Ответы и Решение КР1_12 22.12

Фамилия, Имя
Группа
КР № 1.1
Дата:
Задача 1. Случайные события.
22.10.12
Приведите верные утверждения:
P(AUВ) =
P(AUΩ) = 1
P(A∩В) =
P(A∩Ω) =
P(A|B) =
События А и В независимые, если
Критерий независимости событий А и В:
Задача 2. Случайные величины X и Y .
М[2 X + 3 Y+c] =
Cov [X; X] = D[X]
Cor [X; -X] = - 1
P(AU ) =
P(A∩ ) = 0
Укажите верные преобразования:
D[2 X + 3] =
Cov [2 X; -X] = - 2 D[X]
Cor [X; 2 X + 3] = 1
Задача 3. Случайные величины X и Y.
Укажите верные значения для:
а) Дискретное распределение. X Bi(8; 0,25); Y = X + 2. M[Y] = 4
P(Y < 3) = P(X = 0) = p0 = (0,75)8 = 0,100
P(X < 3 | X > 0) **-= P(0<X<3)/P(X>0) =
=(p1+ p2)/(1- p0) = [8(0,75)7(0,25) + 28(0,75)6(0,25)2] / [1-(0,75)8] = [0,267+0,311]/0,900= 0,64
б) Непрерывное распределение. X N(5; 22).
M[2X+5] =15;
P(X< 3) =P(z0<-1)=0,5-0,341= 0,16;
P(X < 5 |X >3) = P(3<X<5)/P(X>3) = P(-1<z0<0)/P(z0>-1) = 0,341/0,841 = 0,405.
Задача 4. Формула полной вероятности (ФПВ) и Формула Бейеса (ФБ).
Коллегиальный орган составляют три фракции (H1 ; H2 ; H3) в пропорции (10 : 6 : 4):
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H1) = 0,2.
В голосовании не приняли участия , соответственно, 20%; 10% и 10% от общей
численности каждой фракции. P( |H1) = 0,2; P( |H2) = 0,1; P( |H3) = 0,1.
1. Какой процент составляют «не принявшие участия в голосовании» ? (ФПВ):
P( ) = 0,5*0,2 + 0,3*0,1 + 0,2 *0,1 = 0,1 + 0,03 + 0,02 = 0,15 или 15%
2. В какой пропорции распределились участники голосования (B) от трех фракций? (ФБ):
P(B| H1) = 0,5*0,8/0,85 = 0,471;
P(B| H2) = 0,3*0,9/0,85 = 0,318;
P(B| H3) = 0,2*0,9/0,85 = 0, 212;
Пропорции: В долях единицы (0,47: 0,32 : 0,21) от участников голосования.
В долях от численности коллегиального органа: (0,40 : 0,27 : 0,18).
3. На голосование вынесен проект первой фракции. Вторая фракция голосовала против
проекта. Из третьей фракции за голосовали 50%.
P(B+| H1) = 1;
P(B+| H2) = 0;
P(B+| H3) = 0,5.
Какая доля, «принявших участие в голосовании» (B) поддержали (B+) проект? (ФПВ):
P(B+) = 0,47*1 + 0,32*0 + 0,21*0,5 = 0,575 или
57,5%.
Фамилия, Имя
Группа
КР № 1.2
Дата:
Задача 1. Случайные события.
22.10.12
Приведите верные утверждения:
P(AUВ) =
P(AUΩ) =
P(A∩В) =
P(A∩Ω) =
P(A|B) =
События А и В независимые, если
Критерий независимости событий А и В:
Задача 2. Случайные величины X и Y .
М[5 X + 3 Y+c] =
Cov [X; X] = D[X]
Cor [-X; X] = - 1
P(AU ) = 1
P(A∩ ) = 0
Укажите верные преобразования:
D[5 X + 3] =
Cov [-2 X; X] = - 2 D[X]
Cor [X; 2 X + 3] = 1
Задача 3. Случайные величины X и Y.
Укажите верные значения для:
а) Дискретное распределение. X Bi(10; 0,2); Y = X + 2. M[Y] = 7
P(Y < 3) = P(X = 0) = p0 = (0,8)10 = 0,107;
P(X < 3|X > 0) = P(0<X<3)/P(X>0) =
= (p1+ p2)/(1- p0) =[10(0,8)9(0,2) + 45(0,8)8(0,2)2] / [1-(0,8)8] = [0,268+0,302]/0,893= 0,64
б) Непрерывное распределение X
N(10; 52).
M[2X - 5] = 15
P(X < 5) = P(z0<-1) = 0,5-0,341= 0,16;
P(X < 5 | X > 0) = P(0<X<5)/P(X>0) = P(-2<z0<-1)/P(z0>-2) = (0,159-0,023)/0,977 = 0,14
Задача 4. Формула полной вероятности (ФПВ) и Формула Бейеса (ФБ).
Коллегиальный орган составляют три фракции (H1 ; H2 ; H3) в пропорции (10 : 5 : 5).
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,25; P(H1) = 0,25.
В голосовании не приняли участия , соответственно, 20%; 10% и 5% от общей
численности каждой фракции. P( |H1) = 0,2; P( |H2) = 0,1; P( |H3) = 0,05.
1. Какой процент составляют «не принявшие участия в голосовании» ? (ФПВ):
P( ) = 0,5*0,2 + 0,25*0,1 + 0,25 *0,05 = 0,1 + 0,025 + 0,0125 = 0,14 или 14%
2. В какой пропорции распределились участники голосования от трех фракций? (ФБ):
P(H1| B) = 0,5*0,8/0,86 = 0,465; P(H2| B)= 0,25*0,9/0,86 = 0,262;
P(H3| B)= 0,25*0,95/0,86 = 0, 276; Пропорция: (0,46: 0,26 : 0,28).
3. На голосование вынесен проект первой фракции. Вторая фракция голосовала против
проекта. Из третьей фракции за (B+) голосовали 50%.
P(B+| H1) = 1;
P(B+| H2) = 0;
P(B+| H3) = 0,5.
Какая доля, «принявших участие в голосовании» поддержали проект (B+)? (ФПВ):
P(B+) = 0,46*1 + 0,26 * 0 + 0,28*0,5 = 0,60
или 60%.
Фамилия, Имя
Группа
КР № 1.3
Дата:
Задача 1. Случайные события.
22.10.12
Приведите верные утверждения:
P(AUВ) =
P(AUΩ) = 1
P(A∩В) =
P(A∩Ω) =
P(A|B) =
События А и В независимые, если
Критерий независимости событий А и В:
Задача 2. Случайные величины X и Y .
М[3 X + 2 Y+c] =
Cov [X; X] = D[X]
Cor [X; -X] = - 1
P(AU ) =
P(A∩ ) = 0
Укажите верные преобразования:
D[3 X + 2] =
Cov [3 X; -X] = - 3 D[X]
Cor [X; -3 X + 2] = - 1
Задача 3. Случайные величины X и Y.
Укажите верные значения для:
а) Дискретное распределение. X Bi(12; 0,25); Y = X + 2. M[Y] = 5;
P(Y < 3) = P(X = 0) = p0 = (0,75)12 = 0,032; P(X < 3|X>0) = P(0<X<3)/P(X>0) =
= (p1+ p2)/(1- p0) =[12(0,75)11(0,25)+66(0,75)10(0,25)2]/[1-(0,75)8]=[0,127+0,232]/0,968= 0,37
б) Непрерывное распределение. X
N(8; 42).
M[2X - 5] = 11;
P(X < 5) = P(z0 <-0,75)=0,5-0,273 = 0,23;
P(X < 4|X > 0)=P(0<X< 4)/P(X>0) = P(-2<z0<-1)/P(z0>-2) = (0,477-0,341)/0,977 = 0,14
Задача 4. Формула полной вероятности (ФПВ) и Формула Бейеса (ФБ).
Коллегиальный орган составляют три фракции (H1 ; H2 ; H3) в пропорции (10 : 6 : 4).
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H1) = 0,2.
В голосовании не приняли участия , соответственно, 20%; 5% и 10% от общей
численности каждой фракции. P( |H1) = 0,2; P( |H2) = 0,05; P( |H3) = 0,1.
1. Какой процент составляют «не принявшие участия в голосовании» ? (ФПВ):
P( ) = 0,5*0,2 + 0,3*0,05 + 0,2 *0,1 = 0,1 + 0,015 + 0,02 = 0,135 или 13,5%
2. В какой пропорции распределились участники голосования (B) от трех фракций? (ФБ):
P(H1| B) = 0,5*0,8/0,865 = 0,462; P(H2| B) = 0,3*0,95/0,865 = 0,329;
P(H3| B) = 0,2*0,9/0,865 = 0, 208;
Пропорция: (0,46: 0,33 : 0,21).
3. На голосование вынесен проект первой фракции. Вторая фракция голосовала против
проекта. Из третьей фракции за (B+) голосовали 50%.
P(B+| H1) = 1;
P(B+| H2) = 0;
P(B+| H3) = 0,5.
Какая доля, «принявших участие в голосовании» поддержали проект (B+)? (ФПВ):
P(B+) = 0,46*1 + 0,33 * 0 + 0,21*0,5 = 0,565
или 56,5%.
Фамилия, Имя
Группа
КР № 1.4
Дата:
Задача 1. Случайные события.
22.10.12
Приведите верные утверждения:
P(AUВ) =
P(AUΩ) = 1
P(A∩В) =
P(A∩Ω) =
P(A|B) =
События А и В независимые, если
Критерий независимости событий А и В:
Задача 2. Случайные величины X и Y .
М[4 X + 3 Y+c] =
Cov [X; X] = D[X]
Cor [X; -X] = - 1
P(AU ) =
P(A∩ ) = 0
Укажите верные преобразования:
D[4 X + 3] =
Cov [- 4 X; X] = - 4 D[X]
Cor [X; 4 X + 3] = 1
Задача 3. Случайные величины X и Y.
Укажите верные значения для:
а) Дискретное распределение. X Bi(10; 0,4); Y = X + 5.
M[Y] = 9;
P(Y < 6) = P(X = 0) = p0 = (0,6)10 = 0,006; P(X < 3|X>0) = P(0<X<3)/P(X>0) =
= (p1+ p2)/(1- p0) =[10(0,6)9(0,4)+45(0,6)8(0,4)2]/[1-(0,6)10]=[0,040+0,121]/0,994= 0,16
б) Непрерывное распределение. X
N(4; 22).
M[2X - 5] = 3;
P(X < 6) = P(z0 < 1) = 0,5 + 0,341 = 0,84;
P(X < 6 | X > 4)=P(4<X< 6)/P(X>4)=P(0<z0<1)/P(z0>0) = 0,341/0,5 = 0,68
Задача 4. Формула полной вероятности (ФПВ) и Формула Бейеса (ФБ).
Коллегиальный орган составляют три фракции (H1 ; H2 ; H3) в пропорции (10 : 6 : 4).
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H1) = 0,2.
В голосовании не приняли участия , соответственно, 20%; 20% и 10% от общей
численности каждой фракции. P( |H1) = 0,2; P( |H2) = 0,2; P( |H3) = 0,1.
1. Какой процент составляют «не принявшие участия в голосовании» ? (ФПВ):
P( ) = 0,5*0,2 + 0,3*0,2 + 0,2 *0,1 = 0,1 + 0,06 + 0,02 = 0,18 или 18%
2. В какой пропорции распределились участники голосования (B) от трех фракций? (ФБ):
P(H1| B) = 0,5*0,8/0,82 = 0,488; P(H2| B) = 0,3*0,8/0,82 = 0, 293;
P(H3| B) = 0,2*0,9/0,82 = 0, 220; Пропорция: (0,49: 0,29 : 0,22).
3. На голосование вынесен проект первой фракции. Вторая фракция голосовала против
проекта. Из третьей фракции за (B+) голосовали 50%.
Какая доля, «принявших участие в голосовании» поддержали проект (B+)? (ФПВ):
P(B+) = 0,49*1 + 0,29 * 0 + 0,22*0,5 = 0,60
или 60%.
Фамилия, Имя
Группа
КР № 1.5
Дата:
Задача 1. Случайные события.
22.10.12
Приведите верные утверждения:
P(AUВ) =
P(AUΩ) = 1
P(A∩В) =
P(A∩Ω) =
P(A|B) =
События А и В независимые, если
Критерий независимости событий А и В:
Задача 2. Случайные величины X и Y .
М[5 X + 2 Y+c] =
Cov [X; X] = D[X]
Cor [X; -X] = - 1
P(AU ) =
P(A∩ ) = 0
Укажите верные преобразования:
D[5 X + 2] =
Cov [-5 X; X] = - 5 D[X]
Cor [X; 5 X + 3] = 1
Задача 3. Случайные величины X и Y.
Укажите верные значения для:
а) Дискретное распределение. X Bi(16; 0,25); Y = X + 2.
M[Y] = 6;
P(Y < 3) = P(X = 0) = p0 = (0,75)16 = 0,01; P(X < 3|X>0) = P(0<X<3)/P(X>0) =
= (p1+p2)/(1-p0) =[16(0,75)15(0,25)+120(0,75)14(0,25)2]/[1-(0,75)16]=[0,053+0,121]/0,994=0,175
б) Непрерывное распределение. X
N(8; 22);
M[2X - 5] = 11;
P(X < 6) = P(z0 <-1) = 0,5 - 0,341 = 0,16;
P(X < 10|X > 8) = P(8<X<10)/P(X>8) = P(0< z0 <1)/P(z0>0) = 0,341/ 0,5 = 0,68.
Задача 4. Формула полной вероятности (ФПВ) и Формула Бейеса (ФБ).
Коллегиальный орган составляют три фракции (H1 ; H2 ; H3) в пропорции (5 : 3 : 2):
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H1) = 0,2.
В голосовании не приняли участия, соответственно, 20%; 10% и 10% от общей
численности каждой фракции.
1. Какой процент составляют «не принявшие участия в голосовании» ? (ФПВ):
P( ) = 0,5*0,2 + 0,3*0,1 + 0,2 *0,1 = 0,1 + 0,03 + 0,02 = 0,15 или 15%.
2. В какой пропорции распределились участники голосования (B) от трех фракций? (ФБ):
P(H1| B) = 0,5*0,8/0,85 = 0,471; P(H2| B) = 0,3*0,9/0,85 = 0, 318;
P(H3| B) = 0,2*0,9/0,85 = 0, 212; Пропорция: (0,47: 0,32 : 0,21).
3. На голосование вынесен проект первой фракции. Вторая фракция голосовала против
проекта. Из третьей фракции за (B+) голосовали 50%.
Какая доля, «принявших участие в голосовании» поддержали проект (B+)? (ФПВ):
P(B+) = 0,47*1 + 0,32 * 0 + 0,21*0,5 = 0,575
или 57,5%.