Показательная функция ее свойства и график

Лекция для 10 класса по теме:
«Показательная функция,
ее свойства и график»
Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.
Л. Эйлер.
Тип лекции: Лекция-диалог.
Продолжительность: 2 урока – 90 минут с перерывом.
Цель лекции: Ознакомиться с понятием показательной функции; рассмотреть ее свойства; научиться строить график функции и применять определение и свойства показательной функции при решении задач.
Оборудование:
1. Карточки с основными свойствами степени с действительным показателем (на каждую парту).
2. Опорный конспект (плакат на доске).
3. План лекции (плакат на доске).
4. Компьютер, проектор и экран. Презентация со следующими слайдами:
А) таблица с основными свойствами степени с действительным показателем;
Б) Функции;
В) Показательная функция в физике, биологии, экономике;
Г) Знания и умения;
План лекции для 10 класса по теме: «Показательная
функция, ее свойства и график»
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Повторение «Основных свойств степени с действительным показателем».
Введение определения показательной функции.
Графики показательной функции.
Свойства показательной функции.
Показательная функция в физике, биологии, экономике, математике.
Тренажеры.
2
Опорный конспект лекции для 10 класса по теме:
«Показательная функция, ее свойства и график»
D(y) = R
E(y) = (0;∞)
Показательная функция
y  a x a  0; a  1
а>1
y
0<а<1
y
1
1
0 1
x
0 1
у возрастает на R
x
у убывает на R
a x a x  a x x
ax
 a x x
x
a
a x x  a x x
abx  a x b x
x
ax
a
   x
b
b
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1 2
ax  0
a x  1, если а  1, x  0
a x  a x , если a  1, x1  x 2
1
2
a x  a x , если 0  a  1, x1  x 2
1
2
3
I. Повторение «Основных свойств степени с
действительным показателем»
А) Слайд 4Б: «Основных свойств степени с действительным показателем».
Пусть a>0, b>0, х1, х2, и х – любые действительные числа, тогда:
(1)
a x a x  a x x
x
a
(2)
 a x x
x
a
(3)
a x x  a x x
x
x x
(4)
ab  a b
x
x
a
a
(5)
   x
b
b
(6)
ax  0
x
(7)
a  1, если а  1, x  0
x
x
(8)
a  a , если a  1, x1  x2
x
x
(9)
a  a , если 0  a  1, x1  x2
На каждой парте есть такие же таблички. Ученикам даются примеры на эти
свойства, решая их они проговаривают друг другу. Примеры:
1. Упростить
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1 2
1
2
1
2
1
1
3
1
2
2
3

1
6
1
3
c  c ; a  a ; m : m; y

5
6
4
 1 3  3 3
: y ; b 2  ;  a 2  .
   
1
3
2. Вычислить
49 2 ; 27 3 ; 0,16 2 ; 0,001 3 ; 16  2 3  ; 8 3 .
3. Сравнить
5
7
1
1
2
1
2
 2
3
3
6
2
5 и5 ;7 и7 ;  и  .
3
3
1
1
1
2
1
2

1
Б) Слайд 4Б:
x
1
y  x , y  2 , y    , y  x 5 , y  3x , y  x3 .
5
Укажите известные вам функции. К какому виду функции все они относятся?
x
1
x
Какая новая для вас функция? ( y  2 , y    , y  3 x ). Именно сегодня на
5
уроке и будем изучать эту функцию. Как вы думаете, насколько важна эта
тема и где она применяется? (В физике, химии, биологии).
Идет обобщение целей учителем с открытием плана лекции, который фиксируется в тетрадях учеников.
2
1
x
4
II. Введение определения показательной функции
аргумент – показатель степени
На доске:
у=ах
основание степени – заданное число
Этим и объясняется название функции. Итак, что называется показательной
функцией?
Показательной функцией называется функция вида y  a x , где а – заданное
число, а>0, a  1.
Записать определение и примеры в тетрадь.
5
III. Графики показательной функции
П1
Построим в одной системе координат графики функции y  3 x и
x
1
y    . Два ученика у доски задают таблицы для каждой функции и пооче 3
редно строят графики для каждой функции на заранее приготовленной системе координат, весь класс работает по вариантам.
у
9
У=3х
У=(1/3)х
1
0 1
х
Почему графики данных функций не пересекают ось Ох? Что общего в расположении графиков данных функций? Опишите расположение графиков
данных функций относительно оси Оу. Запишите выводы в тетрадях:
 графики проходят через точку (0;1);
 графики симметричны относительно Оу.
По графикам рассмотрим свойства показательных функций.
6
IV. Свойства показательной функции
Зафиксируем в тетрадь.
1. Область определения – множество R всех действительных чисел D(y) = R.
Это свойство следует из того, что степень ах, a>0 определена для всех x  R .
2. Множество значений – множество всех положительных чисел E(y) = (0;∞).
Уравнение a x  b, где a  0, a  1, не имеет корней при b  0 - это следует из
свойства (6) и имеет корни b>0. Это доказывается в курсе высшей математики. Графически это означает, что любая прямая y=b, где b>0 пересекается с
графиком показательной функции.
П2
 0,2 x  0;
 3,7 x  0;
x
1
    0.
9
3. Показательная функция у=ах является возрастающей на множестве всех
действительных чисел, если а>1; убывающей, если 0<a<1. Это следует из
свойств (8) и (9).
П3 Сравнить:
А) 23 и 22, т.к. а=2, 2>1, y  2 x функция возрастающая и 3>2, то 23>22.
2
x
1
1
1
1
1
Б)   и   , т.к. а=   , 0     1 , y    функция убывающая и 2>1,
4
4
 4
4
 4
2
1 1
то   <   .
 4  4
Свойства показательной функции представлены в опорном конспекте.
Учитель открывает опорный конспект и вместе с учащимися подводит итог с
последующей записью в тетради.
7
V. Показательная функция в физике, биологии,
экономике, математике
Показательная функция часто используется для описания различных физических процессов, а также в биологии и экономике. Слайд 4В.

t
T
А) Закон радиоактивного распада: N  N 0  2 , где N0 – число радиоактивных ядер в момент времени t = 0; N – число ядер в момент времени t; Т - период полураспада.
Б) Распад радия можно приближенно описать соотношением:
t
mt   m0  0,9996  ,
где т0 – первоначальное количество радия в граммах; т(t) – количество радия, которое остается через t лет после начала распада.
В) Давление воздуха, в зависимости от высоты подъема,  h   Ce kh .
Г) Затухающие колебания S  e t .
Д) Рост числа бактерий mt   m0et t .
Е) Увеличение денежного вклада при постоянном процентном приращении
nt   Ae t .
Ж) Знания свойств показательной функции приводит к решению многих
практических задач:
 Решение уравнений: 4 x  16
По свойству (2) показательной функции данное
уравнение имеет один корень, т.к. 16>0. Одним
4x  42 , т.к. 4>0 и 4  1 , то
из корней является число х = 2, т.к. 42 = 16. Друх = 2.
гих корней нет, т.к. функция у = 4х возрастает на
Ответ. х = 2.
всей числовой прямой, и поэтому 4х>16 при х>2 и
4х<16 при х<2.
у
0
у = 16
16
У = 4х
2
1
0 1
2
х
8
 Решение неравенств:
4 x  16
1) Построить графики функций у = 4х и у = 16.
2) Найти точки пересечения графиков.
3) Решить неравенство.
Ответ: x  2 .
9
VI. Тренажеры
Вопросы по окончанию лекции
Используя опорные конспекты, записи в тетрадях и учебник, ответьте на следующие вопросы:
1. В чем отличие и сходство в записи степенной и показательной функции?
2. Сформулируйте определение показательной функции.
3. Приведите примеры показательной функции.
4. Перечислите свойства показательной функции.
5. Как вы думаете, почему в определении показательной функции у = ах
одно из обязательных условий a  1?
6. Назовите уравнение показательной функции, график которой симметx
1
ричен графику функции y    относительно оси Оу.
5
7. Возрастающей или убывающей является функция
x
1
А) y   
7
Б) y  0,3 x
В) y  1,32 x
Г) y  0,7 3 x
По теме «Показательная функция» необходимо:
[Слайд 4Г]
ЗНАТЬ
Определение показательной функции
Свойства показательной функции
УМЕТЬ
Строить графики показательной
функции при а>1; и 0<a<1
Применять свойства показательной
функции при решении задач первого
уровня сложности
Учитель комментирует этот слайд (можно эту информацию разместить на
обороте опорного конспекта для каждого ученика).
Выполнить задание (записано на доске):
1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:
А) у = 0,5х
Б) у = 4х
2. Используя свойства возрастания и убывания функции сравните числа:
А) 1,75 и 1
Б) 0,92 и 1
В) 2,41,5 и 2,41,7
10
2
1, 4
1
1
Г)   и  
3
 3
3
Д) 0,3 и 0,3 2
Для закрепления свойств показательной функции предлагаю выполнить следующие упражнения по учебнику: N194 (нечетные), N195 (нечетные), N196
(нечетные), N199 (устно), N200 (2,4);
I ВАРИАНТ: Построить график функции y  2 x . Записать ее свойства.
x
1
II ВАРИАНТ: Построить график функции y    . Записать ее свойства.
5
Сравнить выполненные задания в парах, сделать вывод.
Домашнее задание.
1). Прочитать параграф 11.
2). Выучить опорный конспект.
3). N195 (четные с объяснением), N196 (четные), N197 (4).
Литература.
АЛИМОВ Ш.А., КОЛЯГИН Ю.М., СИДОРОВ Ю.В. АЛГЕБРА
АНАЛИЗА 10 – 11. М.: Просвещение, 2000.
И НАЧАЛА
КОЛМОГОРОВ А.Н., АБРАМОВ А.М., ДУДНИЦЫН Ю.П. АЛГЕБРА
НАЧАЛА АНАЛИЗА 10 – 11. М.: Просвещение, 2003.
МОРДКОВИЧ А.Г. АЛГЕБРА
2004.
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
И
10 – 11. М.: Мнемозина,
НИКОЛЬСКИЙ С.Н., ПОТАПОВ М.К., РЕШЕТНИКОВ Н.Н., ШЕВКИН А.В.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10. М.: Просвещение, 2004.
11