4  5;
Вариант 2
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а)
2 х  3 у  2 z  9;

 x  2 y  3z  14;
3x  4 y  z  16;

б)
 x 2  3х3  1;

2 х1  3х 2  5 х3  3;
3x  5 х  7 х  6;
2
3
 1
в)
 x1  3x 2  x3  2 x 4  1
2 x  3x  4 x  2 x  5
 1
2
3
4

 x1  4 x 2  2 x3  x 4  11
 3x1  2 x 2  x3  2 x 4  6
Вариант 3
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а)
 x  3 y  z  6;

2 x  3 y  3z  13;
3x  3 y  z  8;

б)
3x1  3x 2  2 х3  2;

4 х1  5 х2  2 х3  1;
5 x  6 х  4 х  3;
2
3
 1
в)
3x1  2 x 2  x3  2 x 4  1
 x  3 x  2 x  2 x  8
 1
2
3
4

2 x1  x 2  4 x3  3x 4  5
2 x1  3x 2  5 x3  5 x 4  2
в)
2 x1  3x 2  4 x3  x 4  4
 x  2 x  3x  3x  5
 1
2
3
4

3x1  x 2  6 x3  x 4  1
 x1  3x 2  4 x3  2 x 4  7
Вариант 4
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а)
 х  2 y  4 z  31;

5 x  y  2 z  29;
3x  y  z  10;

б)
3x1  2 x2  4 х3  8;

2 х1  4 х2  5 х3  11;
4 x  3х  2 х  1;
2
3
 1
Контрольные вопросы
1. В каком случае исходная система имеет единственное решение?;
2. С чем работают на практике для упрощения преобразований над системой?;
3. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
20
Практическая работа № 5
«Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения»
Цель работы: научиться выполнять действия над векторами. вычислять модуль и
скалярное произведение векторов.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на
плоскости.
- знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Определение вектора
Вектором называется направленный отрезок. Вектор, заданный парой несовпадающих
точек А и В, обозначается символом AB . Точка А называется началом, а точка В –
концом вектора. Расстояние AB называется длиной (модулем) вектора AB . Для
обозначения векторов употребляются также строчные латинские буквы со стрелкой
наверху: a , b , …, x , y . Вектор AА , концы которого совпадают, называется нулевым
вектором. Длина нулевого вектора равна нулю. Два вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два нулевых вектора
a и b коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо
противоположно. В первом случае векторы a и b называются сонаправленными
a  b , во втором – противоположно направленными a  b . Равные векторы




сонаправлены и равны по модулю, т.е. если a  b , то a  b и a  b , и обратно, если
векторы сонаправлены и равны по модулю, то она равны, т.е. если a  b и a  b , то
a b.
Операции над векторами и их свойства
Сложение векторов. Для того чтобы построить сумму двух данных векторов a  b ,
нужно выбрать произвольную точку А и отложить от нее вектор AB  a , а затем от точки
В отложить вектор BC  b . Тогда вектор AC является искомой суммой:
с  a  b  AB  BC  AC
21
Этот способ построения называется правилом треугольника.
Сумму двух данных векторов a и b можно построить и следующим образом. Откладывая
от произвольной точки О векторы OA  a и OB  b , построим параллелограмм ОАСВ.
Тогда вектор OC (где OC  – диагональ параллелограмма) является искомой суммой:
a  b  OA  OB  OA  AC  OC  c .
Этот способ построения называется правилом параллелограмма:
Вычитание векторов. Два вектора называются противоположными, если их сумма
равна нулевому вектору. Вектор, противоположный вектору a , обозначают - a . Таким
 

образом, a   a  0 . Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и
противоположные направления. Вектор с называется разностью векторов a и b , если
c  b  a . Чтобы вычесть из вектора a вектор b , достаточно прибавить к вектору a
вектор, противоположный вектору b , т.е. a  b  a   b
 
Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора a на число m
называется вектор, имеющий направление вектора a , если m  0 , и противоположное
направление, если m  0 . Длина этого вектора равна произведению длины вектора a на
модуль числа m.
Произведение вектора a на число m обозначается m a . При любых m и a векторы
m a и a коллинеарны и ma  m  a .
22
Угол между двумя векторами. Углом между двумя ненулевыми векторами a и b
называется угол между направлениями этих векторов: a, ^ b   , где 0    180  .
 
 
 
Частные случаи: 1) если a  b , то a, ^ b  0 ; 2) если a  b , то a,b  180  .
Декартова система координат
Пусть на плоскости задана пара единичных взаимно перпендикулярных векторов i и
j , отложенных от некоторого начала – точки О. Такую пару векторов называют
прямоугольным базисом на плоскости. Совокупность начала О и прямоугольного базиса
i, j называют прямоугольной системой координат на плоскости. Точку О называют
 
началом координат, а векторы i (1; 0) и j (0; 1)– координатными векторами.
Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М плоскости xOy,



называется радиусом – вектором точки М и обозначается r : OM  r

Проекции вектора r на координатные оси, т.е. прч r  x и пр y r  y , называются
координатами вектора. Координаты вектора кратко записывают так: r  x; y  .
Координаты радиуса-вектора r  OM являются одновременно координатами точки M, т.е.
конца радиуса вектора. Если начало вектора a  AB не совпадает с началом координат, то
координаты вектора a и координаты его конца различны. В этом случае проекции вектора
a  AB на оси координат соответственно равны x  xB  x A и y  y B  y A , т.е.
a  AB  x; y   xB  x A ; y B  y A  :

Разложение вектора по координатным осям. Разложение вектора а ( х; у) в базисе
i, j  имеет вид
a  xi  y j ,
23
Действие над векторами в координатах
Пусть в базисе i, j заданы векторы a  x1 ; y1  и b  x2 ; y2  , тогда координаты суммы
двух (или более) векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т.е.
 
a  b  x1  x2 ; y1  y 2 ;
координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих
векторов, т.е.
a  b  x1  x2 ; y1  y 2 
координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих
координат данного вектора на это число, т.е.
ma  mx1 ;my1 
Длина вектора a  x; y  находится по формуле

а  х2  у2
Длина вектора a  AB  xB  x A ; y B  y A  находится по формуле
AB 
x B  x A 2   y B  y A 2
.
С помощью этой формулы вычисляется также расстояние между двумя точками на
плоскости.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное


а  b  х1 х2  у1 у 2
Скалярное произведение двух ненулевых векторов, с другой стороны, может быть
найдено как произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:
 
a  b  a  b  cos a,^ b .


Скалярным квадратом вектора a называется скалярное произведение а  а . Скалярный
квадрат вектора равен квадрату его длины.
Условие коллинеарности двух векторов
Условие коллинеарности двух векторов a  x1 ; y1  и b  x2 ; y2  имеет вид
x1  mx2 , y1  my2 ,
т.е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы
коллинеарны.
24
Задания для практического занятия:
Вариант 1
Даны точки: т. А (3; -2; 4), т. В(4; -1; 2), т. С(6;-3; 2), т.D (7; -3; 1); т. E(-2; 4; 3) и
т.F(5; -1; 3).


1.Найти векторы АВ и СD и вычислить их длину;






2.Найти векторы m  2 AC  DE и n  DF  3 BE . Вычислить скалярное произведение
 
m n ;




3.Найти углы между векторами BD u AF ; CE u FB ;
4.Найти расстояние между серединами отрезков CF  и ED;


5.При каком k векторы а (3; 1; k ) и BF перпендикулярны?


6.При каком t векторы b  (6; t; 4) и СА коллинеарны?
Вариант 2
Даны точки: т. А (5; -8; -1), т.B (6; -8; -2), т. С(7; -5; -11), т.D (7; -7; -9), т. E(6; -1; 5) и
т.F( 4;-7; 5 ).


1. Найти векторы АВ и СD и вычислить их длину;






2. Найти векторы m  2 AC  DE и n  DF  3 BE . Вычислить скалярное произведение
 
m n ;




3. Найти углы между векторами BD u AF ; CE u FB ;
4. Найти расстояние между серединами отрезков CF  и ED;


5. При каком k векторы а (6; k ;  4) и BF перпендикулярны?


6. При каком t векторы b  (6;  9; t ) и СА коллинеарны?
Вариант 3
Даны точки: т. А (1; 0; 3), т.B (2; -1; 0), т. С(0; -6; -5), т.D (-8; -5; 1), т. E(3; -3; 4) и
т.F(5; -2; 7).


1. Найти векторы АВ и СD и вычислить их длину;






2. Найти векторы m  2 AC  DE и n  DF  3 BE . Вычислить скалярное произведение
 
m n ;




3. Найти углы между векторами BD u AF ; CE u FB ;
4. Найти расстояние между серединами отрезков CF  и ED;


5. При каком k векторы а (k ; 4  8 ) и BF перпендикулярны?


6. При каком t векторы b  (3; t; 24) и СА коллинеарны?;
25
Вариант 4
Даны точки: т. А (-6; -5; 7), т.B (-7; -15; 8), т. С(14; -10; 9), т.D (4; -1; 7), т. E(-5; 9;-7) и
т.F(-5; 0; 4)


1. Найти векторы АВ и СD и вычислить их длину;
2. Найти векторы



m  2 AC  DE
и



n  DF  3 BE . Вычислить их скалярное
 
произведение m n ;




3. Найти углы между векторами BD u AF ; CE u FB ;
4. Найти расстояние между серединами отрезков CF  и ED;


5. При каком k векторы а (7 ; k ; 4) и BF перпендикулярны?


6. При каком t векторы b  (4  1; t ) и СА коллинеарны?
Контрольные вопросы
1. Дайте определение вектора. Что такое длина вектора?
2. Какие действия можно производить над векторами, какими свойствами они
обладают?
3. Перечислите формулы суммы, разности, умножения вектора на число в
координатах;
4. Как найти скалярное произведение двух векторов?
5. Что называется углом между двумя векторами в пространстве? Укажите
формулу нахождения угла между двумя векторами в пространстве;
6. Чему равно скалярное произведение двух ортогональных векторов?
26
Практическая работа № 6
«Составление уравнений прямых на плоскости. Определение взаимного
расположения прямых»
Цель работы: научиться составлять различные уравнения прямых на плоскости,
определять их взаимное положение.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых
второго порядка на плоскости.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и
аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Общее уравнение прямой
Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение
первой степени относительно текущих координат x и y
Ax+By+C=0,
(1)
где A и B одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.
Верно и обратное утверждение: в декартовой системе координат всякая прямая может
быть представлена уравнением первой степени вида (1). Уравнение (1) называется общим
уравнением прямой. Частные случаи уравнения (1) приведены в следующей таблице.
Значение
коэффициентов
С=0
А=0
В=0
А=0, С=0
В=0, С=0
Уравнение прямой
Положение прямой
Ах+Ву=0
у=b, где b= -С / В
x=a, где a= -C / A
y=0
x=0
Проходит через начало координат
Параллельна оси Ох
Параллельна оси Оу
Совпадает с осью Ох
Совпадает с осью Оу
Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой
Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол φ, на который нужно
повернуть в положительном направлении ось абсцисс до её совпадения с данной прямой.
Направление любой прямой характеризуется её угловым коэффициентом k, который
определяется как тангенс угла наклона φ этой прямой к оси Ох, т.е. k=tg φ. Исключения
составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового
коэффициента.
27
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающий ось Оу в точке,
ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде:
y=kx+b.
(2)
Угловой коэффициент k прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0, находится как
коэффициент k прямой, заданной двумя точками А(ха; уа) и В(хВ;уВ), вычисляется по
формуле:
k  
y  y 
x  x 
(3)
Уравнение прямой в отрезках
Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:
x y
 1
a b
(4)
где а и b – абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, т.е. длины
отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с соответствующими
знаками.
Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении
Уравнение прямой, проходящей через т.у А(ха; уа) и имеющей угловой коэффициент k,
записывается в виде
у – уа=k (x – xa).
(5)
28
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение прямой, проходящей через две точки т. А (х1; у1) и т.В (х2; у2), имеет вид
x  x1
y  y1

x2  x1 y 2  y1
(6)
Если точки А и В определяют прямую, параллельную оси Ох (у1 = у2) или оси Оу (х1 =
х2), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде:
у = у1 или х = х1
(7)
Нормальное уравнение прямой
Пусть дана прямая С, проходящая через данную точку Мо(Хо; Уо) и перпендикулярная
вектору n (А;В). Любой вектор n  o , перпендикулярный данной прямой  , называется
ее нормальным вектором. Выберем на прямой произвольную т. М(х;у). Тогда n  M 0 M ,
а значит их скалярное произведение n  M 0 M  0 . Это равенство можно записать в
координатах
А( х-хо )+В( у-уо )=0
(8)
Уравнение (8) называется нормальным уравнением прямой.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Пусть прямая l задана начальной точкой М0 (х0; у0) и направляющим вектором a
(а1;а2),. Пусть т. М(х ; у) – любая точка, лежащая на прямой l . Тогда вектор  M 0 M
коллинеарен вектору a . Следовательно,  M 0 M = t a . Записывая это уравнение в
координатах, получаем параметрическое уравнение прямой
 x  x0  a 1 t ;

 y  y0  a2t
Исключим параметр t из уравнения (9). Это возможно, так как вектор
потому хотя бы одна из его координат отлична от нуля.
Пусть а1  0 и а2  0 , тогда t 
(9)
а  0, и
x  x0
y  y0
, t
и, следовательно,
a1
a2
x  x0
y  y0
=
.
(10)
a1
a2
Уравнение (10) называется каноническим уравнением прямой с направляющим
вектором
a
=(а1; а2). Если а1 =0 и а2  0 , то уравнения (9) примут вид
29
 x  x0
.

 y  y0  a2t
Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси, Оу и проходящая через точку
М0 (х0; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид
х=х0
(11)
Если а1  0 , а2  0 , то уравнения (9) примут вид
 x  x0  a1 t ;

 y  y0
Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку
М0 (х0; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид
у=у0
(12)
Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух
прямых
Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями:
1 x  1 y  C1  0 и
2 x  2 y  C2  0
Тогда угол φ между ними определяется по формуле:
cos  
1  2  1 2
12  12   22   22
1 1

Условие параллельности 2-х прямых:
2 2
Условие перпендикулярности 2-х прямых: 12  12  0
Условие параллельности в этом случае имеет вид:
k1  k 2
Условие перпендикулярности прямых: k1  k2  1
Если две прямые заданы каноническими уравнениями:
x  x1 y  y1
x  x2 y  y 2
и


a1
a2
b1
b2
то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:
a1b1  a 2 b2
cos  
a12  a 22  b12  b22
a1 a2

b1 b2
Условие перпендикулярности прямых: a1b1  a2 b2  0
Условие параллельности прямых:
(13)
(14)
(15)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
30
Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки М(х1; у1) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле
d
Ax1  y1  C
(22)
A2  B 2
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Построить прямую 3х–2у+6=0.
Решение: Для построения прямой достаточно знать какие-либо две её точки, например,
точки её пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью Ох можно
получить, если в уравнении прямой принять у=0.Тогда имеем 3х+6=0, т.е. х=-2. Таким
образом, А(–2;0).
Тогда В пересечения прямой с осью Оу имеет абсциссу х=0; следовательно, ордината
точки В находится из уравнения –2у+6=0, т.е. у=3. Таким образом, В(0;3).
Пример 2. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной
полуплоскости Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол φ =30˚.
Решение: Прямая пересекает ось Оу в точке В (0;–2) и имеет угловой коэффициент k=tg
3
3
φ= =
. Полагая в уравнении (2) k=
и b = –2, получим искомое уравнение
3
3
y
3
x  2, или
3
3x  3 y  6  0 .
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (–1; 2) и
В (0;–3). (указание: угловой коэффициент прямой находится по формуле (3))
Решение: к 
3 2
 5 .Отсюда имеем у  5 х  b . Подставив в это уравнение
0  (1)
координаты т.В, получим:  3  5  0  в , т.е. начальная ордината
получим уравнение у  5 х  3 .
b = –3 . Тогда
Пример 4. Общее уравнение прямой 2х – 3у – 6 = 0 привести к уравнению в отрезках.
Решение: запишем данное уравнение в виде 2х – 3у=6 и разделим обе его части на
x y
 1 . Это и есть уравнение данной прямой в отрезках.
свободный член: 
3 2
Пример 5. Через точку А (1;2) провести прямую, отсекающую на положительных
полуосях координат равные отрезки.
31
x y
  1 По условию а=b.
a b
Следовательно, уравнение принимает вид х + у = а. Так как точка А (1; 2) принадлежит
этой прямой, значит ее координаты удовлетворяют уравнению х + у = а; т.е. 1 + 2 = а,
откуда а = 3. Итак, искомое уравнение записывается следующим образом: х + у = 3, или
х + у – 3 = 0.
Решение: Пусть уравнение искомой прямой имеет вид
3
x  3 написать уравнение в отрезках. Вычислить площадь
4
треугольника, образованного этой прямой и осями координат.
Пример 6. Для прямой y 
Решение: Преобразуем данное уравнение следующим образом:
3
x  y  3 , или
4
x y
 1.
4 3
x
y

 1 , которое и является уравнением данной
4 3
прямой в отрезках. Треугольник, образованный данной прямой и осями координат,
является прямоугольным треугольником с катетами, равными 4 и 3, поэтому его площадь
1
равна S=  4  3  6 (кв. ед.)
2
В результате получим уравнение
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящий через точку (–2; 5) и образующей с
осью Ох угол 45º.
Решение: Угловой коэффициент искомой прямой k= tg 45º = 1. Поэтому,
воспользовавшись уравнением (5), получаем у – 5 = x – (–2), или х – у + 7 = 0.
Пример 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 5) и
В(7; –2).
Решение: Воспользуемся уравнением (6):
x   3
y 5
,

7   3  2  5
или
x3 y 5

, откуда
10
7
7х + 10у – 29 = 0.
Пример 9. Проверить, лежат ли точки А(5; 2), В(3; 1) и С(–1; –1) на одной прямой.
Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С:
x  x
y  y

,
xC  x  y C  y 
или
x 5 y 2

6
3
Подставляя в это уравнение координаты точки В (хВ = 3 и уВ = 1), получим (3–5) / (–6)=
= (1–2) / (–3), т.е. получаем верное равенство. Т. о., координаты точки В удовлетворяют
уравнению прямой (АС), т.е.   C  .
32
Пример 10: Составить уравнение прямой, проходящую через т. А(2;-3).
Перпендикулярную n =(-1;5)
Решение: Пользуясь формулой (8), находим уравнение данной прямой -1(х-2)+5(у+3)=0,
или окончательно, х – 5 у - 17=0.
Пример 11: Даны точки М1 (2;-1) и М2(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей
через точку М1 перпендикулярно вектору M 1 M 2
Решение: Нормальный вектор искомой прямой n  M 1 M 2 имеет координаты (2;6),
следовательно по формуле (8) получим уравнение 2(х-2)+6(у+1)=0 или х+3у +1=0.
Пример 12: Вычислить угол между прямыми 2 х  3 у  7  0 и 3х  7 у  4  0 .
2  3  3  (7)
15

 0,546 ;   arccos 0,546  570 .
Решение: соs  
2
2
2
2
13 58
2  3 3  (7)
Пример 13: Выяснить взаимное расположение прямых:
а ) 4 х  5 у  3  0 и 5 х  4 у  11  0
б )  3х  7 у  6  0 и 9 х  21у  1  0

4  5 1

 значит, прямые не параллельны ;
Решение: а) 1  
2 5
4
2
б) 12  12  4  5  (5)  4  0  значит, прямые перпендикулярны.
Пример 14: Вычислить угол между прямыми у  2 х  3 и
к1  2 и к2 
Решение:
2
сos 
5
1
7

у
5
х4
7
5
7
17
7

17
 0,883;   arccos 0,883  280.
5  74
2
74
5
5
2 1    1
7
7
Пример 15: Выяснить взаимное расположение прямых:
а) у  4 х  3 и у  4 х  10
1
б ) у  х  7 и у  2 х  9
2
а) k1  k2  4  значит, прямые параллельны
Решение:
1
б ) k1  k2   (2)  1  значит, прямые перпендикулярны
2
2
Пример 16: найти угол между прямыми
Решение: cos  
5  6  7  11
52  7 2  62  112

х4 у2
х 3 у 8


и
.
5
7
6
11
101
 0,937;   arccos 0,937  200 .
74  157
33
Пример 17: выяснить взаимное расположение прямых:
х6 у 9
х 6 у 8


а)
и
;
4
5
8
10
х5 у 9
х5 у9


б)
и
.
1
7
14
2
a
4
 5 a2


Решение: а) 1 
- прямые параллельны;
b1  8 10 b2
б) a1b1  a2b2  114  (7)  2  0 - значит, прямые перпендикулярны.
Пример 18: Вычислить расстояние от точки М(6; 8) до прямой 4 х  3 у  2  0
4  6  3  8  2 50
Решение: по формуле (22) получим: d 

 10 .
2
2
5
4 3
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Привести общее уравнение прямой 2x+3y-6=0 к уравнению в отрезках и вычислить
площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного
угла;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).
Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку М0 (-2;4) и
параллельной вектору а (6;-1);
4. Вычислить угол между прямыми
2
1
5
x 1 y  2
x7 y4


y  x ;
а)
и
; б) y   x  4
и
3
4
2
3
3
3
3
5. Определить взаимное расположение 2-х прямых 2x – 5y – 20 = 0 и 5x + 2y – 10 = 0;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой 12 х  5 у  1  0 , если
известны координаты концов отрезка т.А(1; 6) и т.В(9; 8).
Вариант 2
1. Привести общее уравнение прямой 3x-4y+12=0 к уравнению в отрезках и вычислить
длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным
углом;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (4;2), точки В (1;5), точки
С (-2;6). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку М0 (3;-4) и
параллельной вектору а (-7;5);
4. Вычислить угол между прямыми:
3
а) 2x - 3y + 7 = 0 и 3x - y + 5 = 0 ;
б) y  x  5
и
y = 2x – 4;
4
x2 y 3
x  15 y  6


5.Определить взаимное расположение 2-х прямых
и
;
5
4
4
5
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой 7 х  24 у  5  0 , если
известны координаты концов отрезка т.А(18;8) и т.В(-2; -6).
34
Вариант 3
1. Привести общее уравнение прямой 4x-5y+20=0 к уравнению в отрезках и вычислить
площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного
угла;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (3;-2), точки В (7;3), точки
С (0;8). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0 (-1;-2) и
параллельной вектору а (3;-5);
4. Вычислить угол между прямыми
x6 y
x 3 y 6


а) 3x + y - 7 = 0 и x - y + 4 = 0;
б)
и
;
1
3
3
1
1
5. Определить взаимное расположение 2-х прямых y   x  8
и
y = 5x + 3;
5
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой  9 х  40 у  8  0 , если
известны координаты концов отрезка т.А(4;-3) и т.В(-6; 5).
Вариант 4
1. Привести общее уравнение прямой 12x-5y+60=0 к уравнению в отрезках и вычислить
длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным
углом;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (0;-2), точки В (3;6), точки С (1;-4).
Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0(4;4) и
параллельной вектору а (-2;7);
4.Вычислить угол между прямыми
x2 y 3
x  15 y  6


а) x +4 y + 8 = 0
и 7x - 3y + 5 = 0; б)
и
;
4
7
5
3
2
7
7
2
5. Определить взаимное расположение 2-х прямых y  x  3 и y   x  5 ;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой 3 х  4 у  12  0 , если
известны координаты концов отрезка т.А(-4; 8) и т.В(0; 4).
Контрольные вопросы
1. Назовите уравнения прямой на плоскости, когда известны точка, через которую
она проходит и ее направляющий вектор;
2. Какой вид имеет нормальное, общее уравнения прямой на плоскости;
3. Назовите уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в
отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом;
4. Перечислите формулы для вычисления угла между прямыми, заданными
уравнениями с угловым коэффициентом. Сформулируйте условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
5. Как найти расстояние от точки до прямой?
35
Практическая работа № 7
«Решение задач на кривые второго порядка»
Цель работы: научиться решать задачи, используя уравнения кривых второго порядка.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на
плоскости.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Эллипс
Эллипс есть множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух
фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (равная
2а), большая, чем расстояние между фокусами (равное 2с).
Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему
следующим образом: за ось Оx принять прямую, проходящую через фокусы F1 и F2, а за
ось Оy – перпендикуляр к оси абсцисс в середине отрезка [F1F2]. Тогда уравнение эллипса
примет вид:
x2 y2
(1)
 2  1 , где b2 = а2 – с2
2
a
b
Точки А и В, С и D пересечения эллипса с его осями симметрии (координатными
осями) называются вершинами эллипса. Отрезки [AВ] – большой осью, а [СD] – малой
осью, так как а > b. Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение эллипса,
равны его полуосям.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его
большой оси, т.е.
c
e
(2)
a
Очевидно, что е < 1.
36
Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен так, что его фокусы
лежат на оси Оу, то тогда b> a и большой осью служит отрезок [B1B2] длиной 2b, а малой
осью – отрезок [A1A2] длиной 2а.
Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по
формуле
e
c
,
b
где c  b 2  a 2
(3)
Гипербола
Гиперболой называется множество точек, для которых абсолютная величина разности
расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а),
меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).
Простейшее уравнение гиперболы получается, если расположить координатную
систему следующим образом: за ось ОХ принять прямую, проходящую через фокусы F1 и
F2, за ось ОУ – перпендикуляр в середине отрезка [F1F2]
Тогда уравнение гиперболы примет вид
x2 y2
 2  1 , где b2 = c2 – a2
2
a
b
(4)
Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью
абсцисс) она пересекается в двух точках А1 и А2, называемых вершинами гиперболы.
Отрезок [А1А2] длиной 2а называется действительной осью гиперболы, а отрезок [B1B2]
длиной 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b, входящие в
уравнение гиперболы, равны её полуосям.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к
её действительной оси:
c
e
(5)
a
Очевидно, что е > 1. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
y
b
x
a
и
y
b
x
a
(6)
Если мнимая ось гиперболы направлена по оси ОХ и имеет длину 2а, а действительная
ось длиной 2b направлена по оси ОУ, то уравнение гиперболы имеет вид:
37

x2 y2

1
a2 b2
(7)
Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле:
c
e
b
(8)
Её асимптоты те же, что и у гиперболы (4). Гиперболы (4) и (7) называются
сопряжёнными. Гипербола называется равносторонней, если её действительная и
мнимая оси равны, т.е. а = b. Простейшие уравнение равносторонней гиперболы имеет
вид:
х2 – у2 = а2
(9)
Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки
называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Величина p, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром
параболы. Прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно её директрисе,
называется осью, а точка пересечения параболы с её осью – вершиной параболы.
Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена
следующим образом: за одну из координатных осей берётся ось параболы, а за другую –
прямая, перпендикулярная оси параболы и проведённая посредине между фокусом и
директрисой. Тогда уравнение параболы примет вид:
у 2  2 px
(10)
у 2  2 px
(11)
38
х 2  2 pу
х 2  2 pу
(12)
(13)
Уравнение вида:
у = ах2 + bх + с
( а ≠ 0)
(14)
определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс. Аналогично, уравнение:
х = my2 + ny + p (m ≠ 0)
(15)
определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат. Уравнения (14) и (15)
приводятся к простейшему виду (10) – (13) путём тождественных преобразований с
последующим переносом координатной систем
Пример по выполнению практической работы
Пример 1: Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса 9х2 + 25у2 – 225 = 0.
Решение: Приведём данное уравнение к простейшему виду (1), для чего свободный член
перенесём вправо и разделим на него все члены уравнения.
В результате получим:
x2 y2

 1,
25 9
или
x2 y2

1
5 2 32
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), имеем а = 5, b = 3. Отсюда находим
оси эллипса 2а =10, 2b=6 и координаты вершин А1( -5; 0), А2(5; 0), В1(0; -3), В2(0; 3). Далее,
находим c  b2  a 2  25  9  4 .
Следовательно, фокусами эллипса служат точки F1 (-4; 0) и F2 (4; 0). Эксцентриситет
эллипса вычисляем по формуле (2): е= с  4 .
а
5
Пример 2: Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот
гиперболы
16х2 – 9у2 – 144 = 0.
Решение: Перенесём свободный член вправо и разделим на него все члены данного
уравнения. В результате получим простейшее уравнение гиперболы
x2 y2

 1,
9 16
или
x2 y2

1
32 4 2
39
Сравнивая это уравнение с уравнением (4), имеем а = 3, b = 4. Таким образом,
действительная ось гиперболы 2а = 6, а мнимая ось 2b = 8; координаты вершин А1 ( –3; 0)
и А2 (3; 0). Далее, с  a 2  b 2  9  16  5 , следовательно, фокусами гиперболы служат
точки F1( –5; 0) и
F2(5; 0). Эксцентриситет гиперболы вычисляем по формуле (5): е = с/а = 5/3. Наконец,
подставляя значения а = 3, b = 4 в формулы (6), получим уравнения асимптот гиперболы
4x
4x
y
и y .
3
3
Пример 3: Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в
точке F (0; – 8).
Решение: Фокус параболы лежит на оси ординат, а вершина – в начале координат,
поэтому уравнение параболы можно записать либо в виде х2 = 2ру, либо в виде х2 =– 2ру.
Далее, поскольку ордината фокуса отрицательна, уравнение параболы следует искать в
виде х2= – 2ру. Из координаты фокуса параболы имеем р / 2 = 8, откуда p=16 и 2р =
32, и окончательно получаем х2 = – 32у.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (0; 3) и
(6; -7);
2.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси OX, если расстояние между фокусами
равно 20, а эксцентриситет e  5 ;
6
2
2
x
y
3.Дана гипербола

 1 . Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты
81 63
этой гиперболы;
4.Парабола задана уравнением y 2 = 14x. Указать координаты фокуса параболы и
уравнение её директрисы;
5. Составить уравнение окружности, центр которой лежит в фокусе параболы у 2  8 х , а
радиус равен действительной оси эллипса
х2 у 2

 1;
16 9
Вариант 2
1. Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (-2; 3) и
(2; 5);
x2 y2

 1 . Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет
2.Уравнение эллипса
25 9
эллипса;
x2
y2

 1 . Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет асимптоты
3.Дана гипербола
144 256
этой гиперболы;
4. Парабола задана уравнением y 2 = -5x. Указать координаты фокуса параболы и
уравнение её директрисы;
5. Составить уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат, а фокус
совпадает с центром окружности х 2  у 2  8 у  12  0 ;
40
Вариант 3
1. Составьте уравнение окружности с центром в точке (-1; 4) и проходящей через точку (3; 5);
x2 y2
2.Уравнение эллипса

 1 . Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет
16 7
эллипса.
3.Составить уравнение гиперболы, если длина её действительной оси равна 12, а
4
эксцентриситет равен . Найти её фокусное расстояние и асимптоты;
3
4. Парабола задана уравнением y2 = 6x. Указать координаты фокуса параболы и
уравнение её директрисы;
5. Составить уравнение окружности с центром в точке (-3; 8), диаметр которой равен
х2
у2
фокусному расстоянию эллипса

 1;
100 36
Вариант 4
1. Составьте уравнение окружности с центром в точке (-3; 04) и проходящей через точку (2; 4);
2.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси OX, если расстояние между фокусами
равно 12, а эксцентриситет e  1 .
3
x2 y2
3. Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы

 1.
81 144
4. Парабола задана уравнением y2 = -4x. Указать координаты фокуса параболы и
уравнение её директрисы;
х2
у2
5. Составит уравнение гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами эллипса

1 ,
100 36
4
а эксцентриситет равен .
3
Контрольные вопросы
1.Дайте определение эллипса и назовите его каноническое уравнение. Что такое большая
и малая полуоси эллипса, его фокусы, вершины? Укажите их координаты.
2.Что такое эксцентриситет эллипса, какой он по значению, что он характеризует?
3.Дайте определение гиперболы и назовите ее каноническое уравнение. Что такое
действительная и мнимая полуоси гиперболы, асимптоты, фокусы, вершины? Укажите их
координаты.
4.Что такое эксцентриситет гиперболы, какой он по значению ?
5.Дайте определение параболы .
6. Укажите каноническое уравнение параболы в зависимости от ее расположения на
координатной плоскости.
7.Что такое параметр параболы, фокус и директриса параболы?
41
Практическая работа № 8
«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»
Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может,
самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х,
стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хnа,
сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), nN
сходится к числу В.
lim f ( x)  B или f(x)  B при x  a.
В этом случае пишут:
xа
Короче,
B  lim f ( x) , если lim f ( xn )  B для любой последовательности хnа, nN,
n
x a
сходящейся к а, т.е. xna при n.
Свойства пределов сформулируем в виде теорем:
Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если
последние существуют:
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) ,
xa
xa
xa
Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если
последние существуют:
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x) ,
xa
xa
xa
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
lim (cf ( x))  c lim f ( x) ,
xa
xa
Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если
последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
f ( x)
f ( x) lim
lim
 xa
,
xa g ( x)
lim g ( x)
xa
Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.
42
1) Предел многочлена. Вычислить lim (5x 3  2 x 2  3x  7)
x 2
Решение:
lim (5 x3  2 x 2  3x  7)  lim 5 x3  lim 2 x 2  lim 3x  lim 7  5 lim x3  2 lim x 2  3 lim x  7 
   
x2
x2
 
x2
 
x2
x2
x2
x2
x2
 5 lim x  2 lim x  3 lim x  7  5  2  2  2  3  2  7  49
3
x2
2
x2
3
2
x2
Т.о. для вычисления предела многочлена f (x) при x →а достаточно вместо переменной x
поставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия,
т.е. lim f x   f а .
xа
2) Предел отношения двух многочленов, lim
x а
f x 
, где а– число.
g x 
а) Если g (а) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.
б) Если g (а) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если ƒ(а) = A ≠
f x 
0, то lim
  , если же ƒ(а) = 0 – имеем неопределённость вида (0/0). В этом случае
x  а g x 
f x 
предел lim
можно вычислить разложением многочленов ƒ(x) и g(x) на множители.
x а g  x 
Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х+ и при х-.
Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется
пределом функции f(x) при х+, если lim f ( x n )  B для любой последовательности
n 
(xn) такой, что lim x n   .
n 
В этом случае пишут
lim f ( x )  B . Аналогично,
x  
lim f ( x)  C , если lim f ( xn )  C для любой последовательности (xn) такой, что
n 
x  
lim x n   В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х+ и при х-.
n
Например, для функции f ( x) 
lim
x 
9x 2  1
, определенной для всех х  1, имеем:
x 1
9x 2  1
9x 2  1
 3 , lim
 3.
x 
x 1
x 1
Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как
lim f ( x) , так и
x  
lim f ( x) .
n  
Сформулируем определение бесконечного предела функции:
Если для любой последовательности значений аргумента (xn) такой, что xn  а имеет
место lim f ( x n )   , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и
n 
пишут lim f ( x)   .
ч a
3) Предел отношения многочленов
f x 
при x → ∞ .
g x 
4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления lim
где ƒ (x) ≥ 0 и lim f  x   f a  , воспользуемся равенством lim
xa
x a
x a
f x  
f x  ,
f a  , которое
принимается нами без доказательства. Например,
43
2 x 2  3x  4  2 1  3(1)  4  9  3 .
2
lim
x  1
Так как lim
x 0
 3x
2

 x  4  2  0 ,(пример 6) то теорему о пределе частного применить
нельзя. Имеем неопределённость вида (0/0). Умножая числитель и знаменатель на
выражение, сопряжённое знаменателю, получим (пример7) Данный пример
демонстрирует технику раскрытия неопределенности вида (-).
Если lim f ( x)   , то функция f(x) называется бесконечно большой при ха. Если же
xa
lim f ( x)  0 , то функция f(x) называется бесконечно малой при ха. Аналогично
xa
определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х+, х-.
Заметим, что имеет место следующее утверждение: если функция f(x) – бесконечно
малая при ха и f(x)  0 для х  а из некоторой окрестности точки а, то функция 1 f ( x)
бесконечно большая при ха. Верно и обратное утверждение: если функция f(x) –
бесконечно большая при ха, то функция
1
- бесконечно малая при ха.
f ( x)
x
sin x
 1
1
lim 1    e
и
x 0
x


x
 x
Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов ( пример 8).
Здесь мы воспользовались известным пределом lim cos x  1 . ( пример 9)
5) Применение замечательных пределов lim
x 0
Заменяя

lim 1  3
x 
2x
 y и учитывая, что y → ∞ при
3

2х
5x


1
 lim  1 
x 
2
х

3

 
2 х 3  
15








2
x → ∞, можем написать
15
 1 y 
 lim  1   
y  
y 


( пример 10)
2
15
e
2
.
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Пусть требуется вычислить lim
x 3
f x 
x 3  2x  3
.  lim 2
g x  x3 x  3x  3
Решение: f (x) = x3 – 2x – 3 и g (x) = x2 + 3x + 3. Так как g (3) = 32 + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то
x3  2 x  3 18 6
x3  2 x  3 lim
имеем: lim 2
 x 3 2


x 3 x  3x  3
lim x  3x  3 21 7
x 3




x 2  5x  6
Пример 2. Вычислить lim 2
.
x2 x  6 x  8
Решение: здесь ƒ (2) = 22 - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 22 - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем
x  2x  3  lim x  3  1 .
x 2  5x  6
lim 2
 lim
x 2 x  6 x  8
x  2  x  2 x  4
x 2 x  4
2
3
2
3x  2 x  3x  1
Пример 3. Вычислить lim
.
x  4 x 3  x 2  7 x  8
44
Решение:
2 3
1
2 3
1


x 3  3   2  3  lim  3   2  3 
3x  2 x  3x  1
x x
x x
x  x  
x  30 0 0 3
lim
 lim 


 .
3
2
x  4 x  x  7 x  8
x 
1 7
8
1 7
8  4000 4

3
x  4   2  3  lim  4   2  3 
x x
x x
x  x  
x 

3
2
x 3  3x  2
.
x  x 4  2 x 3  3 x  1
Пример 4. Вычислить lim
3
2

3
2
x 3 1  2  3 
1 2  3
x  3x  2
x 
 x
x
x
lim 4
 lim
 lim
 0.
3
x  x  2 x  3 x  1
x 
x 
2
3
1
2
3
1 



4
x 1   3  4 
x 1   3  4 
x 
x 
 x x
 x x
3
4 x 5  2 x 4  3x  1
.
x  x 3  2 x 2  4 x  2
Пример 5. Вычислить lim
2 3 1 
2 3 1 


x5  4   4  5 
x2  4   4  5 
4 x  2 x  3x  1
x x
x x
x 
x 
 lim 
 lim 
.
Решение: lim 3
x  x  2 x 2  4 x  2
x 
x


2
4
2
2 4
2
3
1  2  3
x 1   2  3 
x x
x
x 
 x x
2x
Пример 6. Вычислить lim
.
2
x 0
3x  x  4  2
5





2 x 3x 2  x  4  2
2 x 3x 2  x  4  2
2 3x 2  x  4  2
 lim
 lim
 lim
2
2
x 0
x 0
3x 2  x
3x  1
3x 2  x  4  2 x 0 3x  x  4  2
2x
lim
x 0

4




2 30  0  4  2
 8
3 0 1
2
Пример7. Найти предел lim ( x  1  x) .
ч 
lim ( x  1  x) = lim
2
ч 
( x 2  1  x)( x 2  1  x)
ч  
x 1  x
2
= lim
ч  
x2 1 x2
x 1  x
2
= lim
ч 
1
x 1  x
2
=0
sin 3 x
x 0
x
sin 3 x
3 sin 3 x
sin 3 x , заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при
 lim
 3 lim
Решение: lim
x 0
x 0
x 0
x
3x
3x
x → 0, получаем: lim sin 3 x  3 lim sin y  3 1  3 .
x 0
y 0
x
y
Пример 8. Вычислить lim
45

Пример 9. Вычислить lim
x 0
tg 5 x
.
sin 3 x
Решение:
tg 5 x
1 
5 sin 5 x
3x 
 sin 5 x
 1
lim
 lim 



  lim 

x  0 sin 3 x
x  0 cos 5 x sin 3 x
5x
3 sin 3x 

 x  0  cos 5 x
5
1
sin 5 x
1
5 1 1 5
 
 lim

  1  
x

0
3 lim cos 5 x
5 x lim sin 3x 3 1 1 3
x 0
x 0 3x
5x
3 

Пример 10. Вычислить lim 1  
x 
 2x 
Решение: lim 1  3 2 х 
5x
x 

1
 lim 1 
x 
2х
3

 




2 х  3 5
3 2


1
 lim  1 
x 
2х

3

2 х 3  
15
 








2
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить пределы функций в точке:
x 2  121
x2  x  6
x6 3
3
2
а) lim (3х  2 х  7 х  1) ;
б) lim
;
в) lim
;
г) lim
;
x 11 x  11
x

3
x 3
x 2
x 2  3x
x 3
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
3x 2  5
4x
12 x 3  5 x  2
lim
а) lim
;
б)
;
в)
; г) lim ( 2 x 2  3  2 x 2  7 ) ;
lim
x 
x  x 2  5 x
x  5 x  x 2
x  6 x 2  5 x  2
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) lim xctg2 x ;
x 0
4x2
б) lim
;
x  0 cos 5 x  cos 3 x
 x2
г) lim 

x 
 x 
x
4

в) lim 1   ;
x 
 3x 
3x
Вариант 2
1. Вычислить пределы функций в точке:
x 2  3x  10
а) lim (5x3  4 x 2  6 x  2) ;
б) lim
;
x  5
x  3
x5
в) lim
x 8
x 2  64
;
x 8
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
3x 2  x  1
7 x2  2x  6
x 2  2 x3
lim
а) lim
;
б)
;
в)
;
lim
x 
x 
x  x 2  6 х 4
5  3x
x2  5
lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) ;
г) lim
x 8
x 1  3
;
x 8
г)
x 
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
x
;
x  0 tg 3 x
Вариант 3
а) lim
cos 5 x  cos 3 x
;
x 0
x2
б) lim
x
3 

в ) lim 1   ;
x 
 4x 
 x 3
г) lim 
 ;
x 
 x 
2x
1. Вычислить пределы функций в точке:
46
а) lim ( x3  6 x 2  12 x  4) ;
x  2
x5
;
x  31  6
lim
x 5
x 2  x  12
;
x 3
x 3
б) lim
x 2  25
;
x  5 x  5
в) lim
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
1 x2
5 x  x3
7 x 4  x3  6
а) lim
;
б)
;
в)
;
lim
lim
x  5 x  1  2 x 2
x  3x3  2 x 4
x  1  4 x  2 x 2
г)
г)
lim ( x 2  2 x  x 2  2 x ) ;
x 
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
sin 2 x
а) lim
;
x  0 tg 4 x
cos 2 x  1
б) lim
;
x 0
4x2
 x4
в) lim 
 ;
x 
 x 
3x
x
5 

г) lim 1   ;
x 
 6x 
Вариант 4
1. Вычислить пределы функций в точке:
x 2  5 x  14
3
2
а) lim ( x  4 x  8x  18) ;
б) lim
;
x 2
x 5
x2
x 2  49
в) lim
;
x  7 x  7
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
9x2  2x  1
3x 2  7 x3
8 x3  4 x  9
lim
lim
а) lim
;
б)
;
в)
;
x 
x   x 3  12 x 5
x  4  2 x  x 2
6  3x 2
lim ( х 2  5 х  х) ;
г) lim
x  7
x7
;
x  32  5
г)
x  
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) lim ctg3x  sin 4 x ;
x 0
2x
б) lim
;
x  0 sin 3 x  sin 7 x
x
6 

в) lim 1   ;
x 
 5x 
 x 3
г) lim 
 ;
x 
 x 
4x
Контрольные вопросы
1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?
2.Какие свойства пределов функций вы знаете?
3.Как раскрывать неопределенности?
4.Какие замечательные пределы вы знаете?
47
Практическая работа № 9
«Вычисление односторонних пределов. Исследование функций на непрерывность.
Классификация точек разрыва»
Цель работы: научиться вычислять односторонние пределы, исследовать функций на
непрерывность, классифицировать точки разрыва.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Односторонние пределы
Вспомним определение предела функции в точке. Пусть функция f(x) определена в
некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется
пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой
последовательности значений аргумента хnа, сходящейся к а, последовательность
соответствующих значений функции f(xn), nN, сходится к числу В.
В приведенном выше определении предела функции в точке аргумент х принимает
значение хn из окрестности точки а, кроме х=а, как слева, так и справа от а.
Если при нахождении предела рассматривать значения х только слева от а, то такой
предел называется левым или левосторонним и обозначается
lim f ( x) ; lim f ( x) или f ( a  0) ,
xa 0
xa
xa
если рассматривать значения х только справа от точки а, такой предел называется
правым или правосторонним и обозначается
lim f ( x) ; lim f ( x) или f ( a  0) ,
xa 0
xa
xa
Левый и правый пределы называются односторонними пределами, а предел функции в
точке иногда называется двусторонним. В случае, когда изучают односторонние пределы
в точке х=0 (т.е. при х0), запись упрощают и пишут для левостороннего предела
lim f ( x)  f (0) , а для правостороннего - lim f ( x)  f (0) .
x  0
x  0
Из определений следует, что если у f(x) существует предел в точке а и lim f ( x)  A ,
xа
(1)
то односторонние пределы f ( а  0) и f ( а  0) также существуют и
f (а  0)  f (а  0)  A ,
(2)
Верно и обратное утверждение: если имеет место (2), то имеет место и (1).
Таким образом, для установления существования предела функции f(x) в точке а
достаточно проверить выполнение следующих трех условий:
48
а) существование левого предела;
б) существование правого предела;
в) совпадение односторонних пределов.
Непрерывность функции в точке
Функция f(x), х є (а; b) называется непрерывной в точке х0 є (а; b), если
предел функции f(x) в точке х0 существует и равен значению функции в этой точке:
lim f x   f x0 .
x  x0
Согласно данному определению непрерывность функции f в точке х0 означает
выполнимость следующих условий:
1) функция f (х) должна быть определена в токе х0 ;
2) у функции f (х) должен существовать предел в точке х0
3) предел функции f (х) в точке х0 совпадает со значением функции в этой точке.
Например, функция f(x) = х2 определена на всей числовой прямой и lim x 2  1. Так как
x 1
f(1) = = 1, т.е. значение f(x) = х2 в точке х = 1 совпадает с пределом при х → 1, то,
согласно определению, функция f(x) = х2 непрерывна в точке х = 1.
Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она
непрерывна во всех точках этого промежутка.
Дадим другое определение непрерывности функции в точке.Функция y  f x 
называется непрерывной в точке x0 , если она в этой точке определена и бесконечно
малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции,
lim y  0.
т.е.
x  0
Если функция f x  непрерывна в точке x0 , то точка x0 называется точкой
непрерывности. В противном случае точка x0 - называется точкой разрыва.
Если функция y  f x  имеет в точке x0 разрыв, то для определения характера разрыва
следует найти предел функции f x  при x  x0 слева и справа. В зависимости от
характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают 2 основных вида
разрыва:
1) разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределы
lim f x  и lim f x .
x x0 0
x  x0 0
2) разрыв II рода – в этом случае хотя бы один из пределов
lim f x  не существует или бесконечен.
lim f x 
x  x0  0
или
x  x0  0
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Найти предел функции f(x) = |x| при x0
Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как f(x)=-x для х,
удовлетворяющих неравенству x<0, то
f (0)  lim ( x)  0 .
x  0
Так как f(x)=x, при x>0
49
f (0)  lim ( x)  0 .
x  0
Таким образом, f(+0)=f(-0)=0. Так как односторонние пределы в точке нуль совпали, то
предел функции f(x) в точке нуль существует и равен их общему значению, т.е.:
lim f ( x)  lim | x | 0 .
x 0
x 0
  x 3 , если x  1,
Пример 2. Доказать, что функция f ( x)  
не имеет предела в точке х=1.
2  x, если x  1,
Данная функция определена на всей числовой прямой. Вычислим односторонние
пределы этой функции в точке х=1:
f (1  0)  lim ( x 3 )  1 ,
x10
f (1  0)  lim (2  x)  3 .
x  0
Итак, f(1-0)f(1+0). Следовательно, данная функция не имеет предела в точке х=1.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию f x   x 2  2 в точке x  3 .
Решение: воспользуемся определением 1:
1) Т.к. f x   x 2  2 определена на всей числовой прямой, то условие 1) выполнено;




2) lim x 2  2  lim x  2  9  2  7 ;
x 3 0
2
x 3 0


lim x 2  2  lim x  2  9  2  7 ;
x 3 0
2
x 3 0


значит предел функции f x   x 2  2 в точке x  3 существует и lim x 2  2  7 .
2
3) f 3  3  2  7 ;
Отсюда имеем, что lim ( x 2  3)  f 3 , т.е. предел функции при
x3
x 3
x  3 равен значению
функции при x  3 . Следовательно, функция y  x 2  2 в точке х=3 непрерывна.
1
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию y 
в точке x0  5 .
x5
Решение: опять воспользуемся определением 1:
1) в точке x0  5 функция не определена, значит нет выполнения первого условия, и
непрерывности в точке x0  5 нет.
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию y  3x  2
Решение: функция y  3x  2 определена на всей числовой оси. В таких случаях удобно
для исследования на непрерывность пользоваться вторым определением.
Дадим аргументу x приращение x и найдем приращение функции  y :

y  y  3 x  x   2  3 x  3x  2
y  3x  2
y  3x
Найдем предел  y при x  0 :
lim y  lim 3x  3 lim x  3  0  0
x  0
x  0
x  0
Т.к. равенство lim y  0. справедливо при любом конечном значении x , поэтому
x  0
функция y  3x непрерывна при любом значении x .
50
Пример 6. Найти точки разрыва функций и определить их характер: а) y 
y
1
1 5
1
x
x
; б)
x3
.
x
не определена, значит ее точкой разрыва
x3
будет точка x  3 . Для определения характера разрыва найдем левый и правый пределы
x
x
x
lim
  ; lim
  . Значит, функция y 
функции при x  3 :
в
x 3 0 x  3
x30 x  3
x3
точке x  3 имеет разрыв II рода.
1
б) Функция y 
имеет единственную точку разрыва x0  0 , в которой функция не
1
x
1 5
1
определена. Вычислим односторонние пределы функции при x  0 : lim
1;
1
x  0
x
1 5
1
lim
 0 . Т.к. левый и правый пределы функции в точке x  0 конечны, то точка
1
x  0
1 5 x
x  0 - точка разрыва I рода.
Решение: а) т.к. в точке x  3 функция y 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке х0  3 функции f(x), заданной
графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. х0  1 , если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 2x2 + 8x в точке x0 = -1;
б) y = sin x
на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
 x 2  3x, х  2
4
а) y  2
;
б) y  
;
x  13 x  40
3x  5, x  2
51
Вариант 2
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке х0  1 функции f(x), заданной
графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. х0  3 , если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = -2x2 + 5x в точке x0 = 2:
б) y = x3
на (-∞;+∞)
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
 x  6 x  2, х  1
7
а) y  2
;
б) y   2
;
x  16 x  63
2 x  3, x  1
Вариант 3
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. х0  1 функции f(x), заданной
графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. х0  4 , если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = x2 + 7x в точке x0 = 3;
б) y =sin 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
52
а) y 
3
;
2
x  x  42
 x 3  4 x, х  2
б) y  
;
3x  x 2 , x  2
Вариант 4
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. х0  2 функции f(x) , заданной
графиком:
2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. х0  2 , если
 x  7; x  2
f ( x)  
2
3x  x ; x  2
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 4x2 – 3x + 1 в точке x0 = 2;
б) y = cos 2x
на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер
6 x  x 3 , x  1
1
y

а)
;
б) y   2
x 2  2 x  35
5 x , x  1
Контрольные вопросы
1. Дайте определение односторонних пределов функции;
2. Сформулируйте условие существования предела функции в точке;
3. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?
4. Какие три условия необходимо проверить при исследовании функции на
непрерывность?
5. Что такое точка непрерывности и точка разрыва?
6 . Как определить характер точки разрыва?
53
Практическая работа № 10
«Дифференцирование сложной функции»
Цель работы: научиться дифференцировать.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Понятие производной функции
Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Производной
функции ƒ (x) в точке x0 называется отношение приращения функции ∆ƒ (x0) к
приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается
ƒ’(x0).
f x0 
f x   f x0 
 lim
x 0
x  x0
x
x  x0
f ' x0   lim
(1)
df dy
,
,
dx dx
причём все эти обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется
дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке x0, называется
дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке
интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом
производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a ;b).
Производную функции y = ƒ (x), x є ( a;b ) в точке x обозначают ƒ’(x), y’(x),
Таблица производных элементарных функций
1.
2.
3.
x   nx
n '
n 1
,
sin x '  cos x, sin u '  cos u  u '
cos x '   sin x, cos u '   sin u  u '
1
1
'
, tgu  
 u'
2
cos x
cos 2 u
1
1
'
'
5. ctgx  
, ctgu   
 u'
2
sin x
sin 2 u
1
1
'
'
6. arcsin x  
, arcsin u  
 u'
2
1 x
1 u2
4.
tgx' 
54
7. arccos x   
'
1
, arccos u   
'
1 x
2
1
1  u2
 u'
8. arctg x  
1
1
'
, arctg u  
u '
2
1 x
1  u2
1
1
'
'
9. arcctg x   
, arcctg u   
u '
2
1 x
1  u2
'
 

'
 
'

'
'
10. a x  a x ln a, e x  e x , au  au ln a  u ' , eu  eu  u '
11. log a x  '
1
1
'
, ln x   , log
x ln a
x
a
u  '
1
1
 u ' , ln u  '  u '
u ln a
u
Правила дифференцирования
На практике применяют следующие правила дифференцирования
1. С  0
'
'
2. u  v x  u x  vx ,
'
3. uv x  u x v  v x u ,
'
'
'
Cu'x  Cux' ;
u x v  vxu
u
4.   
,
v2
 v x
'
'
'
где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.
Дифференцирование сложной функции
Теорема. Пусть дана сложная функция у  g (u ) , где u  f (x) . Если функция
u  f (x) дифференцируема в некоторой точке х0, а функция у  g (u ) определена на
множестве значений функции f (x) и дифференцируема в точке u0  f ( x0 ) , то сложная
функция у  g ( f ( x)) в данной точке х0 имеет производную, которая находится по
формуле
yx ( х0 )  g (u0 )  f ( x0 ) или
y x  уu  u x
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить f (x ) , если f ( x)  ( x3  5x  7)9 .
Решение:
f ( x)  (( x3  5 x  7)9 )  обозначим за z  x3  5 x  7  ( z 9 )z  zx  9 z 8 
 (3x 2  5)  9( x3  5 x  7)8  (3x 2  5).
Пример 2. Вычислить
Решение:
f (x ) , если f ( x)  3 (5  3 х  2 х 2 ) 2 .
55
2
f ( x)  (3 (5  3x  2 x 2 ) 2 )  t  5  3x  2 x 2  (t 3 )t  t x 

2(3  4 x)
3 5  3x  2 x 2
3
.
Пример 3. Вычислить f (x ) , если
Решение:

1) f ( x)  arcsin x  t  arcsin x 

1
2 3
 t  (5  3x  2 x 2 )x
3

1) f ( x)  arcsin x; 2) f ( x)  (ln(arccos x2 ));
 t   t  21 t 
t
1
x
1

1 x
2 (1  x ) arcsin x
2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем



f ( x)  ln(arccos( x 2 ))  положим t  arccos x 2  ln t  t  arccos x 2 x 

2

2

;

1
1
1
2x

 положим z  x 2   arccos z  z  zx   (
)

2
x


t
t
1  z2
arccos x 2 1  x 4
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить производные следующих функций:
1) у  (7 х 2  5 х  9)6 ;
1 x
4) y  ln
;
1 x
2) у  5 sin x  8 cos x ;
2. Вычислить f ( 2 ) , если f ( x)  arcsin
3. Вычислить f ( 2 2 ) , если f ( x) 
2
5 x  2
;
6) y  arctg x ;
y  arcsin x 2
5);
3) y  2x
1
;
x
9x
x2 1
.
Вариант 2
1. Вычислить производные следующих функций:
1) у  (2 х3  4 х  5)4 ;
2) у  ln( 2 cos x  9 sin x) ;
2 x
5) y  (arcsin x)2 ;
2 x
1
2. Вычислить f ( ) , если f ( x)  arccos x ;
3
x
3. Найти f ( 3 ) , если f ( x) 
.
1  x2  1
4)
y
3)
y  75tgx 3 ;
6) y  arctgx ;
Вариант 3
1. Вычислить производные следующих функций:
1) у  (4 х3  2 х 2  1)5 ;
2) у  cos(1  7 x  4 x 2 ) ;
3) y  36 sin x  cos x ;
56
4) y  ln
x
;
5 x
5) y  arccos x ;
6) y  arcctgx3 ;

), если f ( x)  arctgx ;
4
3. Найти f ( 3 ) , если f ( x)  ( х 2  2) х 2  1 .
2. Вычислить f (
Вариант 4
1. Вычислить производные следующих функций:
1) у  (2  3х  8 х 2 )7 ;
4)
y
x
7 x
2) у  ln ctgx ;
5) y  arctg
3)
у  е 6 arcsin x  2 ;
1
; 6) y  2 arcsin x3 ;
x
2. Вычислить f (1) , если f ( x)  arccos x ;
3. Найти f ( 2 ) , если f ( x)  ( х 2  3) х 2  1 .
Контрольные вопросы
1. Что называется производной функции в точке?
2. Что такое дифференцирование?
3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
4. Перечислите табличные производные.
5. Какие правила дифференцирования вы знаете?
57
Практическая работа № 11
«Физические и геометрические приложения производной»
Цель работы: научиться применять физический и геометрический смысл
производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Геометрическое приложение производной
Производная функции y = y (x) при данном значении аргумента x = x0 равна угловому
коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой x0.
(См. рис.):
y' (x0) = tg α .
(1)
Уравнение касательной к графику
функции y = y (x) в точке
М0 (x0 ; y0) имеет вид
y - y0 = y’(x0) (x - x0) .
(2)
Если y (x) имеет при x = x0 бесконечную производную, то уравнение касательной
таково:
x = x0.
(3)
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания М0 (x0 ; y0)
перпендикулярно касательной, записывается в виде:
1
 x  x0 
y  y0  
(4)
y '  x0 
Физическое приложение производной
Производная y ' ( x0 ) от функции y = y (x), вычисленная при значении аргумента x = x0,
представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой
переменной x в точке x = x0.
58
В частности, если зависимость между пройденным путём s и временем t при
прямолинейном движении выражается формулой s = s (t), то скорость движения в любой
ds
момент времени t есть
, а ускорение (т.е. скорость изменения скорости движения) есть:
dt
d 2s
.
dt 2
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе y = 2x2 - 6x + 3 в точке
М0 (1 ; -1).
Решение. Найдём производную функции y = 2x2 - 6x + 3 при x = 1. Имеем y’ = 4x - 6,
откуда y’ (1) = -2.
Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое уравнение касательной :
y - (-1) = -2 (x - 1), или 2x + y - 1 = 0.
Уравнение нормали получим, используя уравнение (4) :
1
x  1 , или x - 2y - 3 = 0.
2
y 1 
Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой
x = t2 - 1,
y = t2 + t - 3
в точке М (3 ; -1).
Решение. Определим прежде всего значение t, соответствующее точке М (3 ; -1). Это
значение должно одновременно удовлетворять уравнениям:
t2 - 1 = 3 и t2 + t - 3 = -1,
т.е.
t2 = 4 и t2 + t - 2 = 0.
Корни первого уравнения t1 = -2 и t2 = 2 ; корни второго уравнения t1 = -2 и t2 = 1.
Таким образом, точке М соответствует значение t = -2.
Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М равен значению
производной y' x  в этой точке :
y x' 
yt ' 2t  1 3


xt '
2t
4
Следовательно, искомое уравнение касательной имеет вид
y   1 
3
x  3 , или 3x - 4y - 13 = 0.
4
59
t3
 2t 2  t (s выражается в
3
метрах, t - в секундах). Найти скорость и ускорение через 1 сек после начала движения.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону s 
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:
vt  
ds
 t 2  4t  1
dt
Отсюда v (1) = 4 (м/с).
Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени :
at  
d 2s
 2t  4
dt 2
и, следовательно, а (1) = 6 (м/с2).
Задания для практического занятия:
Вариант 1.
1. Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = sin x в точке x 
2
.
3

;0).
3
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = 2(x – 9)2 + 12, в которой касательная
параллельна OX.
4. На параболе y   x 2  7 x  10 найдите точку, в которой касательная параллельна
прямой
2. Составить уравнение касательной к кривой y = sin 3x в точке (
x  y  1  0.
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 5t + 1. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 5c.
Вариант 2.
3
1. Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке x   .
4

2. Составить уравнение касательной к кривой y = cos 3x в точке ( ;0).
6
1
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =
(x – 6)2 - 12, в которой касательная
2
параллельна OX.
4. В какой точке касательная к параболе y   x 2  4 перпендикулярна прямой
x  2 y  2  0.
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 4t - 5. Найти мгновенную скорость и
ускорение точки в момент времени t = 2c.
60
Вариант 3.
5
1. Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = tg x в точке x   .
4
3

2. Составить уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке ( ;
).
6 2
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = ln 3x - x, в которой касательная
параллельна
OX.
4. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении параболы y 2  x  0 с прямой
x  y  6  0.
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t2 + 3t + 2. Найти мгновенную скорость
и ускорение точки в момент времени t = 3c.
Вариант 4
3
1. Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = ctgx в точке x   .
4

3
2. Составить уравнение касательной к кривой y = cos 2x в точке ( ;
).
3 2
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =6(x – 1)2 + 5, в которой касательная
параллельна OX.
4. Вычислите острые углы, образуемые при пересечении парабол y  x 2 и x  y 2 .
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 + 8t + 10. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 1c.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается геометрическое приложение производной?
2. В чем заключается физическое приложение производной?
61
Практическая работа №12
«Нахождение экстремумов функции, нахождение наименьшего и наибольшего
значений функций на отрезке»
Цель работы: научиться находить экстремумы функции, наименьшего и наибольшего
значений функций на отрезке.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Монотонные и немонотонные функции. Правило отыскания интервалов
монотонности функции
К монотонным функциям относятся возрастающие, строго возрастающие, убывающие
и строго убывающие функции. Функция y = f(x), x(a; b), называется возрастающей на
интервале (a; b), если при любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, x1  x2
следует f ( x1 )  f ( x2 ) , т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение
функции. Функция y = f(x), x(a; b), называется убывающей на интервале (a; b), если при
любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ). Функция y =
f(x), x(a; b), называется возрастающей (убывающей) на интервале (a; b), если при
любых х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 )).
Интервалы, в которых функция либо только возрастает (не убывает), либо только убывает
(не возрастает), называются интервалами строгой монотонности (интервалами
монотонности). Все остальные функции относятся к немонотонным. Так, например, к
монотонным относятся функции изображенные на рисунках 1, 2, 6. Остальные –графики
немонотонных функций.
Теорема 1. (Достаточное условие возрастания и убывания функции )
62
Если
f ( x)  0 в каждой точке интервала (а; b), то f(x) возрастает на (а; b), если
f ( x)  0 в каждой точке интервала (а; b), то на этом промежутке f(x) убывает.
Правило отыскания промежутков монотонности функции:
1. Вычислить производную функции f (x) ;
2. Найти точки, в которых
f ( x)  0 или не существует. Эти точки называются
критическими точками функции f (x ) ;
3. Определить знак производной функции в интервалах, на которые критические точки
разбивают область определения функции f (x ) ;
4. Применить Теорему 1.
Исследование функций на экстремум
Точка х 0 - называется точкой минимума функции f(x) , если существует окрестность
точки х 0 О( х 0 ), такая что х  О( х0 ), х  х0 выполняется условие f ( x)  f ( x0 )
Точка х 0 - называется точкой максимума функции f(x) , если существует
окрестность точки х 0 О( х 0 ), такая что х  О( х0 ), х  х0 выполняется условие
f ( x)  f ( x0 ) .Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции.
Теорема 2. (Достаточное условие существования точек экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в точке х 0 и имеет в ее окрестности производную.
Тогда, если:
1) f (x) при переходе через точку х 0 меняет знак с « минуса » на «плюс», то точка х 0
- точка минимума;
2) f (x ) при переходе через точку х 0 меняет знак с « плюса » на «минус», то точка х 0
- точка максимума;
3) f (x ) при переходе через точку х 0 не меняет знака, то в точке х 0 экстремумов нет.
Правило отыскания точек экстремума функции:
f ( x)  0 или не
1. Найти критические точки функции f(x), т.е. точки, в которых
существует;
2. Исследовать знак производной в интервалах, на которые разбивается область
определения функции критическими точками;
3.Применить теорему 2.
63
Наименьшее и наибольшее значения функции
Для отыскания наименьшего и наибольшего значения функции, непрерывной в
некотором промежутке, необходимо:
1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить
значения функции в этих точках;
2) вычислить значение функции на концах промежутка;
3) сравнить полученные значения, тогда наименьшее и наибольшее из них являются
соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом
промежутке.
С помощью экстремума функций решаются многие прикладные задачигеометрии,
механики и т.д., в которых требуется определить наименьшее или наибольшее значение
функции, причем эта функция не дается в готовом виде, а составляется в соответствии с
условиями конкретной задачи.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции f ( x)  3х 2  2 х 3  6 ;
Решение: данная функция определена на всей числовой прямой. Применим правило
отыскания промежутков монотонности:
1. Вычислим производную:
f ( x)  6 х  6 х 2 ;
f ( x)  6 х  6 х 2  0  6 х  (1  х)  0 
2. Найдем критические точки:
х1  0 и х 2  1  критические точки
3. Определим знаки производной в интервалах:
4.
Применим теорему 1: f ( x)  3х 2  2 х 3  6 возрастает на (0; 1); убывает на
(; 0)  (1;  ) .
Пример 2. Какая из функций убывает на всей своей области определения?
1) у  х 2 ; 2) у  3 х ; 3) у  5 х  1 ;
4) у   х 3  х
Решение: если функция убывает на всей свой области определения, значит по теореме 1
на всей своей области определения у   0 и этот знак производной не меняется, т.е. нет
критических точек.:
1) для первой функции имеем у   ( х 2 )  2 х  0  критическая точка есть;
2) у   (3 х)  3  0 - на всей области определения производная функции положительна;
3) у   (5 х  1)  5  0 - на всей области определения производная функции
отрицательна;
4) у   ( х 3  х)  3х 2  1  0 - критических точек будет две, при переходе через
которые знак производной будет меняться. Значит, решением примера будет функция.
у  5 х  1 .
Пример 3. Найти экстремумы функции у  х 3  3х
Решение: D( f )=R,
1) Найдем критические точки функции у   3х 2  3  3( х 2  1)  3( х  1)( х  1)  0
64
х1  1 и х2  1  критические точки f ( x) ;
2) Определим знаки производной в интервалах, на которые разбивается область
определения критическими точками
3) Т.о. x1  1 - точка максимума - max f(x)= f (1)  (1) 3  3(1)  2 ;
x2  1 - точка минимума - min f ( x)  f (1)  13  3  1  2 ;
Пример 4: Найти наименьшее и наибольшее значение функции
f ( x)  2 x 3  3x 2  12 x  10
на отрезке  3; 3
Решение: Функция f ( x)  2 x 3  3x 2  12 x  10 непрерывна на отрезке  3; 3 . найдем
критические точки функции, для этого вычислим ее производную и приравняем ее нулю:
f ( x)  6 x 2  6 x  12  6( x 2  x  2)  0  x1  1, x2  2 - критические точки функции,
причем обе они принадлежат отрезку  3; 3 . Вычислим значения функции в критических
точках и на концах отрезка:
f (1)  17, f (2)  10, f (3)  35, f (3)  1.
Т.о., наименьшее значение функции равно -35 и достигается на левой границе отрезка,
а наибольшее значение функции равно 17 и достигается во внутренней точке x  1 .
Пример 5: Требуется огородить проволочной сеткой длиной 2р участок прямоугольной
формы. Найти размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей;
Решение: из условий задачи имеем, что периметр участка равен 2р. Обозначим длины
сторон прямоугольника х и у. Тогда из периметра прямоугольника имеем
P  2( x  y )  2 p  x  y  p  y  p  x .
Обозначим через S(x) площадь прямоугольника. Тогда S ( x)  xy  x( p  x)  px  x 2 ,
причем p  0; p Исследуем полученную функцию на экстремум:
p
S ( x)  ( px  x 2 )  p  2 x  0  2 x  p  x  - критическая точка, принадлежащая
2
p

p

отрезку 0; p . Исследуя знак S (x ) в интервалах  0;  u  ; p  , получаем, что на
2

2

p
первом из них S(x) возрастает, а на втором убывает. Следовательно, при x 
площадь
2
p p
прямоугольника будет наибольшей. Найдем y  p  x  p   . Значит, из
2 2
прямоугольников с периметром 2р, наибольшую площадь будет иметь квадрат со
p
стороной .
2
65
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Найти промежутки монотонности функции:
1)
1) f ( x)  x 3  3x 2  9 x ;
2) y 
1
;
( x  5) 2
2. Исследовать на экстремум функции:
x
;
9  x2
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на указанном промежутке:
1)
y  x 3  3x 2  24 x  7 ;
2) y 
1) y  6 x 2  3x 4  1, x  2; 2;
2) y  25  x 2 x   4; 4;
4. Данное положительное число т разложить на два слагаемых так, чтобы
их произведение было наибольшим .
Вариант 2
1. Найти промежутки монотонности функций:
2x  3
1) f ( x)  2 x 3  3x 2  36 x ;
2) y 
;
x7
2. Исследовать на экстремум функции:
x 1
1) y  10  15 x  6 x 2  x 3 ;
2) y  2
;
x 8
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на указанном промежутке:
1
1
1
1) y  x 3  x 2  2 х  , x  2; 2;
2) y  3 х 2 2  х  x   6; 1;
3
2
3
4. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник. Найти его размеры (длину и ширину),
чтобы его периметр был наибольшим;
Вариант 3
1. Найти промежутки монотонности функции:
x3
1) y  x 4   2 x 2  x ;
2) y  x ( x  3) ;
3
2. Исследовать на экстремум функции:
x 4  48
4
3
1) у  1,5х  2 х  5 ;
2) y 
;
x
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на указанном промежутке:
х 1
x  0; 4 ;
1) y  x 3  3x 2  9 х  7, x  4; 3;
2) y 
х 1
4. Из квадратного листа жести со стороной 69 см необходимо сделать открытую коробку
возможно большего объема, вырезая по углам квадраты, удаляя их и загибая жесть для
образования боков коробки. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов,
чтобы коробка имела наибольший объем?
Вариант 4
1. Найти промежутки монотонности функции
1) y  x 4  8 x 3  5 ;
2) y  2 x  33 x 2 ;
2. Исследовать на экстремум функции:
66
( x  4) 2
;
x2  2x  5
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на указанном промежутке:
1) y  ( x  1)3 (5  x) ;
2) y 
1 3
  
х  х 2  3х  4, х   4; 2 ;
x   ;  ;
2) у  sin 2 x  x,
3
 2 2
4. Найти высоту прямого кругового цилиндра наибольшего объема, который может быть
вписан в шар радиуса R;
1) у 
Контрольные вопросы
1. Какие функции называются монотонными? Дайте определение интервалов
монотонности функции;
2. Как находятся интервалы монотонности функции?
3. Что такое точка минимума функции, точка максимума функции, точки экстремума
функции?
4. Что называется экстремумом функции и как его находить? Сформулируйте
достаточное условие существования экстремума функции и правило отыскания
экстремумов функции;
5. Сформулируйте правило отыскания наименьшего и наибольшего значения
функции на отрезке?
67
Практическая работа № 13
«Полное исследование функции. Построение графиков»
Цель работы: научиться исследовать функцию с помощью производной и строить
графики.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Для построения графиков функций можно использовать следующую схему:
1. Находят область определения функции;
2. Проверяют функцию на четность и нечетность (заметим, что графики четных
функций симметричны относительно оси (ОУ), а нечетных – относительно начала
координат); проверяют функцию на периодичность;
3. Находят точки пересечения графика с координатными осями (ось ОХ имеет
уравнение у  0 , ось ОУ имеет уравнение х  0 );
4. Находят асимптоты графика функции;
5. Исследуют функцию на монотонность и находят точки экстремума;
6. Находят интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба;
7. Строят график.
Для применения данной схемы, вспомним некоторые основные понятия и определения.
Прямая у  kx  b называется наклонной асимптотой для графика функции y  f (x) ,
если:
lim ( f ( x)  kx  b)  0
(1)
x 
Числа k и b
в уравнении асимптоты находятся из условий:
k  lim
x 
f ( x)
,
x
b  lim ( f ( x)  kx)
x 
(2)
Если k  0 , то прямая у=b называется горизонтальной асимптотой.
Прямая х =а называется вертикальной асимптотой графика функции
если
lim f ( x)   или
xa 0
y  f (x) ,
lim f ( x)   .
xa 0
Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот графика функции y  f (x) в
качестве точки а, через которую может проходить вертикальная асимптота, следует
рассматривать точку разрыва данной функции.
68
Правило нахождения интервалов монотонности и точек экстремума:
1. Вычислить производную функции f (x ) ;
2. Найти критические точки функции, т.е. точки в которых f ( x )  0 или не
существует;
3. Исследовать знак производной функции в интервалах, на которые разбивается
область определения функции этими критическими точками;
4. Если в рассматриваемом интервале
f ( x)  0 , то на этом интервале функция убывает;
f ( x)  0 , то на этом интервале функция возрастает.
5. Если x0 - критическая точка и при переходе через нее f (x ) меняет знак с «+» на
« - », то x0 - точка максимума; если же она меняет знак с « - » на «+», то x0 - точка
минимума.
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба:
1. Вычислить вторую производную функции f (x ) ;
2. Найти у функции критические точки 2-го рода, т.е. точки в которых f ( x)  0
или не существует;
3. Исследовать знак второй производной функции в интервалах, на которые
разбивается область определения функции критическими точками 2-го рода;
4. Если в рассматриваемом интервале
f ( x)  0 , то на этом интервале график функции выпуклый вверх;
f ( x)  0 , то на этом интервале график функции выпуклый вниз;
5. Если x0 - критическая точка 2-го рода и при переходе через нее f (x ) меняет
знак, то x0 - точка перегиба.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Исследовать функцию у  х3  х 2  х  1
Решение: исследуем функцию по схеме:
и построить ее график.
1. D(y)=R;
2. у( х)  ( х)3  ( х)2  ( х)  1   х3  х 2  х  1  ( х3  х 2  х  1) - функция не будет
ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;
3. Найдем точки пересечения с (ОХ): х 3  х 2  х  1  0 . Перебирая делители
свободного члена, находим целые нули функции: х  1 и х  1 .
Найдем точки пересечения графика функции с осью (ОУ): если х  0 , то у  1 ;
4. Асимптот нет;
5. Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
у  3х 2  2 х  1 . Найдем критические точки функции: у  3х 2  2 х  1  0 . Получим:
1
х1  1 и х2  . Найдем интервалы возрастания и убывания функции:
3
69
1
Из чертежа имеем, что функция возрастает на (;1) и ( ;) , убывает на
3
1
(1; ) . Найдем экстремумы функции:
3
max f ( x)  f (1)  0 . Значит, точка максимума имеет координаты (1; 0)
1
5
1
5
min f ( x)  f ( )  1 . Значит, точка минимума имеет координаты ( ;1 )
3
27
3
27
6. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую
производную: у  6 х  2 . Найдем критические точки 2 рода функции:
1
6 х  2  0  х   . Определим знак второй производной в интервалах, на которые
3
разбивается область определения:
1
Значит, график функции будет выпуклым вверх на (; ) и выпуклым вниз на
3
1
1
(  ;) . Т.к. вторая производная меняет знак при переходе через точку х   , то в
3
3
1
16
ней график будет иметь перегиб. Вычислим: f ( )   . Значит, точка перегиба
3
27
1 16
(  ; ) .
3 27
7. Построим график:
Пример 2. Построить график функции
у=
x2 1
x2 1
Решение:
1. Найдем область определения функции. Она задается условиями x ≠ 1, x ≠ -1 (при
значениях
70
x ≠ 1, x ≠ -1 знаменатель дроби обращается в нуль). Итак,
D(f)=(-∞;1)(-1:1)(1;+∞).
2. Исследуем функцию на честность:
2
( x) 2  1 x  1

 f(x)
f ( x) 
2
( x) 2  1 x  1
Значит, заданная функция четна, ее график симметричен относительно оси ординат, а
потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0.
3. Точек пересечения графика функции с осью ОХ нет,
Найдем точки пересечения графика функции с осью ОУ: если х  0 то у  1
4. Найдем асимптоты графика. Вертикальной асимптотой является прямая x = 1,
поскольку при этом значении x знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель
отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить lim f(x):
x
x2 1
1
 2
1 2
2
x2  1
x  1.
lim 2
 lim x 2 x  lim
x  x  1
x  x
1 x  1  1

x2
x2 x2
Значит, y = 1 – горизонтальная асимптота графика функции.
5. Найдем критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:



 x2 1
x2 1  x2 1  x2 1  x2 1
2x  x 2  1  x 2  1  2x
 4x
 
y′  2
.


2
2
2
x2 1
x2 1
x2 1
 x 1

 

 





 




Критические точки найдем из соотношения y´ = 0. Получаем –4x = 0, откуда находим,
что х = 0. При х < 0 имеем y´ > 0, а при х > 0 имеем y´ < 0. Значит, х = 0 – точка
максимума
02  1
 1 .
функции, причем уmax = f(0)= 2
0 1
При х > 0 имеем y´ < 0, но следует учесть наличие точки разрыва х = 1. Значит, вывод о
промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0;1) функция
убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.
6. Вычислим вторую производную:
f ( x)  (
 4x
 4( x 2  1)2  4 x  2( x 2  1)  2 x  4( x 2  1)  16 x 2 12 x 2  4

)


 2
( x 2  1)2
( x 2  1)4
( x 2  1)3
( x  1)3
f (x) нигде не обращается в ноль, критическими точками будут только точки х  1 .
Определим знак f (x) в интервалах:
71
7. Отметим (0;-1) – точку максимума, построим прямые у = 1 – горизонтальную
асимптоту, что x = 1 и x = - 1– вертикальные асимптоты;
Задания для практического занятия:
Вариант 1
Исследовать по схеме и построить графики функций:
1
1) у  х 3  6 х 2  9 х  8;
2) у  3х  ;
3х
3)
у
х2  4
х
Вариант 2
Исследовать по схеме и построить графики функций:
4
х3
1) у  2 х 3  3х 2  12 х  1;
2) у   х;
3) у  2
х
х 1
Вариант 3
Исследовать по схеме и построить графики функций:
2
8
6  х3
1) у  х 3  х 2  4 х  1;
2) у   х;
3) у 
3
х
х2
Вариант 4
Исследовать по схеме и построить графики функций:
1
х 2  9х  8
1) у  х 3  6 х 2  16;
2) у  х  ;
3) у 
х
х
Контрольные вопросы
1.
Дайте определение наклонной асимптоты, горизонтальной и вертикальной
асимптот;
2.
Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности и точек
перегиба;
3.
Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости графика
функции и точек перегиба;
4.
Опишите схему исследования функции для построения ее графика.
72
Практическая работа № 14
«Вычисление неопределенных интегралов»
Цель работы: научиться вычислять неопределенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке а  x  b ,
если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):
F ( x)  f ( x)  dF ( x)  f ( x)dx, a  x  b
(1)
Совокупность всех первообразных функций F(x) + c для функции f(x) на некотором
промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается
 f ( x)dx  F ( x)  C ,
(2)
где f ( x)dx называется подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования,
а С -произвольной постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной
функции называется интегрированием.
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)
x n 1
1.  dx  x +С;
2.  x n dx 
+С;
n  1
n 1
dx
 ln x +С;
3. 
4.  e x dx  e x +С;
x
ax
5.  a x dx 
+С;
6.  sin xdx   cos x +С;
ln a
dx
 tgx +С;
7.  cos xdx  sin x +С;
8. 
cos 2 x
dx
dx
 ctgx +С;
 arcsin х  С ;
9. 
10. 
2
sin x
1  x2
dx
dx
x
 arctgх  С ;
 arcsin  С ;
11. 
12. 
2
2
1  x2
a
а x
13.
а
15.

dx
1
x
 arctg  С ;
2
x
a
a
dx
 ln x  x 2  a 2 +С;
2
2
x a
2
dx
1
xa

ln
+С;
2
2a x  a
a
14.
x
16.
 ln xdx  x ln x  x +С;
2
73
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс
произвольная постоянная:
 dF x   F x   C
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а
производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
 f x dx  '  f x
d  f  x dx  f  x dx,
3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической
сумме неопределенных интегралов от этих функций:
  f x    x dx   f x dx    x dx
4.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак
неопределенного интеграла:
 af x dx  a  f x dx , а  0 .
Метод непосредственного интегрирования
Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при
котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной
функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или
нескольким табличным интегралам.
Интегрирование способом подстановки
Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании
интеграла  f ( x)dx в интеграл  F (u ) du , который легко вычисляется по какой-либо из
основных формул интегрирования. Для нахождения
 f ( x)dx
заменяем переменную х
новой переменной u с помощью подстановки х   (u ) . Дифференцируя это равенство,
получаем dx   (u )du .
Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения , выраженные
через u du , имеем:
(3)
 f ( x)dx   f  (u) (u)du   F (u)du
После того, как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью
подстановки u   (x) он приводится к переменной х.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции u  u (x) и v  v(x) имеют непрерывные производные на некотором
промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:
d (uv)  u vdx  uv dx .
Так как по условию функции u v и uv непрерывны, можно проинтегрировать обе
части этого равенства,
74
 d (uv)   u vdx   uvdx ,
или
 d (uv)   vdu   udv
но
 d (uv)  uv  C ,
следовательно
 udv  uv   vdu
(4)
В правой части формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она
фактически присутствует в интеграле  vdu . Формула (4) называется формулой
интегрирования по частям.
Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело
в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение f ( x)dx
представляется в виде произведения множителей u и dv ; при этом dx обязательно
входят в dv . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала
находят  dv , а затем  vdu . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если
задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного
интеграла.
При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является
разумное разбиение подынтегрального выражения на множители u и dv . Общих
установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов,
вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.
1. В интегралах вида:  P ( x)e ax dx ,
 P( x) sin axdx
,
 P( x) cos axdx
,
где Р(х) – многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают u  P(x) , а все
остальные сомножители за dv .
2. В интегралах вида:  P( x) ln ax dx ,
 P( x) arcsin axdx ,  P( x) arccosaxdx ,
 P( x)arctgaxdx ,  P( x)arcctgaxdx
полагают P( x)dx  dv , а остальные сомножители за u .
3. В интегралах вида:  e ax sin bxdx ,
e
ax
cos bxdx , где a и b числа, за u можно принять
любую из функций e ax или sin bx (или cos bx).
Пример по выполнению практической работы
( x  2)3 dx
;
Пример 1. Вычислить: 1)  (5 х 4  4 х 3  3 х 2  1)dx ;
2) 
x
Решение:
1)  (5 х 4  4 х 3  3х 2  1)dx  5 х 4 dx  4 x 3dx  3 x 2 dx   dx  x 5  x 4  x 3  x  C ;
75
( x  2)3 dx
x3  6 x 2  12 x  8
8
1

dx   ( x 2  6 x  12  )dx  x 3  3x 2  12 x  8 ln x  C
 x

x
x
3
2)
Пример 2. Вычислить 1)  (1  x) dx ;
5
2е х dx
2) 
;
(1  е х ) 2
х2  1
3) 
dx; 4)
х2
x
x  3dx ;
5)  sin 8 x cos 2 x dx ;
Решение:
1) Положим 1+x = z. Продифференцируем это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz.
5
z6
1
6
Заменим в интеграле:  1  x  dx   z 5 dz 
 C   1  x   C .
6
6
2) Сделав замену : 1  e x  z
, получим
d (1  e x )  dz   e x dx  dz;  e x dx  dz;
Тогда:
2e x dx
dz 2
2
 (1  e x )2  2 z 2  z  C  1  e x  C;
3) Положим
х  2  t;  x  t  2;  dx  d t  2  dt
t  2  1 dt  t 2 4t  5 dt   t  4  5 dt  t 2  4t  5 ln t  C 
х2  1
dx


 х2
 t
 t
 
t
2
2

x  22  4x  2  5 ln x  2  C  x 2  2 x  6  5 ln x  2  C  x 2  2 x  5 ln x  2  C ,
2
где С1  С  6 ;
4) Пусть
2
2
1
x  3  t , тогда x  t 2  3, dx  2tdt . Поэтому
2
4
2
 x  x  3dx   (t  3)  t  2tdt  2 (t  3t )dt  2 
5
t
t3
6   C 
5
3
2
( x  3)5  2 ( x  3)3  C ;
5
5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:
1
sin  cos   (sin(    )  sin(    )) .
2
1
1
1
Поэтому, имеем  sin 8 x cos 2 x dx   (sin 10 x  sin 6 x)dx   cos10 x  cos 6 x  C ;
2
20
12

Пример 3. Вычислить 1)
 x sin xdx ;
2)
 x ln xdx ;
Решение:
1) положим u  x , dv  sin xdx ; тогда du  dx ,  dv   sin xdx , т.е. v   cos x .
Используя формулу (4), получим
2)
 x ln xdx ;
положим
 x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C .
dx
x2
u=lnx, dv=xdx; тогда du 
; v   dv   xdx 
.
x
2
76
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
(2  3х) 2
4
а)  (2 x 2  7 x  1)dx ;
б) 
в)  (6 x 
dv
)dx
3
х
х
 8
5
д)  

2
9  x2
 cos x
4

г)   3 sin x  4 dx ;
x 


dx ; е)

dx
 121  x
2
;
2. Методом подстановки вычислить:
5dx
;
1  9x 2
3dx
ln 2 xdx
д)  e x 1  e x dx
е) 
;
ж) 
;
1  2x
x
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
ln x
а)  (1  x) sin xdx
б)  3 dx
x
5
а)  (7  3 x) dx ;
в) 
б)  3 sin 5 xdx ;
г)

3
(2  5x)2 dx ;
з)  sin 5 x cos 3 xdx ;
Вариант 2
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
4
(1  4 x) 2
а)  (4 x 4  8 x 3  x )dx ; б) 
в)  (62 x  )dx ;
dx ;
4
x
x
dx
2
12 
 1

dx ; е) 
г)  10 cos x  3 dx ;
д)   2 
;
2 
x 
 sin x 81  x 

16  4 x 2
2. Методом подстановки вычислить:
6
а)  (5  4 x) dx ;
б)  7 cos 6 xdx
;
в) 
4dx
;
3  4x
e x dx
tgx dx
ж) 
;
 ex 1;

cos 2 x
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
ln x
а)  x cos xdx ;
б)  2 dx
x
Вариант 3
д)
3
x 2  3  xdx ;
е)
г)

7dx
1  16 x 2
;
з)  sin 2 x sin 6 xdx ;
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
(4 x  x 2 ) 2
dx ;
а)  ( x 3  8 x 2  4)dx
;
б) 
в)  (3 x 2  5x )dx
5
x

sin 2 x
dx
4
1 

dx
г)  
;
д)
;
е)
;

dx
2



2
cos x
25  16 x 2
2 sin x 
 49  x
2. Методом подстановки вычислить:
4
5dx
2dx
а)  (2  7 x) dx ;
б)  6 cos 2 xdx ;
в) 
;
г) 
;
3  4x
1  16 x 2
sin x dx
д)  4 (7 х  4)3 dx ;
е)  e x cos( e x )dx ;
ж) 
;
з)  cos 4 x cos 5 xdx ;
5  2 cos x
77
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а)  xe x dx ;
б)  arcsin x dx ;
Вариант 4
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
( x  2 x 2 )2
а)  (9 x 5  3x 2  8)dx ;
б) 
в)  (23 x  9 x  5)dx ;
dx ;
2
x
59
3dx
8
1 

 5


г)  
д)   4  4 cos x dx ;
е) 
.
dx ;
2
2
4 cos x 
 100  x
x

4  49 x 2
2. Методом подстановки вычислить:
3
9dx
а)  (2 x  9) dx ;
б) 11sin 3 xdx ;
в) 
;
г)
4x  5
д)

4 sin x  1 cos x dx ;
е)
e x dx
 sin 2 (e x ) ;
ж)

arcsin 2 x dx
1  x2
;

7 dx
1  36 x 2
;
з)  sin 8 x cos 3 xdx ;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а)  x 2 ln xdx ;
б)  arctg x dx .
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется первообразной для функции f ( x), x  (a; b ) ?
2. Что называется неопределенным интегралом функции f (x) на некотором
промежутке?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Перечислите основные табличные интегралы.
5. Какие методы интегрирования вы знаете?
78
Практическая работа № 15
«Вычисление определенных интегралов»
Цель работы: научиться вычислять определенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Определённый интеграл
Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций F (x) + C функции f (x)
при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом от a
до b функции f (x):
b
 f xdx  F b  F a 
(1)
a
Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним.
Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Функция
f (x) называется
подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования. Формула
(1) называется формулой Ньютона - Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
Если интегрируемая на отрезке [a;b] функция f (x) неотрицательна, то определённый
b
интеграл
 f x dx
численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной
a
графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b :
Свойства определённого интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
b
b
a
a
 Af xdx  A f xdx
2. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен
алгебраической сумме их интегралов, т.е.
79
b
b
b
a
a
a
  f x  g xdx   f xdx   g xdx
b
c
b
a
a
c
 f xdx  f xdx  f xdx ;
3. Если a<c<b, то
b
4. Если функция f (x) неотрицательная на отрезке [a;b], где a<b, то
 f x dx  0 ;
a
5. Если f (x)≥ g (x) для всех x  [a;b], где a<b, то
b
b
a
a
 f xdx   g xdx
6. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a;b], где
b
a<b, то mb  a    f x dx  b  a 
a
7. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует
b
точка c  a; b такая, что
 f xdx  f c  b  a 
a
Методы вычисления определенного интеграла
Непосредственное интегрирование предполагает использование основных свойств
определенного интеграла и формулы Ньютона – Лейбница.
b
 f x dx
Метод подстановки сводит определенный интеграл
с помощью подстановки
a
u   (x) к определенному интегралу относительно новой переменной и. При этом
старые пределы интегрирования а и b заменяются соответственно новыми пределами
интегрирования а1 и b1 , которые находятся из исходной подстановки:
а1   (а), b1   (b) .
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле производится по формуле
b
x)dx  u ( x)v( x)
 u ( x)v(

a
dv
где полагается, что функции u(x) и
b
b
a
  v( x)u ( x)dx ,

a
du
v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке a; b.
Пример по выполнению практической работы
п
4
Пример 1: Вычислить
3dx
 cos
0
2
x
.
Решение:
80

Пример 2: Вычислить
 2e
2x

 3 cos x dx
0
Решение:

 2e
2x




 3 cos x dx  2 e dx  3 cos xdx  e 2 x  3 sin x
2x
0
0


0

 

 e 2  3 sin   e 0  3 sin 0 
0
 e 2  1  534,492

dx :

3
x2 
1
8
8
8

1 
1 2 / 3
2 8
8
3


1  4 x  33 x 2   dx  41 xdx  3 1 x dx  2 x 1  x 1 
8
Решение:

1
  4 x  3
Пример 3. Вычислить
 2(82  1)  (3 8  1)  2  63  1  125
 е
1
Пример 4.
Вычислить
х

4
 1 е х dx
0
Решение:
2
Пример 5. Вычислить
x
2
4  x 2 dx .
0
Решение: Положим x  2sin t . Тогда dx  2 cos t dt . Если x  0, то t  0 , если

х  2, то t  . Поэтому
2
2


2
2

2
1 2
2
2
2
2
2
2
x
4

x
dx

4
sin
t
4

4
sin
t
2
cos
t
dt

16
sin
t
cos
tdt

16
0
0
0
0 4 sin 2t dt 

2
1
1
 4  (1  cos 4t )dt  2(t  sin 4t )
2
4
0

2
0
 2(

1

 sin( 4  ))  0  
2 4
2
e2
Пример 6. Вычислить

х ln xdx .
1
1
Решение: Положим u  ln x, dv  x dx  x 2 dx  du 
3
dx
2
, v  x 2 . Отсюда, учитывая
x
3
формулу интегрирования по частям, получим:
81
e2
e2
e2
e2
e2
2
2
dx 2 6
2
8 6 2 2
8
4
4
х
ln
xdx

x
x
ln
x

x
x

e

4

x
dx

e


x
x
 e6   e6   
1


1
3
31
x 3
31
3
3 3
3
9
9
1
4
 5e 6  1
9


Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:

dx
1) 
;
2
п cos x

4
1
4
 3(1  z
2)
2
0
3
4 х5  3х 4  х3  1
dx ;
1
х2
2
4)
3)  ( х  3 х )dx ;
)dz ;
1
( x 2  2 x)(3  2 x)
dx ;
1
x2
0
5)
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

1
2
 5  2 x  dx ;
1)

2
3
sin x
0 3  cos x dx ;
2)
2

3
2
2
4)  еsin x cos xdx ;
5)
0
dx
 3  4x
cos x
dx; ;
2 sin x  1

3)
2
;
1
2
0
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1
1)
 1  х е
х

2)  e x sin xdx;
dx ;
0
0
Вариант 2
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:


1
3
dx
п sin 2 x
1)

2)
9
2
 5( y  1)dy ;
3)
1
 (2 x 
1
3
)dx ;
x
2
6 x 4  4 x3  7 x 2  1
( x 2  3 x  2)( 2  x)
dx
dx ;
;
5)
2
2
x2
x 1
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
3
3
4)
3
2

3
1)
2
 2 x  1 dx ;
2
2)
2
cos x
0 2  sin x dx ;
3)
x
 3e xdx ;
2
0

1
2
ex
0 e x  5 dx;
0
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
4)
 sin x  cos x dx;
2
5)
82

1
2
2)  arccos xdx;
 x sin xdx;
1)
0
0
Вариант 3
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
2
1
dx
1) 
;
2)  4( x  x 3 )dx ;
2
0
0 1 x
1
4
3)  (4 x 
1
2
)dx ;
x
5x  4 x  2 x
( x  x  6)( 2 x  3)
dx ; 5) 
dx ;
3
x
x2
2
2
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
4)
7

3
6
2
п
2

5
1)
12
3
 4  x  dx ;
2)
4
dx
;
2
3x
 cos
0

3)

3 sin x  1 cos xdx ;
0
1
2
sin x
4) 
dx;
1  cos 2 x
0
5)
e
x2
xdx ;
0
3.Вычислить методом интегрирования по частям:


2
2
1)
2
 x sin xdx;
2)  e x cos xdx;
0
0
Вариант 4
1.
Вычислить методом непосредственного интегрирования:
3
2

1)
1
1
0
dx
1 x2
;
2)
3)  ( x 2  x )dx
2
4
3x  4 x  7 x  3
dx ;
3
x
2

4)
6
9
3
 2( x  x)dx ;
5
( x  7 x  12)(3 x  5)
dx ;
x

3
1
1
4
5)

2
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

2
dx
1)  x 2  1 xdx ; 2)  2 dx ;
п sin 3 x
1
2
3
9
3)

1  cos x sin xdx ;
3

2
18

3
4)
x
 x 2  1 dx;
2
2
5)
 3sin
2
x  cos x dx;
0
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1
1)  arcsin xdx;
0
1
2)
 xe
x
dx;
0
83
Контрольные вопросы
1. Что называется определенным интегралом, и в чем его геометрический смысл?
2. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.
3. Перечислите свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
5. В чем заключается метод замены переменной интегрирования?
84
Практическая работа № 16
«Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения»
Цель работы: научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел
вращения.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Вычисление площади плоской фигуры
При вычислении площадей плоских фигур с применением определенного интеграла мы
рассмотрим следующие случаи:
1. Фигура ограничена непрерывной и неотрицательной на отрезке a; b, (a  b) функции
f(x), осью ОХ и прямыми х  а и х  b . В этом случае согласно геометрическому
b
смыслу определенного интеграла площадь S фигуры численно равна  ( x)dx , т.е.
а
b
S=  ( x)dx
(1)
а
2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке a;b,
функции f (x), осью ОХ и прямыми х  а и х  b
Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси ОХ,
а следовательно, их площади S1 и S равны.
85
Но
b
b
a
a
S   ( f ( x))dx    f ( x)dx
Поэтому
a
S   f ( x)dx
(2)
b
3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а , х = b и графиком функции f (x), которая
непрерывна на отрезке a;b, и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В
этом случае разбивают отрезок a;b, на такие частичные отрезки, на которых функция f
(x) знакопостоянна на соответствующих отрезках. В нашем примере имеется три таких
отрезка:
а; с, с; d , d ; b:
Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов,
взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы
входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции f (x) на соответствующих
отрезках. Так, например, площадь фигуры, представленной на рисунке , вычисляется по
формуле
c
d
b
a
c
d
S   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
4. Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке а; b функций f(x) и g(x) и
прямыми х = а , х = b,где f ( x)  g ( x) и a  x  b (рис. 52) В этом случае искомая площадь
S вычисляется по формуле:
b
S   ( f ( x)  g ( x)) dx
(3)
a
86
5. Фигура ограничена графиками трех и более непрерывных на отрезке а; b функций. В
этом случае стараются искомую площадь представить в виде алгебраической суммы
площадей, вычисление каждой из которых сводиться к одному из предыдущих четырех
случаев. Так, например, площадь фигуры, изображенной на рисунке
вычисляется по формуле
c
b
b
a
c
a
S   f ( x)dx   g ( x)dx   h( x)dx
Вычисление объема тела вращения
Объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у  f ( x), x  a; b, осью ОХ и прямыми х=а и х=b,
вычисляется по формуле:
V 
b
f
2
(4)
( x)dx
a
Аналогично, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОУ криволинейной
трапеции, ограниченной кривой х   ( y), y  c; d , осью ОХ и прямыми х=с и х=d,
вычисляется по формуле
d
V     2 ( y)dy
(5)
c
Вычисление длины плоской дуги
Пусть плоская крива АВ задана уравнением у  f ( x), x  a; b, причем f ( x) u f ( x) непрерывные функции при x  a; b. Тогда дифференциал дуги АВ выражается
формулой
87
2
 dy 
dl  1    dx ,
 dx 
(6)
Длина дуги АВ вычисляется по формуле:
2
 dy 
L   dl   1    dx ,
 dx 
a
a
b
b
(7)
где а и b - значения независимой переменной х в точках А и В.
Вычисление площади поверхности фигуры вращения с помощью определенного
интеграла
При вращении дуги АВ плоской кривой y=f(x) вокруг оси Ох образуется поверхность
вращения, площадь которой вычисляется по формуле:
2
 dy 
S  2  y 1    dx
 dx 
a
b
(8)
где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В.
Аналогичным образом, при вращении дуги АВ вокруг оси Оу имеем dS  2xdl , откуда
2
 dx 
S  2  x 1    dy
 dy 
c
d
(9)
где с и d—значения независимой переменной у в точках А и В.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1
у  х 2  1, у  0, х  2, х  3 .
2
Решение: построим графики функций. Применив формулу (1), найдем площадь фигуры
5
1 
1

1
 1

S    x 2 dx   x 3  x   32    33  3    (2)3  2   10 (ед.2 )
2 
6
6

6
 6

 2
3
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = –х2 – 1, у = 0, х = –1. х
= 2.
88
Решение. Построим графики заданных функций:
По формуле (2) находим
1

1
 1

S    ( x  1)dx   ( x 2  1)dx    x 3  x  21    23  2    (1)3  1  6(ед 2 .)
3

3
 3

1
1
2
2
2
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, x = x= .
 /2,
Решение: очевидно, что sin x  0 для всех x    / 2;0 и sin x  0 для всех x  0;  .
Поэтому:
0
S 


 /2


sin xdx   sin xdx  cos x 0 / 2  cos x 
0
0


  
   cos 0  cos     cos   cos 0  1  0   1  1  3 ед 2 .
 2 


Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
1
у  х 2  1, х  0;1, у   х 2  1, х  0;3, у   х  3, х  1;3
9
 
Из рисунка видно, что искомая площадь S  S OACc  S cCB S OAB или


1
3
3
 1

1
1  1
3  1 3
3
S   x 2  1 dx    x  3dx     x 2  1dx   x 3  x     x 2  3 x    
x  x 
9

3
0  2
 1  27
0
0
1
0
1
9
1
1
  1   9   3  1  3  1 ед 2 )
3
2
2
3


89
Пример 5. Вычислить объем фигуры, образованной вращением площади, ограниченной
линиями y 2  4 x , y=0 и х=4 вокруг оси Ох.
Решение: выполним построение плоской фигуры. При вращении этой фигуры вокруг оси
ОХ получим параболоид. Пределы интегрирования а=0 и b=4. По формуле (4) получим
4
V    4 xdx  2x 2 04  32 (куб. ед.)
0
Пример 6. Вычислить объем фигуры, образованной вращением площади, ограниченной
линиями y  x 2  9 и у=0 вокруг оси Ох.
Решение: Выполним построение плоской фигуры. В силу симметрии фигуры
относительно оси Оу возьмем пределы интегрирования от 0 до 3, а
затем полученный результат удвоим. По формуле (4) находим
3
 x5

V / 2    ( x  9) dx    ( x  18 x  81)dx     6 x 3  81x   129,6
5
0
0
0
V  2 129,6  259,2 (куб .ед.)
3
3
2
2
4
2
Пример 7. Найти длину окружности х 2  у 2  r 2 .
dy
dy
x
 0;
  . По
dx
dx
y
формуле (7) вычислим длину четверти окружности, взяв пределы интегрирования от 0
до r, тогда получим:
Решение: дифференцируя уравнение окружности, имеем 2 x  2 y
2
r
y2  x2
r2
dx
x
dx  
dx  r 
 r arcsin

;
2
2
2
2
r0
2
y
y
r x
0
0
r
 2 r .
Тогда длина всей окружности равна С  4 L  4 
2
r

L
  1   
4 0

x
 dx  
y 
0
r
r
Пример 8. Найти длину дуги параболы y 
r
r
x2
, заключенную между точками О(0; 0) и
2
3
A( 3; ) .
2
Решение: Дифференцируя уравнение параболы, получим
dy
 x .подставим полученный
dx
результат в формулу (7),получим:
90
1
1

2
2
2
0 1  x dx  2 x x  1  2 ln( x  x  1) 0  2,4 (ед.дл.)
Пример 9. Найти площадь поверхности шара, образованного вращением окружности
x 2  y 2  r 2 вокруг оси Ох.
Решение: дифференцируя уравнение окружности x 2  y 2  r 2 , получим
dy
dy
x
2x  2 y
0,
  . Найдем дифференциал дуги:
dx
dx
y
3
3
L

 dy 
dl  1    dx  1   
 dx 

2
2
x
 dx 
y 
y2  x2
rdx
dx 
2
y
y
Подставив значение дифференциала dl в формулу (1) и взяв пределы интегрирования от –r
до r, получим
r
r
rdx
S  2  y
 2r  dx  2rx r r  4r 2 .
y
r
r
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги
2
окружности  х  4   у 2  36 ,заключенной между точками А(2; 4 2 ) и В(4; 6)
Решение: дифференцируя уравнение окружности по х, получим:
2( х  4)  2 у
dy
 0;
dx
dy
x4

;
dx
y
y
dy
 ( x  4) .
dx
Тогда:
2
2
 dy 
 dy 
2
2
S  2  y 1    dx  2  y 2   y  dx  2  36  x  4  x  4 dx 
dx
dx
 


2
2
2
4
4
 12  dx 12x
4
2
4
4
 24 (кв.ед.)
2
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) y  x 2 , x  1, x  3 , y  0 ;
б) y  x 2  3x  4 , y  4  x ;

в) y  cos x, y   x, x  0, x  ;
2
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей,
ограниченных линиями:
а) у  х 2  1 и у  0 ;
б) у 2  9 х и у  3х ;
3. Найти длину дуги параболы у  9  х 2 между точками ее пересечения с осью ОХ
4. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением вокруг оси ОХ
дуги окружности х 2  у 2  16 , заключенной между точками А (2; 2 3 ) и В 3; 7


91
Вариант 2
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) y  x 3 , x  1, x  3 , y  0 ;
б) y  x 2  5 x  3 , y  3  x

в) y  sin 2 x, y  x  , x  0 ;
2
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей,
ограниченных линиями:
а) у 2  6 х ; у  0; х  1 и х  3 ;
б) у  3х  х 2 и у  0 ;
3 3
;
3. Найти длину дуги параболы у 2  х между точками О(0; 0) и А  ;

4
2


4. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением вокруг оси ОХ
дуги окружности х 2  у 2  25 , заключенной между точками А (3; 4) и В4; 3
Вариант 3
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) y  9  x 2 , х  1, х  2 , y  0 ;
б) у  х 2  3х  2, у  х  1

в) y  sin x, y   x, x  0, x  ;
2
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей,
ограниченных линиями:
а) у   х 2  х и у  0 ;
б) у 2  2( х  2); у  0 и х  0;
3. Найти длину дуги полукубической параболы у 2  х 3 между точками О(0; 0) и
4 8 3
;
А  ;

3
9


4. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением вокруг оси ОХ
дуги окружности ( х  2) 2  у 2  25 , заключенной между точками А (1; 2 6 ) и В5; 4
Вариант 4
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) y   x3  1 , х  0 , x  2 , y  0 ;
б) y   x 2  2 х  3 , y  3  x ;
x
в) y  cos , y  x   , x  0, x   ;
2
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей,
ограниченных линиями:
а) у   х 2  5х, у  0; х  0 и х  3; ;
б) у 2  х  1; х  2 и у  0 ;
3. Найти длину дуги полукубической параболы 9 у 2  4 х 3 между точками О(0; 0) и


А 3; 2 3 ;
4. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги
параболы у 2  4 х , заключенной между точками О(0; 0) и А 3; 2 3


92
Контрольные вопросы
1. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
2.
Перечислите все пять случаев применения определенного интеграла к
вычислению площадей плоских фигур.
3.
Как найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг
оси ОХ, ОУ?
4.
Назовите формулы для вычисления длины плоской дуги;
5.
Как вычислить площадь поверхности вращения с помощью определенного
интеграла?
93
Практическая работа № 17
«Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций
нескольких действительных переменных»
Цель работы: научиться вычислять пределы, частные производные и дифференциалы
функций нескольких действительных переменных.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Функции нескольких действительных переменных
Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если
каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z. Функции
двух переменных обозначают символами z=f(x, у), z = F(x,y), z = z(x, у) и т. п. Значение
функции z=f(x, у) при х = а и у = b обозначают через f(a, b). Упорядоченная пара
значений х и у называется точкой М(х; у), а функция двух переменных — функцией
этой точки z=f(M). Переменная величина u называется функцией трех переменных
величин х, у, z, если каждой упорядоченной тройке значений х, у, z соответствует
единственное значение u. Аналогично определяется функция n переменных.
Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется
областью определения (существования) функции. Некоторую замкнутую область D на
плоскости, ограниченную данными линиями, можно задать с помощью одной или
нескольких систем неравенств вида
а  х  b, f1 ( x)  y  f 2 ( x)
(1)
Число А называется пределом функции z=z(x,y)=z(P) в точке P0 ( х 0 ; y 0 ),если для
любого числа  >0 существует такое число б>0, что для всех точек P(x;y), лежащих
внутри круга с центром в точке P0 и радиусом б (кроме,быть может,самой точки P0),
выполняется неравенство f ( P)  A   .
Коротко это записывается так же:
lim  z ( x, y )  A или lim z ( P)  A
x  x0
y  y0
P  p0
(2)
Отметим, что этот предел не должен зависеть от способа приближения точки P к точке
P0, т.е. точка P стремится к точке P0 по любой траектории.
Для функции двух переменных имеют место теоремы о пределе суммы, разности,
произведения и частного, аналогичные соответствующим теоремам для функции одного
аргумента.
Функция z=z(x,y)=z(P) называется непрерывной в точке P0(x0;y0) если
lim z( P)  z( P0 ),
PP0
94
т.е. если предельное значение функции в точке равно ее частному значению в этой точке.
Функция, непрерывная в каждой точке какой-либо области, называется непрерывной в
этой области.
Точка P0 называется точкой разрыва функции z=z(P), если эта функция определена в
некоторой окрестности точки P0 и в ней непрерывность функции нарушается.
Функция z=z(P) может иметь разрывы не только в изолированных точках, но так же и на
множестве точке, например на линиях разрыва.
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций двух аргументов в
некоторой точке так же являются непрерывными функциями в этой точке. Аналогично
определяются понятия предела и непрерывности для функций трех и большего числа
переменных.
Частные производные и полный дифференциал
Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется производная
z
этой функции при постоянном значении переменной у; она обозначается
или z'x.
x
Частной производной функции z=f(x, у) по переменной у называется производная по у
z
при постоянном значении переменной х; она обозначается
или z'y.
y
Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной
определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при
условии, что остальные переменные считаются постоянными.
Полным дифференциалом функции z=f(x, у) в некоторой точке М(х,у) называется
выражение
dz 
z
z
 dx   dy
x
y
(3)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти область определения функции z  9  x 2  y 2
Решение: Данная функция определена, если 9  x 2  y 2  0 , т.е. x 2  y 2  9 . Этому
соотношению удовлетворяют координаты всех точек плоскости, которые находятся
внутри круга радиуса R = 3 с центром в начале координат, а также на его границе.
Областью определения данной функции и является указанный круг.
3
Пример 2. Найти область определения функции z  5 x 
y
Решение: Первое слагаемое определено при x ≥ 0, второе - при у > 0. Следовательно,
область определения есть I-ая четверть плоскости хОу.
Пример 3. Дана функция f ( x; y ) 
Решение:
f (0; 0) 
2  0  0 1
1
 ;
2
2
30  0  2 2
2x  y  1
. Вычислить f (0; 0); f (1; 1); f (2; 1) .
3x 2  y 2  2
f (1;1) 
2 1  1  1
1
 ;
2
2
3 1  1  2 3
f (2; 1) 
2  2 11
4
 .
2
2
3  2  1  2 15
95
Пример 4. Найти пределы:
Решение. 1) Так как
sin( xy)
; 2) lim
x 0
x 0
x
y 3
x 0
1) lim
sin( xy)
sin( xy)
 y
, то
x
xy
lim
x 0
y 3
x2  x2
x2  y2  4  2
.
sin( xy)
sin xy
 lim y  lim
 3 1  3 .
y

3
xy

0
x
xy
2) Здесь требуется вычислить предел при условии P( x; y )  O(0;0) , т.е. при условии
p  OP 
x 2  y 2  0 . Находим:
x2  y2
lim
x 0 ,
y 0
 lim
p2
x 2  y 2  4  2 p 0 p 2  4  2
Пример 5. Найти частные производные функций:
 lim
p 2 ( p 2  4  2)
p 0
p2
 4.
1) z  x 3  2 xy 2  3 y 3 :
x2  y2
x2  y2
Решение: 1) Находим частную производную по переменной х при постоянном у:
z
 3x 2  2 y 2 ;
x
z
Находим частную производную по переменной у при постоянном х:
 4 xy  9 y 2
y
2) z 
Пример 6. Вычислить значение частной производной функции z 
x y
в точке М(-2; 3).
x y
Решение: Находим
В полученные выражения подставим значения х= -2 и у = 3:
Пример 7. Вычислить полный дифференциал функции z 
1
x2  y2
в точке (1; -1)
Решение: Находим частные производные:
96
z

x
z

y
1
2( x 2  y 2 )
3
2
1
2( x 2  y 2 )
3
2
x
 2x  
2( x 2  y 2 )
3
2
y
 2y  
2( x 2  y 2 )
3
2
;
z
x
;
z
y
Тогда с учетом формулы (3) имеем: dz  
(1; 1)
(1; 1)


1
2 2
1
2 2


2
4
2
4
2
2
dx 
dy .
4
4
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1) Найти область определения функции f ( x, y ) 
1
25  x 2  y 2
 x
y
x
 4 x  10 y  1
y
2) Вычислить значение функции f(1;2), если f ( x, y ) 
tg ( xy)
;
x 0,
x
y 2
3) Вычислить предел: lim
4) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) f ( x, y)  4 xy  x 3  5 y 2 ;
б)
f ( x, y)  e x
2
 y3
Вариант 2
1) Найти область определения функции f ( x, y ) 
x 2  y 2  49 
2) Вычислить значение функции f(-2;3), если f ( x, y) 
1
x
;
x  2y
1
4x  2 y
y
;
x  4 , sin( xy)
y 0
3) Вычислить предел: lim
4) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
2
а) f ( x, y)  2 x  x y 
y;
б) f ( x, y )  x  2 y 3 .
Вариант 3
1) Найти область определения функции f ( x, y) 
x  y  ln x ;
2) Вычислить значение функции f(5;-3), если f ( x, y) 
3x  y
;
1  3 6x  y
3  xy  9
x 0 ,
xy
y 0
3) Вычислить предел: lim
4) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) f ( x, y)  6 ln x  2 y 3 2 xy3 б) f ( x, y )  sin( 3 x  2 y ) ;
Вариант 4
1) Найти область определения функции f ( x, y )  1 
x2 y2
;

25 16
97
2) Вычислить значение функции f(-2;6), если f ( x, y ) 
4
2y  x  2
x
x3  y3
;
x 0 , x 2  y 2
y 0
3) Вычислить предел: lim
4) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
2
а) f ( x, y)  7 x  6 y 3x y ;
2
3
б) f ( x, y)  arcsin( 6 x  3 y )
Контрольные вопросы
1.Дать определение функции двух действительных переменных;
2. Что представляет собой область определения функции двух действительных
переменных?
3.Дать определение предела функции двух действительных переменных;
4. Какая функция двух действительных переменных называется непрерывной в точке?
5. Дать определение частных производных и полного дифференциала функции двух
действительных переменных.
98
Практическая работа № 18
«Решение задач на вычисление двойных интегралов и их приложение»
Цель работы: научиться решать задачи на вычисление двойных интегралов.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Определение двойного интеграла
Пусть в замкнутой ограниченной области D плоскости хОу определена непрерывная
функция z=f(x, у). Разобьем область D произвольным образом на n частичных областей с
площадями ΔS1, ΔS2, .., ΔSn. В каждой i-й элементарной области ΔSi- выберем
произвольную точку Мi (хi, yi), умножим значение функции в этой точке f(xi, yi) на
площадь ΔSi- соответствующей области и составим сумму этих произведений, т.е.
n
 f (x , y )
i 1
i
i
ΔSi, которая называется интегральной суммой функции f(x, у) в области D.
Двойным интегралом функции f(x, у) по области D называется предел этой суммы:
n
 f ( x , y )S   f ( x, y)dS
lim

 i 1
i
i
i
(1)
D
где λ — наибольший из диаметров элементарных областей ΔSi-. Функция z=f(x, у), для
которой предел (1) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.
В прямоугольных координатах дифференциал площади dS=dx dy, тогда двойной
интеграл примет вид:
(2)
Если f(x, у)>0, то двойной интеграл функции z=f(x, у) по области D равен объему тела,
ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), сбоку цилиндрической поверхностью,
образующие которой параллельны оси Oz, a направляющей служит контур фигуры D, и
снизу плоскостью z=0.
Основные свойства двойного интеграла
1. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме
двойных
интегралов от слагаемых функций:
99
2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
3. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т. е. если
область состоит из двух областей D1 и D2, то
Основные случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах
1) Если область D, в которой рассматривается двойной
интеграл (2), есть прямоугольник со сторонами, параллельными
координатным осям и заданными уравнениями х = а, x = b
(a ≤ x ≤ b), у = с, y=d (c≤ y ≤ d) то двойной интеграл вычисляется
по одной из формул
b
d
D
a
c

f ( x; y )dxdy   dy  f ( x; y )dx
d
b
D
c
a
 f ( x; y)dxdy   dx  f ( x; y)dy
3
4
Интегралы в правых частях формул (3) и (4) называются повторными (или
d
двукратными), а интегралы  f ( x; y)dy u
c
b
Под символом
 f ( x; y)dx называются внутренними.
a
d
 dx f ( x; y)dy
a
b
формуле (3) подразумевается дважды произведенное
c
интегрирование. Первое интегрирование (внутреннее) по переменной у совершается в
пределах от с до d в предположении, что х остается постоянным; результат интегрируется
по переменной х в пределах от а до b. Если вычисление двойного интеграла выполняется
по формуле (4), то порядок интегрирования меняется; внутренний интеграл вычисляется
по переменной х, причем у сохраняет постоянное значение, а внешнее (повторное)
интегрирование производится по переменной у.
2) Если область D такова, что любая прямая, проходящая
внутри этой области и параллельная оси Оу, пересекает ее
границу в двух точках (см. рисунки ниже), то эта область
называется простой относительно оси Ох и определяется
системой неравенств вида
В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле:
100
b
2 ( x)
a
1 ( x)
 f ( x; y)dxdy   dx  f ( x; y)dy
D
(5)
3) Если граница области D пересекается в двух точках всякой
прямой, проходящей внутри этой области и параллельной оси Ох
(рис. 4, то эта область называется простой относительно оси Оу и
определяется системой неравенств вида
В этом случае двойной интеграл выражается формулой:
d
2 ( y )
c
1( y)
 f ( x; y)dxdy   dy   f ( x; y)dx
D
(6)
где интегрирование сначала выполняется по переменной х, а затем по переменной у.
4) Если нижняя или верхняя линии границы состоят из
нескольких участков, имеющих различные уравнения, то
область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси
Оу, на такие части, чтобы каждый из участков выражался
одним уравнением. В этом случае вычисление двойного
интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных
интегралов.
В случае, изображенном на данном рисунке, область D1
определяется системой неравенств а ≤ х ≤ с, φ1 (x)≤ y ≤φ2(x), а
область D2 — системой неравенств с ≤ х ≤ b, φ1 (x )≤ y ≤ φ3(x), и, значит,
c
2 ( x )
b
3 ( x )
a
1 ( x)
c
1 ( x)
 f ( x; y)dxdy  f ( x; y)dxdy   f ( x; y)dxdy   dx  f ( x; y)dy   dx  f ( x; y)dy (7)
D
D1
D2
Приложение двойных интегралов в геометрии.
Вычисление площади плоской фигуры
Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисляется по формуле:
S   dxdy
(1)
D
а в полярных координатах — по формуле:
(2)
Вычисление объема тела
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху
101
поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической
поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z = 0) область D , вычисляется по
формуле
V   zdxdy
(3)
D
Вычисление площади поверхности
Если поверхность задана уравнением z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости
хОу (z = 0), то площадь S поверхности вычисляется по формуле:
2

S
2
 z   z 
1       dxdy
 x   y 
D ( xOY )
(4)
Если поверхность проектируется на плоскость yOz (x = 0), то уравнение поверхности
следует решить относительно переменной х и формула примет вид:
2
S

D ( yOz )
 x   x 
1       dxdz
 y   z 
2
(5)
Если поверхность проектируется на плоскость хОу(у = 0), то уравнение поверхности
следует решить относительно переменной у и формула примет вид:
S

D ( xOz )
 y   y 
1       dxdz
 x   z 
2
2
(6)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить повторный интеграл:
3
x2 4
1
2
 dx 
1
dy
x2
Решение: Согласно формуле (6), имеем:
Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:
Теперь вычислим внешний интеграл по переменной х, подставив в него полученное
выражение:
102
Пример 2. Вычислить двойной интеграл  ( x  y)dxdy
по области D, ограниченной
D
прямыми х = 2, x = 6, y=1 и у = 4.
Решение: Область D является простой относительно осей Ох и Оу, поэтому для
вычисления интеграла можно использовать любую из формул (3)
или (4).
Сначала вычислим двойной интеграл по формуле (3):
Вычислив внутренний интеграл по переменной у при постоянном х, находим
Подставив это выражение во внешний интеграл, получим
Теперь вычислим двойной интеграл по формуле (4):
Найдем внутренний интеграл:
Далее найдем внешний интеграл:
т. е. получили тот же ответ.
Пример 3. Вычислить
двойной
интеграл
 ( x
2
 y)dxdy по
области D, заданной
D
системой неравенств 0 ≤ х ≤ З; x 2 ≤ y ≤ 9
Решение: область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси
Оу; поэтому вычислим этот интеграл двумя способами. Произведем вычисление по
формуле (5). Пределами внутреннего интеграла являются функции у= x 2
и у=9, составляющие уравнения нижней и верхней границ области D, а пределами
внешнего
103
103
интеграла являются абсциссы х=0 и х - 3. Значит,
 x
2

3
9
0
x2


 y dxdy   dx  x 2  y dy
D
Вычислим внутренний интеграл по переменной
что х - постоянная:
у в предположении,
9
4
 2
y2 
1
81
 2 81   4 x 

  9 x 2  x 4 
(
x

y
)
dy

x
y


9
x


x


 


2
2  x2 
2 
2 
2
2

x
9
2
Вычислим внешний интеграл:
3
 2 1 4 81 
 2 1 5 81 
0  9 x  2 x  2 dx  3x  10 x  2 x 0  64,8
3
Произведем теперь вычисление по формуле (6). В этом случае область D выражается
системой неравенств 0 ≤ у ≤9, 0 ≤ x ≤ y , т. е. пределами внутреннего интеграла служат
функции х = 0 и x= y , а пределами внешнего интеграла — ординаты у=0 и у = 9.
Поэтому
y
9
3 
 x3

1 3
2
2
D ( x  y)dxdy  0 dy 0 ( x  y)dx  0  3  xy dy  0  3 y 2  y 2 dy 
0
9
9
y
2 3
2 2 5
   y 2 dy    y 2
30
3 5
9
9
 64,8
0
Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y  x 2 и у = х + 6.
Решение: Найдем
точки
пересечения
данных
линий, для этого решим
систему уравнений:
 y  x2

 y  x  6,
Решением будет пара значений (-3; 9) и (-2; 4) - координаты точек пересечения графиков.
Область D запишем в виде системы неравенств:
 2  x  3 , x 2  y  x  6.
Согласно формуле (1), получим
3
x6
3
2
x2
2
x 6
S   dx  dy   y
3
x2
3
dx   ( x  6  x 2 )dx 
2
 x2
x3 
5

   6 x    20 ед 2 .
3  2
6
 2
Пример 5. Вычислить объем тела,
поверхностями z = 2x+1, x= 0, у = 4,
 
ограниченного
104
у =x 2
Решение: Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой
вертикальный параболический цилиндр, расположенный в I октанте. Сверху тело
ограничено плоскостью z = 2x+1, сбоку параболическим цилиндром у =x 2 и плоскостями
х = 0 и у = 4, снизу
параболой у =x 2 и прямыми х = 0 и у = 4. Найдем точки пересечения параболы у =x 2 и
прямой у = 4:
у  х2

у  4
Получаем два решения: (-2; 4) и (2; 4). Значение х  2 не рассматриваем, т.к.
цилиндр расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0 ≤ x ≤ 2,
x 2 ≤ y ≤ 4. Согласно формуле (3), получим
2
4
2
4
0
x2
0
x2
V   zdxdy   dx  (2 x  1)dy   (2 xy  y)
D
2
1
  (8x  4  2 x 3  x 2 )dx  13 ( уд
3
0
Пример 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z  3  x  y, x 2  y 2  1 u z  0
Решение: Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью
z  3  x  y , а снизу — кругом x 2  y 2  1 в плоскости z=0. Область D в основании
цилиндра запишем в виде системы неравенств
 1  x  1,  1  x 2  y  1  x 2
Согласно формуле (3), получим
1 x 2

y2 

М   zdxdy   dx  (3  x  y )dy    3 y  xy 
2  
D
1
1
 1 x 2
Первый интеграл табличный и равен:
1
1
1 x 2
1 x 2
1
  (3 1  x 2  2 x 1  x 2 )dx
1
Второй интеграл вычисляется подстановкой 1  x 2  z;  2 xdx  dz ; следовательно,
второй интеграл равен:
1
3
3
2 2 2
2 2
2
 z dz  3 z  3 (1  x )
Окончательно находим
1
3


2
V  3 arcsin x  3x 1  x 2  (1  x 2 ) 2   3 (куб. ед.).
3

 1
Пример 7. Вычислить площадь треугольника, образованного при пересечении плоскости
x + 3y + 2z = 6 с координатными плоскостями.
Решение: найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью:
x y z
   1,
6 2 3
 х  6, у  2, z  3
Чтобы воспользоваться формулой (4), решим уравнение данной плоскости относительно
переменной z и найдем частные производные:
105
1
3
x y
2
2
z
1 z
3
 ,

x
2 y
2
При z = 0 имеем х + 3у = 6, откуда
z  3
1
y  2  x ; следовательно, в плоскости
3
z = 0 область D запишется в виде системы неравенств
1
0  x  6, 0  y  2  x . Тогда:
3
2

S
D ( xOy )
2
 1  3
1         dxdy   dx
 2  2
0
6
1
2 x
3

0
6
14
14
dy 
y
2
2 0
1
2 x
3
dx 
0
14 
1 
2
 2  x dx  3 14 (ед )

2 0
3 
6

Пример 8. Вычислить площадь части поверхности цилиндра x 2  y 2  16 , заключенной
между плоскостями z = 0, z = 4x, y = 0.
Решение: искомая поверхность лежит в I октанте. Проекция поверхности на плоскость xOz
(у = 0) есть прямоугольный треугольник, в котором ОА=х = 4 и уравнение гипотенузы OВ
имеет вид z = 4x. Следовательно, область D в плоскости xOz определяется
системой неравенств 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 4x
Поскольку заданная поверхность спроектирована на
плоскость xOz, для вычисления площади поверхности
применим формулу (6). Из уравнения цилиндра получим
y  16  x 2 (y ≥ 0)
Находим частные производные:
z
2x
x
y


,
0
x
2 16  x 2
16  x 2 z
Тогда:

S
D ( xOy )
4
 16
0

x
1   
16  x 2

xdx
16  x
2
2
4x
4
4x
4
4x
4



4
dz
z
 dxdz   dx 
dz

4
dx

4

 dx 




2
2
2
0
0 16  x
0
0 16  x
0  16  x  0

 64(ед 2 )
Для вычисления последнего интеграла применили подстановку 16  x 2  t .
Пример 9. Вычислить площадь части поверхности цилиндра
x 2  z 2  9 , вырезанной цилиндром x 2  y 2  9 .
Решение: искомая поверхность образована пересечением двух
106
цилиндров x 2  y 2  9 и x 2  z 2  9 . В эти уравнения поверхностей входят квадраты
переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из
координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I
октанте.
Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга x 2  y 2  9 , заключенного
между положительными полуосями Ох и Оу, и определяется системой
неравенств 0  х  3, 0  у  9  х 2
Из уравнения x 2  z 2  9 имеем z  9  x 2 . Далее, находим частные производные
2

x
z
x
z
 z   z 

,
 0 , откуда 1        1   
x
 x   y 
9  x2
9  x 2 y

2
3
9 x 2
0
0
Следовательно, S  8 dx

 y 
dy  24 

2
9  x2
0  9  x 0
3
3
9 x 2
2

3
 
;

9  x2

3
 24 dx  72(ед 2 )
0
Задания для практического занятия:
Вариант 1
3
2
0
0
1. Вычислите повторный интеграл:  dx  ( x 2  2 xy)dy
2. Вычислите двойной интеграл, где D — область, ограниченная параболами у=х2 и х=у2
 xydxdy
D
4
2x
0
x
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:  dx  f ( x; y )dy
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y  cos x, x  0, y 
1
;
2
5. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями
z  2 x  2, y  x 2 , x  0, y  9, z  0;
Вариант 2
y2
2
1. Вычислите повторный интеграл:
 dy  (2 x  y)dx
2
2. Вычислите двойной интеграл
x
 y
0
2
2
dxdy , где D — область, ограниченная
D
1
линиями у  ,
х
у  х, х  4.
4
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:
2 1
y
3 3
 dy  f ( x; y)dx ;
1
1
y
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y  6 и прямой
x y7  0 ;
x
107
5. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями
z  8  x  y, x  0, y  x 2 , y  4;
Вариант 3
1. Вычислите повторный интеграл:
2. Вычислите двойной интеграл
2
4y
1
2y
 dy  xydx;
 xydxdy, где
D — область, oгpaничейная
D
линиями y  0 u y  4  x 2 ;
4
y
1
1
y
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле:  dy  f ( x, y )dy
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y 2  4 x, y  x;
5. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями
z  4  x 2 , x  y  4  0, x  0, y  0;
Вариант 4
y2
1
1. Вычислите повторный интеграл:  dy  (3 x  2 y )dx ;
0
0
2. Вычислите двойной интеграл  x dxdy , где D — область, oгpaничейная линиями
3
x  0, y  x, y  6  x 2 ;
D
4
3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле
16 x 2
 dx  f ( x, y)dy
4
0
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y  x , y   x 2  2, x  0;
5. Вычислите объем тела, ограниченного z  2  x, y 2  9 x, y  3x 2 , z  0;
2
Контрольные вопросы
1. Дайте определение двойного интеграла;
2. Какие свойства двойных интегралов вы знаете?
3. Что такое повторные интегралы?
4. Какая область называется простой относительно оси ОХ, относительно оси ОУ?
5. Приведите формулы для нахождения площади плоской области в прямоугольных
координатах и в полярных координатах;
6. Приведите формулу для нахождения объема цилиндрического тела?
7. Какие формулы для вычисления площади поверхности вы знаете?
108
Практическая работа № 19
«Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме»
Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- пользоваться понятиями теории комплексных чисел.
знать:
- основы теории комплексных чисел.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом называется выражение вида:
z  a  bi
(1)
где a и b – действительные числа, а i - некоторый символ, называемый мнимой единицей и
i² = -1 , т.е. i   1 .
В формуле (1) a называется действительной частью, а b - мнимой частью
комплексного числа z и обозначается:
a  Re z , b  Im z .
Так, выражения 2+3i, 2 -4i, -1 -3i, 5i, 2 являются примерами комплексных чисел.
Множество комплексных чисел обозначается буквой С.
Операции над комплексными числами
Равенство двух чисел. Комплексные числа z1    bi и z 2  c  di называются
равными только тогда, когда a  c и b  d .
Сложение. Суммой комплексных чисел z1  a  bi и z2  c  di называется
комплексное
число:
(2)
z  z1  z 2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i,
Сложение комплексных чисел обладает свойствами:
1) коммутативности
(a  bi )  (c  d )i  (c  di )  (a  bi )
или
z1  z 2  z 2  z1
2) ассоциативности
( z1  z 2 )  z 3  z1  ( z 2  z 3 ) или
(( a  bi )  (c  di ))  (e  fi)  (a  bi )  ((c  di )  (e  fi)).
Вычитание. Разностью комплексных чисел z1  a  bi и z 2  с  di называется число
z  (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i.
(3)
109
Операция нахождения разности z  z1  z 2 называется вычитанием, причём z1
называется уменьшаемым, z 2 - вычитаемым.
Умножение. Произведением комплексных чисел z1  a  bi и z 2  c  di называется
комплексное число:
(4)
z1 z 2  (a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i.
Умножение комплексных чисел обладает свойствами:
1) коммутативности
z1  z 2  z 2  z1 или (a  bi)(c  di)  (c  di )( a  bi );
2) ассоциативности
( z1  z 2 )  z 3  z1  ( z 2  z 3 ), или (( a  bi )(c  di ))( e  fi)  (a  bi)(( c  di)(e  fi));
Операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме,
выполняются таким же образом, как и над обычными многочленами, с последующей
заменой i² на –1.
Комплексное число 0  0i  0 называется нулевым комплексным числом или просто
нулём. Легко проверить, что для любого комплексного числа z имеет место z  0  z и
z  0  0 . Пусть дано комплексное число z  a  bi , тогда число  z  a  bi называется
противоположным числу z  a  bi . Легко проверить, что z  ( z )  0 и
z1  z 2  z1  ( z 2 ) .
Деление. Частным комплексных чисел z1  a  bi и z 2  с  di  0 называется
комплексное
число:
z
z1 ac  bd bc  ad


i
z2 c 2  d 2 c 2  d 2
(5)
Операция нахождения частного z  z1  z 2 называется делением, причём z1 называется
делимым, z 2 - делителем.
Если z  a  bi , то число z  a  bi называется сопряжённым числу z. В частности,
действительное число a  a  0i сопряжено самому себе, так как a  a  0i  a.
Например, если z1  2  3i, z 2  3  4i, z 3  2i, z 4  3, то
z1  2  3i, z 2  3  4i, z 3  2i, z 4  3
Заметим, что:
z  z  (a  bi )  (a  bi )  2a,
z1 z 2  (a  bi )( a  bi )  a 2  b 2 .
Так, если z  4  5i , то:
z  z  (4  5i)  (4  5i)  8, zz  (4  5i)(4  5i)  42  (5i)2  16  25  41.
Заметим, что формула (5) может быть получена так:
z1 z1  z 2 a  bi c  di  ac  bd   bc  ad i ac  bd bc  ad



 2

i ,
2
z 2 z 2  z 2 c  di c  di 
c  d 2 c2  d 2
c 2  di 
z
т.е чтобы найти 1 , надо домножить числитель и знаменатель данной дроби на z 2 и
z2
произвести умножение с учётом, что i 2  1 .
110
1
, z  0, обозначается через z 1 и называется обратным числу z . Легко
z
проверить, что zz 1  1 и z1  z 2  z1  z 21 . Таким образом, разделить комплексное число z1
Число
1
на комплексное число z 2 - это означает умножить z1 на число z 2 , обратное числу z 2 .
Возведение в степень. Возведение в степень комплексных чисел определим
аналогично действительным числам:
an = a ∙ a ∙ a ∙…∙ a , где n - целое
(6)
n раз
Для n = 0 и целого n > 0 определяем соответственно
n
z0  1 и z 
1
zn
(7)
Легко проверить, что для любых целых m и n имеют место равенства:
z n z m  z n m ; ( z n ) m  z nm ;
zn
 z nm ; ( z1 z 2 ) n  z1n z 2n .
m
z
(8)
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Пусть z  a  bi . Заметим, что каждое комплексное число однозначно определяется
парой чисел (а ; b), которые являются его действительной и мнимой частью. С другой
стороны нам известно, что при введении декартовой системы координат на плоскости
X 0Y положение любой её точки также однозначно определяются парой чисел x; y  ,
которые называются координатами точки. Установив это взаимооднозначное
соответствие, можно изображать комплексные числа на плоскости, которую назвали
комплексной плоскостью С . В ней вместо оси ОХ – ось Re z , а вместо оси ОУ - ось
Im z . Любое комплексное число z  a  bi на такой плоскости изображается точкой с
координатами a; b  или радиус-вектором с теми же координатами. Сложение и
вычитание и другие операции над комплексными числами и те же операции над
векторами ещё раз подтверждают взаимооднозначное соответствие между декартовой и
комплексными плоскостями.
Из геометрической интерпретации комплексных чисел, можно ввести новые понятия для
комплексного числа z  a  bi . Это его модуль z  z и аргумент   arg z .
Из чертежа имеем:
r  z  a2  b2
sin  
b
a
; cos  
r
r
(9)
(10)
b
,
a
а затем, используя алгебраическую форму записи, установить, в какой четверти находится
данное комплексное число.
Отметим, что аргумент  можно найти и другим способом: сначала определить tg 
111
Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом
Пусть дано квадратное уравнение:
ax 2  bx  c  0
(11)
где a, b, c - некоторые числа, a  0 . Если D  b 2  4ac  0 , то корни уравнения
вычисляются по формуле
 b  D i
x1, 2 
, где D - арифметический корень
(12)
2a
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти сумму комплексных чисел z1  2  i и z 2  1  3i .
Решение: z1  z 2  (2  1i)  (1  3i)  (2  1)  (1  3)i  1  2i
Пример 2. Вычислить z1  z 2 , если z1  4  5i и z 2  2  3i.
Решение: z1  z 2  4  5i    2  3i   4   2  5  3i  6  2i
Пример 3. Найти произведение комплексных чисел z1  2  3i и z 2  4  2i.
Решение: z1 z 2  (2  3i)  (4  2i)  (2  (4)  (3)  2)  (2  2  (3)  (4))i  2  16i
Пример 4. Вычислить (5  10i)  (1  2i)(3  4i).
Решение: применяя свойства дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности
сложения и умножения комплексных чисел, получаем
(5  10i )  (1  2i )(3  4i )  5  10i  1  3  2(4)i 2  2  3i  1(4)i  5  10i  3  8  6i  4i 
 5  10i  11  2i  16  12i.
2i
Пример 5. Вычислить
.
3  4i
2i
(2  i)(3  4i) 6  8i  3i  4i 2 10  5i
Решение:



 0.4  0.2i.
3  4i (3  4i)(3  4i)
9  16
25
Пример 6. Вычислить число z 1 , обратное числу z  3  i.
1
1
3i
3i 3i
Решение: z 1  



 0.3  0.1i.
z 3  i (3  i)(3  i) 9  1 10
3 4 5 1 2 3 4 5
Пример 7. Вычислить степени: i , i , i , i , i , i , i , i ;
Решение:
1 i
i 3  i 2  i  i; i 4  i 2  i 2  (1)( 1)  1; i 5  i 4  i  1  i  i; i 1   2  i;
i i
1 i
1
1 1
i  2  (i 2 ) 1  (1) 1  1; i  3  3  4  i; i  4  4  1; i  5  5   i 1  i.
i
i
i
i
i
Пример 8. Найти модули комплексных чисел: 1) z1  3  4i; 2) z 2  i
Решение: по формуле (9) находим
z1  32  (4) 2  25  5 ;
z 2  0 2  12  1.
Пример 9. Найти аргумент комплексного числа z  1 3i
Решение: так как a  1, b  3 , то r  a 2  b 2  (1) 2  ( 3) 2  2 ; далее,
1
3
2
cos    , sin  
 2 .
. Отсюда имеем  
2
2
3
Пример 10. Найти аргумент комплексного числа z  
1
3

i.
2 2
112
3
b 
2  3; так как a  0 , b  0 , то угол  принадлежит III
Решение: имеем tg  
1
a

2
4
 2 .
четверти. Значит,  
3
Пример 11. Решить уравнение x 2  x  1  0
1  3i 1
3
x1, 2 
 
i.
Решение: D  1  4  3 ;
2
2 2
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Найти решение уравнения: 2 х 2  х  1  0 ;
z
2. Вычислить z1  z 2 ; z1  z 2 ; z1  z 2 ; 1 ; z12 , если
z2
3. Найти модуль и аргумент комплексного числа:
5  2i 3  4i

.
4. Вычислить:
2  5i 4  3i
z1  2  4i;
z2  6  5i ;
z  1 3i ;
Вариант 2
1. Найти решение уравнения: 3x 2  x  1  0.
z
2. Вычислить z1  z 2 ; z1  z 2 ; z1  z 2 ; 1 ; z12 , если
z2
z1  3  7i;
z 2  5  4i.
3. Найти модуль и аргумент комплексного числа: z  2  2 3i.
4  3i 5  4i

.
4. Вычислить:
3  4i 4  5i
Вариант 3
1. Найти решение уравнения: x 2  8 x  17  0.
z
2. Вычислить z1  z 2 ; z1  z 2 ; z1  z 2 ; 1 ; z12 , если z1  1  4i;
z2
3. Найти модуль и аргумент комплексного числа: z 
4. Вычислить:
1 i 1 i

.
1 i 1 i
z 2  9  2i.
1
3

i.
2 2
Вариант 4
1.Найти решение уравнения: x 2  6 x  18  0.
z
2.Вычислить z1  z 2 ; z1  z 2 ; z1  z 2 ; 1 ; z12 , если z1  6  5i;
z2
z 2  8  3i.
3.Найти модуль и аргумент комплексного числа: z  4  4 3i.
 3  5i 2  i

.
4.Вычислить:
5  3i 1  2i
113
Контрольные вопросы
1.
Что называется комплексным числом? Укажите его алгебраическую форму.
2.
Какие действия можно производить с комплексными числами в
алгебраической форме?
3.
Что называется противоположным , комплексно сопряженным и обратным
числом к числу z  a  bi ?
4.
Как решить квадратное уравнение, если его D<0 ?
5.
Как геометрически можно толковать комплексные числа?
6.
Что такое модуль и аргумент комплексного числа ?
114
Практическая работа № 20
«Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной
формах»
Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами в
тригонометрической и показательной формах.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- пользоваться понятиями теории комплексных чисел.
знать:
- основы теории комплексных чисел.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Комплексное число в алгебраической форме имеет вид
z    bi ,
(1)
где a и b – действительные числа, а i - некоторый символ, называемый мнимой единицей
и i² = -1 , т.е. i   1 . В формуле (1) a называется действительной частью, а b - мнимой
частью комплексного числа z и обозначается a  Re z , b  Im z . Т.е., каждое
комплексное число z  a  bi однозначно определяется парой чисел (а ; b), его
действительной и мнимой частью. С другой стороны нам известно, что при введении
декартовой системы координат на плоскости X 0Y положение любой её точки также
однозначно определяются парой чисел x; y  , которые называются координатами точки.
Установив это взаимооднозначное соответствие, можно изображать комплексные числа на
плоскости, которую назвали комплексной плоскостью С . В ней вместо оси ОХ – ось
Re z , а вместо оси ОУ - ось Im z . Любое комплексное число z  a  bi на такой
плоскости изображается точкой с координатами a; b  или радиус-вектором с теми же
координатами.
Из рисунка можно ввести новые понятия для комплексного числа z  a  bi . Это его
модуль z  z и аргумент   arg z .
Из прямоугольного треугольника имеем:
115
r  z  a2  b2
b
a
и sin   ; cos  
r
r
(2)
b
,
a
а затем, используя алгебраическую форму записи, установить, в какой четверти находится
данное комплексное число.
Отметим, что аргумент  можно найти и другим способом: сначала определить tg 
Тригонометрическая форма комплексного числа
Выразим из (2) a и b:
Из формул (2) выразим а и b:
a  r cos  ,
b  r sin 
(3)
Из формул (2) выразим а и b:
Подставив (3) в (1),
можно перейти от алгебраической формы комплексного числа к новой записи
комплексного числа: z  a  bi  r cos   ir sin   r (cos   i sin  ) .
Следовательно,
z  a  bi  r (cos   i sin  )
(4)
Формула (4) называется тригонометрической формой комплексного числа. Заметим,
что комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только
тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число, кратное 2л.
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
Пусть даны два числа в тригонометрической форме:
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos  2  i sin  2 )
Тогда их произведение можно найти по формуле:
(5)
z1 z 2  r1r2 (cos(1   2 )  i sin( 1   2 ))
т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент
произведения равен сумме аргументов сомножителей. Формула (5) имеет место для
любого конечного числа сомножителей: если
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ), z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ), , z n  rn (cos  n  i sin  n ) , то
(6)
z1 z 2  z n  r1r2 rn (cos(1   2     n )  i sin( 1   2    n ))
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме производится по формуле:
z1 r1
 (cos(1   2 )  i sin( 1   2 )) ,
z 2 r2
(7)
т. е. модуль частного двух комплексных чисел z1 z 2 равен частному модулей, а аргумент
частного – разности аргументов. Применяя формулу (7) к частному случаю
z1  1, z 2  z(cos   i sin  ) , найдём тригонометрическую форму обратного числа z 1 :
z 1 
1(cos 0  i sin 0) 1
 (cos(  )  i sin(  ))
r (cos   i sin  ) r
(8)
116
Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме
Если z1  z 2    z n  (cos   i sin  ) , то формула (6) принимает вид
z n  (r (cos   i sin  )) n  r n (cos n  i sin n )
(9)
Формула (9) называется формулой Муавра. Она показывает, что для возведения
комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а
аргумент умножить на показатель степени.
Если z  1, то формула (9) принимает вид:
cos   i sin  n
 cos n  i sin n
(10)
Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме
Корнем n-ой степени, n  N , n  2, из числа z такое комплексное число u, для
которого u n  z. Операция нахождения корней n-ой степени из комплексного числа z
называется извлечением корня n-ой степени из числа z и результат её обозначается n z .
Пусть z  r (cos   i sin  ) . Тогда корни n-ой степени из числа z будем вычислять по
следующей формуле:
  2
  2 

u k  n r  cos
 i sin
(11)
,
n
n


где k  0,1,2, n  1 , и все эти значения различны.
Геометрическая интерпретация корней u 0 , u1 , u 2 , u3 ,u 4 ,u 5 дана на рисунке, откуда
видно, что числа изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в
окружность радиусом r  6 2 с центром в начале координат.
Показательная форма комплексных чисел
Рассматривая комплексные числа вида z   cos   i sin  , зависящие от действительной
переменной  и комплекснозначные функции вида u    e i ( e  2,71828...), Л. Эйлер
заметил, что относительно операций умножения и дифференцирования эти выражения
имеют одни и те же свойства, т.е. они представляют модели одной и той же логической
структуры:
z1 z2   cos1  i sin 2 cos2  i sin 2   cos1  2   i sin 1  2   z1  2 
u1 u 2   e i1 e i2  e i1 i2  e i 1 2   u1   2 

z   cos   i sin     sin   i cos   i 2 sin   i cos   i cos   i sin    iz  

u    e i  ie i  iu  
Таким образом, выражения e i и cos   i sin  имеют одну и ту же логическую сущность, в
связи с этим Эйлер предложил формулу:
e i = cos   i sin  ,
(12)
которая теперь известна как формула Эйлера.
 
Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме
Применяя формулу Эйлера, получим
z  re i ,
которая называется показательной формой комплексного числа.
z  r cos   i sin   .
(13)
117
Действия над комплексными числами в показательной форме
Пусть даны два комплексных числа в показательной форме
z1  r1ei1 , z2  r2ei 2
Тогда их произведение и частное могут быть найдены по формулам:
z1 z2  r1ei1  r2ei 2  r1r2ei 1  2 
(14)
i1
z1 r1e
r
 i 2  1 ei 1  2 
z2 r2e
r2
(15)
Пусть z  re i ; тогда операции возведения в степень и извлечения корня выполняются по
формулам:
 
z n  rei
n
n
 r nein
(16)
z  n rei  n r ei   2k  / n ,
(17)
где k  0,1,2,..., n  1 .
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти тригонометрическую форму числа z  2  2i .
Решение: имеем r  z  2 2  2 2  2 2 . Находим arg z : tg 
находится в первом квадранте, то берем


4
2
 1 , и так как z  2  2i
2
. Итак, 2  2i  2 2 (cos

4
 i sin

4
)
Пример 2. Найти тригонометрическую форму числа z   3  i .
Решение: имеем r  z  ( 3 ) 2  12  4  2 . Находим  : cos   
5
5
5
. Итак,  3  i  2(cos   i sin  ) .
6
6
6
Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа z  1  3i
3
1
, sin   ,
2
2
следовательно,  
Решение: так как a  1, b  3 , то r  a 2  b 2  (1) 2  ( 3) 2  2 ; далее,
1
3
2
cos    , sin  
. Отсюда имеем  
.
3
2
2
2
2

i.
2
2
2
2
2

b 
2 
2
2 2
2  1; так как a  0 ,




Решение: имеем z   
    2   4  4  1 tg  a 
2
2

 


2
5
.
b  0 , то угол  принадлежит III четверти. Значит,  
4






Пример 5. Умножить числа: z1  2 cos  i sin  , z 2  3 cos  i sin  .
4
4
3
3


Пример 4. Найти модуль и аргумент комплексного числа z  
118
   
7
 
   

Решение: z1 z 2  2  3 cos    i sin      6 cos
 i sin  .
12
12 
 4 3 

 4 3


5
5 


 i sin
Пример 6. Даны комплексные числа z1  2  cos  i sin , z 2  2 cos
,
4
4
3
3 


z
Найти частное 1 .
z2
Решение:
z1
2    5 
2   17 
2
17
17 
  5  
 17  

 cos 
 cos 
 i sin
  i sin  
  
  i sin  
  
 cos

z2
2  4 3 
2   12 
2 
12
12 
 4 3 
 12  


Пример 7. Найти число, обратное к z  6(cos  i sin ) .
4
4
Решение: Согласно формуле (8) получим
1
2
2
2
 
  1 2
.
z 1  (cos    i sin   )  (
i
)
i
6
2
12
12
 4
 4 6 2
Пример 8. Вычислить 1  i  .
Решение: чтобы воспользоваться формулой Муавра, найдём тригонометрическую форму



числа 1  i . Имеем 1  i  2  cos  i sin  .
4
4

Тогда
30
1  i 
30
 

 
  2  cos  i sin  
4
4 
 
30

 2
30
30
30 

 i sin
 cos

4
4 

 
6 
6  
3
3 

15 
15
 215  cos 6 
 i sin
  i sin  6 
   2  cos
  2  i.
4 
4 
2
2 


 
Пример 9. Вычислить
6
3 i .
Решение: имеем:
 3    1
1
3
11
 4  2; sin    ; cos  
,     . Тогда
2
2
6
11
11 

z  3  i  2 cos
 i sin
 . Отсюда по формуле (11) получим:
6
6 

11
11


 2
 2 

11

11



6
,
u k  6 3  i  6 2 cos
 i sin
 i sin 6
  6 2  cos
6
6
6
6








где к = 0,1,2,3,4,5. Тогда получаем
11
11 
23
23 


u 0  6 2  cos
 i sin
u1  6 2  cos
 i sin
,
,
36
36 
36
36 


35
35 
47
47 


u 2  6 2  cos
 i sin
u 3  6 2  cos
 i sin
,
,
36
36 
36
36 


59
59 
71
71 


u 4  6 2  cos
 i sin
u 5  6 2  cos
 i sin
,
.
36
36 
36
36 


z  3  i; z 
2
2
119
4
Пример 10. Найти
Решение:
1.
0  2k
0  2k 
k
k

u k  4 1  4 1(cos 0  i sin 0)  4 1 cos
 i sin
 i sin
  cos
4
4 
2
2

Полагая k  0,1,2,3, получим:
 
 
u 0  cos 0  i sin 0  1 , u1  cos   i sin    i , u2  cos   i sin   1 ,
2
2
 3 
 3 
u 3  cos   i sin    i .
 2 
 2 
Пример 11. Найти 3 i .
Решение:




 2k
 2k 





  cos   4k  i sin   4k
u k  3 i  3 1 cos  i sin   3 1 cos 2
 i sin 2
2
2
3
3
6
6









3 1
 i,
Полагая, k  0,1,2, получим: u 0  cos  i sin 
6
6
2 2
9
9
3
3
5
5
3 1
u 2  cos
 i sin
 cos
 i sin
 i .
u1  cos
 i sin

 i;
6
6
2
2
6
6
2 2
Пример 12. Найти показательную форму чисел: 1) z1 1  i ; 2) z2   3  i
Решение:

i

, следовательно, z1  1  i  2e 4 .
4
7
i
7
2) Находим r  z2  2 ,  2   , следовательно, z2   3  i  2e 6
6
1) Находим r  z1  2 , 1 
Пример 13. Найти алгебраическую форму чисел:

i
1) z1  2e 3 ;
Решение:
2) z2  3e


6
i
3) z3  e 3  4i .
;

1) Имеем
i

   1 i 3 

z1  2e 3  2 cos  i sin   2 
1 i 3 .
3
3
2 

2
2) Имеем z 2  3e


6
i
  
     3 i  3 3 3i
 3 cos    i sin      3


 .
2
2
 6    2 2 
  6
3) Имеем z 3  e 3 4i  e 3 e 4i  e 3 cos 4  i sin 4  0,05 0,65  0,76i   0,03  0,04i .
Пример 14. Найти произведение z1 z 2 и частное z1 / z 2 комплексных чисел и написать
результаты в алгебраической форме: а) z1  3e
Решение:
а) z1 z2  3e
2
i
3

 6e
6
i
 18e

2
   i
6
3
 18e
5
i
6
2
i
3

i
; z2  6e 6 ;

5
5 
3 1 

 18 cos   i sin    18 
 i   9 3  9 i ;
6
6 

 2 2 
120
2
i
2


z1 3e 3
1    i 1  i 1 i 1 

 1
i
   e 3 6   e 6  e 2   cos  i sin   0  i   ;
i
z2
2
2
2
2
2
2 2
2
6e 6
3
Пример 15. Вычислить z 4 ,
форме
3
z для z  2e
3
 i
4
, и представить результаты в алгебраической
Решение:
4
  34  i 
  24 e 3 i  16e  3 i  16cos 3   i sin  3   16 1  0i   16
z   2e



4
3
uk  2e
u0  3 2e
3
 i
4
3
 
2 i
3
 3 2e

 3 2e
u1  3 2e
u2  3 2e
3
   2 к
4
i
3
3
   4
2
i
3
 i
2
, k  0,1,2.
  
  
 3 2  cos    i sin      3 2 0  i   3 2 i
 2 
  2
3
   2
2
i
3
5

i



 3 2e 6  3 2  cos  i sin   3
6
6

i
5
5  3

 3 2e 6  3 2  cos
 i sin

6
6 

 3 1 
3 3 2 3 2
2 
 i  

i
2
2
2
2



3 1 
33 2 3 2
2  
 i   

i
2
2
 2 2 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
2
2
5
5
3
3
1. Дано z1  2(cos   i sin  ); z2  6(cos   i sin  ); z3  4(cos   i sin  );
3
3
6
6
4
4
z z
найти 1 2 . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;
z3
2. Дано z  2 3  2 i . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить z 6 ;



3. Дано число в тригонометрической форме z  64 cos  i sin  . Вычислить 3 z .
2
2

4. Привести в показательную форму число 4  4i и вычислить z 4 ;
7


 i
i
i
z1
, если z1  10e 6 ; z2  2e 2 ; z3  2,5e 3 ;
5. Найти
z 2  z3
6. Извлечь корень 4 z , если z  16e i . Результат указать в показательной и
алгебраической форме;
3
5
5 

 cos   i sin  
12
12 
7. Вычислить: 
6

 

cos

i
sin


12
12 

121
Вариант 2
5
5


5
5
1. Дано z1  3(cos   i sin  ); z2  8(cos  i sin ); z3  6(cos   i sin  );
4
4
3
3
6
6
z z
найти 1 2 . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;
z3
2. Дано z   2  2 i . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить z 8 ;
4
4 

3. Дано число в тригонометрической форме z  81 cos   i sin   . Вычислить 4 z .
3
3 

4. Привести в показательную форму число  4  4 3 i и вычислить z 3 ;

5
5. Найти
5
 i
i
i
z1
, если z1  12e 3 ; z2  2e 3 ; z3  2e 6 ;
z 2  z3
3
i
6. Извлечь корень 3 z , если z  125e 4 . Результат указать в показательной и
алгебраической форме;
5
3
3 

 cos   i sin  
10
10 
7. Вычислить: 
4
3
3 

 cos   i sin  
16
16 

Вариант 3
5
5
4
4
3
3
1. Дано z1  5(cos   i sin  ); z2  4(cos   i sin  ); z3  10(cos   i sin  );
6
6
3
3
2
2
z z
найти 1 2 . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;
z3
2. Дано z  1  3 i . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить z10 ;
3
3 

3. Дано число в тригонометрической форме z  27 cos   i sin   . Вычислить 3 z
2
2 

4. Привести в показательную форму число 3 2  3 2 i и вычислить z 4 ;

3
5. Найти
2
i
 i
i
z1
, если z1  18e 2 ; z2  4,5 e 2 ; z3  2e 3 ;
z 2  z3
2
i
6. Извлечь корень 4 z , если z  16e 3 . Результат указать в показательной и
алгебраической форме;
7
5
5 

 cos   i sin  
14
14 
7. Вычислить: 
2
7
7 

 cos   i sin  
8
8 

Вариант 4
5
5


1. Дано z1  2(cos   i sin  ); z2  6(cos  i sin ); z3  3(cos   i sin  );
3
3
6
6
z z
найти 1 2 . Результат записать в тригонометрической и алгебраической форме;
z3
2. Дано z  2 2  2 2 i . Привести число в тригонометрическую форму и вычислить z 6 ;
122
2
2 

3. Дано число в тригонометрической форме z  625 cos   i sin   . Вычислить 4 z .
3
3 

4. Привести в показательную форму число  5 2  5 2 i и вычислить z 3 ;
5
5. Найти
 i
z1
, если z1  16e 6 ;
z 2  z3
z2  4e



3
i
;
z 3  e i ;
i
6. Извлечь корень z , если z  108e 2 . Результат указать в показательной и
алгебраической форме;
3



 cos  i sin 
4
4

7. Вычислить:
5
4
4 

cos


i
sin



15
15 

6
Контрольные вопросы
1. Назовите тригонометрическую форму комплексного числа;
2. Какие операции над комплексными числами в тригонометрической форме вы
знаете? Перечислите формулы.
3. Назовите формулу Муавра; формулу Эйлера;
4. Назовите показательную форму комплексного числа;
5. Какие операции над комплексными числами в показательной форме вы знаете?
Перечислите формулы.
123
Практическая работа № 21
«Решение дифференциальных уравнений первого порядка»
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать дифференциальные уравнения.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Определение дифференциального уравнения 1-го порядка.
Общее и частное решение
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
F (x, y, y ) = 0
(1)
т.е. содержит независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её производную у(х).
Разрешая уравнение (1), если это возможно, относительно производной у получим
у = f (х,у)
(2)
Иногда уравнения (1), (2) записывают в дифференциалах:
P(х, у) dx + Q(x, y) dy = 0
(3)
Дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений.
Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным
решением. Для многих дифференциальных уравнений первого порядка общее решение
можно задать формулой вида:
y = y(x, C)
(4)
где С - произвольная постоянная такая, что при любом С функция (4) является частным
решением дифференциального уравнения.
С геометрической точки зрения совокупность всех решений дифференциального
уравнения представляет собой семейство кривых, называемых интегральными кривыми,
а каждое частное решение представляет собой отдельную интегральную кривую. Иногда
не удаётся получить решения дифференциального уравнения в явной форме, т.е в виде
у = у(х, С), а получают их в неявной форме, т.е. решение задаётся формулой вида:
Ф (y, x, C) = 0
(5)
Выражение типа Ф (х, у, С) = 0 в этом случае называют интегралом (частным,
общим) дифференциального уравнения.
124
Задача Коши
В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется
следующим образом: найти решение у = у(х) уравнения у = f (х, у), удовлетворяющее
начальному условию y(x 0 ) = y, где x0 , y 0 - заданные числа. Задача Коши кратко
записывается так:
у = f (x, y);
у = у 0 при х=х 0 .
(6)
Геометрически решение, удовлетворяющее начальному условию у (х 0 )= у 0 ,
представляет интегральную кривую, проходящую через данную точку (х 0 ; у 0 ).
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение (2) называется
переменными, если имеет следующий вид:
уравнением с разделяющимися
y   f1 ( x)  f 2 ( y)
(7)
В предположении, что f 2 ( y)  0 , уравнение с разделяющимися переменными (7) можно
переписать в виде (разделить переменные):
dy
 f1 ( x)dx.
(8)
f 2 ( y)
Уравнение вида (8) называется уравнением с разделёнными переменными.
dx
Теорема 1. Если существуют интегралы 
и  f 1 ( x) dx. , то общий интеграл
f 2 ( y)
уравнения с разделёнными переменными (8) задаётся уравнением
F2 ( y)  F1 ( x)  C ,
(9)
1
и f 1 ( x) .
f 2 ( y)
При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно
руководствоваться следующим алгоритмом:
1) разделить переменные (с учётом условий, когда это можно делать);
2) проинтегрировать почленно полученное уравнение с разделёнными
переменными;
3) найти его общий интеграл уравнения;
4) выяснить, имеет ли уравнение (5) решения, не получающиеся из общего
интеграла;
4) найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным
условиям (в случае задачи Коши).
где F2 ( y) и F1 ( x) - некоторые первообразные соответственно функций
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция g(x,y) называется однородной функцией к-то измерения (к-й степени), если
при любом t ( кроме, быть может, t=0 ) имеет место тождество:
g (tx, ty)  t k g ( x, y) .
(10)
125
Например, g ( x, y)  2 x 3  5 xy 2 - однородная функция третьего измерения, так как
g (tx, ty)  2(tx) 3  5tx(ty) 2  t 3 (2 x 3  5xy 2 )  t 3 g ( x, y).
Дифференциальное уравнение первого порядка y=f(x,y) называется однородным,
если f(x,y) – однородная функция нулевого измерения. Его можно представить в виде
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
(11)
где Р(х,у) и Q(x,y) – однородные функции одинакового измерения.
Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному
уравнению с разделяющимися переменными подстановкой:
y=zx
(12)
где z=z(x) – новая неизвестная функция.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Уравнение вида
dy
 f x    x   0
dx
(13)
где f(x) и  (х)-функции от х, называется линейным дифференциальным уравнением
первого порядка. В частном случае f(x) и  (х) могут быть постоянными величинами.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью
подстановки^
y = uv,
(14)
где u и v - новые функции от x.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти частное решение уравнения:
2уу = 1 – 3х²;
у 0 = 3 при х 0 = 0;
Решение: это уравнение с разделяющимися переменными. Представим его в
2
dy
dy
дифференциалах. Учитывая, что y ' 
, получим: 2 у
 1  3x . Разделим
dx
dx
2
переменные: 2 ydy  (1  3x )dx. Интегрируя обе части последнего равенства, найдём
 2 ydy   (1  3x
2
)dx, т.е. у²=х-х³+С. Подставив начальные значения х 0 =1, у 0 =3,
найдём С: 9=1-1+С, т.е. С=9. Следовательно, искомый частный интеграл будет у²=х--х³+9, или х³+y² – x-9 = 0.
Пример 2. Найти решение уравнения (x²-2y²)dx + 2xy dy = 0.
Решение: В данном уравнении функции Р(х,у) = х² - 2у², Q(x,y) = 2xy – однородные
функции второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным.
Положим у = zx, откуда dy =zdx + xdz. Подставляем эти выражения y и dy в данное
уравнение:
126
x² dx – 2(zx)² dx + 2xzx(zdx + xdz) = 0, т.е
x² dx – 2z²x² dx + 2z² x² dx + 2zx³dz = 0,
dx
 0.
или dx + 2zx dz = 0 . Разделяем переменные (считая х  0): 2 zdz 
x
dx
 C1 ,
Интегрируем почленно это уравнение (учитывая, что z = z(x) ):  2 zdz  
x
2
откуда z 2  ln x  ln C , откуда, после потенцирования получим: x  Ce  z .
y2
 2
y
Возвращаясь к прежней функции y ( z  ) , находим общий интеграл x  Ce x
x
2 xyy   x 2  y 2
Пример 3. Найти частное решение уравнения 
 y  2, при x  1
Решение: запишем данное уравнение в виде (x² + y²)dx – 2xy dy = 0. Легко можно
убедиться в том, что оно однородно. Положим y = zx, откуда dy = zdx + xdz. Подставляя
значения y и dy в уравнение, имеем (при x  0, 1 – z²  0) :
2 zdz dx
( x 2  z 2 x 2 )dx  2 xzx( zdx  xdz)  0  (1  z 2 )dx  2 xzdz 
 .
2
x
1 z
Интегрируя, получаем
откуда
 ln 1  z 2  ln x  ln C , C  0, или ln x  ln 1  z 2  ln C ,

y2 
x(1-z²) = C, или x1  2   C. Подставив в найденное решение начальные
x 

 22 
условия, найдём 11  2   C . т.е C  3. Итак, искомое частное решение будет
 1 

y2 
x1  2   3, или x² - y² + 3x = 0.
x 

2у
3
  х  1
Пример 4. Найти общее решение уравнения: у  
х 1
Решение: это линейное уравнение: здесь f(х)= — 2/(x+1),  ( x)  ( x  1) 3 . Положим
у   u v  uv  . Подставив теперь выражения для у и y  в данное
y=uv, тогда
уравнение, получим
2uv
u v  uv  
 ( x  1) 3 ;
x 1
или
2v 

3
u v  u  v  
   x  1
x  1

(*)
Так как одну из вспомогательных функций u или v можно выбрать произвольно, то в
качестве v возьмем одно из частных решений уравнения
2v
dv
2v
v 
 0 или

0 /
x 1
dx x  1
Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем
dv 2dx
dv
dx

;
 2
;
ln v  2 ln( x  1);
v  ( x  1) 2

v
x 1
dx
x 1
127
(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно из частных
решений). Подставим теперь выражение для v в уравнение (*); тогда получим
du
du
2
2
3
u v   x  1 ;
  x  1   x  1 или
 x  1 . Отсюда находим
уравнение
dx
dx
( x  1) 2


du

x

1
dx
;
u

C


2
Зная u и v, теперь получаем общее решение данного уравнения:
  x  12

x  14  C x  12
2
y  uv  
 C  x  1 
2
 2

cos xdy  y sin xdx  dx;
Пример 5. Найти частное решение уравнения 
 y  1 при х  0
Решение: разделив все члены данного уравнения на cos xdx, получим уравнение^
dy
1
 ytgx 
dx
cos x
которое является линейным. Положим y = uv; тогда
у   u v  uv 
Подставив выражения для у и y  в уравнение (*), имеем
1
u v  uv   uvtgx 
cos x
или
u v  u (v   vtgx) 
1
.
cos x
(*)
Для отыскания получаем уравнение v
v   vtgx  0;
dv
 vtgx;
dx
dv
 tgxdx
v
откуда
dv
   tgxdx; ln v  ln cos x; v  cos x
v
Подставляя выражение для v в уравнение (*), имеем
1
du
1
u сosx 
;
или

; т.е. u  tgx  C
cos x
dx cos 2 x

Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так:
y  uv  tgx  C cos x  sin x  C cos x
Используя начальные условия у=1, х=0, имеем
1  sin 0  C cos 0;
т.е. С  1
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
y  sin x  cos x
128
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
х 1уdx  dy .

x dy  y dx
2. Найти решение задачи Коши: 
.
y

0
,
25
при
х

0
,
1

3. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения х  у dy  ydx  0 .
4. Найти частное решение однородного дифференциального уравнения:
х  у dx  xdy  0
.

 y  0 при х  1
5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка
у
у  4  x  0
x
6. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения:
3
2
y (1  x 2 )  xy  1,
y( )  П
2
3
Вариант 2
2
2
1.Найти общее решение дифференциального уравнения: 2 хdx  3 y 2 dy
 dy dx

0

2.Найти решение задачи Коши:  3x 2 y
 y  5 при х  4
3.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:
хydx  x 2  y 2 dy  0
4.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения:
 xy 2 y /  x 3  y 3

 y  3 при х  1
5.Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
х 2 y   2 xy  1  0
6. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения:
3
y   3 y  e 2 x ; y ( 0) 
5
Вариант 3
1.Найти общее решение дифференциального уравнения х 3 dy  y 3 dx  0 ;
y

/
 y 
2.Найти решение задачи Коши: 
;
2 x
2
 y  e при х  9
3.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:
х 2  у 2 dx  2 xydy  0 ;
4.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения:
 y 2 dx  x 2  xy dy  0
;

 y  1, если х  1
5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
y   7 y  8e 3 x




129
6. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения:
(1  x 2 ) y   2 xy  (1  x 2 ) 2 ,
y(3)  40
Вариант 4
1.Найти общее решение дифференциального уравнения у /  х 2 у  х 2 ;
 у/ х  1 у2
2.Найти решение задачи Коши: 
;
 у  0 при х  4
3.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
х3 у /  у у 2  х 2 ;
4.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения
 х 2 у /  ху  у 2

 у  1, если х  1
5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
( x 2  1) y   xy  x 3  x
6. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения:
xdy
П
 y  x 2 sin x;
y( )  П
dx
2


Контрольные вопросы
1.Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
2. Что такое общее и частное решения дифференциального уравнения первого
порядка?
3. Как ставится задача Коши первого порядка?
4. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются уравнениями с
разделяющимися переменными и как они решаются?
5. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными
и как они решаются?
6.Дайте определение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка и
опишите алгоритм решения;
130
Практическая работа №22, 23
«Решение дифференциальных уравнений второго порядка»
Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать дифференциальные уравнения.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае записывается в виде:
F ( x, y, y , y )  0.
(1)
или, если это возможно, в разрешённом относительно у'' виде
y   f ( x, y, y )
(2)
Говорят, что формула y   ( x, C1 , C2 ) представляет общее решение
дифференциального уравнения второго порядка (1) или (2), если для любых значений С1
и С2 постоянных С1 и С2 функция  ( x, C1, C2 ) является решением данного уравнения, и
любое его частное решение может быть получено из формулы y   ( x, C1 , C2 ) при
некоторых значениях C1 и C2 .
Для дифференциальных уравнений второго порядка задача Коши формулируется
следующим образом: найти решение у = y(x) уравнения y   f ( x, y, y ), удовлетворяющее
начальным условиям y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 или, в другой записи,

 y   f ( x, y, y );




 y х  х0  y 0 , y x  x0  y 0 .
(3)
где x0 , y0 , y0 - заданные числа. Геометрически общее решение уравнения (1) или (2)
представляет собой семейство интегральных кривых, а решение, удовлетворяющее
начальным условиям y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 , представляет интегральную кривую,
проходящую через данную точку (x0 ; y 0 ) в данном направлении – угловой коэффициент
касательной к интегральной кривой (графику решения y = y(x)), проведённой в точке
(x0 ; y 0 ) равен данному числу y0 . Простейшее уравнение второго порядка имеет вид:
y   f (x) .
(4)
Уравнения этого вида называются уравнениями, допускающими понижение порядка и
решаются двукратным интегрированием: полагаем y   p (x) ,тогда y   p и уравнение
131
p  f (x) , или dp=f(x) dx. Отсюда p   f ( x)dx  F ( x)  C1 , где
(4) принимает вид
F(x) – одна из первообразных для функции f(x). Так как р = у',то y  F ( x)  C1 или
dy  ( F ( x)  C1 )dx . Отсюда, интегрируя ещё раз, находим, как нетрудно проверить, общее
решение уравнения (4) (в области, где существуют рассматриваемые интегралы):
y   F ( x)dx  C1 x  C2 .
a0 y  a1 y  a2 y  0 ,
Уравнение вида
(5)
где a0 , a1 , a2 - действительные числа (a0  0) , называется линейным однородным
дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами.Чтобы решить уравнение (5), нужно решить характеристическое
уравнение:
a0 k 2  a1k  a2  0
(6)
При решении характеристического уравнения (6) возможны три случая, в зависимости
от которых строится общее решение данного дифференциального уравнения (5)
Корни уравнения (6)
Действительные и
различные:
k1  k 2
Равные: k1  k 2
Комплексно
сопряжённые:
  i
Частные решения
уравнения (5)
y1  e k1x ;
y2  e
k2 x
y1  e k1x ;
y2  xe
k1 x
y1  ex cos x;
x
y2  e sin x
Общее решение уравнения
(5)
y  C1e k1x  C2ek2 x
y  e k1x (C1  C2 x)
y  ex (C1 cos x  C2 sin x)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти общее решение уравнения y   cos 2 x.
Решение: положим y   p (x) ; тогда y   p , и, следовательно, p   cos 2 x или
dp  cos 2 x .
1
Интегрируя это уравнение, находим: p  sin 2 x  C1 , или
2
1
1
y  sin 2 x  C1 , т..е. dy  sin 2 xdx  C1dx.
2
2
1
Интегрируя второй раз, находим общее решение:  dy   sin 2 xdx  C1  dx, т.е.
2
1
y   cos 2 x  C1 x  C 2 .
4
3
 
;
y 
Пример 2. Дана задача Коши: 
x
 y  4, y   14 при x  4.

132
Решение: Положим p  y, тогда y  p и получим следующее уравнение:
p  3x

Так как
1
2

1
1
или dp  3x 2 dx . Интегрируя, получим: p  y  6 x 2  C1 .
y 
1
1
dy
dy
 6 x 2  C1 или dy  (6 x 2  C1 )dx .
, то получим следующее:
dx
dx
Интегрируя почленно, получим y  4 x3  C1 x  C2 - общее решение. Наложим
3
2
1
2
начальные условия. Тогда y(4)  4  4  C1  4  C2  4 y(4)  6  4  C1  14
Отсюда имеем, что C1  2, С2  36 . Значит, частное решение следующее:
y  4 x3  2 x  36.
Пример 3. Найти общее решение уравнений: а) y  y  2 y  0 ;
б) y  6 y  9 y  0 ;
Решение:
а) Составим характеристическое уравнение:  2    2  0 .
Его корни 1  2 и  2  1 . Значит, общее решение уравнения имеет вид
y  C1e2 x  C2e x .
б) Составим характеристическое уравнение:  2  6  9  0 .
Его корни 1   2  3 . Тогда общее решение имеет вид y  C1e3 x  C2 xe3 x .
Пример 4. Найти решение задачи Коши: y  4 y  5 y  0 , у (0)  6, у (0)  15
Решение: составим характеристическое уравнение:  2  4  5  0 . Решая его, получим
D  4 и комплексно сопряжённые корни k1  2  i и k2  2  i . Тогда его общим
решением будет y  e2 x (C1 cos x  C2 sin x) .
Подставим начальное условие: у(0)  е 20 (С1 cos 0  C2 sin 0)  C1  6. Вычислим
производную y   2e 2 x (C1 cos x  C2 sin x)  e 2 x (C1 sin x  C2 cos x) . Подставим начальное
условие y (0)  2e 20 (C1 cos 0  C2 sin 0)  e 20 (C1 sin 0  C2 cos 0)  2C1  C2  2  6  C2  15 .
Откуда имеем C2  3,  y  e 2 x (6 cos x  3 sin x) - частное решение.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1.Найти общее решение дифференциального уравнения : у // 
1
.
х2

у //  sin x;

2.Решить задачу Коши:    
/ 
y


,
y


   2.
  2 
2
3. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону а (t )  12t  1
(ускорение - м/с2, время - сек). Начальное положение тела х(0)  0 и начальная
скорость
v(0)  10 м / с . Найти закон движения тела и путь, пройденный за 3 секунды;
4. Найти общее дифференциального уравнения: у //  2 у /  5 у  0.

у //  10 у /  16 у  0;
5 .Решить задачу Коши: 
/
 у  4; у  26, при х  0.
133

у //  8 у /  20 у  0;
6. Решить задачу Коши: 
/
 у  2; у  8, при х  0.
Вариант 2
1.Найти общее решение дифференциального уравнения : у //  х 2  1

у //  3сosx;
2.Решить задачу Коши: 
/
 y( )  5 , y ( )  5.
3. Из семейства интегральных кривых уравнения у   12х 2 выделить ту, которая в точке
(1; 1) имеет касательную с угловым коэффициентом, равным 4;
4.Найти общее решение дифференциального уравнения: y //  10 y /  9 y  0.
 y //  4 y /  5 y  0;
5.Решить задачу Коши: 
/
 y  3, y  9, при х  0.

у //  6 у /  25 у  0;
6. Решить задачу Коши: 
/
 у  2; у  10, при х  0.
Вариант 3
1.Найти общее решение дифференциального уравнения : у //  sin x  1 .
1

y // 
;

2
x
2.Решить задачу Коши: 
 y (1)  2 ; y / (1)  2.

3
3. Из семейства интегральных кривых уравнения у   6(1  х) выделить ту, которая в точке

(1; 5) имеет касательную с углом наклона к оси ОХ, равным .
4
//
4.Найти общее решение дифференциального уравнения: y  7 y /  12 y  0 .
 y //  4 y /  32 y  0;
5.Решить задачу Коши: 
/
 y  8, y  4, при х  0.

у //  8 у /  25 у  0;
6.Решить задачу Коши: 
/
 у  5; у  4, при х  0.
Вариант 4
1.Найти общее решение дифференциального уравнения : у //  60 х 2  4 х  2 .

у //  х3  3;
2.Решить задачу Коши: 
 у1  2,45; у1  2,25.
134
3. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону а (t )  6t  4
(ускорение - м/с2, время - сек). Найти закон движения тела и путь, пройденный за 5
секунд; если через 2 секунды после начала движения v  6 м / с, s  5 м ;
4.Найти общее решение дифференциального уравнения: у //  9 у  0.

у //  3 у /  10 у  0;
5.Решить задачу Коши: 
/
 у  2, у  3, при х  0.

у //  4 у /  20 у  0;
6. Решить задачу Коши: 
/
 у  3; у  2, при х  0.
Контрольные вопросы
1. Назовите общий вид дифференциальных уравнений второго порядка.
2. Как решается дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее
понижение степени?
3. Что такое обшее и частное решения дифференциального уравнения второго
порядка?
4. Сформулируйте задачу Коши второго порядка.
5. Какие уравнения называются линейными однородными дифференциальными
уравнениями второго порядка?
6. Как составить характеристическое уравнение? Какие варианты решений
дифференциального уравнения возможны?
135
Лабораторная работа № 24
«Исследование на сходимость положительных и знакочередующихся рядов»
Цель работы: научиться исследовать на сходимость положительных и
знакочередующихся рядов.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- разлагать элементарные функции в ряд Тейлора.
знать:
- основные понятия и методы теории рядов.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Определение числового ряда
Числовым рядом называется выражение вида

а1  a2  ....  an  ...   an ,
(1)
n 1
где числа a1 , a2 , a3 ..., an , называемые членами ряда, образуют бесконечную
последовательность. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных
сумм:
S1  a1, S2  a1  a2 , S3  a1  a2  a3 , ... , Sn  a1  a2  a3  ....  an , ... (2)
при n→ ∞ имеет конечный предел: lim S n  S
(3)
n
Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если
lim S n не существует или
n
бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Необходимый признак сходимости ряда: ряд может сходиться только при условии,
что его общий член a n при неограниченном увеличении номера n ( n  ) стремится к
нулю:
lim a n  0
(4)
n x
Если же lim a n  0, то ряд расходится – достаточный признак расходимости ряда.
n 
Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные
признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.
Признак сравнения: Если члены знакоположительного ряда

а1  a2  ....  an  ...   an
,
(5)
n 1
начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда
136
b1  b2  ...  bn ... 

b
n 1
(6)
n
то из сходимости ряда (6) следует сходимость ряда (5), а из расходимости ряда (5) следует
расходимость ряда (6).
При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто
используются ряд геометрической прогрессии:
a  aq  aq 2  ...  aq n  ...(a  0),
(7)
который сходится при q  1 и расходится при q  1 и гармонический ряд:
1 1
1
  ...   ...,
2 3
n
который является расходящимся рядом.
1
(8)
an 1
 l , то при l  1 ряд
n a
n
сходится, l  1 - расходится (при l  1 вопрос о сходимости ряда остается открытым).
Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
Признак Даламбера: Если для ряда (5) существует предел
lim
Знакочередующимся рядом называется ряд вида:
a1  a2  a3  ...  (1) n 1 an  ...,
(9)
где a1, , a2 , a3 ,..., an ,...  положительные числа. Для знакочередующихся рядов имеет место
следующий признак сходимости - признак Лейбница: ряд (9) сходится, если его члены
монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при n  .
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать,
1 2
n
1    ... 
 ... - расходится.
что ряд
2 3
n 1
Решение: применим необходимый признак сходимости числового ряда. Находим
n
lim a n  lim
 1 . Т.о., предел общего члена ряда при n   отличен от нуля, т.е.
n 
n  n  1
необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд
расходится.
Пример 2. С помощью признака сравнения исследовать на сходимость ряды:
1
1
1
1
1
1
1
1)


 ... 
 ...;
2) 1  3  3  ...  3  ...
2
3
n
5 2 5 2
5 2
5 2
2
3
n
1 1
1
1
 2  3  ...  n  ... (*)
Решение: 1) Сравним данный ряд с рядом
2 2
2
2
Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую
прогрессии со знаменателем q  1 2. При этом каждый член a n  1 (5  2 n ) исследуемого
ряда меньше соответствующего члена bn  1 2 n ряда (*).Поэтому, согласно признаку
сравнения, данный ряд сходится.
1 1
1
2) Сравним данный ряд с гармоническим рядом 1    ...   ... (**)
2 3
n
137
Каждый член
an  1 3 n исследуемого ряда, начиная со второго, больше
соответствующего члена bn  1 n ряда (**). Так как гармонический ряд расходится, то,
согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.
Пример 3. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряды:
1 2
3
n
1 1 2 1 2  3
n!
1)  2  3  ...  n  ...;
2)  2 
 ...  n  ...
3
3 3
3
3
10 10
10
10
Решение: 1) Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать (n+1)-й
член
ряда. Он получается путем подстановки в выражение общего члена ряда a n  n 3 n вместо
n
числа n  1 : a n 1  (n  1) 3 n 1 . Теперь найдем предел отношения (n  1) - го члена к n -му
an 1
(n  1)3n
n 1 1
 n 1 n 
 lim  n 1  n   lim
 lim
 . Так как
n

1
n  3
n   3n
n 
an
3  n  n3
3

l  1 3  1, то данный ряд сходится.
2) Зная a n  n! 10 n , найдем (n  1)  й член ряда: a n 1  (n  1)! 10 n 1 . Вычислим
члену при n   : l  lim
an 1
(n  1)!10n
n 1
 (n  1)! n 
 lim  n 1  n   lim
 lim
 . Так как l    1, то ряд
n

1
n  a
n   10
n   10
10  n  n!10

n
расходится.
Пример 4. Найти сумму ряда

1
1
1
1
1




 ... 
 ... .
n 1 n( n  1)
1 2
23
3 4
n(n  1)
Решение: по определению частичной суммы ряда имеем:
1
1 1 2
2 1 3
S1  a1  ; S 2  a1  a 2    , S 3  a1  a 2  a3  
 ,
2
2 6 3
3 12 4
3 1
4
S 4  a1  a 2  a3  a 4  
 , ...
4 20 5
1 2 3 4
Таким образом, получаем последовательность частичных сумм: ; ; ; ;..., общий член
2 3 4 5
n
n
 1. Это означает, что ряд сходится и
который равен S n 
. Тогда lim S n  lim
n 
n  n  1
n 1
сумма его равна единице.
Пример 5. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость
знакочередующийся ряд:
1 1 1
1
1     ...  (1) n 1  ... .
2 3 4
n
Решение: т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонного убывают:
1 1 1
1
1
1     ...   ... и общий член при n   стремится к нулю lim  0, то в
n n
2 3 4
n
силу признака Лейбница ряд сходится.
l  lim
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
1
2n
an 
;
б
)
a

.
n
4n 2  1
n!
138
1 1 1 1
2. Найти формулу общего члена ряда: а ) 2  4  8  16  ...; б )     ...
7 8 9 10

n 1
3. Установить расходимость ряда 
с помощью следствия из необходимого
n 1 2 n  4
признака.


2n
3n
4. По признаку Даламбера исследовать на сходимость ряд: a )
; б )
.
n 1 n!
n 1 2n
5. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:
1 1 1
1 1
1
а)1   
 ...; б )1  

 ...
3 9 27
5 25 125
Вариант 2
1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
2n  1
n
a)a n 
;
б )a n 
.
2
n
(n  1)  2 n
1 1 1
1
1 1 1
 ....; б )1   
 ...
2. Найти формулу общего члена ряда: a)   
3 6 12 24
3 9 27

3n  1
3.Установить расходимость ряда 
с помощью следствия из необходимого
n 1 2 n  1
признака.


n
3n
б
)
.
4. По признаку Даламбера исследовать на сходимость ряд: a)
;

n
n
n 1 5
n 1 n  2
5. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:
1 1 1
1 1 1
а) 1     ...;
б) 1     ...
2 3 4
2 4 8
Вариант 3
1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
2n  1
n!
a)a n 
;
б )a n 
.
n
n 1
3
2. Найти формулу общего члена ряда:
1 1
1
1
a)  

 ...;
4 12 36 108
2 4 6 8
б )     ....
1 4 9 16

 1
3. Установить расходимость ряда  1  
n
n 1 
признака .
n
с помощью следствия из необходимого

4. По признак Даламбера исследовать на сходимость ряд: a ) 
n 1
n!
;
5n

1
.
n
n 1 3
б )
5. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

1 1 1 1
2n
б )1      ....
a ) (1) n 1 
;
2! 3! 4! 5!
3n  1
n 1
Вариант 4
139
1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
1
n
а)a n 
;
б )a n  n 2
.
n 1
(2n  1)  3
2 (n  1)
2 3 4
б )5  25  125  ...
2. Найти формулу общего члена ряда: a )1     ....;
3 5 7

n
3. Установить расходимость ряда 
с помощью следствия из необходимого
n 1 ( n  1)
признака.


n!
n 1
б ) n .
4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд: a) n ;
n 1 2
n 1 7
5. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

2 3 4
1
; б) 1     ...
а)  (1) n 1  2
3 5 7
n 2
n 1
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
сходится?
4.
5.
6.
7.
8.
Что называется числовым рядом?
Какой ряд называется сходящимся, расходящимся?
Что представляет собой ряд геометрической прогрессии? Когда он
Что представляет собой гармонический ряд?
Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда;
Назовите признаки сходимости ряда с положительными членами;
Что такое знакочередующийся ряд?
Назовите признак Лейбница для знакочередующихся рядов
140
Практическая работа № 25
«Нахождение области сходимости степенного ряда. Разложение в ряд ТейлораМаклорена элементарных функций»
Учебная цель: научиться находить область сходимости степенного ряда.
раскладывать в ряд Тейлора-Маклорена элементарные функции.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- исследовать на сходимость числовые ряды.
знать:
- основные понятия и методы теории рядов.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической
работы
Степенной ряд и область его сходимости
Ряды, члены которого являются функциями переменной x, называется
функциональными:

U 1 (x)+ U 2 (x)+...+ U n (X)+...=

n 1
U n (x),
(1)
Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке х 0 , если при х  х0 он
обращается в сходящийся числовой ряд, если же при х  х0 получается расходящийся
числовой ряд, то ряд (1) называется расходящимся в точке х  х0 . Совокупность
значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости
функционального ряда.
Из всех функциональных рядов наиболее распространенными на практике являются
степенные ряды вида
а0  а1 х  а 2 х 2  ...  а n x n  ...
(2)
или более общего вида
a0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...  a n ( x  x0 ) n  ...,
(3)
где постоянные а0 , а1 , а2 ,..., аn называется коэффициентами ряда.
Областью сходимости любого степенного ряда вида (2) служит промежуток (– R; R)
числовой оси, симметричный относительно точки х=0, дополненный, быть может, его
концами. Этот промежуток, называемый промежутком сходимости, обладает тем
свойством, что при всех | x | < R ряд сходится, притом абсолютно, а при всех | x | > R –
расходится. На концах промежутка сходимости, т. е. в точках х = - R и х = R, возможна
как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Для нахождения области
сходимости степенного ряда (2), применяется признак Даламбера к ряду, членами
которого служат абсолютные величины членов рассматриваемого степенного ряда, а
затем исследуется сходимость ряда на концах промежутка сходимости.
Разложение элементарных функций в степенные ряды
141
Рядом Тейлора для f(x) называются степенной ряд вида:
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a) 
f (a)
f ( n ) (a)
( x  a) 2 x  ... 
( x  a) n  ... .
2!
n!
(4)
Если а = 0, то получается ряд:
f (0) 2
f ( n ) (0) n
(5)
f ( x)  f (0)  f (0) x 
x  ... 
x  ...
2!
n!
который называется рядом Маклорена.
При представлении элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора обычно
поступают следующим образом: вычисляют последовательные производные данной
функции в точке х = а, а затем, пользуясь (4), составляют для нее ряд Тейлора и
определяют промежуток сходимости полученного ряда. В этом промежутке ряд Тейлора
сходится к порождающей его функции f(x), если только все значения
f (a), f (a),..., f ( n ) (a),... получается непосредственной подстановкой значения х = а в
выражения f ( x), f ( x),..., f ( n ) ( x),... . Применяя указанный способ, можно найти
разложение в ряд Маклорена для следующих функций:
x 2 x3
xn
e  1 x 

 ... 
 ...(  x  ),
2! 3!
n!
x
(6)
x3 x5
x 2 n 1
(7)
  ...  (1)n
 ...(  x  )
3! 5!
(2n  1)!
x2 x4
x 2n
(8)
cos x  1 

 ...  (1) n
 ...(  x  ),
2! 4!
(2n)!
m(m  1) 2
m(m  1)...( m  n  1) n
(1  x) m  1  mx 
x  ... 
x  ...  (1  x  1),
(9)
2!
n!
1
 1  x  x 2  ...  x n  ...(1  x  1),
(10)
1 x
x2 x3
xn
ln( 1  x)  x 

 ...  (1) n 1
 ...(1  x  1),
(11)
2
3
n
sin x  x 
Помимо приведенного выше способа, можно получить разложения функций в ряд
Тейлора, исходя из известных разложений, например, разложений (6)-(11). При этом
возможно использование следующих действий над степенными рядами внутри их
промежутков сходимости:
1) два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения
многочленов);
2) степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;
3) степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.
Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в результате
указанных действий разложение будет искомым.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1: Найти области сходимости степенных рядов:
n
x  1 ( x  1) 2 ( x  1)3
n ( x  1)



...

(

1
)
 ...;
а) 
2
2  22
3  23
n2n
142
б) x  2! x 2  3! x 3  ...  (1) n1 n! x n  ...;
5
52
5n
( x  2)  ( x  2) 2  ...  ( x  2) n  ...;
1!
2!
n!
Решение: а) Составим ряд из модулей членов ряда:
| x  1 | | x  1 | 2 | x  1 |3
| x  1 |n



...

 ...
2
2  22
3  23
n2 n
в) 1 
Согласно признаку Даламбера полученный знакоположительный ряд сходится
(абсолютно) при тех значениях х, для которых l  nlim

U n 1 
n
U n 1
 1 . Здесь U n  | x  1n | ,
Un
n2
| x  1 | n 1
. Отсюда
(n  1)2 n 1
 | x  1 |n 1 | x  1 |n  | x  1 |
U n 1
n
| x 1|
l  lim
 lim 
:

 lim

.

n

1
n
n  U
n   (n  1)2
n  n  1
n2 
2
2

n
Определим, при каких значениях х этот предел l будет меньше единицы. Для этого
x 1
 1 , или |x+1| < 2, откуда -3 < x < 1.Таким образом,
решим неравенство
2
первоначальный ряд сходится (абсолютно) в промежутке( -3, 1) - это и есть промежуток
сходимости данного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка сходимости.
При х = - 3 получаем числовой ряд
1 1
1
1    ...   ... - гармонический ряд, который, как известно, расходится.
2 3
n
При х=1 получаем числовой знакочередующийся ряд:
1 1
1
 1    ...  (1) n  ... , который по признаку Лейбница сходится (условно). Итак,
2 3
n
область сходимости данного ряда – полуоткрытый промежуток  3  x  1.
2
3
n
б) Составим ряд из модулей членов ряда: х  2! х  3! х  ...  n! х  ...; применим к
нему признак Даламбера:
U
(n  1)!| x | n 1
U n  n ! | x |n , U n 1  (n  1)!| x |n 1 . Отсюда l  lim n 1  lim
| x | lim (n  1),
n
n  U
n 
n 
n
!|
x
|
n

, при x  0
т.е. l  
.Таким образом, согласно признаку Даламбера ряд сходится

0
,
при
x

0

только в точке х = 0.
5
52
5n
2
n
х  2  ... 
х  2  ...;
в) Составим ряд из модулей членов ряда: 1  х  2 
1!
2!
n!
применим к нему признак Даламбера:
5n
5n 1
n
Un 
| x  2 | , U n 1 
| x  2 |n 1 .
n!
(n  1)!
U n 1
5n 1 n!| x  2 |n 1
5

| x  2 |  lim
 0  1. Следовательно, при
Отсюда l  lim
n
n
n  U
n


(n  1)!5 | x  2 |
n 1
n
любом х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости
рассматриваемого ряда есть вся числовая ось.
143
Пример 2. Разложить в ряд Тейлора по степеням (х – 2) функцию f ( x)  e 5x .
Решение: вычислим значения данной функции и ее последовательных производных при х
= 2:
f ( x)  e5 x , f ( x)  5e5 x , f ( x)  52 e5 x , f ( x)  53 e5 x , … , f ( n ) ( x)  5n e5 x
f (2)  e10 , f (2)  5e10 , f (2)  52 e10 , f (2)  53 e10 , … , f ( n) (2)  5n e10 ,
Подставляя найденные значения и общее выражение ряда Тейлора для производной
 5

5 2 ( x  2) 2
5n
функции, получим e 5 x  e10 1  ( x  2) 
 ...  ( x  2) n  .... Это и есть
2!
n!
 1!

разложение ряд Тейлора по степеням (х – 2) для функции f ( x)  e 5x . Полученный ряд
сходится к порождающей его функции f ( x)  e 5 x при любом значении х. Заметим, что
искомое разложение можно получить также следующим образом. В разложение (3)
заменим х на 5х; тем самым получим ряд Маклорена для функции
5
52 2
5n n
e5x  1  x 
x  ... 
x  ... .
(*)
1!
2!
n!
Представив теперь функцию e 5 x в виде e 5( x 2 )  e10 и подставляя в соотношение (*) (х
– 2)
вместо х, приходим к разложению:
 5

52
5n
e5 x  e5( x  2)  e10  e10 1  ( x  2)  ( x  2) 2  ...  ( x  2)n  ....
2!
n!
 1!

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x)  ln( 1  2 x).
Решение: заменяя в разложении (11) х на (- 2х), получим
n
(2 x) 2 (2 x) 3
n 1 ( 2 x)
ln( 1  2 x)  (2 x) 

 ...  (1)
 ... , или
2
3
n
2 2 2 23 3
2n n
ln( 1  2 x)  2 x 
x  x  ... 
x  ... .
2
3
n
Разложение (11) справедливо в промежутке  1  x  1, а искомое получается в результате
замены х на (– 2 х). Следовательно, для нахождения промежутка сходимости
1
1
полученного ряда нужно решить неравенство  1  2 x  1,    x  .
2
2
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x)  cos 2 x.
Решение: по известной тригонометрической формуле имеем cos 2 x  (1  cos 2 x) / 2.
Разложим в ряд Маклорена функцию cos2x, заменяя в разложении (8) х на 2х:
( 2 x) 2 ( 2 x) 4
( 2 x) 2 n
cos 2 x  1 

 ...  (1) n
 ... или
2!
4!
(2n)!
2n
22 2 24 4
n 2
(*)
cos 2 x  1 
x 
x  ...  (1)
x 2 n  ... .
2!
4!
(2n)!
Разложение (8) справедливо при любом х, поэтому ряд Маклорена для cos 2x сходится
к порождающей его функции также на всей числовой оси. Для того чтобы получить
разложение
1
1
в ряд Маклорена функции cos2x, умножим все члены ряда (*) на :
2
2
3
2 n 1
1
2
2
2
cos 2 x  1  x 2  x 4  ...  (1) n
x 2 n  ... .
2
2!
4!
(2n)!
144
1 1
3 2
23
2 2 n1 2 n
 cos 2 x   x 2  x 4  ...  (1) n
x ... - это и есть разложение в
2 2
2 2!
4!
(2n)!
ряд Маклорена функции f ( x)  cos 2 x. Очевидно, что оно справедливо при любом х.
Тогда
Пример 5. Вычислить sin 18  , ограничиваясь первыми двумя членами ряда Маклорена
для sin x, и оценить получающуюся при этом погрешность.
Решение: т. к. разложение (7) справедливо при любом х, то, в частности, при x   / 10
имеем
  ( / 10) 3 ( / 10) 5
sin



 ... .
10 10
3!
5!
Полученный ряд - знакочередующийся. Ограничиваясь двумя членами этого ряда, т. е.
считая sin(  / 10) равным их сумме, мы тем самым допускаем ошибку, не превосходящую
первого отбрасываемого члена ( / 10) 5 / 5! .Так как ( / 10) 5 / 5! <0,0001, то с точностью до
0,0001 получаем
sin

10


10

( / 10) 3 ( / 10) 5

 ...  0,3091 .
3!
5!
Пример 6. Вычислить е 2 с точностью до 0,01.
Решение: пользуясь разложением (6) , при х=2 получим
2 2 23
2n
e2  1  2 

 ... 
 ... .
2! 3!
n!
Остается решить вопрос о том, сколько членов данного ряда надо взять, чтобы
получить значение е 2 с требуемой точностью. Пусть искомое число членов равно  . Это
означает, что ошибка S , которую мы допускаем, заменяя сумму ряда его   й
частичной суммой, равна сумме членов ряда, начиная с (  1) -го:
S 
2 1
2  2
2  3
2 1
2  2
2  3


 ... 


 .. 
(  1)! (  2)! (  3)!
(  1)! (  1)!(  2) (  1)!(  2)(  3)

2 1 
2
22
 1 

 ....
(  1)!  k  2 (k  2)( k  3)

Если заменить каждое из чисел   2,   3,... числом   1 , то знаменатели дробей
уменьшается, а сами дроби, следовательно, увеличиваются. Поэтому

2 1 
2
22
1 
S 

 .... Выражение, стоящие в квадратной скобке, есть
2
(  1)!  k  1 (k  1)

сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
1
1
к 1
q  2 /(  1), и следовательно, равно
. Таким образом,


1  q 1  2 /(  1)   1

2 1   1
2 1


.
(  1)!   1 !(  1)
Но, с другой стороны, ошибка S не должна превосходить 0,01: S  0,01. Решая
S 
2 1
 !(  1)
 0,01, или
 100,
 !(  1)
2 1
получим   7. Итак, для достижения требуемой точности надо взять 8 членов ряда:
2 2 23 2 4 25 26 27
e2  1  2 





 7,38.
2! 3! 4! 5! 6! 7!
методом подбора неравенство
145
1
sin x
dx с точностью до 0.01.
x
0
Решение: данный определенный интеграл можно вычислить только приближенно. Для
sin x
x2 x4 x6
этого разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора
 1


 ... .
x
3! 4! 7!
Отсюда
Пример 7. Вычислить

1
1
 x2 x4 x6



sin x
x3
x5
x7
1
1
1
1



dx

1




...
dx

x



0 x
0  3! 5! 7!   3  3! 5!5 7!7  ...  1  3!3  5!5  7!7  ...  1  3!3  0,94
0
здесь мы ограничились двумя первыми этого знакопеременного ряда, так как третий
член 1/(5!5) меньше 0,01.
1
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1) Найти область сходимости степенного ряда:

а)
1  4 x  4 x  ...  (4) x  ... ;
2
2
n
n
2n x n
б) 
;
n 1 n !
6x
2) Разложить в ряд Маклорена: f ( x)  e ;
3) Разложить функцию f ( x)  cos x в ряд Тейлора по степеням ( x 

3
);
1/ 5
4) Вычислить

1  x 3 dx с точностью до 0,0001.
0
Вариант 2
1) Найти область сходимости степенного ряда:

x2 x2
xn

 ...  (1) n1
 ... ;
а) x 
б)  ( 1) n 3n x n ;
2
3
n
n 1
2) Разложить в ряд Маклорена: f ( x)  ln( 1  6 x) ;
3) Разложить функцию f ( x)  e 2 x в ряд Тейлора по степеням (х+3);
1/ 2
4) Вычислить
 cos
x dx с точностью до 0,001.
0
Вариант 3
1) Найти область сходимости степенного ряда:

xn
( x  2) 2 ( x  2) 3
( x  2) n
а) ( x  2) 
;

 ... 
 ... ; б) 
n
n
2
3
n 1 n  3
2) Разложить в ряд Маклорена: f ( x)  sin 3x ;
3) Разложить функцию f ( x)  е 3 х в ряд Тейлора по степеням ( x  1) ;
1
4) Вычислить  x е  х dx с точностью до 0,0001.
0
Вариант 4
1) Найти область сходимости степенного ряда:
146
x x 2 x3
xn
б)
   ...  (1)n 1
 ...;
2! 4! 6!
(2n)!
2) Разложить в ряд Маклорена: f ( x)  cos 5 х ;
а)

xn
;

2
n 1 n
3) Разложить функцию f ( x)  sin x в ряд Тейлора по степеням ( x 

6
);
0,1
ln( 1  x)
dx с точностью до 0,0001.
x
0
4) Вычислить 
Контрольные вопросы
1.Что называется функциональным рядом? степенным рядом?
2. Что называется областью сходимости степенного ряда и как ее найти?
3. Что называется рядом Тейлора (Маклорена) для функции f(х) ?
4. Какие разложения элементарных функций в ряд Маклорена вы знаете?
5. Какие действия можно выполнять со степенными рядами ?
6. Как применять степенные ряды для приближенных вычислений ?
147