4. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1/ Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 5]. ЗАДАЧИ 4.1. Определить плотность d (t ) dt периода занятости системы обслуживания M / M / 1 / и его первые два момента. 4.2. Пусть – случайное число требований, обслуженных в течение периода занятости системы M / G / 1 / . Пусть rk P{ k} , k 1, 2, ...; N ( z ) Ez – ПФ СВ Доказать, что функция N (z ) удовлетворяет уравнению N ( z ) z(a aN ( z )) , где a – параметр входного потока; (q) – ПЛС времени обслуживания. Найти первый момент и дисперсию случайной величины . 4.3. Найти ПФ G(z ) и первый момент числа требований, ожидающих обслуживания в системе M / G / 1 / в стационарном режиме. Вычислить функцию G(z ) и вероятности g k ( k 0, 1, ... ) того, что в очереди находится k ожидающих обслуживания требований для СМО M / M /1/ и M / D /1/ . 4.4. Рассмотрим произвольную систему обслуживания, в которую поступает ординарный поток требований, и требования на приборах обслуживаются по одному, причем если n – время обслуживания п-го требования, то P{ n 0} 1, n 1, 2, ... . Обозначим через rk n вероятность того, что в момент времени n , предшествующий п-му моменту поступления требования, в системе находилось k требований, а через k n – вероятность того, что в момент времени t n п-го по счету окончания обслуживания после ухода обслуженного требования в системе осталось k требований, k 0, 1, ... . Доказать, что rk lim rk n k n lim k n . Отсюда следует, в частности, что для системы M / G / 1 / в n стационарном режиме вероятности k того, что в момент окончания обслуживания в системе останется k требований, совпадают с вероятностями rk того, что поступившее в систему требование застанет в ней k других требований. 29 4.5. Пусть wn – моменты порядка п времени ожидания в стационарной ( a1 1) системе обслуживания M / G / 1 / , где а – параметр входного потока, n – момент порядка п времени обслуживания, n 1, 2, ... . Пусть w0 1 . Доказать равенство n n (1 )nwn 1 a wn k k , n 1, k 2 k и получить формулы для вычисления w3 и w4 . 4.6. Рассмотрим систему M / G / 1 / , в которой время обслуживания определяется следующим образом: в момент поступления требования подбрасывается монета, которая падает гербом вверх с вероятностью p. В случае выпадения герба считаем, что требование обслуживается мгновенно (т.е. его время обслуживания равно нулю). В противном случае (если выпала решка) считаем, что время обслуживания распределено экспоненциально с параметром p. Найти ФР W (t ) стационарного времени ожидания и его первый момент. 4.7. Вывести формулу Поллачека-Хинчина для стационарной ПФ числа требований в системе M / G / 1 / в моменты окончания обслуживания с помощью метода введения дополнительного события. 4.8. Для системы M / G / 1 / определить ФР промежутков времени между соседними моментами окончания обслуживания (выхода требований из системы) в стационарном режиме. Отдельно рассмотреть случай СМО M / M / 1 / . 4.9. Рассмотрим систему M / G / 1 / , в которой каждое требование, независимо от других, покидает систему в момент окончания обслуживания с вероятностью p или возвращается в этот момент в очередь для повторного обслуживания с вероятностью 1 p , не зависимо от числа предыдущих повторений обслуживания данного требования. Определить ПЛС (q ) периода занятости рассматриваемой СМО, стационарные ПФ P(z ) и R(z ) числа требований в произвольный момент времени и в момент окончания обслуживания соответственно, ПЛС w(q) виртуального времени ожидания и ФР F (t ) промежутков времени между моментами выхода требований из системы (в стационарном режиме). 4.10. Рассмотрим систему M / G / 1 / , в которой ФР B1 (t ) времени обслуживания требования, прибывающего в систему в такой момент времени, когда в ней отсутствуют другие требования, отличается от ФР B(t ) времени обслуживания требования, прибывающего в систему в мо- 30 мент, когда ее прибор занят. Найти ПЛС (q ) периода занятости данной СМО и ПФ N (z ) числа требований, обслуженных за период занятости. 4.11. Рассмотрим систему обслуживания M / G / 1 / , в которой обслуживающий прибор ненадежен в занятом состоянии. Длительность его нормального функционирования (в занятом состоянии) распределена экспоненциально с параметром 0 . Сразу же после выхода из строя начинается восстановление прибора, которое длится в течение случайного времени с ФР G(t ) . Требование, в течение времени обслуживания которого прибор вышел из строя, теряется. Пусть a – параметр входного потока, а B(t ) – ФР времени обслуживания. Найти ПЛС (q ) периода занятости, ПЛС w(q) времени ожидания в стационарном режиме, ПФ P(z ) числа требований в системе в стационарном режиме. 4.12. Исследовать систему BM / G / 1 / , в которой входной поток требований стационарный без последействия, характеризуемый параметром a и ПФ G(z ) числа требований в поступающей в систему группе. Пусть B(t ) – ФР времени обслуживания. Для данной системы найти ПЛС (q ) периода занятости и стационарные ПФ P(z ) и R(z ) числа требований в произвольный момент времени и в момент окончания обслуживания соответственно, а также ПЛС w * (q) стационарного виртуального времени ожидания. 4.13. Определить ПЛС w * (q) и первые два момента стационарного виртуального времени ожидания для системы M / G / 1 / , в которой требования обслуживаются в соответствии с дисциплиной LIFO, a – параметр входного потока, B(t ) – ФР времени обслуживания. 4.14. Предположим, что в системе M / G / 1 / стоимость t единиц времени ожидания составляет c(t ) рублей, где c(t ) e bt . Определить среднюю стоимость ожидания и условия, при выполнении которых она конечна. 4.15. Рассмотрим систему BM / G / 1 / со стационарным без последействия входным потоком, характеризуемым параметром a и ПФ G z числа требований в поступающей в систему группе: G ( z ) g k z k , где g k P{ k} , k 1 g k 1 . Будем считать, что в каждой поступающей k 1 группе путем нумерации определен порядок обслуживания требований. Для данной системы найти ПЛС w(q) стационарного времени ожидания 31 произвольного требования (не зависимо от его номера в группе), если порядок обслуживания групп требований соответствует дисциплине FIFO. 4.16. Вывести формулу Поллачека-Хинчина для стационарной ПФ числа требований в системе M / G / 1 / в произвольный момент времени, используя метод дополнительной переменной и не предполагая при этом существования плотности времени обслуживания. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 4.1. d (t ) 1 I1 (2 t ) e (1) t , a , где I1 (t ) – функция dt t Бесселя первого рода; 1 ( a) 1, 2 2( a) 3 . Указание: воспользоваться таблицами преобразований Лапласа. a 2 2 1 4.2. N ( z ) z(a aN ( z )) , E (1 ) , D , (1 ) 2 (1 ) 3 где 2 – второй момент времени обслуживания. Указание: воспользоваться методом введения дополнительного события. (1 ) (1 z ) 4.3. G ( z ) , первый момент числа ожидающих требова(a a z ) z a 2 2 ний: G ' (1) , где 2 – второй момент времени обслуживания. 2(1 ) Для СМО M / M / 1 / : (1 ) z G( z ) 1 2 , g 0 1 2 ; g k (1 ) k 1 , k 1, 2, .... 1 z Для СМО M / D / 1 / : (1 ) (1 z ) G( z ) , g 0 (1 ) e ; g k p k 1 , k 1, 2, ... , e (1 z ) z где вероятности p k определяются соотношениями [1, формула (5.37)]. 4.4. Решение. Пусть (t ) – число требований в системе в момент времени t, n – моменты поступления требований, t n – моменты окончания обслуживания (выхода требований из системы), n 1, 2, ... . Пусть в начальный момент времени в системе находилось i требований, (0) i , i 0, 1, ... . Введем обозначения (t n ) (t n ) n , ( n ) n . 32 Докажем, что из неравенства n i k следует неравенство n k 1 k , k 1, 2, .... Пусть непосредственно после (n i) -го момента окончания обслуживания в системе осталось ровно l требований, l 0, k 1 , т.е. n i l . С учетом начального условия это означает, что до данного момента в систему поступило ровно n l требований, и, следовательно, в некоторый момент времени ( t n i ) между nl и n l 1 в системе было не более l требований. Поэтому в момент n k 1 n k l l 1 в системе было меньше, чем k l требований, l 0, k 1 , т.е. n k 1 k . Докажем теперь обратное утверждение, т.е. что из n k 1 k следу- ет n i k . Действительно, если в момент nk 1 в системе находилось l требований, l 0, k 1 , то к этому моменту было обслужено ровно n k l i требований, т.е. в момент t n i число требований в системе было меньше, чем k l , откуда следует n i k . Доказанное означает, что P{ n i k} P{n k 1 k} для каждого i 0, 1, ... и любого конечного k 1, 2, ..., откуда следует, что lim P{ ni k} lim P{ m k} lim P{nk 1 k} lim P{j k} , n m n j где m n i , j n k 1. Значит предельные при n распределения СВ n и n одинаковы, откуда следует равенство rk k . a 2 2 3 3a 3 2 3 a 4 4.5. w3 , 4(1 ) (1 ) 2 4(1 ) 3 2 3 2 4 4 2 3 3a 2 3 3a 2 . 2 4 3 (1 ) 3 2(1 ) 4 1 p 4.6. W (t ) 1 pe (1) t , 1 , a1 . p a 5 a2 w4 5(1 ) (1 ) 2 t 4.8. F (t ) B(t ) (1 ) [1 e a (t u ) ]dB(u ) . Для СМО M / M /1/ : at 0 F (t ) 1 e . 4.9. (q) (q a a(q)) [ p (1 p)(q)] , ( p a1 ) (1 z ) (a a z ) P( z ) , [ p z (1 p )] (a a z ) z 33 R( z ) w(q) ( p a1 ) (1 z ) [ p (1 p) z ] (a az) , [ p (1 p) z ] (a az) z p a1 p a(1 (q)) (a a(q)) (q) 1 , q a a ( q ) [ p ( 1 p ) ( q )] ( a a ( q )) ( q ) t F (t ) (1 p a1 ) B(t ) ( p a1 ) [1 e a(t x) ] dB( x) . 0 4.10. (q) 1 (q a a1 (q)) , где 1 ( q ) – решение функционального уравнения 1 (q) (q a a1 (q)) , (q) – ПЛС ФР B(t ) , 1 (q) – ПЛС ФР B1 (t ) ; N ( z ) z1 (a aN 1 ( z )) , где N1 ( z ) – решение уравнения N1 ( z ) z(a aN 1 ( z )) . 4.11. (q) h(q a a(q)) , где h(q) (q ) [1 (q )] g (q) , q (q) – ПЛС времени обслуживания, g (q) – ПЛС ФР G(t ) ; (1 ) (1 z )h(a a z ) (1 )q ; w(q) . P( z ) q a ah(q) h( a a z ) z 4.12. (q) G((q a a(q))) , где (q) – ПЛС времени обслуживания; (1 ) (1 z ) (a aG( z )) , где a1G ' (1) 1 ; P( z ) (a aG( z )) z (1 ) (1 G ( z )) (a aG( z )) (1 )q ; w * (q) . R( z ) G ' (1)[(a aG( z )) z ] q a aG((q)) 4.13. Решение. Пусть W * – стационарное виртуальное время ожидания. Имеем W * 0 , если в момент поступления фиктивного требования в системе не было других требований. Вероятность этого события равна p 0 P{ 0} , где – число требований в системе в произвольный момент времени в стационарном режиме. Пусть pn P{ n}, n 0, 1, ... ; p n ( x) dx P{ n, * [ x; x dx )} , n 1, 2, ... , где * – остаточное время обслуживания обслуживаемого требования в стационарном режиме. В том случае, когда прибывающее в систему фиктивное требование застает в ней n 1 других требований и в момент его поступления имеет место равенство * y , время ожидания равно y плюс сумма периодов занятости, соответствующих всем тем требованиям, которые поступили в систему за * y единиц времени. Пусть (q ) – ПЛС периода занятости; 34 вероятность того, что за время y в систему поступит k требований равна (ay) k e ay k !, где a – параметр входного потока. Тогда ПЛС w * (q | n, * y ) условной ФР W * (t | n, * y ) P{W * t | n, * y} имеет вид (ay) k ay qy w * (q n, * y ) e k! e ((q)) k e (q a a(q)) y , k 0 n 1, 2, .... Очевидно, что ПЛС w * (q) ФР W * (t ) P{W * t} имеет вид w * (q) p 0 p n ( y) w * (q n, * y )dy p0 n 1 0 pn ( y)w * (q n, * y) dy 0 n 1 p0 e ( q a a( q )) y p n ( y)dy , n 1 0 где, как следует из соотношения [1, формула (5.31)], a az [1 B( y )] p n ( y) p(1, y) p0 lim z 1 ( a a z ) z n 1 a p0 [1 B( y )] a[1 B( y )] . 1 a1 В результате получаем w * (q) p 0 a [1 B( y)]e ( q a a( q )) y dy p 0 0 a(1 (q a a(q))) , q a a(q) или в силу соотношения (8) и того, что p 0 1 , a(1 (q)) . w * (q) 1 q a a(q) Для первого момента виртуального времени ожидания легко полуa 2 чить w1* , что равно первому моменту времени ожидания в слу2(1 ) чае дисциплины FIFO. Это следует также из формулы Литтла. Для втоa3 рого момента виртуального времени ожидания имеем w2* 3(1 ) 2 35 a 2 2 2 , (соотношение для третьего момента периода занятости, ко- 2(1 ) торое используется при выводе последней формулы, имеет вид 3 3a 2 2 ). 3 (1 ) 4 (1 ) 5 (1 )b 4.14. c , где (q) – ПЛС времени обслуживания; c – b a a(b) конечная величина, если только b a(1 (b)) . (1 ) q(1 G ((q))) 4.15. w(q) , где (q) – ПЛС времеG (1) (1 (q)) (q a aG((q))) ни обслуживания. 3 5. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ, ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ ВЛОЖЕННЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА И ЛИНЕЙЧАТЫХ ПРОЦЕССОВ Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 6]. ЗАДАЧИ 5.1. Определить преобразование Лапласа по t вероятности P{(t ) 0} свободного состояния системы обслуживания M / G / 1 / 0 в момент времени t, считая, что в начальный момент t 0 система была свободна ( P{(0) 0} 1 ). 5.2. Определить ПЛС (q ) периода занятости системы M / G / 1 / 1 а также ПФ N (z ) числа требований, обслуженных за период занятости. 5.3. Для системы обслуживания E 2 / M / 1 / определить стационарные вероятности k наличия k требований в системе в моменты поступления, а также стационарные вероятности p k наличия k требований в произвольные моменты времени, k 0, 1, ... . 5.4. Рассмотрим систему H 2 / M / 1 / , для которой ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований имеет 36 вид A(t ) 1 g1e a1t g 2 e a2 t , g1 g 2 1 . Вычислить вероятности k , p k , смысл которых определен в задаче 5.3. Определить также стационарную ФР W (t ) времени ожидания в случае, если a1 2, a2 1, g1 5 8 , 2 , где – параметр времени обслуживания. 5.5. Рассмотрим систему D / M / 1 / , в которой значение параметра времени обслуживания и загрузки такие же, как в системе из задачи 5.4. Для данной системы вычислить вероятности k и p k (см. задачу 5.3) и определить стационарную ФР W (t ) времени ожидания (все вычисления выполнять с точностью до второго знака после запятой). 5.6. Для системы GI / M / 1 / 1 определить стационарные вероятности k , k 0, 1, 2 , наличия в системе k требований в моменты поступления. 5.7. Рассмотрим систему обслуживания GI / M / 1 / , в которой стоимость ожидания обслуживания составляет c( y) aeby рублей за y единиц времени. Найти среднюю стоимость ожидания. Определить условия, при которых эта величина конечна. 5.8. Найти стационарные вероятности k , k 0, 1, ... , наличия k требований в моменты поступления, а также ФР W (t ) времени обслуживания для системы GI / M / 2 / . 5.9. Рассмотрим систему обслуживания GI / M / 1 / , для которой A(t ) – ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований, – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) . Пусть – период занятости данной системы, (t ) – его ФР, (q ) – ПЛС ФР (t ) . Доказать, что функция (q ) удовлетворяет уравнению (1 (q)) , где функция (q) определяется уравнением (q) q (1 (q)) (q) (q (q)) . 5.10. Рассмотрим систему GI / M / n / , для которой A(t ) – ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований, – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) , 1 tdA(t ) . Пусть выполнено условие (n) 1 . Найти ПЛС 0 w(q) ФР W (t ) стационарного времени ожидания в том случае, если очередность обслуживания требований соответствует дисциплине LIFO. Особо рассмотреть случай СМО M / M / n / , для которой a – параметр входного потока. 37 5.11. Определить ФР W * (t ) виртуального времени ожидания в стационарном режиме для системы GI / M / 1 / в случае дисциплины FIFO, а также ПЛС w * (q) этой СВ в случае дисциплины LIFO. 5.12. Для системы M / G / n / 0 вывести формулы Эрланга, не предполагая существования плотности времени обслуживания. 5.13. Для системы обслуживания M / H r / 1 / m ( m ), характеризуемой параметром а входного потока и параметрами g1 , ..., g r ; 1 , ..., r распределения времени обслуживания, найти соотношения для распределения числа требований в системе в стационарном режиме. Отдельно рассмотреть случаи m 1 и m 2 . 5.14. Рассмотрим систему, описанную в задаче 3.6, в частном случае r 1 (т.е. когда п станков обслуживаются одним рабочим). Найти ПЛС w(q) и первый момент w1 стационарного времени ожидания начала обслуживания вышедшего из строя станка. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 5.1. p0 (q) [q a a(q)] 1 , где а – параметр входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания. (q a) (q a) z(a) 5.2. (q) , N ( z) , где а – параметр q a(q a) 1 z (1 (a)) входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания. 5.3. k (1 ) k , k 0, 1, ... , где 2a ( 4a) ; 2 p 0 1 , p k (1 ) k 1 , k 1, 2, ..., где , a 2 . Здесь а – параметр входного потока, – параметр времени обслуживания. 5.4. k (1 ) k ; p k (1 ) k 1 , если k 1 и p 0 1 , где , g1a1 g 2 a 2 . Здесь a1 a 2 2 2(a1 a 2 ) (a1 a 2 ) 2 4( g1a1 g 2 a 2 ) 2 Подставляя числовые данные получим k 13 13 3 k , k 0, 1, ...; p k 44 64 4 38 k 1 , k 1, 2, ... ; . 3 W (t ) 1 e (1 ) t 1 e t 2 . 4 k k 5.5. k (1 ) 0,35 (0,65) , k 0, 1, ... , p 0 1 3 16 , pk (1 ) k 1 0,28 (0,65) k 1 , k 1, 2, ..., W (t ) 1 e (1)t 1 0,65e 0,7t . 1 () 1 () () (1 ()) (()) 2 , 1 , 2 , где 1 1 () 1 1 () 1 1 () – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) промежутков времени между моментами поступления требований. a(1 )(b ) 5.7. c , где – параметр времени обслуживания, – b единственный корень уравнения ( ) ( (q) – ПЛС ФР A(t ) промежутков времени между моментами поступления требований), удовлетворяющий условию 0 1 . Полученная величина конечна, если b 0 , т.е. b (1 ) . 5.6. 0 ()(1 )(1 2) k 1 (1 )(1 2()) 5.8. 0 , k , k 1, 2, ..., 1 () 1 () где (q) – ПЛС ФР промежутка времени между соседними моментами поступления требований, – единственный корень уравнения (1 2)() 2(1 ) t (2 2) , такой что 0 1 ; W (t ) 1 , e 1 () t 0. 5.9. Решение. Обозначим через k длительность промежутка времени от момента поступления в систему некоторого требования до ближайшего момента освобождения системы от требований, при условии, что в указанный момент поступления в системе находилось k других требований, k 0, 1, ... . Тогда 0 является, очевидно, периодом занятости данной СМО. Введем обозначение k (t ) P{ k t} . Определим функцию 1 k (t ) P{ k t} . Для того чтобы произошло событие k t , необходимо и достаточно, чтобы 1) либо в течение времени t в систему не поступали требования и в ней было обслужено не более k требований; вероятность такого события есть t ( t ) k t t (1 A(t )) e t e ... e ; k! 39 2) либо первое поступление требования произошло в течение времени, лежащего в интервале [u; u du) , где u (0; t ) , и во временном интервале (0; u) было обслужено i требований, i 0, k , а длительность промежутка времени k 1i , следующего за моментом u , составляла не менее t u единиц времени; вероятность этого события равна t u u e [1 k 1 (t u)] ue [1 k (t u)] ... 0 ( u ) k u e [1 1 (t u )] dA(u ) . k! В результате получаем ( t ) k t 1 k (t ) (1 A(t )) e 1 t ... k ! t e u 1 k 1 (t u ) u[1 k (t u )] ... 0 ( u ) k u e [1 1 (t u )] dA(u ) , k 0 . k! Введем обозначения ( z , t ) z k 0 k [1 k (t )] , ( z, q) e q t d t ( z, t ) . Из соотношения для 1 k (t ) следует, что ( z, q)[ z (q z )] 0 zq [1 (q z )] (q z ) (0, q). (1 z ) (q z ) Легко проверить, что уравнение z (q z ) имеет относительно z единственное решение (q) в области Re q 0 , такое что (q) 1. Функция (q) аналитична в указанной области. Подставляя в уравнение q для ( z, q) функцию (q) вместо z, получаем (0, q) .В q (q) силу определения функции (0, q) имеем (q) 1 (0, q) , откуда следу(1 (q)) ет, что (q) . q (1 (q)) 40 5.10. Решение. Пусть в некоторый момент времени в системе находится n 1 требований и поступает очередное n-е требование. В данный момент все приборы в системе заняты. Поэтому, в силу свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения, длительности остаточных времен обслуживания требований, занимающих приборы в момент , распределены экспоненциально с параметром . Обозначим через длительность промежутка времени от момента до ближайшего момента времени, в котором число требований в системе будет меньше n. Поскольку в течение времени все приборы будут заняты, то в силу свойств экспоненциального распределения случайная величина имеет то же распределение, что и период занятости СМО GI / M / 1 / (см. задачу 5.9), для которой A(t ) является ФР промежутков времени между моментами поступления требований, а n – параметр времени обслуживания. В случае дисциплины LIFO время ожидания требования, поступившего в систему в тот момент, когда в ней имелся по крайней мере один свободный прибор (вероятность этого равна n 1 i , где i 0 i – стационар- ная вероятность того, что в момент поступления требования в системе находится i других требований, i 0, 1, ... ), равно нулю. Если же в момент поступления отсутствуют свободные приборы (вероятность этого равна n 1 1 i ), то время ожидания имеет то же самое распределение, что и i 0 n 1 случайная величина . Введем обозначение i . Пусть w(q) – i 0 ПЛС стационарного времени ожидания. Тогда имеем w(q) (1 )(q) , где (q ) определяется уравнениями (см. задачу 5.9) n(1 (q)) , (q) (q n n(q)) . (q) q n(1 (q)) Из теории СМО GI / M / n / (см. [1, формула (6.29)]) следует, что 1 n 1 n2 1 n1 C n1 Rk Rk Rk . k 0 1 k 0 k 0 В случае, если n 1, имеем 1 , откуда следует w(q) 1 (q) . 41 (n) n p 0 Для СМО M / M / n / имеем 1 , где a (a – параметр n !(1 ) входного потока). В результате получаем (n) n p0 w(q) 1 (1 (q)) , n !(1 ) где, как известно (см. задачу 4.1), q a n (q a n) 2 4an . (q) 2a Используя выражение для явного вида плотности периода занятости, полученное в задаче 4.1, находим явный вид ФР W (t ) времени ожидания: (n) n p 0 W (t ) 1 n !(1 ) t (1) n u 1 I 1 ( 2n u ) e du 1 . u 0 1 5.11. W (t ) 1 e , где , t dA(t ) , A(t ) – ФР 0 промежутков времени между моментами поступления требований, – параметр времени обслуживания, – единственный корень уравнения ( ) , такой что 0 1 , где (q) – ПЛС ФР A(t ) ; w * (q) 1 (q) , где (q ) – ПЛС ФР периода занятости (см. задачу 5.9). 5.13. В случае m 1 получаем * (1) t r gkk p 0 1 k 1 a k 1 1 r , p1 p 0 g k k k 1 a k 1 1 , p 2 1 (1 p 0 ) . Для m 2 имеем r gkk p 0 1 k 1 a k 1 g 1 k k a k k 1 r r g p1 p 0 k k k 1 a k 42 1 1 r g 2a k 1 k k , 2 a k k 1 1 1 , r gkk p 2 p 0 k 1 a k 2 r g ( 2a ) k k k 1 , p3 1 (1 p 0 ) , 2 k 1 (a k ) r gk . k k 1 где a 5.14. В обозначениях задачи 3.6 получаем N (1 p 0 ) p0 n! n 1 k w , . w(q) 1 n N k 0 (n k 1)!( q) k (n N ) 6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА ПАМЯТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 7]. ЗАДАЧИ 6.1. Предположим, что каждое требование потока характеризуется случайным объемом , не зависимым ни от объемов других требований, ни от момента поступления данного требования в систему. Пусть L(x) P{ x} – ФР СВ , а (s) – ее ПЛС. Будем считать, что s 0 , и воспользуемся методом введения дополнительного события. Требование объема x будем считать красным с вероятностью e sx или синим с вероятностью 1 e sx , не зависимо от других требований. Время обслуживания требования будем считать зависимым от его объема. Известна ФР случайного вектора (, ) : F ( x, t ) P{ x, t}. Пусть ( s, q) Ee s q e sxqt 00 dF ( x, t ) – двумерное ПЛС слу- чайного вектора (, ) . Какой вероятностный смысл имеют функции 43 (s) и ( s, q) ? Как связаны между собой функции F ( x, t ) , L(x) , B(t ) P{ t}, а также функции ( s, q) , (s) , (q) Ee q e qt dB(t ) ? 0 6.2. Рассмотрим систему M / M / 1 / (, V ) , в которой объем требования распределен экспоненциально с параметром f 0 , а время обслуживания не зависит от объема требования и распределено экспоненциально с параметром . Пусть а – параметр входного потока. Найти ФР D x суммарного объема для данной системы в стационарном режиме и вычислить его первый момент. 6.3. Рассмотрим систему M / G / 1 / , в которой каждое требование, не зависимо от других, характеризуется случайным объемом , причем время обслуживания зависит только от объема требования. Известна совместная функция распределения случайных величин и : F ( x, t ) P{ x, t} , ее ПЛС равно ( s, q) Ee s q e sxqt dF ( x, t ) . 00 Обозначим через суммарный объем требований, обслуженных за период занятости анализируемой системы. Пусть ( x) P{ x} – ФР СВ , а ( s) Ee s e sx d( x) – ее ПЛС. Доказать, что функция 0 (s ) удовлетворяет функциональному уравнению ( s) ( s, a a ( s)) , где a – параметр входного потока. (Можно доказать, что это уравнение определяет единственную функцию (s ) , аналитическую в области Re s 0 , в которой ( s) 1 , причем функция (s ) может быть представ лена в виде ( s) e sx d( x) , где (x) – ФР собственной СВ, если 0 a1 1, 1 – первый момент времени обслуживания, и несобственной СВ при 1; последнее означает, что () 1 , если 1 , и () 1, если 1.) Вычислить первые два момента СВ (в случае 1). 6.4. Показать, что функциональные уравнения (q) (q a a(q)) для ПЛС периода занятости системы M / G / 1 / (см. [1, п. 5.3]) и N ( z ) z(a aN ( z )) для ПФ числа требований, обслуженных за период занятости (см. задачу 4.2) являются частными случаями функционально- 44 го уравнения для ПЛС суммарного объема требований, обслуженных за период занятости, полученного в задаче 6.3. 6.5. Пусть в системе M / G / 1 / каждое требование характеризуется случайным вектором признаков ζ (1 , ..., n ) (каждая из СВ i неотрицательна, i 1, n ), не зависимых от признаков других требований. Время обслуживания требования зависит только от вектора его признаков. Известна ФР случайного вектора (ζ, ) (1 , ..., n , ) : F ( x1 , ..., x n , t ) P{1 x1 , ..., n x n , t} и ее ПЛС: ( s1 , ..., s n , q) Ee s11 ... sn n q ... e s1x1 ... sn xn qt dF ( x1 , ..., x n , t ) . 0 00 Обозначим через Γ (1 , ..., n ) случайный вектор суммы i-х компонент векторов признаков требований, обслуженных за период занятости системы, i 1, n . Вывести функциональное уравнение для ПЛС ( s1 , ..., s n ) Ee s11 ... snn ... e s1x1 ... sn xn d( x1 , ..., x n ) 0 0 случайного вектора Γ . 6.6. Пусть – случайная длительность периода занятости системы M / G / 1 / , – число требований, обслуженных за этот период. Обозначим через (t | n) P{ t | n} условную ФР СВ при условии, что за период занятости было обслужено n требований, n 1, 2, ... . Пусть rn P{ n} . Тогда функция q g ( z, q) E( z e ) z rn e qt d(t | n) n 1 n 0 характеризует совместное распределение СВ и . Доказать, что функция g ( z, q) удовлетворяет функциональному уравнению g ( z, q) z(q a ag( z, q)) , где а – параметр входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания. 6.7. Для системы обслуживания требований случайного объема M / G / 1 / , (см. [1, п. 7.7]) найти ПЛС стационарного объема обслуживаемого требования и ПЛС стационарного суммарного объема ожидающих требований, а также два первых момента этих СВ. 6.8. Рассмотрим систему, отличающуюся от описанной в [1, п. 7.7] тем, что ее входной поток является стационарным без последействия, характеризуемым параметром a и ПФ G (z ) числа требований в прибыва45 ющей группе. Найти ПЛС (s ) стационарного суммарного объема требований в этой системе. Вычислить первый и второй моменты случайной величины . 6.9. Рассмотрим систему M / G / 1 / 0 , в которой каждое требование, не зависимо от других, характеризуется случайным объемом . Пусть a – параметр входного потока. Предположим, что время обслуживания зависит от объема требования. Пусть F ( x, t ) P{ x, t} – ФР случайного вектора (, ) , а ( s, q) – двойное ПЛС функции F ( x, t ) . Обозначим через (t ) суммарный объем требований, находящихся в системе в момент времени t, и предположим, что (0) 0 (нулевые начальные условия). Определить функцию ( s, q) e qt Ee s (t ) dt (представляю0 щую собой, очевидно, преобразование Лапласа по t функции ( s, t ) , которая, в свою очередь, при фиксированном t является ПЛС по х ФР D( x, t ) P{(t ) x} СВ (t ) ). Какой вероятностный смысл имеет функция q( s, q) ? 6.10. Рассмотрим систему, анализируемую в задаче 6.9, в стационарном режиме (предполагаем, что выполняется неравенство a1 , где 1 – первый момент времени обслуживания). Пусть D( x) lim D( x, t ) t P{ x} , где – стационарный суммарный объем требований в этой системе. Пусть (s ) – ПЛС СВ . Оказывается, что (s) lim q(s, q) . q0 Объяснить этот факт, пользуясь методом введения дополнительного события, и найти функцию (s ) . 6.11. Рассмотрим систему M / G / n / 0 в стационарном режиме, в которой каждое требование, не зависимо от других, характеризуется случайным объемом с ФР L(x) . Время обслуживания требования не зависит от его объема и характеризуется ФР B(t ) . Пусть a – параметр входного потока. Суммарный объем требований в системе ограничен постоянной величиной V 0 . Для рассматриваемой системы найти распределение числа требований { p k } , k 0, n , и вероятность p потери требования. Рассмотреть случай L( x) 1 e fx , f 0 . 6.12. Рассмотрим систему M / G / с ограниченным величиной V 0 суммарным объемом. Предполагаем, что в этом случае объем требования не зависит от объема других требований и характеризуется 46 ФР L(x) . Время обслуживания не зависит от объема требования и характеризуется ФР B(t ) . Пусть a – параметр входного потока. Для данной системы найти стационарное распределение числа требований и вероятность потери. Рассмотреть частный случай L( x) 1 e fx , f 0 . ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1 e (1 ) fx , если x V , a 6.2. D( x) 1 e (1 ) fV где , 1 , если x V , V E x dD( x) 0 1 1 e (1) fV [1 (1 ) fV ] . (1) fV f 1 1 e 2 2a111 a 2 2 12 1 2 6.3. E ' (0) ; E ' ' (0) . 1 (1 ) 2 (1 ) 2 1 6.5. ( s1 , ..., sn ) ( s1 , ..., sn , a a ( s1 , ..., sn )) . 6.7. В обозначениях [1, п. 7.7] получаем, что ПЛС суммарного объема обслуживаемого требования равно r ( s ) 1 a q ( s, q) q 0 , а ПЛС (1 )(1 ( s)) . (a a( s)) ( s) Первые два момента данных СВ равны соответственно r1 a11 , суммарного объема ожидающих требований h(s) a 2 2 2 a 3 3 12 a 4 2 2 12 a 2 2 1 r2 a 21 ; h1 , h2 . 2(1 ) 3(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2 6.8. В обозначениях [1, п. 7.7] имеем ( s ) ( s, a aG(( s ))) ( s ) (1 )1 , (a aG(( s ))) ( s ) где a1G ' (1) ; a1[a 2 (G' (1)) 2 1G (1)] ; 1 aG' (1)11 2(1 ) 2 aG' (1) [ 21 a111 [G ' ' (1) a 2 2 (G ' (1)) 3 ] aG' (1)112 ] 1 47 a1 2 G' ' (1) a 2 2 G' (1) [212 G' ' (1) 2 G' (1)] 2(1 ) a12 [a 2 3 (G' (1)) 3 1G' ' ' (1)] a 31 2 12 (G (1)) 2 G ' ' (1) 3(1 ) (1 ) 2 a 2 12 [a 2 22 (G ' (1)) 4 12 (G ' ' (1)) 2 ] . 2(1 ) q a(( s) ( s, q)) 6.9. ( s, q) . q(q a a(q)) 1 a q ( s, q) q 0 , где 1 – первый момент времени об6.10. ( s ) 1 a1 служивания. 2 1 n yj yk Lk (V ) L j (V ) , 6.11. В обозначениях [1, раздел 7] pk j 0 j! k! k 0, n . В случае L( x) 1 e fx имеем Lk (V ) 1 e fV k 1 ( fV ) j j! ; j 0 n 1 i y Li 1 (V ) . i ! i 0 p 1 p0 1 yk yk Lk V , k 1, 2, ...; 6.12. p0 Lk (V ) , pk p0 k ! k ! i 0 i y p 1 p 0 Li 1 (V ) . i 0 i ! ЛИТЕРАТУРА 1. Тихоненко О. М. Моделирование процессов и систем обработки информации: курс лекций. Мн.: БГУ, 2007. 2. Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1989. 3. Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1986. 48