Введение курса стохастики через графы в средней школе

Введение курса стохастики с помощью графов в средней школе
Цель моего выступления заключается в раскрытии проблем введения
стохастики в курс средней школы и возможностей введения теории
вероятностей через графы
В разные периоды становления Российского образования подходы к
включению стохастической линии менялись от полного ее исключения из
содержания математического образования в средней школе до частичного и
полного изучения основных понятий.
По вопросам реформирования и модернизации современного
школьного математического образования существует множество различных
мнений. При этом уже никто не подвергает сомнению необходимость
включения стохастической линии в школьный курс, поскольку именно
изучение теории вероятностей и стохастических проблем развивает
комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном
информацией мире.
(СЛАЙД2)
математика - единая наука без четких граней между разными ее
разделами, такими как: Арифметика, Алгебра, Геометрия, Математический
анализ, Вероятность и статистика. Содержание раздела «Вероятность и
статистика» предполагает изучение следующих вопросов: Представление
данных, их числовые характеристики. Таблицы и диаграммы. Случайный
выбор, выборочные исследования. Интерпретация статистических данных
и их характеристик. Случайные события и вероятность. Вычисление
вероятностей. Перебор вариантов и элементы комбинаторики. Испытания
Бернулли. Случайные величины и их характеристики. Частота и
вероятность. Закон больших чисел. Оценка вероятностей наступления
событий в простейших практических ситуациях.»1
(СЛАЙД3)Актуальной становится проблема выбора соответствующей
программы обучения, учебно-методического комплекса, наиболее полно
сопровождающего выбранную программу, и отбор тех дидактических
приемов, которые позволят оптимально реализовать требуемые задачи
стохастичесго образования.
Анализ действующих программ математического образования и
утвержденных
учебно-методических
комплексов
показывает,
что
программные требования для общеобразовательной школы к содержанию
отсутствуют. Из определенного перечня возможных учебно-методических
комплексов для изучения математики в основной школе (5-9 кл.) и на 3
ступени обучения, только учебник Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина
предполагает обязательное освоение стохастической линии математики в
следующем варианте:
(СЛАЙД4)
1
http://standart.edu.ru/default.asp?ob_no=2203
1
 5 класс – в теме «Натуральные числа» - «Анализ данных»
 6 класс- Комбинаторика (6 часов) и Вероятность случайных событий
(9 часов)
 7 класс - Частота и вероятность (6 часов)
 8 класс – Вероятность и статистика (5 часов)
 9 класс – Статистические исследования (9 часов)
(углубленная программа)Углубленное изучение предмета предполагает
следующие программные требования к содержанию:
 8-9 класс: Множества и элементы комбинаторики.
 10-11класс – Элементы комбинаторики и теории вероятностей.
Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Изучение данного раздела по учебнику Н.Я. Виленкина (для классов с
углубленным изучением предмета) можно провести в соответствии с
государственной программой следующим образом:
11 класс: (СЛАЙД 4,5)
 Элементы комбинаторики 12 часов
 Элементы теории вероятностей и математической статистики (20
часов), где на теорию вероятностей отводится непосредственно 10
часов
Чтобы компенсировать данный недостаток своих учебных пособий,
авторы некоторых из них разработали дополнительные параграфы к курсу
алгебры 7-9 классов, предлагая и поурочное планирование. (СЛАЙД 5,6)
Так, например А.Г. Мордкович и П.В. Семенов предлагают 21 час
посвятить изучению начальных понятий, идей и методов комбинаторики,
теории вероятностей и статистики, умалчивая при этом о необходимых
изменениях в программных требованиях. Но данное пособие не имеет грифа
«Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации»
Дополнением к учебникам «Алгебра 7-9» авт. Ш.А. Алимов является
учебное пособие М.В. Ткачевой и Н.Е. Федоровой «Элементы статистики и
вероятность», выпущенное в 2005 году и имеющее гриф Министерства.
Таким образом, выход для учителя – практика из создавшейся ситуации
заключается в авторском подходе к методическому и дидактическому
наполнению данного курса. С этой целью мною был разработан
тематический сайт (СЛАЙД7)
в рамках которого представлен практический опыт введения стохастической
линии математики с помощью графов в отличие от общепринятого
комбинаторного метода введения основных понятий теории вероятностей.
При таком подходе наиболее оптимально реализуется принцип наглядного
обучения, что позволяет говорить об эффективности образовательного
процесса. Мотивацией для создания сайта послужило – отсутствие
однозначного видения курса теория вероятностей в средней школе. Данный
сайт может быть полезен как учителям так и ученикам. На его страницах
можно найти материалы:
2
методические рекомендации по встраиванию данного раздела математики в
общее математическое образование, анализ возможностей различных УМК
по рассмотрению теории вероятностей, спирали фундирования основных
понятий темы и тем, демонстрирующих прикладное значение теории
вероятностей;
дидактические материалы к конструированию конкретных уроков,
различные творческие задания, наборы задач по определенным темам, тесты
для контроля и самопроверки;
возможные варианты организации проектной деятельности;
полностью разработанный и апробированный элективный курс «Энтропия
и информация. Решение логических задач»
(ФИЛЬМ)
Возможность решения задач по теории вероятностей с помощью гафов
появляется уже в 5 классе, в процессе изучения темы «Обыкновенные дроби.
Арифметические действия с обыкновенными дробями». Значит, к этому
моменту можно ввести понятие случайных, достоверных и недостоверных
событий. Практика показывает, что трудностей на данном этапе у учащихся
не возникает.
На простейших задачах объясняется понятие вероятности события. И
способы ее вычисления на основе классического определения вероятности.
1. Какова вероятность выпадения тройки при однократном бросании
кубика?
1. Какова вероятность выбора короля из колоды в 36 карт?
2. Какова вероятность выбора красного шара из урны с 3 белыми
шарами и 5 красными?
(На экране занятие по теории вероятностей в 6 классе – решение задач
комбинаторным методом с переходом на графы)
Решение следующих задач может быть проведено на основе
комбинаторного метода, очень искусственного для понимания учащимися,
или с помощью графов, что делает процесс решения достаточно осознанным.
Причем, графический метод не требует знания формул комбинаторики и
способствует развитию аналитических навыков:
Учащиеся очень быстро усваивают технику построения графа,
вычисление вероятностей каждого ребра и выбор благоприятного события.
5
28
1. Какова вероятность того, что среди 3 выбранных
карт из колоды в 36 карт будет только одна бубновой
масти?
Решение:
Ответ: P(A)=
A={только одна карта бубновой масти}
9 27 26 27 9 26 27 26 9

 

 
P(A)=  
36 35 34 36 35 34 36 35 34
3
Ряд задач, которые сопровождаются построением графом
Ответ: P(A)  0,44
В ящике находятся 2 белых и 2 черных шара. Наугад
вынимают 2 шара. Какие комбинации могут получиться и
найти вероятность каждой из них. [6, с.48]
Решение:
1 1 1
1
P(бб) =   ; P(бч) =
2 3 6
3
1
1
P(чб) = ; P(чч) =
3
6
2. Какова вероятность выбора одного красного
шара среди трех выбранных шаров из урны в
предыдущей задаче?
Решение:
А={1 красный цвет}
5 3 2 3 2 5 5
Р(А)=      
8 7 6 8 7 6 28
На данной задаче можно построить еще ряд вопросов,
ответы на которые легко найти, используя данный
граф: B={2 красных}, С={3 одинаковых цвета}и т.д.
(ФИЛЬМ2). Оптимальность образовательного процесса при решении
подобных задач в более старших классах достигается благодаря применению
интерактивной доски. Однажды созданный и разобранный вероятностный
граф в компьютерной программе может быть многократно проанализирован
в соответствии с вопросом задачи, и сделанная выборка нужных ситуаций
позволяет сэкономить время на уроке, посвятив его разбору множества
вопросов, а не вырисовыванию многоструктурного графа. Решение задачи по
курсу теории вероятностей с помощью заготовленного шаблона - графа
позволяет оптимально использовать время для построения графа и
выполнения последующих вычислений, предоставляя при этом возможность
изменять условие задачи, не создавая неаккуратности на доске.
Перед Вами фрагмент занятия 10 класс: вероятностные игры
Считается, что зарождение теории вероятностей началось с того, что
придворный французского короля Де Мере – азартный игрок, обратился к
французскому физику Безу Паскалю со следующим вопросом: Как
справедливо разделить поставленные на кон деньги, если игроки прекратили
игру преждевременно?
ЗАДАЧА Де - Мере. СЛАЙД – графический метод решения задач
СЛАЙД
Изменяя условие задачи (возьмем разные вероятности для игроков
вероятность выигрыша игрока А составляет 0,3, а игрока В 0,7) можно
использовать тот же самый шаблон
4
(видео3)
Введение курса стохастики возможно на основе вероятностных игр, где
также предполагается решение задач с помощью графов. Такой подход
предлагается в разделах тематического сайта.
Большие возможности для анализа условия задачи и понимания сути
решения дает применение графов при решении задач, связанных с
выработкой стратегии игры.
Несложные вычисления позволяют определить наиболее выигрышную
тактику игрока.
Большой интерес у учащихся вызывают задачи жизненно-игровой
ситуациями.
Задача Монти – Холла [1, с.39]. (американская Теле игра «Заключим пари»)
За одной из трех дверей находится приз – автомобиль, за двумя другими –
пустая комната. Играющему предлагается открыть одну из трех дверей.
Игра проходит в три этапа:
1. Игроку предлагают выбрать дверь
2. Ведущий открывает одну из двух оставшихся. (он знает где приз и
никогда не откроет эту дверь)
3. Игроку предоставляется выбор – оставить свой выбор прежним или
изменить его
1 1 1
3 3 2
1 1
Р(Б) =   1  6 
3 3
Р(А)=    6 
1
3
2
3
Построив граф, дети подписывают вероятности каждого ребра,
проводят анализ каждой ситуации и вычисляют вероятности каждого из
возможных исходов.
5
В курсе углубленного изучения алгебры и начал анализа при изучении
темы «Теория вероятностей» рассматривается и понятие условной
вероятности, которая лежит в основе авторского элективного курса энтропия
и информация и решение логических задач.
Курс предполагает 7 занятий по 2 часа, на каждом из которых дается
необходимая информация, и ее практическое приложение в виде задач.
Проводится система устных упражнений, подборка домашнего задания. Все
задачи имеют алгебраическое решение и решение с помощью графа.
Элективные курс может изучаться параллельно с основными занятиями по
теории вероятностей. Рассмотрены научные труды авторов учебников по
теории вероятностей,
которые адаптированы к восприятию учеников,
представлены разные способы решения задач, показан графический способ
решения задач с помощью – ориентированного графа для работы с
условными событиями и условной энтропией. Для вычисления энтропии
также возможно применение графов, что позволяет говорить о реализации
принципа наглядности при конструировании математической модели, в
частности при решении логических задач.
(видео 3)
Также представлена Электронная версия данной разработки –
интерактивное учебное пособие, которое включает в себя
теоретические положения темы, приводятся доказательства свойств
энтропии и количества информации, приведено решение 12 задач на
усвоение понятий энтропии и количества информации, и связанных с ними
формул, свойств, рассматриваются типовые задачи.
Вторая часть
посвящена применению понятий энтропия и
количество информации к решению логических задач о лжецах, на
взвешивание, на угадывание задуманного. Ценность приведенных решений
заключается в том, что они приводятся с помощью вычислительных
операций и имеют наглядное сопровождение схему-граф. Решение подобных
задач относится к идеальному средству развития комбинаторного мышления,
что очень важно при формировании аналитических навыков наших учеников.
6
Материалы данного курса составили основу методического пособия,
которое включено в реестр…,,,,………. Методический семинар для учителей
математики школ города Рыбинска подтверждает практическую значимость
графического метода решения задач по курсу теория вероятностей.
Таким образом, целесообразно возвращение вопросов стохастики в
курс средней школы сопровождать не только комбинаторным методом
решения задач, а предоставлять возможность обучающимся конструировать
графы и с помощью их проводить решение большого круга задач.
На данном этапе моей работы рассмотрены вопросы теории вероятностей,
вопросы математической статистики находятся в разработке
Литература.
1. Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх.
Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов: учебное
пособие. Ярославль: Академия развития, 2006. - 192 с.
2. Афанасьев В.В. Теория вероятностей: Учебное пособие для студентов
вузов, обучающихся по специальности «математика». М.: Владос, 2007.
– 350 с.
3. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное
пособие. Я.: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004.- 250 с.
4. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса:
Учебное пособие для учащихся шк. И Кл. с углубленным изучением
математики. М.: Просвещение, 1996. – 288 с.
5. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая
обработка данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. М.:
Мнемозина, 2004. – 112 с.
6. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие
для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение,
2005. – 112 с.
7. Шадриков В.Д. Подготовка учителя математики: Инновационные
подходы: Учеб.пособие.М.:Гардарики, 2002. – 383 с.
7