3

3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Институт управления, экономики и финансов
Кафедра ЭММ
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
по дисциплине «Теория игр в экономике»
для проведения практических занятий
и контроля самостоятельной работы
студентов, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика»
профилей: Бухгалтерский учет, Финансы и кредит,
Экономика труда, Экономика и организация
предприятия, Налоги и налогообложение
Казань 2014
4
Составитель: к.т.н., доцент Костромин А.В.
Рецензент: д.т.н., профессор Исмагилов И.И.
Обсуждена
на
заседании
«22»_ноября_ 2013 г, протокол №.2
кафедры
статистики
и
эконометрики
5
Введение
В последние три десятилетия наблюдается стремительное повышение
интереса к теории игр и значительное возрастание ее роли. Без нее в настоящее время уже немыслима современная экономическая теория, причем область применения теории игр постоянно расширяется.
С экономической точки зрения суть теории игр в том, чтобы помочь
экономистам понимать и предсказывать то, что может происходить в экономических ситуациях, и сейчас вряд ли можно найти область экономики, где
основные концепции теории игр не были бы необходимыми для понимания
современной экономической литературы.
Данная методическая разработка способствует системному изучению
дисциплины «Теория игр в экономике» студентами, обучающимися по
направлению 080100.62 «Экономика» и по специальности 080105.65 «Финансы и кредит» (с сокращенным сроком обучения) и включает вопросы для обсуждения, практические задания, контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы студентов, список литературы.
Практические занятия по данной дисциплине проводятся с целью изучения и усвоения студентами теоретических вопросов, связанных с применением теории игр к различным вопросам экономики. Уровень усвоения студентами теоретического материала проверяется посредством опроса по основным
вопросам темы.
Решение задач в рамках практических занятий позволяет студентам
применить теоретические знания, полученные на лекциях, к анализу различных ситуаций в играх в условиях конфликта или несовпадения интересов.
Контрольные вопросы и задания предназначены для проверки качества
усвоения лекционного материала. Ответы на контрольные вопросы и задания
готовятся студентами самостоятельно и проверяются преподавателями на
практических занятиях.
6
Задания для контроля самостоятельной работы призваны закрепить
полученные технические навыки решения типовых задач, разобранных на
практических занятиях.
7
Раздел 1. Задания для самостоятельных, практических занятий и
самостоятельной работы студентов
Тема 1. Введение в теорию игр. Матричные игры (3 занятия)
Занятие 1
Семинар в интерактивной форме в виде решения и обсуждения следующих ситуационных задач:
1. Каждый из двух партнеров, не зная хода другого, называет цифру 1
или 2, причем при совпадении названных цифр второй платит первому одну
единицу выигрыша, а в противном случае второй получает от своего противника столько же.
Представить игру в матричной форме и пояснить, как влияет решение,
принимаемое каждым игроком, на поведение партнера.
2. Игроки выбирают целые числа от 1 до k. Если первый выбрал х, а
второй у, то первый получает (х-у) единиц выигрыша, если х≥у, и платит (х+у)
единиц выигрыша, если х<у. Рассмотреть случай, когда k=5.
Представить игру в матричной форме.
3. Первый игрок называет одно их чисел 1 или 2, а второй – одно из
чисел 1, 2, 3. При этом каждый их партнеров пытается угадать, какое из чисел
назовет противник. Если оба партнера угадали или ошиблись одновременно,
то игра заканчивается вничью. Если же угадал один из них, то он получает
выигрыш, равный числу, названному противником.
Представить игру в матричной форме.
4. Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и наличие седловых точек. В последнем случае определить оптимальное решение игры.
 0,3 0,6 0,8 


1)  0,9 0,4 0,2 
 0,7 0,5 0,4 


4 5 6


2)  6 7 4 
5 2 3 


8 3 9 4


3)  6 5 8 7 
3 4 5 6


4

3
4) 
7

2

5 8 7 9 

4 6 5 6 
6 10 8 11

5 4 7 3 
8
4

7
5) 
7

8

9 5 3

8 6 9
4 2 6

3 4 7 
2

6
6) 
3

2

5 3

4 5
7 6

6 4 
5. Исследовать игры, заданные следующими матрицами:
8

5
1) 
4

7

6 4 7 7

4 3 4 6
3 2 3 4

2 6 5 9 
2

4
2) 
3

3

1 3  2

1
5 1 
 2 4  3

 1 5 2 
8

7
3) 
8

6

4 3 7

6 8 9
2 4 6

3 2 5 
В ходе выступления докладчик разбирает постановку задачи в играх,
предложенных в заданиях 1,2 и 3, и отвечает на вопросы:
1. В чем заключаются стратегии игроков?
2. Сколько стратегий у игроков?
3. Как можно представить выигрыши игроков?
При рассмотрении задания 4 выступающий отвечают на вопросы:
1. Как определяется нижняя цена игры?
2. Как определяется верхняя цена игры?
3. В каком случае можно говорить о наличии в матрице седлового элемента?
4. Всегда ли седловой элемент в матрице единственный?
При решении задачи 5 выступающий отвечает на вопросы:
1. Когда стратегия 1-го игрока является невыгодной?
2. Когда стратегия 2-го игрока является невыгодной?
3. В каком порядке следует исключать невыгодные стратегии игроков
и что при этом надо учитывать каждому игроку?
4. Когда процесс отбрасывания стратегий заканчивается?
5. Как в записи решения игры учитывается отбрасывание стратегий?
При подведении итогов преподаватель отмечает и анализирует ошибки
выступающих, а в заключение дает оценки каждому участвующему в обсуждении в соответствии с активностью, грамотностью постановки вопросов и
9
правильностью ответов докладчика и выводов по теме доклада, а также дополнений от участвующих в обсуждении.
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить основные способы формализации предпочтений игроков и
функций их полезности.
2. Сформулировать теорему об ожидаемой полезности.
3. Показать, как формулируется полезность денег.
4. Изложить основные положения теории Сэвиджа.
Занятие 2
Семинар в интерактивной форме в виде решения и обсуждения следующих ситуационных задач:
1. Решить и привести графическую иллюстрацию игр, заданных следующими матрицами:
 2 2 

1) 
 1  1
 2 3

2) 
1 2
 0 3

3) 
 3 0
 4  2

4) 
1 3 
 0,4 0,2 

5) 
 0,1 0,5 
1 0 

6) 
 2 1
2. Найти решение следующих игр:
 8 5 3 6 7
 2 4 0 3 5

 3)
2) 
 4 7 9 5 8
 6 3 8 4 2
 7  1
 2 8
 6 4






 2 5


4
5
 4 3
 5 3
 7 1
5) 
6)  1
5  7)  0 6  8)  3 6 






3 7


3

2
3
4
1
8






 4 6


2





1

 5 2
 2 5
1) 
5 3 6

4 1 8
 1

 0
9)   1

 2
 1

4 5

4 2 
 1

1
0

 3
2 
7 1  2
4

4) 
2 
0 3 4
В ходе выступления докладчик разбирает постановку задачи в играх,
предложенных в заданиях 1 и 2, и отвечает на вопросы:
1. Как теорема об активных стратегиях позволяет записать задачу относительно 1-го и 2-го игроков?
2. Каким способом можно найти решение записанной системы уравнений?
10
3. Что представляют собой эквивалентные преобразования платежной
матрицы?
4. Чем отличаются графические представления решения для 1-го и для
2-го игроков?
5. Какую роль играют графические построения при решении игры, в
которой у одного из игроков больше двух стратегий? Какая теорема при этом
используется?
6. Как графически реализуется наличие в игре седлового элемента?
При подведении итогов преподаватель отмечает и анализирует ошибки выступающих, а в заключение дает оценки каждому участвующему в обсуждении в соответствии с активностью, грамотностью постановки вопросов и
правильностью ответов докладчика и выводов по теме доклада, а также дополнений от участвующих в обсуждении.
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить нормальную форму игры и развернутую форму игры, в чем
их отличия. Привести примеры.
2. Изучить понятие стратегии, информационного множества, формальное описание игры в развернутой форме.
3. Разобрать, в чем состоит приведенная нормальная форма и гибридная форма игры.
Занятие 3
Вопросы для обсуждения
1. Представление матричной игры в эквивалентных формах.
2. Решение матричной игры общего вида с помощью задачи линейного
программирования.
3. Критерии для решения статистических игр.
Практические задания
11
1. Решить с помощью построения пары двойственных задач линейного программирования игры, платежные матрицы которых приведены в задаче 4 занятия 1.
Указание. Для решения задачи линейного программирования используется инструмент Поиск
решения пакета Анализ данных в MS Excel/
2. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую
оно может сразу отправить потребителю (стратегия А), отправить на склад для
хранения (стратегия Б) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия
В) для длительного хранения.
В свою очередь, потребитель может немедленно приобрести эту продукцию (стратегия I), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени
(II) или затребовать ее после длительного периода времени (III).
Если предприятие выберет стратегию А, то дополнительные затраты на
хранение и обработку продукции не потребуются.
Однако, если при этом потребитель применит стратегию II или тем более III, то предприятие потерпит убытки из-за порчи части продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию В, а потребитель – стратегию I, то
возникнут неоправданные расходы на консервацию продукции.
Определить оптимальное соотношение между продукцией, отправляемой потребителю на склад и на дополнительную обработку, руководствуясь
«минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка), при
следующей матрице затрат:
I
II
III
А
2
5
8
Б
7
6
10
В
12
10
8
12
3. Для отопления помещения необходимо приобрести топливо. Однако
расход топлива и цены на него зависят от погоды в зимнее время (мягкая,
нормальная или суровая зима; см. таблицу):
Таблица 1. Потребность в топливе и его цена для одного помещения.
Погода
Мягкая
Нормальная
Суровая
Расход, тонн
5
10
18
Цена, ден.ед./тонна
10
16
20
В настоящее время уголь может быть приобретен по минимальной
цене (10 ден.ед./т), и неиспользованный излишек угля можно реализовать весной по цене 5 ден.ед./т. Можно избрать одну из трех стратегий в закупке угля:
5 т, 10 т и 18 т.
Предполагая, что подобных помещений имеется 100, определить оптимальную стратегию в образовании запасов, руководствуясь «минимаксным
критерием».
4. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов
(А, Б и В). Их реализация, а следовательно, и получаемая магазином прибыль
зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагая, что последний может
характеризоваться тремя состояниями (I, II, III) и учитывая, что спрос связан с
изменением моды и прогнозирование его невозможно, определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей:
I
II
III
А
20
15
10
Б
16
12
14
В
13
18
15
5. Выполнить контрольную работу по методам решения матричных игр
в виде теста в программе MyTest.
Контрольные вопросы
13
1. Что такое ход игрока?
2. Что такое стратегия игрока и чем она отличается от хода?
3. Что называют информационным множеством игрока?
4. В чем состоит задача теории игр?
5. Что является решением игры?
Задания для самостоятельной работы
1. Выполнить задание 1 из раздела 2.
2. Выполнить задание 2 из раздела 2.
3. Выполнить задание 3 из раздела 2.
Рекомендуемая литература
1. Акимов В.П. Основы теории игр: учеб. пособие / - М.: МГИМО –
Университет, 2008.- С.3-5, 8-21.
2. Данилов В.И.Лекции по теории игр: учеб. пособие / - М.: РЭШ,
2002.- C. 7-13, 19-23, 29-32.
3. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2007.- С. 10-11, 30-31.
4. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный
курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет, 2001.- C. 9-12, 23-28.
Тема 2. Статические игры с полной информацией (3 занятия)
Занятие 1.
Семинар в интерактивной форме в виде решения и обсуждения следующих ситуационных задач:
1. «Пешеход и Автомобилист». Каждый из игроков имеет две стратегии: проявлять осторожность (А) и не проявлять осторожности (В). От выбранных стратегий зависит вероятность ДТП (автомобиль собьет пешехода).
Если оба ведут себя неосторожно, вероятность ДТП равна ½, если только один
неосторожен – 1/10, а если оба осторожны, то 1/100. При столкновении ущерб
пешехода составит 1000 у.е., автомобилиста – 200 у.е. Осторожное поведение
14
на дороге для обоих связано с издержками, равными 100 у.е. Представить игру
в нормальной форме
В задачах 2 – 4 найти все равновесия Нэша:
2.
Два игрока делят между собой 4 ореха. Каждый делает свою заяв-
ку на орехи: 1, 2 или 3. Если s1  s2  4 , каждый получает, сколько просил, в
противном случае оба не получают ничего.
3. Два преподавателя пишут учебник. Качество учебника q зависит
от усилий (е1 и е2 соответственно) согласно формуле q  2e1  e2  . Целевая
функция каждого имеет вид ui  q  ei , т.е. качество минус усилия. Можно
выбирать усилия на уровне 1, 2 или 3.
4. Формируются два избирательных блока, которые будут претендовать на места в законодательном собрании города. Каждый из блоков может
выбрать одну из трех ориентаций: «левую» (L), «правую» (R) или «экологическую» (E). Каждая из ориентаций может привлечь 50%, 30% и 20% избирателей соответственно. Известно, что если интересующая
их ориентация не
представлена на выборах, то избиратели из соответствующей группы не будут
голосовать. Если блоки выберут одну и ту же ориентацию, то голоса соответствующей группы избирателей разделятся поровну между ними. Цель каждого
блока – получить наибольшее количество голосов. Составить матрицу игры и
найти все равновесия Нэша.
5. Проанализируйте игру «Выбор компьютера» и ответьте на следующие вопросы:
(А) При каких условиях на параметры a,b и с будет существовать равновесие в доминирующих стратегиях? Каким будет это равновесие?
(В) При каких условиях на параметры равновесием Нэша будет исход,
когда оба выбирают IBM? Когда это равновесие единственно? Может ли оно
являться также равновесием в доминирующих стратегиях?
15
6. Каждый из двух соседей выбирает, будет он подметать подъезд раз
в неделю или нет. Пусть каждый оценивает выгоду для себя от двойной чистоты в а>0 денежных единиц, выгоду от одинарной чистоты – в b>0 единиц, от
неубранного подъезда – в 0, а свои затраты на личное участие в уборке – в с>0.
При каких соотношениях между a,b и с в игре сложатся равновесия вида: (0)
никто не убирает, (1) один убирает, (2) оба убирают?
В ходе выступления докладчик разбирает постановку задачи в играх,
предложенных в заданиях 1-6, и отвечает на вопросы:
1. Из каких компонент состоит нормальная форма игры и каково их
содержание в рассматриваемых задачах?
2. Каким образом выявляются доминируемые стратегии игроков? Чем
процесс отбрасывания стратегий в статических играх с полной информацией
отличается от аналогичного процесса в матричных играх и что между ними
общего?
3. Как построить отображения отклика игроков в рассматриваемых
задачах?
4. В чем смысл определения равновесия Нэша?
При подведении итогов преподаватель отмечает и анализирует ошибки выступающих, а в заключение дает оценки каждому участвующему в обсуждении в соответствии с активностью, грамотностью постановки вопросов и
правильностью ответов докладчика и выводов по теме доклада, а также дополнений от участвующих в обсуждении.
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить понятия поведенческих и смешанных стратегий; траектории игры; совершенной памяти.
2. Рассмотреть понятие рациональных игроков: предпосылки, понятие решения, необайесовский подход.
Занятие 2.
16
Семинар в интерактивной форме в виде решения и обсуждения следующих ситуационных задач:
1. Каждый из трёх игроков выбирает одну из сторон монеты – «орла»
или «решку». Если выборы игроков совпали, то каждому выдается по 1 рублю.
Если выбор одного из игроков отличается от выбора двух других, то он выплачивает им по одному рублю.
Найти все равновесия Нэша.
2. Три игрока выбирают одну из трех альтернатив: А,В или С. Альтернатива выбирается по правилу простого большинства. Каждый из игроков голосует только за одну альтернативу. Если ни одна из альтернатив не наберет
большинства, то будет выбрана альтернатива А. выигрыши игроков в зависимости от выбранной альтернативы следующие:



u
A

2
,u
B

1
,u
C

0
,
1
1
1



u
A

0
,u
B

2
,u
C

1
,
2
2
2



u
A

1
,u
B

0
,u
C

2
.
3
3
3
Найти все равновесия Нэша.
3. Два игрока размещают точку на плоскости. Один выбирает абсциссу, другой – ординату. Их выигрыши заданы функциями:
 A
B 
C 
u x  x , y    x 2  x  y  a   y 2 , u y  x, y    y 2  y  x  b   x 2 ,
u x  x, y    x 2  2ax y  1  y 2 , u y  x, y    y 2  2by x  1  x 2 ,
u x  x, y    x  y / x  1 / 2 y 2 , u y  x, y    y  x / y  1 / 2 x 2 .
(a,b – параметры).
Найти равновесия Нэша.
4. «Мороженщики на пляже». Два мороженщика в жаркий день продают на пляже мороженое. Пляж можно представить как единичный отрезок.
Мороженщики выбирают, в каком месте пляжа им находиться, т.е. выбирают
координату si  0,1. Покупатели равномерно рассредоточены по пляжу и покупают мороженое у ближайшего к ним продавца. Если s1  s 2 , то первый обслуживает s1  s2  / 2 долю пляжа, а второй - 1  s1  s2  / 2 . Если мороженщи-
17
ки расположатся в одной точке s1  s2  , покупатели поровну распределятся
между ними. Каждый мороженщик стремится обслуживать как можно большую долю пляжа (цену мороженого они менять не могут).
Найти равновесие Нэша.
5. «Международная торговля». Две страны одновременно выбирают
уровень таможенных пошлин si. Объем торговли между странами х зависит от
установленных пошлин как x=1-s1-s2. Цель каждой страны – максимизировать
доходы ui=six. Найти равновесие Нэша.
6. Рассмотрим две конечные версии модели дуополии Курно. В первой
версии будем считать, что каждая фирма должна выбирать между половиной
монопольного объема выпуска qm / 2  a  c  / 4 или равновесным по Нэшу
объемом q *  a  c  / 3 . Другие объемы выпуска невозможны. Покажите, что
получившаяся игра эквивалентна дилемме заключенного: у каждого игрока
есть строго доминирующая стратегия, но равновесие хуже для обоих, чем кооперативный исход. Во второй версии будем считать, что каждая фирма может
выбрать один из трех объемов выпуска: qm/2, q* или q  . Найдите такое значение q  , чтобы эта игра была эквивалентна модели Курно в том смысле, что
единственным равновесием Нэша в ней является (q*,q*), которое для обоих
хуже кооперативного исхода, и ни у кого нет доминирующей стратегии.
7. Рассмотрим дуополию Курно с обратной функцией спроса P(Q)=a –
Q, но с асимметричными затратами с1 и с2. Каково равновесие Нэша при условии 0<ci<a/2 для каждой фирмы? А что, если c1<c2<a, но 2с2>a+c1?
В ходе выступления докладчики разбирают постановку задачи в играх,
предложенных в заданиях 1-7, и отвечает на вопросы:
1. Как использовать смысл определения равновесия Нэша применительно к нахождению равновесия в конечной игре трех игроков?
2. Что такое условия 1-го порядка применительно к нахождению функций отклика игроков?
18
3. Как найти равновесие Нэша через функции отклика ироков?
4. Что следует предпринять в случае, когда наилучший ответ игрока
точно не реализуется?
5. Чем оптимальный ответ отличается от ε-оптимального ответа игрока?
6. Как записывается функции выигрыша игроков в классической
дуополии Курно и в дуополии Курно с асимметричными затратами?
7. Чем отличаются функции отклика игроков при наличии асимметрии
затрат от случая одинаковых затрат?
При подведении итогов преподаватель отмечает и анализирует ошибки
выступающих, а в заключение дает оценки каждому участвующему в обсуждении в соответствии с активностью, грамотностью постановки вопросов и
правильностью ответов докладчика и выводов по теме доклада, а также дополнений от участвующих в обсуждении.
Задания для самостоятельной работы.
1. Разобрать разновидности доминируемых стратегий.
2. Изучить процесс последовательного удаления слабо доминируемых
стратегий.
3. Определить, что понимается под рационализуемыми стратегиями.
Занятие 3.
Вопросы для обсуждения
1. Смешанные стратегии и смешанное расширение игры.
2.
Нахождение равновесий Нэша в смешанных стратегиях для игры
2х2
3. Графическая иллюстрация равновесий Нэша в игре 2х2.
4.
Расширение методики нахождения равновесия Нэша на игры раз-
мером 3х3.
Практические задания
19
1. Найдите равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях для игры:
L
C
R
T
2,0
1,1
4,2
M
3,4
1,2
2,3
B
1,3
0,2
3,0
Указание. В этой игре нужно предварительно отбросить доминируемые стратегии игроков.
2. Покажите, что в следующих двух играх нет новых равновесий Нэша
в смешанных стратегиях (кроме равновесий в чистых стратегиях):
М
С
T
M
B
3. У каждой
М
-1,-1
0,-9
L
0,4
4,0
3,5
из двух фирм есть
С
-9,0
-6,-6
C
R
4,0
5,3
0,4
5,3
3,5
6,6
по одной вакансии на однотипную
работу. Предположим, что они предлагают разную зарплату: фирма i предлагает зарплату wi , причем w1 / 2  w2  2w1 . Предположим, что есть двое рабочих,
которые могут одновременно подать заявку, причем только в одну фирму. Если они подали заявки в разные фирмы, то оба получают работу. Если они подали заявки в одну и ту же фирму, то кто–то один из них (по жребию) получает работу, а другой остается без работы. Найти равновесия Нэша в этой игре:
Заявка в 1
4.
Заявка в 2
w1 / 2, w1 / 2
w1, w2
Заявка в 1
w2 , w1
w2 / 2, w2 / 2
Заявка в 2
Два игрока играют в следующую игру. Каждый называет один из
трех предметов: «камень», «ножницы» или «бумага». Игрок, назвавший камень, побеждает игрока, назвавшего ножницы (ножницы тупятся о камень),
игрок, назвавший ножницы, побеждает игрока, назвавшего бумагу (ножницы
режут бумагу), а игрок, назвавший бумагу, побеждает игрока, назвавшего камень (камень можно завернуть в бумагу). Выигравший игрок получает 1, проигравший получает –1. Если названные предметы совпали, то каждый игрок
получает 0. Найти все равновесия Нэша, в том числе в смешанных стратегиях.
20
5. Идет война между синими и красными. Генерал синих хочет занять
город красных, имея две роты. К городу можно подойти по одной из двух дорог. Генерал синих каждую свою роту может послать по любой из дорог. Генерал красных располагает тремя ротами и может приказать любой роте оборонять любую дорогу. Синие займут город в том случае, если на одной из дорог у них будет больше рот, чем у красных. При этом синие получат выигрыш
1, а красные выигрыш - 1. Если синие не займут город, то выигрыши составят
–1 и 1 соответственно. Найти равновесие Нэша в смешанных стратегиях.
6. Выполнить контрольную работу на компьютере в форме теста в программе MyTest.
Контрольные вопросы
1. Как графически отображаются выигрыши покупателей и продавцов
при конкурентном равновесии?
2. Что называют рыночной силой участников рынка?
3. В чем состоят задачи участников рынка с точки зрения теории игр?
4. Как записываются выигрыши игроков в дуополии Курно?
5. Что такое условия первого порядка и какую роль они играют в поиске равновесия Нэша?
6. Что такое функция наилучшего ответа игрока на действия партнеров?
7. Как определяется равновесие Нэша в терминах функций отклика?
8. Как учитывается чувствительность к цене конкурента в выигрыше
игрока в дуополии Бертрана?
9. Как интерпретируется равновесие Нэша в дуополии Бертрана?
Задания для самостоятельной работы
1. Выполнить задание 4 из раздела 2.
2. Изучить основные теоретико-игровые подходы к арбитражным механизмам на рынке труда.
21
3. Рассмотреть противоречие между индивидуальной и коллективной
рациональностью на примере проблемы общин.
Рекомендуемая литература
1.
Акимов В.П. Основы теории игр: учеб. пособие / - М.: МГИМО –
Университет, 2008.- С. 22-37, 59-80.
2.
Данилов В.И.Лекции по теории игр: учеб. пособие / - М..: РЭШ,
2002.- С. 24-28, 33-44.
3.
Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моде-
лированию. – М.: МЗ Пресс, 2007.- С. 9-55.
2.
Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Ввод-
ный курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет, 2001.- С. 30-55,
57-78.
Тема 3. Динамические игры с полной информацией (3 занятия)
Занятие 1.
Семинар в интерактивной форме в виде решения и обсуждения следующих ситуационных задач:
1. Два школьника играют в следующую игру. Каждый из кучки, содержащей N камней, берет по очереди один или два камня. Проигрывает тот,
кто взял последний камень. (Изобразить дерево игры при N=5.) Найти решение игры, используя обратную индукцию.
2. Два игрока по очереди называют числа от 1 до 10. каждый раз все
названные с начала игры числа складываются. Выигрывает тот, кто получит в
сумме 100. N=5.) Найти решение игры, используя обратную индукцию.
3. «Забери камень». В кучку 45 камней. Вася и Петя забирают камни
из кучки по очереди. За один ход можно взять 2, 3 или 4 камня. Вася ходит
первым. Почетное прозвище «Тамерлан» получает взявший последний камень.
Если в кучке остался один камень (и ход по правилам сделать невозможно), то
22
игра оканчивается ничьей. А) Классифицируйте эту игру: статическая или динамическая, с полной или неполной информацией, с совершенной или несовершенной информацией. Б) Конечны ли множества стратегий игроков? В)
Укажите верхнюю границу для числа стратегий игроков (любители комбинаторики могут попытаться указать точное число стратегий). Г) Кто станет Тамерланом при правильной игре? Д) Кто станет Тамерланом, если это почетное
прозвище получает игрок, не взявший последний камень?
4. «Забери камень-2». В первой кучке 6 камней, во второй – 7 камней.
За один ход можно взять или 2 камня, или 5 камней из любой кучки. Какой игрок выигрывает, если цель игры – сделать ход последним? Какой игрок выигрывает, если цель игры – не сделать ход последним? N=5.) Найти решение игры, используя обратную индукцию.
5. «Разные игроки». В кучке 121 камень. Игроки ходят по очереди.
Первый игрок за один ход может взять 1 или 3 камня, а второй – 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто не может сделать ход по правилам. Кто выигрывает
при правильной игре? N=5.) Найти решение игры, используя обратную индукцию.
6. Барин выбирает, какую долю τ стоимости у урожая забирать у крестьянина в виде издольщины. При этом он максимизирует функцию вида
y   2 , т.е. желает побольше получить, но не желает прослыть жадным, что
возможно при слишком большом τ   0,1 . Выигрыш крестьянина равен
1    y  y 2 ,
т.е. он максимизирует прибыль по у  y  0 при квадратичной
функции затрат. N=5.) Найти решение игры, используя обратную индукцию.
7. Профсоюз заключает с фирмой контракт на несколько лет, в котором оговаривается уровень заработной платы w  0 . Предполагается, что
профсоюз достаточно мощный, чтобы навязать фирме любой уровень заработной платы. Фирма в течение срока действия контракта не может изменить
уровень заработной платы, но может выбирать количество нанимаемых работ-
23
ников
L  0 
в тыс. чел. Профсоюз максимизирует следующую целевую
функцию uw, L  wL  2L2 , где 2L2 - издержки работы для членов профсоюза.
Фирма максимизирует свою прибыль  w, L   2 L  wL . N=5.) Найти решение игры, используя обратную индукцию.
8. Муж и жена выбирают, провести вечер дома или у друзей, причем
друзья у них разные. Выигрыши даны в таблице
муж
дома
дома
жена
у друзей
у друзей
b
a
c
0
0
d
c
d
где a, b, c, d  0 - параметры. Жена делает свой выбор первой. При каких условиях на параметры супруги проведут вечер дома вместе? N=5.) Найти решение
игры, используя обратную индукцию.
В частности, решение задачи 2 можно рассмотреть в форме динамической игры двух игроков - Преподавателя и Студентов - которые делают ходы
последовательно, друг за другом. Кто ходит первым, решается консенсусом.
При выполнении задания студентам надо подготовить ответы на вопросы:
1. В чем состоит алгоритм обратной индукции?
2. Что такое стратегия (чистая) игрока в динамической игре?
3. В чем особенности записи стратегий игроков в динамической игре?
4. Как подсчитывается число стратегий игроков?
Сценарий игры: каждый игрок задает число от 1 до 10, которое прибавляется к общей сумме. Когда сумма приближается к 100, Студенты отвечают на вопрос: в какой момент становится ясно, что они проиграли? Далее
встает вопрос о том, до какой суммы надо дойти, чтобы реализовать первый
шаг обратной индукции. Далее Студенты, с учетом результата первого шага
обратной индукции, должны переформулировать задачу. После этого шаги обратной индукции повторяются. В конце игры Преподаватель с помощью Сту-
24
дентов подводит итог по формулированию выигрышной стратегии и оценивает участие каждого студента в активном участии в игре.
После этого, на базе полученного навыка, аналогично рассматривается
задача 3, усложненная двумя вариантами правила назначения выигрыша. Особое внимание уделяется подсчету числа стратегий игроков (верхней границе).
Вторая часть играется, как правило, значительно быстрее задачи 2. При рассмотрении игры студенты отвечают на вопросы, сформулированные в задаче
3.
Интерактивное занятие завершается подведением итогов.
При подведении итогов преподаватель отмечает и анализирует ошибки
выступающих, а в заключение дает оценки каждому участвующему в обсуждении в соответствии с активностью, грамотностью постановки вопросов и
правильностью ответов докладчика и выводов по теме доклада, а также дополнений от участвующих в обсуждении.
Задания для самостоятельной работы
1. Определить, что такое совершенная и несовершенная информация в
динамических играх.
2. Показать взаимосвязь игры с неполной информацией и игры с полной, но несовершенной информацией.
3. Изучить позиционное представление информационных множеств в
динамических играх.
Занятие 2.
Семинар в интерактивной форме в виде решения и обсуждения следующих ситуационных задач:
1. Пираты делят добычу. У пиратов корабля есть строгая иерархия.
Ранг 1 имеет самый «крутой» пират (капитан), ранг 2 - следующий по свирепости пират и т.д. Ранг n имеет самый мягкий член шайки. Пиратам удалось
ограбить торговый корабль, и им нужно поделить добычу: m>n золотых мо-
25
нет. У них принята такая процедура дележа. Первым распределение монет
предлагает пират с самым высоким рангом. Если хотя бы половина пиратов
(считая предлагающего дележ) согласна с этим предложением, то на этом игра
и кончается. Однако, если большинство против выдвинутого предложения, то,
следуя своей традиции, они заставляют предлагавшего идти по краю борта с
завязанными глазами, пока несчастный не упадет в воду. После этого процедура повторяется. Пираты хотят остаться в живых, но жадны и мстительны:
они ценят свою жизнь выше любого количества монет, но если и то, и другое
обеспечено, то они хотят увидеть как можно больше своих собратьев, идущих
по краю борта с завязанными глазами.
Как вы думаете, позиция капитана при такой процедуре дележа является сильной или слабой? Запишите свой прогноз до детального исследования
игры.
Найдите дележ с помощью обратной индукции.
Совпал ли ваш прогноз с тем, что получилось в пункте (б)?
2. Предположим, что в последовательных переговорах с бесконечным
числом периодов игроки имеют различные факторы дисконтирования: 1 для
игрока 1 и  2 – для игрока 2. Докажите на основе обратной индукции, что игрок 1 предлагает в первом периоде решение
1


(
1


)
2 
1
,2

1


 1




12
12

игроку 2, и тот соглашается.
3. Три олигополиста действуют на рынке с обратной функцией спроса
q2q3 и qi – объем выпуска фирмы i . У каждой фирмы
PQ
( )aQ, где Qq
1
предельные затраты c постоянны и нет фиксированных затрат. Фирмы выбирают объем своего выпуска следующим образом: фирма 1 выбирает q1  0 ;
фирмы 2 и 3, узнав q1 , выбирают одновременно q2 и q3 , соответственно. Каково будет совершенное по подыграм равновесие Нэша?
26
4. Допустим, профсоюз – единственный поставщик рабочей силы для
всех фирм в олигополии, например, таким является United Auto Workers для
General Motors, Ford, Chrysler. Пусть последовательность действий такова:
(1) профсоюз определяет одинаковую для всех фирм зарплату w ;
(2) фирмы, узнав (и согласившись) с w, одновременно выбирают
уровни занятости: Li для фирмы i;
(3) выигрыш профсоюза равен ( w  wa ) L , где wa – зарплата, которую
члены профсоюза могут заработать на альтернативной работе, L  L1   Ln –
суммарная занятость по фирмам данного профсоюза.
Прибыль  (w, Li ) фирмы i определяется ниже.
Все фирмы имеют следующую производственную функцию: объем
выпущенной продукции в стоимостном выражении равен трудовым ресурсам:
qi  Li . Рыночная цена равна P(Q)  a  Q , где суммарный объем продукта на
рынке Q  q1   qn . Для упрощения будем считать, что у фирм нет других затрат, кроме оплаты труда. Каково будет совершенное по подыграм РН в данной игре? Как (и почему) число фирм влияет на выигрыш профсоюза в совершенном по подыграм РН?
В ходе выступления докладчик разбирает постановку задачи в играх,
предложенных в заданиях 1-4, и отвечает на вопросы:
1. В чем состоит несовершенство информации в двухпериодной схеме?
2. В какой последовательности комбинируются методы нахождения
равновесия Нэша и алгоритм обратной индукции в этом случае?
3. За счет чего игроки стремятся закончить игру в дележе с дисконтированием?
4. Как изменяется двухпериодная схема игры при наличии разных коэффициентов дисконтирования у игроков?
27
5. Как изменится совершенное по подыграм равновесие Нэша, если в
двухпериодной дуополии Курно во втором периоде будет произвольное число
игроков?
При подведении итогов преподаватель отмечает и анализирует ошибки выступающих, а в заключение дает оценки каждому участвующему в обсуждении в соответствии с активностью, грамотностью постановки вопросов и
правильностью ответов докладчика и выводов по теме доклада, а также дополнений от участвующих в обсуждении.
Задания для самостоятельной работы.
1. Показать примеры «одновершинных» и «многовершинных» информационных множеств.
2. Изучить представление динамической игры с несовершенной информацией в позиционной и в нормальной формах.
Занятие 3.
Вопросы для обсуждения.
1. Общее определение стратегии в динамической игре.
2. Представление динамической игры с полной информацией в нормальной форме и анализ равновесий Нэша в ней.
3. Совершенные в подыграх равновесия Нэша (СПРН) и равновесия
«пустых угроз».
Практические задания
1. Опишите как игру в развернутой форме и как игру в нормальной
форме приведенную ниже схему. Что будет равновесием Нэша в чистых стратегиях? Что будет решением согласно обратной индукции? Что будет
совершенным по подыграм равновесием Нэша?
28
1
L
(2,0)
2
R
1
R
R
(0,2)
L
L
(1,1)
(3,0)
2. Рассмотрим следующую игру в развернутой форме.
1
2
2
1
1,2
2,1
0,3
2
2,2
1,4
Выполните задание по той же схеме, что и предыдущее.
3. Рассмотрим следующую игру в развернутой форме.
1
2,2
2
2
3,1
0,0
5,0
0,1
(а) Приведите нормальную форму этой игры.
(б) Найдите все РН в чистых стратегиях.
(в) Какое из этих РН является совершенным по подыграм?
Контрольные вопросы
1. Сколько стратегий имеют игроки в двухходовой динамической игре?
2. Как рациональность игроков проявляется в выборе ходов?
3. Что такое чистая стратегия игрока в динамической игре с полной
информацией?
29
4. Как определяются информационные множества игроков в динамической игре с полной информацией?
5. Что такое подыгра?
6. Чем отличаются равновесия Нэша и совершенные в подыграх равновесия Нэша?
7. Что означают равновесия «пустых угроз»?
8. Как формируется требование динамической согласованности?
9. Что такое собственная подыгра?
10. Как практически выбрать из всего множества равновесий Нэша совершенные в подыграх равновесие Нэша?
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить подходы Штакельберга и Гермейера к двухходовой игре.
2. Сформулировать общую модель динамической игры с полной и совершенной информацией.
3. Рассмотреть критику алгоритма обратной индукции.
Рекомендуемая литература
1.
Акимов В.П. Основы теории игр: учеб. пособие / - М.: МГИМО –
Унверситет, 2008.- С. 80-92.
2.
Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моде-
лированию. – М.: МЗ Пресс, 2007.- С. 44-55.
3.
Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Ввод-
ный курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет, 2001.- С. 83-105.
Тема 4. Повторяющиеся игры (2 занятия)
Занятие 1
Вопросы для обсуждения
1. Игры с конечным числом повторений.
2. Бесконечно повторяющиеся игры.
3. Народная теорема и ее следствия.
30
Практические задания
1. Игра с одновременным выбором ходов (см. таблицу 2) повторяется
дважды, причем решение, выбранное на первом шаге, становится известным
до начала второго шага. Дисконтирование отсутствует. Переменная x больше
4, так что (4,4) не является равновесием в одношаговой игре. Для каких значений x следующая стратегия для каждого игрока соответствует совершенному
по подыграм равновесию Нэша?
Указание: играем Qi на первом шаге. Если исход первого шага – (Q1 , Q2 ) ,
то играем Pi на втором шаге. Если исход первого шага – ( y, Q2 ) , причем y  Q1 ,
то играем Ri на втором шаге. Если исход первого шага – (Q2 , z ) , причем Q2  z ,
то выберите Si на втором шаге. Если решение на первом шаге – ( y , z ) , причем
y  Q1 и Q2  z , то выберите Pi на втором шаге.
Таблица 2. Матрица выигрышей игроков в задании 1.
P2
Q2
R2
S2
P1
2, 2
x, 0
-1, 0
0, 0
Q1
0, x
4, 4
-1, 0
0, 0
R1
0, 0
0, 0
0, 2
0, 0
S1
0, -1 0, -1
-1, -1
2, 0
2. Игра с одновременным выбором ходов (приводимая ниже в таблице 3)
повторяется дважды, причем исход первого шага становится известным до
начала второго шага. Дисконтирование отсутствует. Можно ли достичь выигрышей (4, 4) на первом шаге при совершенном по подыграм равновесии Нэша
в чистых стратегиях? Если это возможно, то опишите стратегию, реализующую это.
Если нет, то объясните, почему.
31
Таблица 3. Матрица выигрышей игроков в задании 2.
L
C
R
T
3, 1 0, 0
5, 0
M
2, 1 1, 2
3, 1
B
1, 2 0, 1
4, 4
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить кооперативное поведение игроков в повторяющихся играх.
2. Сформулировать понятие равновесия в совместных смешанных
стратегиях.
Занятие 2
Вопросы для обсуждения
1. Сговор в олигополии Курно.
2. Модель эффективной зарплаты.
3. Денежная политика государства и корпорации.
Практические задания
1. Вспомним статическую модель дуополии Бертрана (с однородным
продуктом): фирмы объявляют цены одновременно; спрос для фирмы i равен
a  pi , если pi  p j , 0, если pi  p j и (a pi )/2, если pi  p j ; предельные затраты
равны c  a . Рассмотрим бесконечно повторяющуюся игру, основанную на
этой одношаговой игре. Покажите, что фирмы могут использовать релейные
стратегии (переключающая при любом отклонении на равновесие Нэша в одношаговой игре), чтобы поддерживать уровень монопольной цены в совершенном по подыграм равновесии Нэша, тогда и только тогда, когда   1/ 2 .
2. Предположим, спрос изменяется случайно в бесконечно повторяющейся игре Бертрана: в каждом периоде спрос равен aH с вероятностью  и aL
с вероятностью 1   ; уровни спроса в разные периоды независимы. Предпо-
32
ложим, что в каждом периоде уровень спроса становится известным фирмам
до того, как они назначат цены для этого периода. Какие уровни монопольных
цен ( pH и pL ) соответствуют двум уровням спроса? Найдите наименьшее значение  * , для которого обе фирмы могут использовать релейные стратегии,
чтобы поддерживать уровень монопольной цены (т.е. выбирать pi , когда спрос
равен ai для i  H , L ) в совершенном по подыграм равновесии Нэша. Для каждого значения  между 1/2 и  * найдите такую наибольшую цену p( ) , что в
совершенном по подыграм равновесии Нэша фирмы могут использовать релейные стратегии, чтобы поддерживать цену p( ) , когда спрос высокий, и цену pL , когда спрос низкий.
Контрольные вопросы
1. Как определяются стратегии игроков в двукратном повторении дилеммы заключенного?
2. Какая связь существует между равновесием Нэша в статической игре и совершенным в подыграх равновесием Нэша в повторяющейся исходной
статической игре?
3. Что такое релейная стратегия?
4. Что означает наказание игрока за отклонение от равновесной релейной стратегии?
5. В чем смысл народной теоремы?
6. Какая связь между совместными смешанными стратегиями и кооперативными траекториями в повторяющейся игре?
Задания для самостоятельной работы
1. Сформулировать арбитражную схему Нэша.
2. Определить смысл стабильности на основе угроз.
3. Выполнить задание 5 из раздела контроля самостоятельной работы.
Рекомендуемая литература
33
1. Акимов В.П. Основы теории игр: учеб. пособие / - М.: МГИМО –
Университет, 2008.- С.99-116.
2. Данилов В.И.Лекции по теории игр: учеб. пособие / - М.: РЭШ,
2002.- С.85-91.
3. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2007.- С.85-105.
4. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный
курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет, 2001.- С.105-115.
Тема 5. Статические игры с неполной информацией (2 занятия)
Занятие 1
Вопросы для обсуждения
1. Дуополия Курно с неполной информацией.
2. Условие согласования представлений
3. Семейный спор с малыми случайными параметрами.
Практические задания
1. Рассмотрим дуополию Курно для рынка с обратной функцией спроса
PQ
( )aQ,
где
Q q1 q2
вые функции затрат
– общий спрос на рынке. Обе фирмы имеют одинако-
ci (qi ) cqi ,
но спрос является неопределенным: высоким
( a  aH ) с вероятностью  или низким ( a  aL ) с вероятность
1 .
Информация
асимметрична: фирма 1 знает, какой спрос (высокий или низкий), а вторая
фирма – нет. Все описание ситуации общеизвестно. Обе фирмы выбирают
размер выпуска одновременно. Каково множество стратегий для каждой фирмы? Предположите, что параметры
aH , aL ,
и c таковы, что равновесные вы-
пуски положительны. Найдите равновесие Байеса-Нэша в этой игре.
2. Рассмотрим дуополию Бертрана с асимметричной информацией и
различающейся
продукцией.
qpp

ap
b
i(i, j)
i
ip
j.
Спрос
на
продукцию
фирмы
i
равен
34
Затраты будем считать равными нулю для обеих фирм. Чувствительность спроса фирмы i к цене фирмы j может быть высокой или низкой. Точнее, для каждой фирмы величина
стью  и bL – с вероятностью
bi
может принимать значение bH с вероятно-
1 .
Каждая фирма знает свою чувствитель-
ность, но не знает чувствительность конкурента. Это описание общеизвестно.
Каковы множества действий, типов, представления и функции выигрыша для
данной игры? Каковы множества стратегий? При каких условиях в этой игре
существует симметричное равновесие Байеса-Нэша в чистых стратегиях?
Найдите это равновесие.
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить, как определяется независимость (некоррелированность)
типов в статической игре с неполной информацией.
2. Рассмотреть решение игры «Выбор компьютера» с неполной информацией в симметричном варианте.
Занятие 2
Вопросы для обсуждения
1. Простой аукцион.
2. Двойной аукцион.
3. Дизайн экономических механизмов.
Практические задания
1. Рассмотрите аукцион с закрытыми ставками по первой цене, в котором оценки покупателей независимы и одинаково равномерно распределены
на отрезке [0,1] . Покажите, что если число покупателей равно n , то заявки по
цене (n  1) / n от индивидуальной оценки стоимости составляют равновесие
Байеса-Нэша для этого аукциона.
2. Рассмотрите аукцион с закрытыми ставками по первой цене, в котором оценки покупателей независимы и одинаково распределены на отрезке
35
[0,1] с положительной функцией плотности f (vi ) . Найдите симметричное рав-
новесие Байеса-Нэша для случая двух участников.
3. Рассмотрим другую интерпретацию двойного аукциона. Пусть имеется фирма и работник, причем фирма знает, какой у нее выигрыш m от деятельности работника на данной позиции, а рабочий знает свои альтернативные
возможности v . Сделка означает, что работник принимается на работу, а цена
сделки равна его зарплате w . Если сделка заключена, то фирма выигрывает
m  w , а работник выигрывает w . Если нет сделки, то выигрыш фирмы равен
нулю, а выигрыш работника равен v .
Предположим, что m и v распределены независимо и равномерно на
отрезке [0,1] . Найдите линейное равновесие в этом двойном аукционе.
Контрольные вопросы
1. Что называют байесовской игрой?
2. Как определяется равновесие Байеса-Нэша?
3. Что понимается под стратегией игрока в байеской игре?
4. Что такое тип игрока?
5. Что такое пороговые стратегии?
6. Что такое аукцион с закрытыми заявками по первой цене?
7. Как формулируется условие совершенствования сделки в двойном
аукционе?
8. Как рассчитывается выигрыши игроков в двойном аукционе?
9. Что называют прямым механизмом?
10. Как формулируется принцип выявления?
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить игру «Вахтер» как статическую с неполной информацией.
2. Рассмотреть игру «Выбор компьютера» в несимметричном варианте.
Рекомендуемая литература
36
1. Данилов В.И.Лекции по теории игр: учеб. пособие / - М.: РЭШ,
2002.- С. 98-103.
2. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2007.- С. 121-128, 131-141.
3. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный
курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет, 2001.- С. 121-136.
Тема 6. Динамические игры с неполной информацией (1 занятие)
Вопросы для обсуждения
1. Бинарная сигнальная игра.
2. Совершенное байесовское равновесие.
3. Бесплатные сигналы. Бинарная игра с бесплатными сигналами.
4. Непрерывная игра с бесплатными сигналами.
Практические задания
1. Найти скрывающее совершенное байесовское равновесие, в котором
отправитель любого типа играет r в следующей сигнальной игре:
2. Рассмотрим сигнальную игру с тремя типами:
37
Найти все скрывающие совершенные байесовские равновесия, в которых отправитель любого типа играет l.
Контрольные вопросы
1. Что такое сигнал с точки зрения теории игр?
2. Из каких этапов состоит динамический сценарий сигнальной игры с
двумя участниками?
3. Как графически изображается бинарная сигнальная игра?
4. Как формулируется алгоритм поиска совершенного байесовского
равновесия в бинарной сигнальной игре?
5. Что такое выявляющие и скрывающие стратегии?
6. Что такое скрывающее равновесие?
Задания для самостоятельной работы
1. Изучить применение сигналов на рынке труда к модели Спенса.
2. Сформулировать и рассмотреть сигнальную игру «Предприниматель
и инвестор».
38
3. Рассмотреть применение сигналов к моделированию денежной политики государства по отношению к корпорациям.
Рекомендуемая литература
1. Акимов В.П. Основы теории игр: учеб. пособие / - М.: МГИМО –
Университет, 2008.- С.154-162.
2. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный
курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет., 2001.- С.139-167.
39
Раздел 2. Задания для контроля самостоятельной работы
Вариант задания следует выбирать как остаток от целого деления на 30
суммы номеров букв фамилии студента. Номера букв брать из таблицы первого индивидуального задания.
Задание 1. Определить верхнюю и нижнюю цену игры и наличие седловой точки в следующих антагонистических играх:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Матрица
1 0 10 7 0 


2 3 8 3 3 
9 3 3 7 3 


3 7 1 


0 1 7
4 4 4 


9 5 8 
 0 10 0 


8 9 8 2 5


0 1 2 1 3 
1 7 9 7 9 


1 7 2 


4 3 1 
3 1 1 


0 3 1 
5 2 7


3 5 3 6 2 


 5 0 4 10 0 
2 8 6 4 2 


6 6 3 


7 1 5 
8 4 4 


3 1 4 
 5 4 10 


№ п/п
11
12
13
14
15
16
Матрица
 6 3 10 9 5 


3 5 9 0 5 
 4 7 8 6 10 


6 5 8 


5 4 5 
7 9 6


5 6 5 
 6 6 4


 4 9 4 1 4


2 7 5 1 5
3 8 5 9 6


10 6 8 


3 5 7 
6 8 5 


7 9 8 
 8 9 10 


 4 7 7 9 6


5 1 6 6 7 
2 8 9 6 7 


8 2 3 


8 7 8 
 2 2 2


9 3 6 
4 9 2


№
п/п
21
22
23
24
25
26
Матрица
1 5 9 4 2 


2 3 5 6 0 
10 8 1 5 7 


8 5 2 


8 9 6 
8 7 4 


 2 7 2
1 5 1 


8 5 6 8 1 


3 6 2 6 6
9 0 8 3 5 


3 4 1 


9 1 9 
 4 5 6


5 9 3 
6 3 3


4 5 9 9
5

5 7 3 4
2
10 10 2 5 8

6

5
3

8
7

8
2
0
3
8
10 

6 
5 

5 
9 





40
№
п/п
7
8
9
10
Матрица
 3 3 5 8 10 


4 5 5 2 2 
3 3 5 7 3 


 4 4 9


2 1 7 
9 3 6 


8 3 9 
4 9 5


9 7 3 9 1 


 2 0 5 8 4
3 1 1 4 7 


2 9 8


 4 6 2
3 8 7 


6 3 3 
6 6 2


№ п/п
Матрица
17
 7 7 10 4 0 


2 3 9 2 7 
1 3 9 6 7 


18
19
20
9

5
1

2
0

7
2
8
6
6
2 

10 
7 

10 
9 
 7 6 5 7 8


5 8 1 1 5 
8 7 2 3 7 


0 1 2 


 9 7 10 
5 9 5 


1 1 5 
3 6 1 


№
п/п
27
28
29
30
Матрица
9 6 1 4 6 


 2 9 1 7 4
1 3 9 2 8 


10 5 8 


9 7 0 
8 7 7 


10 6 5 
2 4 4 


1 8 1 2 4

10 9 1 1 9
9 6 4 0 9

3

4
0

3
8

9
1
6
4
2
6 

3 
10 

7 
1 
Задание 2. Графически решить игру:
№
п/п
1
2
3
4
Матрица
7

4
7

3

8 7

6 8
9

5
6

5

8 0

7 3
8

9
1

5 
0 6 

5 10 
6 

4 
10 

4 
3 1 

8 10 
№ п/п
11
12
13
14
Матрица
8

10
8

8

8 0

3 6
8 

10 
7 

9 
8 10 

7 7 
0

10
4

8

1 7

10 5
8 

7
8 

4 
4 4 

0 1
№
п/п
21
22
23
24
Матрица
8

2
4

5

7 6

8 5
6

7
4

5

8 2

3 4
3

4
4

6 
0
7
5

2 
8

8
7

6 
9 3 

10 4 





41
№
п/п
Матрица
5
3

5
6
6

5
4

9

0
3
6

9
0

4

1 10

3 0
2

1
4

9

2
9


2 8
7
8
9
10
6

9
7

8 
7
3
№ п/п
15
8

2 
1

7
2

7 
6 2

10 3 
0

9
0

1 
4 4

9 7 
16
17
18
19
20
Матрица
8

2
6

10

0 9

7 9
2

3
2

1

3 4

9 1
4 

8 
5 

9 
5 7 

6 10 
6

1
3

9

2
7


5 3
6

5
5

2 
10 1

6 2 
4

8
7

7 
8 2

0 7 
№
п/п
25
26
27
28
29
30
Матрица
0

3
10

5

8 7

10 1
2 

7 
5

2 
6 7

3 4 
5

3
4

3

8 9

2 7
5

5
9

3

8
 8

6 8
1

4
6

9 
4 5

6 2 
2

8
3

0 
5 4

6 8 
Задание 3. Свести матричную игру к задаче линейного программирования
и решить её симплекс – методом (рекомендуется применение компьютерной
программы MS Excel с использованием инструмента «Поиск решения»):
№ п/п
1
2
3
4
Матрица
0 5 3 5 1 


 3 9 9 10 2 
3 9 6 3 0 


 2 7 2 7 1


 3 9 7 0 3
7 1 7 7 9


0 2 6 4 1 


 2 8 1 10 7 
1 7 2 4 3 


3 1 2 1 3 


8 8 0 7 7 
5 1 8 8 2 


№ п/п
11
12
13
14
Матрица
 8 5 10 9 6 


8 8 7 3 0 
0 9 2 0 5 


8 6 0 2 4 


 7 5 3 10 1
0 4 7 4 1 


4 9 8 6 0


2 6 7 1 2 
 7 6 2 7 3


3 5 1 1 9 


8 9 6 4 5 
 4 3 4 9 9


№ п/п
21
22
23
24
Матрица
5 5 7 9 3


 3 5 2 7 5
 4 4 8 5 5


7

3
1

6

7
8

4 5 2 5

2 7 8 8
0 4 5 4 
2 9 7 4

0 3 1 5
5 3 1 1 
9 5 2 6 5 


10 1 0 7 2 
8 1 1 1 6 


42
№ п/п
5
6
7
8
9
10
Матрица
8 9 8 8 1 


5 2 1 8 2 
3 8 7 6 7


 4 7 3 8 6


5 5 8 7 1 
6 3 9 0 3


1 7 2 8 4 


3 2 9 1 0 
 5 7 9 10 2 


4 1 8 3 8


 6 5 0 5 1
8 7 5 1 8 


 5 4 0 8 10 


3 8 4 2 5 
 8 7 10 0 6 


10 6 3 5 6 


2 3 0 7 8 
9 5 1 6 3 


№ п/п
15
16
17
18
19
20
Матрица
 4 2 2 2 10 


8 3 5 8 4 
3 3 9 7 3 


3 8 4 8 3


2 8 7 1 3 
 6 4 4 1 4


 4 3 6 7 6


5 9 0 1 2 
3 7 5 5 1 


6 0 9 0 5 


5 1 5 7 5 
 6 7 10 7 10 


1 9 5 4 5 


3 5 5 9 7 
4 4 4 2 7


 9 5 8 10 6 


1 4 9 8 4 
0 8 5 7 3 


№ п/п
25
26
27
28
29
30
Матрица
1 8 2 2 8 


6 2 6 6 6
 4 7 7 4 5


 3 7 8 2 10 


1 4 10 3 9 
10 5 6 4 7 


10 8 5 9 4 


7 2 8 2 1 
2 5 8 8 3 


6 2 1 9 5 


0 3 6 3 7
6 5 8 9 1 


 8 10 7 9 1


4 2 3 9 9 
3 7 9 4 2 


4 9 4 7 3 


 8 10 8 4 2 
8 4 9 1 5 


Задание 4. По приведенной матрице статической игры двух игроков
найти все равновесия Нэша, в том числе в смешанных стратегиях, и записать
решение игры в виде вектора. Построить графически функции наилучших ответов каждого игрока.
Номер
варианта
1
2
3
4
Матрица
 0,2

 3,3
 2,3

 1,1
 4,5

 2,0
 0,2

 3,2
4,4

2,0
0,0

3,2
0,2

5,4
2,0

2,3
Номер
варианта
5
6
7
8
Матрица
 0,0

 1,3
 1,1

 2,0
 4,7 

 1,1
 2,3

 0,0
0,1


 2,2
0,2 

 3,3
2,2

4,7
1,1 

3,2
43
Номер
варианта
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Матрица
 5,3

 1,1
 7,8

 3,1
 8,4

 2,1
 6,6

 3,0
 5,5

 2,0
 7,7 

 3,0
 8,8

 4,0
 3,7 

 0,1
 5,12 

 1,1
 3,7 

 1,1
 3,11

 0,0
2,2

3,5 
1,3 

8,7 
1,2 

4,8
0,3

1,2 
0,2

1,0 
0,3

3,2
0,4

1,1 
1,0 

7,3
0,0 

12,5
2,0

7,3
2,2 

11,3
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
 1,12  0,0 


  1,1 12,1
 2,1 3,1







2
,
0
4
,
2


 4,3 1,4


 0,1 2,3 
 2,4  2,1


  3,0 5,2 
  1,2 3,2






2
,
1
0
,
1


 3,2 2,1


  4,0 2,4 
 2,2 0,1







1
,
2
3
,
2


 2,3  1,1






0
,

2
2
,
0


 3,6 1,4 


 2,1 4,3
 3,0  5,3






1
,
3
1
,
1


 1,0  2,1


  1,4 1,3 
Задание 5. Составить следующие статические игры с полной информацией и ответить на предлагаемые вопросы.
1. Каждый из двух игроков (i=1,2) имеет по три стратегии: a,b,c и x,y,z соответственно. Взяв своё имя как бесконечную последовательность символов
типа иваниваниваниван…., задайте выигрыши первого игрока так: u1(a,x)=”и”,
u1(a,y)=”в”, u1(a,z)=”а”, u1(b,x)=”н”, u1(b,y)=”и”, u1(b,z)=”в”, u1(c,x)=”а”,
u1(c,y)=”н”, u1(c,z)=”и”. Подставьте вместо каждой буквы имени её порядковый номер в алфавите, для чего воспользуйтесь таблицей:
44
Таблица 4. Числовые коды символов русского алфавита
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
а
б
в
г
д
е
ё
ж
з
1
и
й
к
л
м
н
о
п
р
с
2
т
у
ф
х
ц
ч
ш
щ
ъ
ы
3
ь
э
ю
я
Аналогично используя фамилию, задайте выигрыши второго игрока,
u2().
а) Есть ли в вашей игре доминирующие и строго доминирующие стратегии? Если есть, то образуют ли они равновесие в доминирующих стратегиях?
б) Каким будет результат последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий?
в) Найдите равновесия Нэша этой игры, в том числе в смешанных стратегиях (если они существуют).
2. Составьте по имени, фамилии и отчеству игру трех игроков, у каждого
из которых по две стратегии (0 или 1), по тому же принципу, как и в задаче 1.
Ответьте на те же вопросы, что и в п. 1.
Например, у студента, имя, отчество и фамилия которого Конрад Карлович Михельсон, выигрыши в буквенном выражении запишутся так:
u 0,0,0  к , м, к ,
u 0,0,1  о, и , а ,
u 0,1,0  н, х, р ,
u 0,1,1   р, е, л ,
u 1,0,0  а, л, о ,
u 1,0,1  д, ь, в ,
u 1,1,0  к , с, и ,
u 1,1,1  о, о, ч .
45
а в числовой форме они имеют следующий вид:
u 0,0,1  12,14,12,
u 0,0,1  16,10,1,
u 0,1,0  15,23,18,
u 0,1,1  18,6,13,
u 1,0,0  1,13,16,
u 1,0,1  5,30,3,
u 1,1,0  12,19,10,
u 1,1,1  16,16,25.
Задание 6. Найти все чистые равновесия Нэша в игре с тремя игроками.
(Варианты задания выбираются преподавателем).
Варианты 1–20. В статической игре с полной информацией трех игроков игрок 1 выбирает стратегию из множества A1 , A2 , игрок 2 – из множества B1 , B2 , а игрок 3 – из множества C1 ,C2 . Найти множество равновесий
Нэша, если функции выигрыша игроков заданы следующими парами матриц:
№ варианта
1

C1

u1  

C 2

3  A1
4


 2  1 A2
B1 B2
 4 2  A1


  1 3  A2
2

C1

u1  

C2

2
2


 1  2
B1 B2
3  2


0 
1
3

 1
C1 
 2

u1  
B1

3
 C2 
0

A1
A2
A1
A2
 2  A1

1 A2
B2
0  A1

4  A2
Функции выигрыша игроков


 2 2  A1

 C1
 C1 
A

1
3


2


u3  
u2  
B1 B2


  3 2  A1
C 2

C 2 
A

1
0



2


 C1

u2  

C2


 C1

u2  

C2

 4  3  A1


1 A2
2
B1 B2
  3 2  A1


 1  1 A2
 3 5  A1


 1 4  A2
B1 B2
 2 1 A1


 2 5  A2

 C1

u3  

C2

4

2
B1
5

2
3  A1

0  A2
B2
 1 A1

0  A2
 1 1 A1


  1 1 A2
B1 B2
 0  2  A1


1 A2
3

 2
C1 
3

u3  
B1

4
 C2 
3

 2  A1

1 A2
B2
2  A1

0  A2
46
4

2
 C1 
3

u1  
B1

3
C2 
 1

5

C1

u1  

C2

2

3
B1
4

1

C1

u1  

 C2

  2 5  A1


 5  1 A2
B1 B2
 2  1 A1


1 A2
2

 C1

u1  

C2

2

2
B1
3

 4

 C1

u1  

C2

3

 1
B1
3

 1
9

C1

u1  

 C2

 4

 2
B1
2

3
0  A1

0  A2
B2
1 A1

5  A2
10

 C1

u1  

C2

3

1
B1
4

2
2  A1

5  A2
B2
3  A1

 3  A2

C1

u1  

 C2

 2

 1
B1
3

 0
6
7
8
11
1 A1

1 A2
B2
2  A1

 2  A2
1 A1

2  A2
B2
6  A1

5  A2
2  A1

1 A2
B2
5  A1

2  A2
2  A1

5  A2
B2
 2  A1

0  A2
 3  A1

3  A2
B2
2  A1

1 A2
3  A1
1


 2  3  A2
B1 B2
 1 4  A1


  2 1 A2

C1

u3  

 C2

 2

 3
B1
0

1
 4

 2
B1
 2

3
3  A1

1 A2
B2
 2  A1

 1 A2

C1

u3  

C2

 4  3  A1


2  A2
2
B1 B2
  5 1 A1


 0 3  A2
4

3
B1
 2

3
0  A1

0  A2
B2
1 A1

 3  A2

 C1

u3  

C2

4

2
B1
 5

 3

 2 4  A1

 C1 
 1 1 A2

u2  
B1 B2


 1  2  A1

C2 

3
5

 A2


 0 1 A1

C1 
 3 2  A2

u2  
B1 B2

 4 1 A1

C2 
 2 5  A2


 C1

u3  

C2

0

0
B1
4

3

 C1

u3  

C2

 0

 2
B1
 2

 2
3

 2
B1
 2

3
3  A1

1 A2
B2
 1 A1

2  A2

 C1

u3  

C2

4

3
B1
2

2
 0

3
B1
 2

 3
 2  A1

 1 A2
B2
1 A1

4  A2

 C1

u3  

C2

  2 1 A1


 0 2  A2
B1 B2
 2  1 A1


  3 4  A2

 C1

u3  

C2

 2

 2
B1
 2

 4

 C1

u2  

C2


 C1

u2  

C2


 C1

u2  

C2


 C1

u2  

C2


C1

u2  

 C2


 C1

u2  

C2

0  A1
0


 3  4  A2
B1 B2
 4  4  A1


0  A2
2
1 A1

2  A2
B2
0  A1

2  A2
2  A1

1 A2
B2
 3  A1

0  A2
1 A1

2  A2
B2
2  A1

0  A2
1 A1

1 A2
B2
 3  A1

1 A2
2  A1

3  A2
B2
1 A1

 1 A2
2  A1

0  A2
B2
 3  A1

2  A2
47
  1  2  A1


1 A2
 0
B1 B2
3  A1
4


 2  3  A2
12

C1

u1  

 C2

13

 3
C1 
 2

u1  
B1

3
 C2 
0

14

 C1

u1  

C2

 1

 2
B1
4

0
15

 C1

u1  

C2

3

1
B1
 1

 1
16

 C1

u1  

C2

1

0
B1
2

2
3  A1

1 A2
B2
0  A1

1 A2
17

 C1

u1  

C2

2

0
B1
2

0
1 A1

1 A2
B2
 1 A1

1 A2
18

C1

u1  

 C2

1

1
B1
4

1
3  A1

 1 A2
B2
2  A1

0  A2
19

C1

u1  

 C2

 4

 1
B1
3

1
 2  A1

1 A2
B2
0  A1

4  A2
3  A1

0  A2
B2
2  A1

 1 A2
0  A1

2  A2
B2
 1 A1

2  A2
 3  A1

2  A2
B2
0  A1

3  A2
u2
u2
u2
u2
u2

 2  3  A1

C1 
0  A2
4


B1 B2

 2  1 A1

C2 
3
1

 A2


 3 5  A1

 C1 
 1 4  A2


B1 B2

 2 1 A1

C2 
 2 5  A2


 3 2  A1

 C1 
3
0

 A2


B1 B2

 1  1 A1

C2 
1 A2
3


1 0  A1

 C1 
1
2

 A2


B1 B2

 2  1 A1

C2 
1 A2
0


 2 4  A1

 C1 
0
2

 A2


B1 B2

  1  2  A1

C2 
1 A2
 3


C1

u2  

 C2


C1

u2  

C2


 C1

u2  

C2


 C1

u3  

C2

3  A1
0


 1  2  A2
B1 B2
 1 0  A1


  2 2  A2

C1

u3  

 C2

 2

3
B1
4

3

C1

u3  

C2

 2  2  A1


1 A2
1
B1 B2
 3 0  A1


  1 4  A2

 C1

u3  

C2

 1

 2
B1
 0

 1

 C1

u3  

C2

1

1
B1
3

0
1 A1

2  A2
B2
2  A1

 2  A2
 1  3  A1


2  A2
3
B1 B2
 2  1 A1


  1 2  A2
  2 1 A1


 1 3  A2
B1 B2
 4 2  A1


 3  1 A2

 C1

u3  

C2

2

3
B1
3

2
1 A1

1 A2
B2
0  A1

0  A2

 C1

u3  

C2

  1 1 A1


 4 1 A2
B1 B2
 2  3  A1


 4  1 A2
 2  3  A1


1 A2
0
B1 B2
 3  1 A1


  2 4  A2

C1

u3  

 C2

 3

 1
B1
4

1
2  A1

1 A2
B2
2  A1

0  A2
0  A1

1 A2
B2
 1 A1

2  A2
 1 A1

2  A2
B2
2  A1

3  A2
48

 1
C1 
 2

u1  
B1

1
 C2 
1

20

 C1

u2  

C2

A1
0
2
A2
5
B2
4  A1

0  A2
1 A1
2


 0  1 A2
B1 B2
 3  2  A1


1 A2
 1

C1

u3  

 C2

 2

 1
B1
2

1
1 A1

4  A2
B2
2  A1

1 A2
Задание 7. Нахождение всех равновесий Нэша в играх размерностью
3х3 (Варианты назначаются преподавателем).
Варианты 21 – 30. В следующей статической игре с полной информацией найти все равновесия Нэша, в том числе в смешанных стратегиях.
№ варианта
21
22
23
24
25
Матрица игры
1,2 3,1
 2,1 4,2

3,0 0,2
  1,1 2,0
2,1 0,2

 1,1 2,2
 2,1
0,3

 2,0
 2,1
 2,1

 3,3
 2,0
 4,1

2,4
№ варианта
2,3
1,1

0,0
1,1
3,3

0,1
1,0 4,3
3,1 1,0

2,4 0,1
1,2 1,0
0,0 3,2

2,1 1,1
0,2 0,1
0,0 1,3

1,2 3,1
26
27
28
29
30
Матрица игры
3,0
2,1
2,4
 0,1  4,2 2,1


 1,1
0,1 1,0
 3,4 2,4 5,2
2,0 6,0 1,1


0,2 0,4 1,1
 2,1
 3,1

  3,0
 4,2
 0,2

 3,1
  1,2
 1,1

 3,0
2,1 1,2
 4,1 2,2

0,3 0,0
2,2 1,1
2,0 0,2

1,2 5,4
1,1
2,0
0,2 3,1

0,0 1,2
Задание 8. Динамическая игра с полной и совершенной информацией.
(Варианты назначаются преподавателем)
Варианты 31 – 40. В следующий схемах динамических игр с полной
информацией (см. рисунки 1-4) выигрыши игроков взять из статических игр
вариантов 21–30 соответственно. Провести процесс обратной индукции,
49
представить игру в нормальной форме и найти в ней все совершенные в
подыграх равновесия Нэша и равновесия «пустых угроз».
Рис. 1. Схема вариантов 31-33
Рис. 2. Схема вариантов 34-36
Рис. 3. Схема вариантов 37,38
Рис. 4. Схема вариантов 39,40
50
Задание 9.Статическая игра с неполной информацией.
Рассмотреть игру «Выбор компьютера» с неполной информацией, где
значения полезностей (выигрыши) игроков следует расставить в соответствии
с кодами личных данных студента:
Игрок 2
Любит IBM
IBM
Любит
IBM
Игрок 1
Любит
Mac
IBM
Mac
IBM
Mac
Mac
a
a
IBM
0
b
b
0
a
c
c
a
[π]
b
0
0
b
0
0
b
Mac
c
c
a
b
Любит Mac
a
c
c
c
c
b
0
0
b
[π]
a
[1-π]
a
[1-π]
Значение а равно 20 плюс остаток от деления суммы кодов букв имени студента на 10, значение b равно остатку от деления суммы кодов букв отчества студента на 10, а значение с равно 10 плюс остаток от деления суммы
кодов букв фамилии студента на 10.
Исследовать каждый исход игры на предмет того, будет ли он равновесным по Байесу–Нэшу, и если да, то при каких значениях вероятностей π
наличия любителей IBM.