УДК 004.414.23(075.8) ББК Авторы-составители:

УДК 004.414.23(075.8)
ББК
Авторы-составители:
О. М. Тихоненко, И. А. Адуцкевич
Рекомендовано Ученым советом
факультета радиофизики и электроники
23 февраля 2010 г., протокол № 7
Тихоненко О. М.
Моделирование процессов и систем обработки информации:
сборник задач / О. М. Тихоненко, И. А. Адуцкевич – Мн.: БГУ, 2011.
– 48 с.
В сборнике представлены задачи по курсу «Моделирование процессов и
систем обработки информации». Его целью является, с одной стороны, закрепление теоретического материала, изложенного в курсе лекций, и, с другой стороны, приобретение навыков самостоятельного исследования информационных
систем стохастического характера.
Структура сборника и его терминология соответствуют пособию Тихоненко О.М. Моделирование процессов и систем обработки информации: курс лекций. Мн.: БГУ, 2008.
Предназначено для студентов факультета радиофизики и электроники.
1. ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач предназначен для студентов факультета радиофизики
и электроники Белорусского Государственного Университета. Его могут
также использовать студенты других математических и технических
специальностей при условии достаточной математической подготовки.
Целью книги является выработка у студента самостоятельных навыков анализа и системного проектирования реальных информационных
систем.
Структура практикума, его терминология, обозначения и встречающиеся в тексте сокращения соответствуют пособию [1] (Тихоненко О.М.
Моделирование процессов и систем обработки информации: курс лекций. Минск: БГУ, 2008). Задачи расчетного характера снабжены ответами. Для некоторых важных и сложных задач приводятся подробные решения. В тексте имеются ссылки на формулы и разделы пособия [1]. Некоторые задачи сборника заимствованы из книг [2, 3].
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ТЕОРИЯ ВХОДНОГО ПОТОКА
Элементы теории, знакомство с которыми необходимо для решения
задач данного раздела, изложены в [1, раздел 2].
ЗАДАЧИ
2.1. Даны две независимые неотрицательные случайные величины
(СВ)  и . Пусть A(t ) – функция распределения (ФР) СВ , а СВ  имеет экспоненциальное распределение с параметром  . Найти вероятность
P{  } . Чему будет равно P{  } в том случае, если СВ  распределена экспоненциально с параметром a?
2.2. СВ  имеет экспоненциальное распределение, а неотрицательная
СВ  не зависит от . Доказать, что в этом случае имеет место свойство
отсутствия памяти у экспоненциального распределения:
P{  x   |   }  P{  x} .
2.3. Показать, что для простейшего потока вероятность того, что в
интервале времени длительности t (t  0) в систему поступит по
крайней мере одно требование, равна вероятности поступления за это
время в точности одного требования.
3
2.4. Доказать, что простейший поток (t ) , образуемый суперпозицией (наложением) n независимых простейших потоков 1 (t ), ...,  n (t ) с
параметрами a1 , ..., a n соответственно, является простейшим с параметром a  a1  ...  a n .
2.5. Пусть (t ) – простейший поток с параметром a. Каждое его событие не зависимо от других отнесем к i-му подпотоку с вероятностью
n
pi ( i  1, n;  pi  1 ). Доказать, что i-й подпоток является простейшим с
i 1
параметром api.
2.6. Пусть (t ) – простейший поток с параметром a,  – неотрицательная СВ, которая не зависит от (t ) , а (q) – ее преобразование
Лапласа-Стилтьеса (ПЛС). Доказать, что производящая функция (ПФ)
Ez  ( ) СВ () имеет вид Ez ()  (a  a z) .
2.7. Пусть (t ) – стационарный поток без последействия, характеризуемый параметром а и ПФ G(z ) числа требований в поступающей на
вход системы группе. Пусть  – неотрицательная СВ, которая не зависит
от (t ) , а (q) – ее ПЛС. Доказать, что ПФ Ez  ( ) СВ () имеет вид
Ez ()  (a  aG( z )) .
2.8. Пусть (t ) – стационарный поток без последействия, характеризуемый параметром а и вероятностью g k того, что в прибывающей в систему группе находится k требований, k  1, 2, .... Пусть G(z ) – ПФ числа
требований в группе. Найти вероятность того, что произвольное требование потока находится в группе, содержащей k требований.
2.9. Предположим, что первые k  1 требований простейшего потока
с параметром a удаляются из этого потока, k-е требование остается в
нем, далее очередные k  1 требований вновь удаляются из потока и т.д.
Доказать, что поток требований, оставшихся в исходном потоке (он
называется потоком Эрланга k-го порядка с параметром a), является рекуррентным, определяемым следующей ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований:
k 1
(at) i
x k 1  x
at
.
A(t )  
e dx  1  e 
(
k

1
)!
i
!
i 0
0
at
Найти ПЛС (q) ФР A(t ) и математическое ожидание  1 промежутка
времени между соседними моментами поступления требований полученного потока.
4
2.10. Пусть (t ) – число событий простейшего потока, появившихся
в интервале времени [0; t ) . Доказать, что при t  T , k  n имеет место
nk
k
 n  t  
t
равенство P{(t )  k | (T )  n}     1  
.
k
T
T




 
2.11. Частица, попавшая в счетчик Гейгера, вызывает разряд, длящийся   const единиц времени. Частицы, попадающие в счетчик во время такого разряда, не будут им зарегистрированы. Предположим, что число частиц, попадающих в счетчик в течение времени t, подчиняется распределению Пуассона с параметром at. Найти вероятность того, что в течение
времени t  0 счетчик зарегистрирует все попавшие в него частицы.
2.12. Определить ФР A1 (t ) первого интервала стационарного рекуррентного с запаздыванием потока в том случае, если а) все остальные интервалы потока одинаковы и равны t 0 ; б) остальные интервалы распределены по закону Эрланга порядка k с параметром а.
2.13. Доказать, что рекуррентный с запаздыванием стационарный
поток является рекуррентным тогда и только тогда, когда он является
простейшим.
2.14. Найти вероятность Pk (t )  P{(t )  k} поступления k требований в интервале времени [0; t ) для потока Эрланга порядка 2 с параметром a, k  0, 1, ....
2.15. Предположим, что каждый из n независимых источников в
промежутке времени [0; T ) , T  0 , генерирует в точности один импульс,
причем для каждого из источников вероятность появления импульса в
произвольном временном интервале длительности , принадлежащем
интервалу [0; T ) , равно  T . Суперпозиция n таких потоков (t ) (каждый поток содержит только одно событие) называется потоком Бернулли. Доказать, что для произвольных 0  t  T , 0  k  n выполняется раk
 n  t  
t
венство Pk (t )  P{(t )  k}     1  
 k  T   T 
nk
.
2.16. Определить ФР СВ  k ( k  1, n ), где  k – моменты появления
событий потока Бернулли (см. задачу 2.15), упорядоченные так, что
0  1  ...   n  T . Доказать также, что случайный момент появления
произвольного (не зависимо от номера) события этого потока подчиняется равномерному распределению на промежутке [0; T ) . Отсюда, в част5
ности, следует, что произвольные (не зависимо от нумерации) моменты
появления событий простейшего потока распределены равномерно в интервале [0; T ) при условии, что в этом интервале наступило n событий
этого потока, n  1, 2, ... (см. задачу 2.10).
2.17. Пусть  – интенсивность произвольного стационарного потока,
а величина a – его параметр. Доказать, что   a .
2.18. Пусть в момент времени t одновременно работает n независимых идентичных приборов, характеризуемых экспоненциальным с параметром  временем обслуживания. Показать, что вероятность того, что
до момента t  t не закончится обслуживание ни одного из обслуживаемых в момент t требований, равна 1  nt  o(t ) ; вероятность того,
что в этом промежутке будет обслужено в точности одно требование,
равна nt  o(t ) ; вероятность того, что в этом же промежутке будет
обслужено не менее двух требований, равна o(t ) .
2.19. Показать, что ФР эрланговского времени обслуживания k-го
порядка стремится к ФР вырожденной СВ (т.е. дисперсия времени обслуживания   0 ), если k   таким образом, что математическое
ожидание времени обслуживания остается постоянным.
2.20. Пусть A(t ) – условная ФР времени обслуживания требования
при условии, что прибор занят его обслуживанием, B(t ) – безусловная
ФР времени обслуживания  требования ( B(t )  P{  t}). Показать, что

1
dA(t )  t dB(t ) , где 1   t dB(t ) . Найти моменты ФР A(t ) . Вычислить
1
0
A(t ) для случая экспоненциального распределения СВ , а также в случае детерминированного обслуживания.
2.21. В произвольный момент времени  имеет место обслуживание требования. Пусть B(t ) – ФР времени обслуживания. Показать,
что ФР длительности промежутка времени от момента  до момента
окончания обслуживания требования имеет вид
F (t )  11
t
 [1  B(u)] du ,
0

где 1   t dB(t ) . Вычислить моменты этого распределения. Рассмотреть
0
случаи B(t ) 1  e  t и   t 0  const .
6
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

2.1. P{  }   e   t dA(t )  () , где (q) – ПЛС ФР A(t ) . Если СВ
0
 распределена экспоненциально с параметром a, то P{  } 
2.8. kg k G (1) .
2.9. (q) 
ak
(a  q)
k
a
.
a
, 1  ' (0)  k a .
 [t ](a(t  i)) i 1 
2.11. e 1  
.
(
i

1
)
!
 i 0

t
e at k 1 (k  i) (at) i
 , если t  t 0 ,
2.12. а) A1 (t )   t 0
б) A1 t   1 
 i! .
k
1, если t  t ;
i 0
0

 1
at 

2.14. Pk (t )  (at) 2k e a t 
, k  0, 1, ....
 2k! (2k  1) !
 at
k 1 n 
t
2.16. P{ k  t}  1     
i 0  i  T 
i
t

1  
 T
n i
, k  1, n .
2.20. Решение. Вероятность того, что в данный момент времени
прибор обслуживает требование, время обслуживания которого известно
(равно х), при условии, что он занят, зависит, очевидно, не только от вероятности появления требования с таким временем обслуживания, но
также непосредственно от его величины х.
Пусть, например, время обслуживания произвольного требования в
системе принимает значение 1 с вероятностью 1 2 и значение 2 также с
вероятностью 1 2 . Ясно, что время, в течение которого прибор занят обслуживанием требований, время обслуживания которых равно 2, в этом
случае примерно в два раза больше, чем время, в течение которого прибор обслуживает требования с единичным временем обслуживания, поскольку оба типа требований появляются одинаково часто. Поэтому в
данном случае искомая вероятность для более «коротких» требований
оказывается равной 1 3 , а для более «длинных» – 2 3 .
Обозначим через  время обслуживания занимающего прибор требования, если известно, что в данный момент времени прибор занят.
7
Искомая вероятность dA(t )  P{ [t; t  dt)} , очевидно, пропорциональна вероятности dB(t )  P{ [t; t  dt)} появления требования со временем обслуживания t и пропорциональна также величине t. Поэтому можем записать dA(t )  ctdB(t ) , где c  0 – коэффициент пропорциональности, который находится из условия нормировки



0
0
 dA(t )  1  c  t dB(t ) ,

1
откуда следует, что c  , где 1   t dB(t ) . Моменты СВ  :  i  i 1 ,
1
1
0
i  1, 2, ... , где  i – моменты порядка i времени обслуживания . В случае
B(t ) 1  e  t
A(t )  
t
2
 xe
 x
имеем
dA(t )   t dB(t )   2 te  t dt ,
откуда
следует
dx  1  e  t (1   t ) . ФР A(t ) характеризует распределе-
0
ние Эрланга второго порядка с параметром  .
В случае детерминированного обслуживания   t 0 имеем
0, если t  t 0 ,
A(t )  B(t )  
1, если t  t 0 .
2.21. Решение. Обозначим через  остаточное время обслуживания
требования, обслуживаемого в момент времени . Полное время обслуживания этого требования обозначим через  и положим, что   y . Тоdx
гда P{  [ x; x  dx) |   y} 
(случайная точка, брошенная на интервал
y
длины y, попадает внутрь его подинтервала длины  с вероятностью
 y ). Найдем теперь совместную вероятность
P{ [ x; x  dx),  [ y; y  dy)}  P{ [ x; x  dx)   y} 
dx
dx y dB( y )

 P{ [ y; y  dy)}  P{ [ y; y  dy)} 
1
y
y
(см. задачу 2.20). Имеем, следовательно,
dB( y ) dx
,
P{  [ x; x  dx),   [ y; y  dy)} 
1
где 0  x  y . Поэтому

(1  B( x)) dx
dx
dF ( x)  P{ [ x; x  dx)} 
dB( y) 

1 x
1
8
t
1
и соответственно F (t )   [1  B(u )] du . ПЛС функции F (t ) имеет вид
1 0

f (q)   e q t dF (t ) 
0
1  (q)
. Моменты ФР F (t ) можно найти из выражеq1
ния для ее ПЛС: f i 
 i 1
, где  i – момент порядка i времени обслу(i  1)1
живания, i  1, 2, ... . Для B(t ) 1  e  t имеем F (t )  B(t ) . Для   t 0  1
и 0  x  t 0 имеем dF ( x)  dx t 0 , F ( x)  x t 0 .
3. МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теоретические сведения, необходимые для решения задач данного
раздела, изложены в [1, разделы 3 и 4].
ЗАДАЧИ
3.1. Рассмотрим процесс функционирования компьютера. Длительность времени его нормальной работы имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 1  (иными словами, поток поломок компьютера простейший с параметром ). После выхода из строя
компьютер останавливается и ремонтируется (восстанавливается). Время
восстановления распределено экспоненциально со средним 1  . Найти
вероятность P(t ) того, что в момент времени t компьютер работал нормально, если известно, что он работал нормально в момент t  0 .
3.2. На телефонную станцию поступают вызовы двух типов: простые
и срочные. Если в момент поступления вызова линия свободна, вызов занимает эту линию, если же она в этот момент занята, а поступивший вызов срочный, то обслуживаемый вызов теряется, а поступивший занимает
линию. Если в момент поступления простого вызова линия занята, то теряется поступивший вызов. Моменты поступления простых и срочных
вызовов образуют простейшие потоки с параметрами  1 и  2 соответственно. Время обслуживания, не зависимо от степени срочности вызова,
распределено экспоненциально с параметром . Построить цепь Маркова
(ЦМ) с тремя состояниями, соответствующую этому процессу. Найти
матрицу интенсивностей переходов и стационарные (финальные) вероят9
ности 1 ,  2 ,  3 того, что линия соответственно: свободна, занята обслуживанием простого вызова, занята обслуживанием срочного вызова.
3.3. Система состоит из трех станков, которые в начальный момент
времени t  0 исправны. Время нормальной работы каждого из станков
распределено экспоненциально с параметром . Ремонтная бригада в состоянии ремонтировать одновременно только один станок. Длительность
ремонта произвольного станка распределена экспоненциально с параметром . Одновременно всегда работают два станка, а третий находится
в резерве или ремонтируется. Система моментально останавливается, если неисправными оказываются два станка. Найти вероятность L(t ) того,
что до момента t система остановится. Найти решение упражнения в общем виде, а также его решение для случая   1 и   2 .
3.4. Рассмотрим ЦМ, представленную на рис. 1. Найти финальные
вероятности ее состояний.
2

0

1

2

Рис. 1
3.5. Компьютер работает нормально в течение случайного времени,
распределенного экспоненциально с параметром . Неисправный компьютер ожидает ремонта. Время такого ожидания распределено экспоненциально с параметром  . Восстановление компьютера продолжается
в течение случайного времени, распределенного экспоненциально с параметром  . Найти вероятность всех возможных состояний компьютера
в момент времени t при условии, что в начальный момент времени t  0
он работал нормально. Найти финальные (стационарные) вероятности
состояний компьютера.
3.6. Имеется п одинаковых станков, которые обслуживаются бригадой, состоящей из r ( r  n ) рабочих одинаковой квалификации. Каждый
рабочий одновременно может обслуживать не более одного станка,
каждый вышедший из строя станок может ремонтироваться (восстанавливаться) не более чем одним рабочим. Каждый станок независимо от дру10
гих работает нормально в течение случайного времени, распределенного
экспоненциально с параметром  . Вышедший из строя станок сразу же
восстанавливается, если в момент его поломки имеется хотя бы один свободный рабочий. Если в этот момент ни одного свободного рабочего нет,
станок ожидает, пока он появится. Время восстановления станка распределено экспоненциально с параметром  . Найти вероятность p k того, что
в некоторый момент времени неисправны k станков, k  0, n , среднее
число n простаивающих (т.е. неисправных, ожидающих ремонта) в некоторый момент времени станков и среднее число r незанятых рабочих.
3.7. Вычислить второй момент и дисперсию числа требований в стационарных системах обслуживания M / M / n / m   и M / M / n /  . Вычислить также математическое ожидание и дисперсию числа требований
для стационарной системы M / M / n / m   в случае   a (n)  1 .
3.8. Найти второй момент и дисперсию времени ожидания для стационарной системы обслуживания M / M / n /  . Найти также ФР времени пребывания для этой системы, его второй момент и дисперсию.
3.9. Найти математическое ожидание N числа ожидающих требований для систем а) M / M / n / m   и б) M / M / n /  в стационарном
режиме.
3.10. Рассмотрим систему M / M / n / 0 , в которую поступают два
простейших потока требований с параметрами a1 и a 2 . Время обслуживания требований i-го потока распределено экспоненциально с параметром  i , i = 1, 2. Для обслуживания требований первого потока используется один прибор, а для требований второго потока – т приборов (т  n),
которые обслуживают требование одновременно. Требование первого
потока теряется, если в момент его поступления все приборы заняты,
требование второго потока теряется, если в момент его поступления имеется меньше чем т свободных приборов. Для данной системы найти стационарные вероятности p (k1 , k 2 ) того, что в системе находится k1 требований первого и k 2 требований второго потоков, а также стационарные вероятности потери требований обоих потоков.
3.11. Рассмотрим систему обслуживания M / M / 1 /  , для которой
a – параметр входного потока,   параметр времени обслуживания.
Требование, ожидающее обслуживания, может покинуть систему без обслуживания в промежутке времени длительности t  0 с вероятностью
t  o(t ) ,   0 . Для данной системы найти стационарное распределение числа требований p k  P{  k}, k  0, 1, ....
11
3.12. Рассмотрим систему M / M / 1 /  , которая отличается от системы, рассмотренной в задаче 3.11, тем, что произвольное требование
(даже обслуживаемое) может покинуть систему в течение времени t с
вероятностью t  o(t ) . Найти для этой системы стационарное распределение числа требований.
3.13. Рассмотрим систему M / M / 1 /  , в которой параметр входного
потока зависит от состояния системы следующим образом: если в течение некоторого промежутка времени [t; t  T ) в системе находится k требований, то параметр входного потока в этом промежутке равен
a k  a (k  1) , k  0, 1, ... . Параметр распределения времени обслуживания равен  . Найти стационарное распределение числа требований в системе.
3.14. Рассмотрим систему, состоящую из двух приборов, соединенных последовательно, в которую поступает простейший с параметром а
поток требований. Каждое требование сначала обслуживается на первом
приборе, а затем на втором, при этом число мест ожидания в очереди к
каждому из приборов бесконечно, а время обслуживания на первом и
втором приборе распределено экспоненциально с параметром 1 и  2
соответственно. Пусть  i (t ) – число требований, находящихся на i-м
(i  1, 2) приборе в момент времени t (к  i (t ) относятся требования, ожидающие в момент t в очереди к i-му прибору, а также требование, занимающее в данный момент прибор). Введем обозначение
P(n1 , n2 , t )  P{1 (t )  n1 ,  2 (t )  n2 } , n1 , n 2  0, 1, ... .
Предположим, что для рассматриваемой системы существует стационарный режим ( max (1 ,  2 )  1, где  i  ai  i , i  1, 2 ), т.е. существуют конечные пределы p(n1 , n2 )  lim P(n1 , n2 , t ) , n1 , n 2  0, 1, ... . Определить
t 
функции p (n1 , n 2 ) .
3.15. Найти вероятность P0 (t ) свободного состояния в момент t для
системы M / M / 1 / 0 , если интенсивность входного потока требований
равна , параметр времени обслуживания равен , а также а) в момент
t  0 система была свободна от требований; б) в момент t  0 система
была занята.
3.16. Найти стационарную вероятность того, что в системе
M / M / n / m а) все приборы заняты ( Pn ) ; б) все места ожидания заняты.
Вычислить математическое ожидание N числа занятых приборов.
3.17. Определить вероятность q n того, что в стационарном режиме в
системе M / M / n /  все приборы заняты (a – интенсивность входного
12
потока,  – параметр распределения времени обслуживания,
  a (n)  1).
3.18. Рассмотрим систему обслуживания M / M / 1 /  , для которой
a – параметр входного потока,  – параметр времени обслуживания.
Предположим, что в момент поступления каждого требования оценивается время его ожидания W, после чего требование либо записывается в
очередь (далее оно будет обслужено обычным образом) с вероятностью
e W , либо покидает систему с вероятностью 1  e W . В качестве такой оценки возьмем W  k  , где k – число требований в системе непосредственно перед моментом поступления данного требования,   0 .
Найти стационарную вероятность p k числа требований в системе в
стационарном режиме, k  0, 1, ... . Для каких   0 ,   0 выполняются
условия существования стационарного режима?
3.19. Рассмотрим цикличную очередь, в которой M требований циркулируют так, как это показано на рис. 2. Оба обслуживающих устройства характеризуются здесь экспоненциальным распределением времени
обслуживания с параметрами 1 и  2 соответственно. Пусть p k – вероятность того, что на первом устройстве находится k требований, а на
другом M  k требований. Вычислить p k , k  0, M .
1
2
0
0
Этап 1
Этап 2
Рис. 2
3.20. Рассмотрим систему обслуживания BM / M / 1/  , в которой
входной поток стационарный без последействия с параметром a. Пусть
g k – вероятность того, что в поступающей в систему группе находится k
требований, k  1, 2, ... , G ( z ) 

 gk z
k
k 1
в
системе

P ( z )  Ez 
в

стационарном
 pk z k

,
 gk
k 1
режиме,
 1,  – число требований
p k  P{  k} .
СВ  и ее математическое ожидание.
k 0
13
Найти
ПФ
3.21. Для рассмотренной в задаче 3.20 системы обслуживания с
групповым поступлением найти явный вид стационарных вероятностей
p k в случае, когда число требований в группе распределено по геомет-
рическому закону с параметром р: g k  p(1  p) k 1, k  1, 2, ..., 0  p  1 .
3.22. Для системы обслуживания, рассмотренной в задаче 3.20,
найти ПЛС w(q) стационарного времени ожидания произвольного требования в предположении, что в каждой прибывающей в систему группе
требования занумерованы в том порядке, в котором они обслуживаются,
а очередность обслуживания групп требований соответствует порядку их
поступления. Найти ФР стационарного времени ожидания произвольного требования в случае, если число требований в группе распределено по
геометрическому закону с параметром р (см. задачу 3.21).
3.23. Рассмотрим систему с бесконечной очередью, на вход которой
поступает простейший поток требований с параметром а. Требования
обслуживаются группами случайного размера   r . Если в момент
освобождения прибора в системе находится   r требований, то все они
начинают обслуживаться одновременно. Если в этот момент в системе
находится   r требований, то одновременно начинается обслуживание
r из них, а остальные остаются ожидать в очереди. Если требование поступает в пустую систему, то оно сразу же начинает обслуживаться.
Время обслуживания группы требований не зависит от ее размера и распределено экспоненциально с параметром  . Для данной системы найти
стационарное распределение числа требований (в предположении существования стационарного режима).
3.24. Рассмотрим систему M / H 2 / 1 / 0 , в которой время обслуживания распределено по гиперэкспоненциальному закону порядка 2 с параметрами g1 , g 2  1  g1 , 1 ,  2 . Для данной системы найти стационарное
распределение числа требований и вероятность того, что прибор занят.
3.25. Рассмотрим систему обслуживания M 2 / M 2 / 1 / 0 с абсолютным приоритетом. Сказанное означает, что в указанную систему поступают два простейших потока требований – первого приоритета (с параметром a1 ) и второго (с параметром a 2 ). Время обслуживания требований первого и второго приоритетов распределено экспоненциально с параметрами 1 и  2 соответственно. Требование первого приоритета,
прибывшее в систему в тот момент, когда прибор занят обслуживанием
требования этого же приоритета, теряется. В случае же если в этот момент обслуживается требование второго приоритета, поступившее требование сразу же начинает обслуживаться, а требование, обслуживание
14
которого было прервано, теряется. Требование второго приоритета всегда теряется, если в момент его поступления прибор занят. В начальный
момент времени t  0 требования в системе отсутствовали. Пусть  i (t ) –
число требований i-го приоритета, находящихся в системе в момент времени t, i  1, 2 . Найти вероятности P (k1 , k 2 , t )  P{1(t )  k1, 2 (t )  k2} ,
k1 , k 2  0, 1, k1  k 2  1 . Найти также 1) стационарные вероятности
p(k1 , k 2 )  lim P(k1 , k 2 , t )  P{1  k1 ,  2  k 2 } , где i – число требоваt 
ний i-го приоритета в системе в стационарном режиме, 2) частные распределения числа находящихся в системе требований каждого приоритета, 3) стационарные вероятности потери требований каждого приоритета,
а также 4) вероятность того, что принятое на обслуживание требование
второго приоритета будет обслужено полностью.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.1. P(t ) 
    (  ) t 
1 e
.
    

1
  ( 1   2 )

3.2. 

 ( 2  )


0

 2  1  1  3 .
2 

2

 2  ; 1 
, 3 
,








1
2
2
  
3.3. P0 (t )  (q1  q2 ) 1 [(2    q2 ) e q2 t  (2    q1 ) e q1 t ] ,
2
P1 (t ) 
(e q2 t  e q1 t ) , L(t )  1  P0 (t )  P1 (t ) , где
q1  q 2
(4  )  (8  )
(4  )  (8  )
, q2 
.
2
2
Для случая   1 ,   2 имеем
q1 
L(t )  1 
5  3 5 (3
e
10
5) t
1

5  3 5 (3
e
10
5) t
.
2

1 
3 
 3 
3.4.  0  1  2     , 1    0 ,  2  

 2 
2 
2




где  i – финальная вероятность состояния i, i  0, 1, 2.
2
3 
  0 ,
2    

3.5. Введем обозначения C 0      , C1       ,
15
 C1  C12  4C 0
1 
2
, 2 
 C1  C12  4C 0
.
2
Пусть P0 (t ), P1 (t ), P2 (t ) – вероятности того, что компьютер работает
нормально, ожидает ремонта и восстанавливается соответственно. Тогда
имеем
1t
 2t
 e 1t  e 2t 



e
e

,
P1 (t )  
 

 1   2  1 2
 1 ( 1   2 )  2 (  2  1 ) 







e 1t
e 2t

 , P0 (t )  1  P1 (t )  P2 (t ) ;
P2 (t ) 
 



1 2
 1 (1   2 )  2 ( 2  1 ) 


, 1  lim P1 (t )   0 ,
 0  lim P0 (t ) 
t 
    
t 


 2  lim P2 (t )   0 .
t 

n!

k
p
если 1  k  r ,
0
 k !(n  k )!  ,

pk  
3.6.
где
n
!
k
 p0
 , если r  k  n ,
 r k  r r !(n  k )!
n
 r

n!
n!
k
p0   
  
k 
k r
r !(n  k ) ! 
k 0 k !(n  k ) !
k  r 1 r
n
n
r
k r
k 1
1
,
 (k  r ) p k , r   kp r k .
3.7. Второй момент числа требований 1) для СМО M / M / n / m   :
 n k (n) k n n n m 2 k 
2
E  p0  

 k   , 2) для СМО M / M / n /  :
(
k

1
)
!
n
!
k n 1
k 1


 n k (n) k n n  (1  ) n 2 k  

E  p0  

  k   .

3

k 1

k 1 (k  1)! n!  (1  )

Для СМО M / M / n / m   в случае   a (n)  1 :
2
 mn n (2n  m  1) n kn k 
 n kn k
nn
2
E  p0 


 , E  p0  
2
n
!
k
!
(
k

1
)
!
n!
k 1
k 1


16
2
k
 ,
k n1 
nm
1
n k
 mn n
n
где p 0  
   . Дисперсия числа требований для всех систем
 n !
k 0 k ! 
может быть вычислена с помощью соотношения D  E2  (E) 2 .
3.8. Второй момент и дисперсия:

2 n n 3  n p 0
n n  3 n p0
n n 1 n p0 
w2 
; DW 
2 
,
(1  )(n  1)!
 2 (1  )3 (n  1)! 
 2 (1  ) 3 (n  1) !
где n – количество обслуживающих приборов;   загрузка системы;
  параметр времени обслуживания; p 0  вероятность отсутствия требований в системе. ФР времени пребывания:

  t
(n) n p 0
(n) n p 0
V (t )  1  1 

e (1) n t .
e
n!(1  )[1  n(1  )]
 n!(1  )[1  n(1  )] 
n n  n 1 1   m [1  m(1  )]
n n  n 1
1


3.9. а) N  p0
, б) N  p0
,
2
n!
n!
(1  )
(1  ) 2
где p0  вероятность отсутствия требований в системе.
3.10. Решение. Обозначим через P(k1 , k 2 , t ) вероятность того, что в
момент времени t в системе находится k1 требований первого потока и k 2
требований второго потока, k1 , k 2  0, k1  mk 2  n . Пусть a  a1  a2 –
параметр суммарного входного потока. Через  m, n обозначим символ
Кронекера:
1, если m  n,
 m, n  
0, если m  n .
Нетрудно убедиться, что введенные вероятности удовлетворяют
следующим уравнениям Колмогорова:
P (0, 0, t )  aP (0, 0, t )  1 P(1, 0, t )   2 P(0, 1, t ) ;
P (0, k 2 , t )  a 2 P(0, k 2  1, t )  (a  k 2  2 ) P(0, k 2 , t )  1 P(1, k 2 , t ) 
 (k 2  1) 2 P(0, k 2  1, t ) , m  mk 2  n  m ;
P(0, k 2 , t )  a2 P(0, k 2  1, t )  [(1   mk 2 , n ) a1  k 2 2 ]P(0, k 2 , t ) 
 (1   mk 2 , n ) 1P(1, k 2 , t ) , n  m  mk 2  n ;
P(k1, 0, t )  a1P(k1  1, 0, t )  (a  k11 ) P(k1, 0, t ) 
 (k1  1) 1P(k1  1, 0, t )   2 P(k1, 1, t ) , 1  k1  n  m ;
17
P (k1 , 0, t )  a1 P(k1  1, 0, t )  [(1   k1, n ) a1  k11 ]P(k1 , 0, t ) 
 (1   k1, n ) (k1  1) 1 P(k1  1, 0, t ) , n  m  k1  n ;
P(k1 , k 2 , t )  a1P(k1  1, k 2 , t )  a2 P(k1 , k 2  1, t ) 
 (a  k11  k 2 2 ) P(k1 , k 2 , t )  (k1  1) 1P(k1  1, k 2 , t ) 
 (k 2  1)  2 P(k1 , k 2  1, t ) , k1 , k 2  1, 1  m  k1  mk 2  n  m ;
P (k1 , k 2 , t )  a1 P(k1  1, k 2 , t )  a 2 P(k1 , k 2  1, t ) 
 [(1   k1  mk 2 , n )a1  k11  k 2  2 ]P(k1 , k 2 , t ) 
 (1   k1  mk 2 , n ) (k1  1) 1 P(k1  1, k 2 , t ) , k1 , k 2  1 , n  m  k1  mk 2  n .
Из данной системы получаем следующие уравнения для стационарных вероятностей p (k1 , k 2 ) :
0  ap 0, 0   1 p1, 0    2 p0, 2 ;
0  a 2 p(0, k 2  1)  (a  k 2  2 ) p(0, k 2 )  1 p(1, k 2 )  (k 2  1)  2 p(0, k 2  1) ,
m  mk 2  n  m ;
0  a 2 p(0, k 2  1)  [(1   mk 2 , n ) a1  k 2  2 ] p(0, k 2 ) 
 (1   mk 2 , n ) 1 p(1, k 2 ) , n  m  mk 2  n ;
0  a1 p(k1  1, k 2 )  a 2 p(k1 , k 2  1)  (a  k11  k 2  2 ) p(k1 , k 2 ) 
 (k1  1) 1 p (k1  1, k 2 )  (k 2  1)  2 p (k1 , k 2  1) ,
k1 , k 2  1, 1  m  k1  mk 2  n  m ;
0  a1 p(k1  1, k 2 )  a2 p(k1 , k 2  1)  [(1   k1  mk 2 , n ) a1  k11 
 k 2 2 ] p(k1 , k 2 )  (1   k1  mk 2 , n ) (k1  1) 1 p(k1  1, k 2 ) ,
k1 , k 2  1, n  m  k1  mk 2  n .
Очевидно, условие нормировки в данном случае записывается следую-
щим образом:
n
[( n k1 ) m]
k1 0
k 2 0


p(k1 , k 2 )  1 . Непосредственной подстанов-
кой легко показать, что решение данной системы имеет вид
1k1  2 k2
,
p(k1 , k 2 )  p(0, 0)
k1! k 2 !
1
 n [( n  k1 ) m]  k1  k2 
1
2
где  i  ai  i , i  1, 2 , p(0, 0)   
 .

k1! k 2 ! 
k1 0 k2 0

Требования первого потока теряются, если в момент их поступления
все приборы заняты, откуда следует, что вероятность потери требования
18
первого потока есть P1 
[ n m]

p(n  km, k ) . Требования второго потока те-
k 0
ряются, если в момент их поступления количество свободных приборов
не превышает m  1 . Следовательно, вероятность потери требования второго потока есть P2 
n
 p(k , [(n  k1 )
m]) .
k 0




k

a
ak

3.11. p k 
p 0 , где p 0   
 k 1

k 1
k

0
  (  i ) 
 (  i)
 i 0

i 0
что
1
(предполагаем,
1
 ...  1).
i 0





ak
ak


3.12. p k 
p 0 ; k  1, 2, ... ; p 0  1  
k


k
k 1


(


i

)
(


i

)




i 1

i 1
3.13. p k 
1
.
 k 
e , где   a  , k  0, 1, ... .
k!
3.14. Решение. Данная СМО описывается двумерным марковским
случайным процессом η(t )  (1 (t ) ,  2 (t )) с непрерывным временем,
множеством состояний Х которого является множество пар неотрицательных целых чисел (n1 , n 2 ) . Уравнения Колмогорова для функций
P(n1 , n 2 , t ) имеют вид
P (0, 0, t )  aP (0, 0, t )   2 P(0, 1, t ) ;
P (n1 , 0, t )  (a  1 ) P(n1 , 0, t )   2 P(n1 , 1, t )  aP (n1  1, 0, t ) ,
n1  1, 2, ...;
P (0, n 2 , t )  (a   2 ) P(0, n 2 , t )  1 P(1, n 2  1, t )   2 P(0, n 2  1, t ) ,
n 2  1, 2, ...;
P (n1 , n2 , t )  (a  1   2 ) P(n1 , n2 , t )  1 P(n1  1, n2  1, t ) 
  2 P(n1 , n2  1, t )  aP(n1  1, n2 , t ) , n1  1, 2, ...; n2  1, 2, ....
19
Поскольку lim P (n1 , n2 , t )  0 в условиях существования стациоt 
нарного режима, то из выписанной системы получаем следующую систему алгебраических уравнений для функций p (n1 , n 2 ) :
0  ap (0, 0)   2 p(0, 1) ;
0  (a  1 ) p(n1 , 0)   2 p(n1 , 1)  ap (n1  1, 0) , n1  1 ;
0  (a   2 ) p(0, n 2 )  1 p(1, n 2  1)   2 p(0, n 2  1) , n 2  1 ;
0  (a  1   2 ) p(n1 , n2 )  1 p(n1  1, n2  1)   2 p(n1 , n2  1) 
 ap(n1  1, n2 ) , n1  1, n2  1.
Сюда же следует добавить условие нормировки


  p(n1 , n2 )  1 .
n1 0 n2 0
Легко показать, что удовлетворяющее условию нормировки решение
системы алгебраических уравнений для всех n1 , n 2  0, 1, ... имеет вид
p(n1 , n2 )  (1  1 ) (1   2 ) 1n1  2 n2 .
Заметим, что решение это элементарным образом обобщается на
произвольное конечное число т «экспоненциальных» последовательных
приборов с бесконечным числом мест ожидания для каждого:
m
p(n1 , ..., n m )   (1   i ) i ni .
i 1
3.15. а) P0 (t ) 
3.16. а) Pn 



 (   ) t
.

e () t ; б) P0 (t ) 

e
 
 
(n) n 1   m1
n n  n m
p0 ;

p 0 ; б) p n  m 
n!
n!
1 
k

(n) n (1   m1 ) 
n1 (n)

N  p0  

,
(
k

1
)
!
(
n

1
)
!
(
1


)


k 1

где n – число приборов; m  число мест ожидания;   a (n) – загрузка
системы (a – параметр входного потока,   параметр времени обслуживания); p 0 – вероятность отсутствия требований в системе.
( n ) n
p 0 , где p 0 – вероятность отсутствия требований в
3.17. q n 
n!(1  )
системе.
20
k
k
  k 1 
a


a
p k    exp   i  p 0    e k ( k 1)


  i 0 
3.18.
   a k
где p 0      e k ( k 1)
k 0  

( 2 )


( 2)
p 0 , k  0, 1, ...,
1
.
k
 

3.19. p k  2 p k 1   2  p0 , k  0, M ;
1
 1 
 M 
p 0     2
k 0 1

k  1

 
 

1 
1 
M 1
, где    2 1 .
3.20. Решение. Анализируемый процесс является марковским, однако не может быть представлен как процесс рождения и гибели. Обозначим через (t ) число требований в системе в момент времени t,
Pk (t )  P{(t )  k} , k  0, 1, ... . Легко можем убедиться, что уравнения
Колмогорова для безусловных вероятностей Pk (t ) в этом случае имеют
вид
P0 (t )  aP0 (t )  P1 (t ) ;
P1(t )  (a  ) P1 (t )  ag1 P0 (t )  P2 (t ) ;
k 1
Pk (t )  (a  ) Pk (t )  a  g k i Pi (t )  Pk 1 (t ) , k  2,
i 0
где  – параметр времени обслуживания. Легко можно показать, что, как
следует из теории цепей Маркова, при   aG ' (1)   1 (заметим, что

G ' (1)   kg k представляет собой математическое ожидание числа треk 1
бований в прибывающей группе) существуют пределы pk  lim Pk (t ),
pk  0;
t 

Pk (t )  0 ; k  0, 1, ... . Будем считать, что выполнено
 pk  1; tlim

k 0
условие   1 . Тогда из выписанной системы дифференциальных уравнений получаем следующие стационарные уравнения:
21
0  ap0  p1 ;
0  (a  ) p1  ag1 p 0  p 2 ;
k 1
0  (a  ) p k  a  g k i pi  p k 1 , k  2 ;
i 0

 p k  1 (условие нормировки).
k 0
Чтобы получить уравнение для ПФ P(z ) , умножим k-е уравнение
полученной системы на z k , k  0, 1, ... , и сложим полученные уравнения.
При этом получим


k 1
 
0  aP( z )    p k z k  a  z k  g k i pi   p k z k .
z k 1
k 1
k 1
i 0
Вычислим двойную сумму в последнем соотношении:

a z
k
k 1


i 0

k i 1

 g k i p i  a  p i  g k i z k
k 1
i 0


 a pi z i
g k i z k i
i 0
k i 1



 a  pi z i  g l z l  aP( z )G ( z ) .
i 0
l 1
Тогда из этого соотношения следует уравнение для P(z ) :




a  aG( z )    z  P( z )     z  P(0) .
Поскольку P (1) 

 pk
 1 и G' (1)  E где  – число требований в
k 0
группе, то, дифференцируя полученное равенство по z в точке z  1,
a
находим, что P(0)  p0  1  G' (1)  1   . Имеем, следовательно,

P( z ) 
(   z 1 ) (1  )
a  aG( z )     z 1

(1  ) (1  z )
.
(1  z )  a z (1  G ( z ))
Математическое ожидание числа требований в системе при этом равно
2aG (1)  aG' ' (1)
.
E  P' (1) 
2(  aG' (1))
3.21. Решение. ПФ числа требований в группе в данном случае имеет вид
22

pz
.
1

(
1

p
)
z
k 1
При этом среднее число требований в группе E  G (1)  1 p , так что
  a G (1)   a ( p ) .
Подставляя полученное значение G(z ) в соотношение для ПФ P(z )
числа требований в системе BM / M / 1 /  (см. задачу 3.20), находим
(1  ) [1  (1  p) z ] (1  ) [1  (1  p) z ]
P( z ) 


  [a  (1  p)] z
1  (1  p  a ) z
G( z )  p  (1  p) k 1 z k 

 (1  )  [1  (1  p) z ] [(1  p  a ) z ] k 
k 0

 1    (1  )  [(1  p  a ) k  (1  p) (1  p  a ) k 1 ] z k 
k 1

 1    (1  )  ( a ) (1  p  a ) k 1 z k ,
k 1
откуда окончательно получаем
a
a
p 0  1   , p k  (1  ) 1  p  


k 1
, k  1, 2, ....
3.22. Решение. Если в момент прибытия некоторой группы в системе находится k других требований, то время ожидания для ее первого
требования распределено по закону Эрланга порядка k, k  0, 1, ... , с параметром  (где  – параметр времени обслуживания). Отсюда следует,
что ПЛС w1 (q) времени ожидания первого требования группы определяется соотношением

w (q)   e
1
0
 qt

k
  
  
  P
 ,
dW (t )   


q


q



k 0
1
где W 1 (t ) – ФР времени ожидания данного требования, P(z ) – ПФ числа
требований в системе в стационарном режиме.
В том случае, если требование имеет внутри группы номер i (i  1) ,
то время его ожидания равно сумме времени ожидания первого требования группы и времени обслуживания тех требований группы, которые
имеют номера j  1, i  1 , где все перечисленные СВ независимы в совокупности. Отсюда следует, что время  от начала обслуживания первого
23
требования в группе до начала обслуживания требования с номером i
распределено по закону Эрланга порядка i  1 с параметром  (это время,
очевидно, равно нулю, если i  1 ).
Стационарное распределение времени ожидания произвольного требования найдем с учетом того, что требование это содержится в составе
группы из k требований с вероятностью kg k G (1) (см. задачу 2.8). При
этом в группе размера k произвольное требование имеет номер i (i  1, k )
с вероятностью 1 k .
Таким образом, пользуясь формулой полной вероятности, для ПЛС
 (q) СВ  получаем
k
  


1

i

1
 kg
k



q


1

1

 
 
 (q )   k  
gk



G (1) k 1
k 1 G (1) i 1 k    q 
1
q
  
q 

 .
1

G

qG (1) 
   q 
Имеем, следовательно,
     
q 
 P
 ,
w(q)  w1 (q)  (q) 
1  G

qG (1) 


q


q

 

где Pz  определено в задаче 3.20.
В случае, когда число требований в группе распределено по геометрическому закону, находим, пользуясь обозначениями и соотношениями,
(1  ) p(  q)
полученными в задачах 3.20, 3.21, что w(q) 
. Обращая
q  (1  ) p
преобразование Лапласа w( q ) q , получаем

W (t )  1  [1  (1  ) p] e (1) pt .
3.23. Решение. Обозначим через p k  P{  k} стационарную вероятность наличия в системе k требований, k  0, 1, ... . Тогда в состояние
{  0} система переходит из состояний {  1}, …, {  r} с одинаковой
интенсивностью  и выходит из этого состояния с интенсивностью а. Из
состояния {  k} , k  1, система выходит, очевидно, с интенсивностью
a   , а переходит в него из состояния {  k  1} с интенсивностью а и
из состояния {  k  r} – с интенсивностью  .
24
Приведенные соображения позволяют выписать следующие уравнения равновесия:
ap0  ( p1  ...  p r ) ;
(a  ) p k  apk 1  p k r , k  1.
Введем ПФ P( z ) 

 p k z k . Умножая уравнение с номером k в полу-
k 0
ченной системе на z k и суммируя полученные уравнения по k от 0 до ,
имеем следующее уравнение для ПФ P(z ) :
r

 
( a  ) [ P ( z )  p 0 ] 
P( z )   p k z k   a zP ( z ) ,

zr 
k 0

r
  p k z k  ( a  ) p 0 z r
откуда находим P( z ) 
k 0
r 1
az
 ( a  ) z r  
. Из выписанной системы
r
уравнений следует, что (a  ) p 0    p k , поэтому, вводя обозначение
r 1
k 0
 pk ( z k  z r )
  a (r ) , получаем P( z ) 
r z
k 0
r 1
 (1  r) z r  1
.
Воспользуемся теперь теоремой Руше1. Многочлен в знаменателе
последнего выражения имеет r  1 корней, одним из которых является,
очевидно, z  1 . Как следует из теоремы Руше, r  1 из этих корней лежат в единичном круге z  1 . Корень z  1 является единственным из
корней, лежащим на окружности z  1 , а оставшийся корень z 0 удовлетворяет неравенству z 0  1. Поскольку функция P(z ) аналитична, а значит ограничена, в области z  1 , отсюда следует, что r  1 лежащих
внутри круга z  1 корней знаменателя должны совпадать с лежащими в
этой области корнями числителя. Обозначив через A(z ) и B(z ) соответСм., например, Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной / А. Н. Тихонов, А. Г. Свешников. М.: Наука, 1979.
Теорема Руше. Если функции f (z ) и g (z ) аналитичны внутри замкнутого контура  и на его границе, и f ( z )  g ( z ) на  , то функции f (z ) и f (z ) + g (z ) имеют одно и то же число нулей внутри контура  .
1
25
ственно числитель и знаменатель выражения для P(z ) , получаем, таким
B( z )
A( z )
образом, что многочлены
и
степени r  1 пропор(1  z ) (1  z z 0 )
1 z
циональны, т.е.
r 1
C  pk ( z k  z r )
k 0
1 z
r z r 1  (1  r) z r  1
.

(1  z ) (1  z z 0 )
Получаем отсюда, что P( z )  [C (1  z z 0 )] 1 . Постоянная С находится из
условия нормировки P(1)  1, откуда следует, что C  (1  1 z 0 ) 1 , т.е.
k
1  1 z0 
1    z 
P( z ) 
 1      ,
1  z z0 
z 0  k 0  z 0 
откуда следует, что
k

1  1 
p k  1     , k  0, 1, ... ,
z0   z0 

т.е. стационарное число требований в системе распределено по геометрическому закону.
1
g
 ag
ag 
g 
3.24. p0  1  1  2  , p1  ap0  1  2  .
1
2 
 1  2 

3.25. Решение. Состояния данной системы обозначим через ( k1 , k 2 ) ,
где k1  k 2  1 . Граф ее состояний показан на рис. 3.
Уравнения Колмогорова в данном случае имеют вид
P (0, 0, t )  (a1  a 2 ) P(0, 0, t )  1 P(1, 0, t )   2 P(0, 1, t ) ;
P (1, 0, t )  a1 P(0, 0, t )  1 P(1, 0, t )  a1 P(0, 1, t ) ;
P (0, 1, t )  a 2 P(0, 0, t )  (a1   2 ) P(0, 1, t ) .
Начальные условия: P(0, 0, 0)  1, P(1, 0, 0)  P(0, 1, 0)  0 . Условие
нормировки: P(0, 0, t )  P(1, 0, t )  P(0, 1, t )  1.

Введем преобразования Лапласа
p(k1, k 2 , q)   e  qt P(k1, k 2 , t ) dt .
0
Тогда из выписанных дифференциальных уравнений получаем с учетом
26
условия нормировки и начальных условий следующие уравнения для
функций p(k1 , k 2 , q) :
qp (0, 0, q)  1  (a1  a 2 ) p(0, 0, q)  1 p(1, 0, q)   2 p(0, 1, q) ;
q p(1, 0, q)  a1 p(0, 0, q)  1 p(1, 0, q)  a1 p(0, 1, q) ;
qp (0, 1, q)  a 2 p(0, 0, q)  (a1   2 ) p(0, 1, q) ;
p(0, 0, q)  p(1, 0, q)  p(0, 1, q)  1 q .
a1
0, 0
a2
1
1, 0
2
0, 1
a1
Рис. 3
Решая полученную систему, находим
a1
a 2 ( q  1 )
p (1, 0, q ) 
, p (0, 1, q) 
,
q (q  a1  1 )
q (q  a1  1 )(q  a1  a 2   2 )
(q  1 )(q  a1   2 )
p (0, 0, q) 
.
q (q  a1  1 )(q  a1  a 2   2 )
Обращая полученные преобразования Лапласа методами теории вычетов, имеем
a1
P(1, 0, t ) 
(1  e ( a1 1 ) t ) ;
a1  1
P(0, 1, t ) 
a 2 1
a1a 2

e ( a1 1 ) t 
(a1  1 )(a1  a 2   2 ) (a1  1 )(a 2   2  1 )

 ( a1  a2  2 ) t
a 2 1
a1a 2


;
e
(
a


)
(
a

a


)
(
a


)
(
a




)
 1
1
1
2
2
1
1
2
2
1 
1 (a1   2 )
a1 ( 2  1 )
P(0, 0, t ) 

e ( a1 1 ) t 
(a1  1 )(a1  a 2   2 ) (a1  1 )(a 2   2  1 )
27

 ( a1  a2  2 ) t
a2 
1
a1

e

.
a1  1  a1  a 2   2 a1   2  1 
Частные распределения числа требований первого и второго приоритетов имеют вид
1
a1

e ( a1 1 ) t ;
P0(1) (t )  P{1 (t )  0}  P(0, 0, t )  P(0, 1, t ) 
a1  1 a1  1
P1(1) (t )  P{1 (t )  1}  P(1, 0, t ) ;
P0( 2) (t )  P{2 (t )  0}  P(0, 0, t )  P(1, 0, t ) 
a (a  a2   2 )  1 (a1  1 )
a1a2
 1 1

e  ( a1  1 ) t 
(a1  1 )(a1  a2   2 )
(a1  1 )(a1   2  1 )

 ( a1  a2  2 ) t
a2 
1
a1

e

;
a1  1  a1  a 2   2 a 2   2  1 
P1(2) (t )  P{2 (t )  1}  P(0, 1, t ) .
Стационарные вероятности состояний получаются, если в соотношениях
для P(k1 , k 2 , t ) перейти к пределу при t   :
a1 (a1   2 )
a 2 1
p (0, 0) 
; p (0, 1)  p1( 2) 
;
(a1  1 )(a1  a 2   2 )
(a1  1 )(a1  a 2   2 )
a1
1
p (1, 0)  p1(1) 
; p 0(1) 
;
a1  1
a1  1
a (a  a 2   2 )  1 (a1   2 )
p 0( 2)  1 1
.
(a1  1 )(a1  a 2   2 )
Вероятность потери равна, очевидно, p(1, 0) для требования первого
приоритета и p(0, 1)  p(1, 0) – для требования второго приоритета. Стационарная вероятность r того, что поступившее на обслуживание требование второго приоритета будет обслужено полностью, равна, очевидно,
вероятности того, что за время его обслуживания не поступит ни одного
требования первого приоритета, или, как следует из свойств экспоненциального распределения,

a2
.
r   a 2 e ( a1 2 ) t dt 
a


2
2
0
28
4. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1/
Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 5].
ЗАДАЧИ
4.1. Определить плотность d (t ) dt периода занятости системы обслуживания M / M / 1 /  и его первые два момента.
4.2. Пусть  – случайное число требований, обслуженных в течение
периода занятости системы M / G / 1 /  . Пусть rk  P{  k} , k  1, 2, ...;
N ( z )  Ez  – ПФ СВ  Доказать, что функция N (z ) удовлетворяет уравнению N ( z )  z(a  aN ( z )) , где a – параметр входного потока; (q) –
ПЛС времени обслуживания. Найти первый момент и дисперсию случайной величины  .
4.3. Найти ПФ G(z ) и первый момент числа требований, ожидающих обслуживания в системе M / G / 1 /  в стационарном режиме. Вычислить функцию G(z ) и вероятности g k ( k  0, 1, ... ) того, что в очереди
находится k ожидающих обслуживания требований для СМО
M / M /1/  и M / D /1/  .
4.4. Рассмотрим произвольную систему обслуживания, в которую
поступает ординарный поток требований, и требования на приборах обслуживаются по одному, причем если  n – время обслуживания п-го
требования, то P{ n  0}  1, n  1, 2, ... . Обозначим через rk n вероятность того, что в момент времени  n , предшествующий п-му моменту
поступления требования, в системе находилось k требований, а через
 k n – вероятность того, что в момент времени t n п-го по счету окончания обслуживания после ухода обслуженного требования в системе
осталось k требований, k  0, 1, ... . Доказать, что rk  lim rk n   k 
n 
 lim  k n . Отсюда следует, в частности, что для системы M / G / 1 /  в
n 
стационарном режиме вероятности  k того, что в момент окончания обслуживания в системе останется k требований, совпадают с вероятностями rk того, что поступившее в систему требование застанет в ней k других требований.
29
4.5. Пусть wn – моменты порядка п времени ожидания в стационарной (   a1  1) системе обслуживания M / G / 1 /  , где а – параметр
входного потока,  n – момент порядка п времени обслуживания,
n  1, 2, ... . Пусть w0  1 . Доказать равенство
n n
(1  )nwn 1  a    wn  k  k , n  1,
k  2 k 
и получить формулы для вычисления w3 и w4 .
4.6. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой время обслуживания
определяется следующим образом: в момент поступления требования
подбрасывается монета, которая падает гербом вверх с вероятностью p.
В случае выпадения герба считаем, что требование обслуживается мгновенно (т.е. его время обслуживания равно нулю). В противном случае
(если выпала решка) считаем, что время обслуживания распределено
экспоненциально с параметром p. Найти ФР W (t ) стационарного времени ожидания и его первый момент.
4.7. Вывести формулу Поллачека-Хинчина для стационарной ПФ
числа требований в системе M / G / 1 /  в моменты окончания обслуживания с помощью метода введения дополнительного события.
4.8. Для системы M / G / 1 /  определить ФР промежутков времени
между соседними моментами окончания обслуживания (выхода требований из системы) в стационарном режиме. Отдельно рассмотреть случай
СМО M / M / 1 /  .
4.9. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой каждое требование,
независимо от других, покидает систему в момент окончания обслуживания с вероятностью p или возвращается в этот момент в очередь для
повторного обслуживания с вероятностью 1  p , не зависимо от числа
предыдущих повторений обслуживания данного требования. Определить
ПЛС (q ) периода занятости рассматриваемой СМО, стационарные ПФ
P(z ) и R(z ) числа требований в произвольный момент времени и в момент окончания обслуживания соответственно, ПЛС w(q) виртуального
времени ожидания и ФР F (t ) промежутков времени между моментами
выхода требований из системы (в стационарном режиме).
4.10. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой ФР B1 (t ) времени
обслуживания требования, прибывающего в систему в такой момент
времени, когда в ней отсутствуют другие требования, отличается от ФР
B(t ) времени обслуживания требования, прибывающего в систему в мо30
мент, когда ее прибор занят. Найти ПЛС (q ) периода занятости данной
СМО и ПФ N (z ) числа требований, обслуженных за период занятости.
4.11. Рассмотрим систему обслуживания M / G / 1 /  , в которой обслуживающий прибор ненадежен в занятом состоянии. Длительность его
нормального функционирования (в занятом состоянии) распределена
экспоненциально с параметром   0 . Сразу же после выхода из строя
начинается восстановление прибора, которое длится в течение случайного времени с ФР G(t ) . Требование, в течение времени обслуживания которого прибор вышел из строя, теряется. Пусть a – параметр входного
потока, а B(t ) – ФР времени обслуживания. Найти ПЛС (q ) периода
занятости, ПЛС w(q) времени ожидания в стационарном режиме, ПФ
P(z ) числа требований в системе в стационарном режиме.
4.12. Исследовать систему BM / G / 1 /  , в которой входной поток
требований стационарный без последействия, характеризуемый параметром a и ПФ G(z ) числа требований в поступающей в систему группе.
Пусть B(t ) – ФР времени обслуживания. Для данной системы найти
ПЛС (q ) периода занятости и стационарные ПФ P(z ) и R(z ) числа
требований в произвольный момент времени и в момент окончания обслуживания соответственно, а также ПЛС w * (q) стационарного виртуального времени ожидания.
4.13. Определить ПЛС w * (q) и первые два момента стационарного
виртуального времени ожидания для системы M / G / 1 /  , в которой
требования обслуживаются в соответствии с дисциплиной LIFO, a – параметр входного потока, B(t ) – ФР времени обслуживания.
4.14. Предположим, что в системе M / G / 1 /  стоимость t единиц
времени ожидания составляет c(t ) рублей, где c(t )   e bt . Определить
среднюю стоимость ожидания и условия, при выполнении которых она
конечна.
4.15. Рассмотрим систему BM / G / 1 /  со стационарным без последействия входным потоком, характеризуемым параметром a и ПФ G  z 

числа требований  в поступающей в систему группе: G ( z )   g k z k ,
где g k  P{  k} ,
k 1

 g k  1 . Будем считать, что в каждой поступающей
k 1
группе путем нумерации определен порядок обслуживания требований.
31
Для данной системы найти ПЛС w(q) стационарного времени ожидания
произвольного требования (не зависимо от его номера в группе), если порядок обслуживания групп требований соответствует дисциплине FIFO.
4.16. Вывести формулу Поллачека-Хинчина для стационарной ПФ
числа требований в системе M / G / 1 /  в произвольный момент времени, используя метод дополнительной переменной и не предполагая при
этом существования плотности времени обслуживания.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.1.
d (t )
1

I1 (2  t  ) e (1) t ,   a  , где I1 (t ) – функция
dt
t 
Бесселя первого рода; 1  (  a) 1, 2  2(  a) 3 .
Указание: воспользоваться таблицами преобразований Лапласа.
1
4.2. N ( z )  z(a  aN ( z )) , E  (1  ) , D 

(1  ) 2

a 2 2
(1  ) 3
,
где  2 – второй момент времени обслуживания.
Указание: воспользоваться методом введения дополнительного события.
(1  ) (1  z )
4.3. G( z ) 
, первый момент числа ожидающих требова(a  a z )  z
a 2 2
ний: G ' (1) 
, где  2 – второй момент времени обслуживания.
2(1  )
Для СМО M / M / 1 /  :
(1  ) z
G( z )  1   2 
, g 0  1   2 ; g k  (1  )  k 1 , k  1, 2, ....
1  z
Для СМО M / D / 1 /  :
(1  ) (1  z )
G( z ) 
, g 0  (1  ) e  ; g k  p k 1 , k  1, 2, ... ,
e (1 z )  z
где вероятности p k определяются соотношениями [1, формула (5.37)].
4.4. Решение. Пусть (t ) – число требований в системе в момент
времени t,  n – моменты поступления требований, t n – моменты окончания обслуживания (выхода требований из системы), n  1, 2, ... . Пусть в
32
начальный момент времени в системе находилось i требований, (0)  i ,
i  0, 1, ... . Введем обозначения (t n )  (t n )  n , ( n )  n .
Докажем, что из неравенства  n i  k следует неравенство
n  k 1  k , k  1, 2, .... Пусть непосредственно после (n  i) -го момента
окончания обслуживания в системе осталось ровно l требований,
l  0, k  1 , т.е.  n i  l . С учетом начального условия это означает, что
до данного момента в систему поступило ровно n  l требований, и, следовательно, в некоторый момент времени ( t n i ) между  nl и  n l 1 в
системе было не более l требований. Поэтому в момент n  k 1 
  n  k  l  l 1 в системе было меньше, чем k  l требований, l  0, k  1 ,
т.е. n  k 1  k .
Докажем теперь обратное утверждение, т.е. что из n  k 1  k следу-
ет  n i  k . Действительно, если в момент  nk 1 в системе находилось l
требований, l  0, k  1 , то к этому моменту было обслужено ровно
n  k  l  i требований, т.е. в момент t n i число требований в системе
было меньше, чем k  l , откуда следует  n i  k .
Доказанное означает, что P{ n i  k}  P{n  k 1  k} для каждого
i  0, 1, ... и любого конечного k  1, 2, ..., откуда следует, что
lim P{ ni  k}  lim P{ m  k}  lim P{nk 1  k}  lim P{j  k} ,
n
m
n
j 
где m  n  i , j  n  k  1. Значит предельные при n   распределения
СВ  n и n одинаковы, откуда следует равенство rk   k .
a 2  2  3 3a 3 2 3
a 4


4.5. w3 
,
4(1  ) (1  ) 2 4(1  ) 3
a 5
a2
w4 

5(1  ) (1  ) 2
2
3 2
4 4

    2 3   3a  2  3  3a  2 .
 2 4
3 
(1  ) 3
2(1  ) 4

4.6. W (t )  1  pe (1) t , 1 
1 p
,   a1 .
p
t
4.8. F (t )  B(t )  (1  )  [1  e a (t u ) ]dB(u ) . Для СМО M / M /1/  :
F (t ) 1  e
 at
0
.
33
4.9. (q)  (q  a  a(q)) [ p  (1  p)(q)] ,
w(q) 
P( z ) 
( p  a1 ) (1  z ) (a  a z )
,
[ p  z (1  p)] (a  a z )  z
R( z ) 
( p  a1 ) (1  z ) [ p  (1  p) z ] (a  az)
,
[ p  (1  p) z ] (a  az)  z
p  a1
p


a(1  (q))
(a  a(q))  (q)

1 
,
q

a

a

(
q
)
[
p

(
1

p
)

(
q
)]

(
a

a

(
q
))


(
q
)


t
F (t )  (1  p  a1 ) B(t )  ( p  a1 )  [1  e a(t  x) ] dB( x) .
0
4.10. (q)  1 (q  a  a1 (q)) , где 1 ( q ) – решение функционального уравнения 1 (q)  (q  a  a1 (q)) , (q) – ПЛС ФР B(t ) , 1 (q) –
ПЛС ФР B1 (t ) ; N ( z )  z1 (a  aN 1 ( z )) , где N1 ( z ) – решение уравнения
N1 ( z )  z(a  aN 1 ( z )) .
4.11. (q)  h(q  a  a(q)) , где

g (q) ,
q
(q) – ПЛС времени обслуживания, g (q) – ПЛС ФР G(t ) ;
(1  ) (1  z )h(a  a z )
(1  )q
; w(q) 
.
P( z ) 
q  a  ah(q)
h( a  a z )  z
h(q)  (q  )  [1  (q  )]
4.12. (q)  G((q  a  a(q))) , где (q) – ПЛС времени обслуживания;
(1  ) (1  z ) (a  aG( z ))
, где   a1G ' (1)  1 ;
P( z ) 
(a  aG( z ))  z
(1  ) (1  G ( z )) (a  aG( z ))
(1  )q
; w * (q) 
.
R( z ) 
G ' (1)[(a  aG( z ))  z ]
q  a  aG((q))
4.13. Решение. Пусть W * – стационарное виртуальное время ожидания. Имеем W *  0 , если в момент поступления фиктивного требования в системе не было других требований. Вероятность этого события
равна p 0  P{  0} , где  – число требований в системе в произвольный
момент времени в стационарном режиме. Пусть pn  P{  n}, n  0, 1, ... ;
p n ( x) dx  P{  n, *  [ x; x  dx )} , n  1, 2, ... , где * – остаточное время
обслуживания обслуживаемого требования в стационарном режиме. В
том случае, когда прибывающее в систему фиктивное требование застает
34
в ней n  1 других требований и в момент его поступления имеет место
равенство  *  y , время ожидания равно y плюс сумма периодов занятости, соответствующих всем тем требованиям, которые поступили в систему за  *  y единиц времени. Пусть (q ) – ПЛС периода занятости;
вероятность того, что за время y в систему поступит k требований равна
(ay) k e ay k !, где a – параметр входного потока. Тогда ПЛС
w * (q |   n,  *  y ) условной ФР
W * (t |   n,  *  y )  P{W *  t |   n,  *  y}
имеет вид

(ay) k ay
 qy
w * (q   n, *  y )  e
 k! e ((q)) k  e  (q  a  a(q)) y ,
k 0
n  1, 2, ....
Очевидно, что ПЛС w * (q) ФР W * (t )  P{W *  t} имеет вид
 
w * (q)  p0    p n ( y) w * (q   n, *  y )dy 
 p0 
n 1 0
 
  pn ( y)w * (q   n, *  y) dy 
0 n 1

 p0   e
( q  a a( q )) y

 p n ( y)dy ,
n 1
0
где, как следует из соотношения [1, формула (5.31)],

a  az
[1  B( y )] 
 p n ( y)  p(1, y)  p0 lim
z 1 ( a  a z )  z
n 1
a
 p0
[1  B( y )]  a[1  B( y )] .
1  a1
В результате получаем

w * (q)  p 0  a  [1  B( y)]e ( q  a a( q)) y dy  p 0 
0
a(1  (q  a  a(q)))
,
q  a  a(q)
или в силу соотношения (8) и того, что p 0  1   ,
a(1  (q))
.
w * (q)  1   
q  a  a(q)
Для первого момента виртуального времени ожидания легко
a 2
получить w1* 
, что равно первому моменту времени ожидания в
2(1  )
35
случае дисциплины FIFO. Это следует также из формулы Литтла. Для
a3
второго момента виртуального времени ожидания имеем w2* 

2
3(1  )

a 2 2 2
, (соотношение для третьего момента периода занятости, ко2(1  ) 3
торое используется при выводе последней формулы, имеет вид
3
3a 2 2
).
3 

(1  ) 4 (1  ) 5
(1  )b
, где (q) – ПЛС времени обслуживания; c –
b  a  a(b)
конечная величина, если только b  a(1  (b)) .
4.14. c 
(1  ) q(1  G ((q)))
, где (q) – ПЛС времеG (1) (1  (q)) (q  a  aG((q)))
ни обслуживания.
4.15. w(q) 
5. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ,
ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ ВЛОЖЕННЫХ
ЦЕПЕЙ МАРКОВА И ЛИНЕЙЧАТЫХ
ПРОЦЕССОВ
Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 6].
ЗАДАЧИ
5.1. Определить преобразование Лапласа по t вероятности
P{(t )  0} свободного состояния системы обслуживания M / G / 1 / 0 в
момент времени t, считая, что в начальный момент t  0 система была
свободна ( P{(0)  0}  1 ).
5.2. Определить ПЛС (q ) периода занятости системы M / G / 1 / 1 а
также ПФ N (z ) числа требований, обслуженных за период занятости.
5.3. Для системы обслуживания E 2 / M / 1 /  определить стационарные вероятности  k наличия k требований в системе в моменты поступ-
36
ления, а также стационарные вероятности p k наличия k требований в
произвольные моменты времени, k  0, 1, ... .
5.4. Рассмотрим систему H 2 / M / 1 /  , для которой ФР промежутков
времени между соседними моментами поступления требований имеет
вид A(t )  1  g1e a1t  g 2 e a2 t , g1  g 2  1 . Вычислить вероятности  k ,
p k , смысл которых определен в задаче 5.3. Определить также стационарную ФР W (t ) времени ожидания в случае, если a1  2, a2  1,
g1  5 8 ,   2 , где  – параметр времени обслуживания.
5.5. Рассмотрим систему D / M / 1 /  , в которой значение параметра
времени обслуживания  и загрузки  такие же, как в системе из задачи
5.4. Для данной системы вычислить вероятности  k и p k (см. задачу
5.3) и определить стационарную ФР W (t ) времени ожидания (все вычисления выполнять с точностью до второго знака после запятой).
5.6. Для системы GI / M / 1 / 1 определить стационарные вероятности
 k , k  0, 1, 2 , наличия в системе k требований в моменты поступления.
5.7. Рассмотрим систему обслуживания GI / M / 1 /  , в которой стоимость ожидания обслуживания составляет c( y)  aeby рублей за y единиц времени. Найти среднюю стоимость ожидания. Определить условия,
при которых эта величина конечна.
5.8. Найти стационарные вероятности  k , k  0, 1, ... , наличия k требований в моменты поступления, а также ФР W (t ) времени обслуживания для системы GI / M / 2 /  .
5.9. Рассмотрим систему обслуживания GI / M / 1 /  , для которой
A(t ) – ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований,  – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР
A(t ) . Пусть  – период занятости данной системы,  (t ) – его ФР, (q )
– ПЛС ФР  (t ) . Доказать, что функция (q ) удовлетворяет уравнению
(1   (q))
, где функция  (q) определяется уравнением
(q) 
q  (1   (q))
(q)  (q    (q)) .
5.10. Рассмотрим систему GI / M / n /  , для которой A(t ) – ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований,  – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) ,
37
1


    tdA(t )  . Пусть выполнено условие    (n)  1 . Найти ПЛС


0

w(q) ФР W (t ) стационарного времени ожидания в том случае, если очередность обслуживания требований соответствует дисциплине LIFO.
Особо рассмотреть случай СМО M / M / n /  , для которой a – параметр
входного потока.
5.11. Определить ФР W * (t ) виртуального времени ожидания в стационарном режиме для системы GI / M / 1 /  в случае дисциплины FIFO,
а также ПЛС w * (q) этой СВ в случае дисциплины LIFO.
5.12. Для системы M / G / n / 0 вывести формулы Эрланга, не предполагая существования плотности времени обслуживания.
5.13. Для системы обслуживания M / H r / 1 / m ( m   ), характеризуемой параметром а входного потока и параметрами g1 , ..., g r ; 1 , ...,  r
распределения времени обслуживания, найти соотношения для распределения числа требований в системе в стационарном режиме. Отдельно
рассмотреть случаи m  1 и m  2 .
5.14. Рассмотрим систему, описанную в задаче 3.6, в частном случае
r  1 (т.е. когда п станков обслуживаются одним рабочим). Найти ПЛС
w(q) и первый момент w1 стационарного времени ожидания начала обслуживания вышедшего из строя станка.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.1. p0 (q)  [q  a  a(q)] 1 , где а – параметр входного потока,
(q) – ПЛС времени обслуживания.
(q  a) (q  a)
z(a)
5.2. (q) 
, N ( z) 
, где а – параметр
q  a(q  a)
1  z (1  (a))
входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания.
5.3.  k  (1  ) k , k  0, 1, ... , где  
  2a  (  4a)
2
;
p 0  1   , p k  (1  ) k 1 , k  1, 2, ..., где     ,   a 2 .
Здесь а – параметр входного потока,  – параметр времени обслуживания.
5.4.  k  (1  ) k ; p k  (1  ) k 1 , если k  1 и p 0  1   , где
    ,   g1a1  g 2 a 2 . Здесь
38

  a1  a 2   2  2(a1  a 2 )  (a1  a 2 ) 2  4( g1a1  g 2 a 2 )
2
Подставляя числовые данные получим
k
.
k 1
13
13  3 
 k    , k  0, 1, ...; p k    , k  1, 2, ... ;
44
64  4 
3
W (t )  1  e (1 ) t  1  e t 2 .
4
k
k
5.5.  k  (1  )  0,35 (0,65) , k  0, 1, ... ,
p 0  1    3 16 , pk  (1  ) k 1  0,28 (0,65) k 1 , k  1, 2, ...,
W (t )  1  e (1)t  1  0,65e 0,7t .
1  ()  1 ()
() (1  ())
(()) 2
5.6.  0 
, 1 
, 2 
, где 
1  1 ()
1  1 ()
1  1 ()
– параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) промежутков
времени между моментами поступления требований.
a(1  )(b  )
5.7. c 
, где  – параметр времени обслуживания,  –
b    
единственный корень уравнения   (  ) ( (q) – ПЛС ФР A(t )
промежутков времени между моментами поступления требований), удовлетворяющий условию 0    1 . Полученная величина конечна, если
b      0 , т.е.   b (1  ) .
()(1  )(1  2)  k 1
(1  )(1  2())
5.8.  0 
, k 
, k  1, 2, ...,
1    ()
1    ()
где (q) – ПЛС ФР промежутка времени между соседними моментами
поступления требований,  – единственный корень уравнения
(1  2)() 2(1 ) t
,
  (2  2) , такой что 0    1 ; W (t )  1 
e
1    ()
t  0.
5.9. Решение. Обозначим через  k длительность промежутка времени от момента поступления в систему некоторого требования до ближайшего момента освобождения системы от требований, при условии,
что в указанный момент поступления в системе находилось k других
требований, k  0, 1, ... . Тогда  0 является, очевидно, периодом занятости данной СМО. Введем обозначение  k (t )  P{ k  t} . Определим
функцию 1   k (t )  P{ k  t} . Для того чтобы произошло событие
39
 k  t , необходимо и достаточно, чтобы 1) либо в течение времени t в
систему не поступали требования и в ней было обслужено не более k
требований; вероятность такого события есть
  t
( t ) k  t 
 t
(1  A(t )) e
 t e
 ... 
e
;
k
!


2) либо первое поступление требования произошло в течение времени,
лежащего в интервале [u; u  du) , где u  (0; t ) , и во временном интерва-
ле (0; u) было обслужено i требований, i  0, k , а длительность промежутка времени  k 1i , следующего за моментом u , составляла не менее
t  u единиц времени; вероятность этого события равна
t
  u
 u
 e [1   k 1 (t  u)]   ue [1   k (t  u)]  ... 
0

( u ) k  u


e
[1  1 (t  u )] dA(u ) .
k!


В результате получаем

( t ) k 
 t
1   k (t )  (1  A(t )) e
1   t  ... 

k
!




  e  u 1   k 1 (t  u )   u[1   k (t  u )]  ... 


0

( u ) k  u


e
[1  1 (t  u )] dA(u ) , k  0 .
k!


t
Введем обозначения  ( z, t ) 

z
k 0
k

[1   k (t )] , ( z, q)   e q t d t ( z, t ) .
Из соотношения для 1   k (t ) следует, что
( z, q)[ z  (q     z )] 
0
zq
[1  (q     z )]  (q     z ) (0, q).
(1  z ) (q     z )
Легко проверить, что уравнение z  (q     z ) имеет относительно z
единственное решение  (q) в области Re q  0 , такое что  (q)  1.
Функция  (q) аналитична в указанной области. Подставляя в уравнение

40
q
.В
q      (q)
силу определения функции (0, q) имеем (q)  1  (0, q) , откуда следу(1   (q))
ет, что (q) 
.
q  (1   (q))
5.10. Решение. Пусть в некоторый момент времени  в системе
находится n  1 требований и поступает очередное n-е требование. В
данный момент все приборы в системе заняты. Поэтому, в силу свойства
отсутствия памяти у экспоненциального распределения, длительности
остаточных времен обслуживания требований, занимающих приборы в
момент  , распределены экспоненциально с параметром  .
Обозначим через  длительность промежутка времени от момента
 до ближайшего момента времени, в котором число требований в системе будет меньше n. Поскольку в течение времени  все приборы будут заняты, то в силу свойств экспоненциального распределения случайная величина  имеет то же распределение, что и период занятости
СМО GI / M / 1 /  (см. задачу 5.9), для которой A(t ) является ФР промежутков времени между моментами поступления требований, а n – параметр времени обслуживания.
В случае дисциплины LIFO время ожидания требования, поступившего в систему в тот момент, когда в ней имелся по крайней мере один
для ( z, q) функцию  (q) вместо z, получаем (0, q) 
свободный прибор (вероятность этого равна
n 1
  i , где
i 0
 i – стационар-
ная вероятность того, что в момент поступления требования в системе
находится i других требований, i  0, 1, ... ), равно нулю. Если же в момент
поступления отсутствуют свободные приборы (вероятность этого равна
n 1
1    i ), то время ожидания имеет то же самое распределение, что и
i 0
n 1
случайная величина  . Введем обозначение     i . Пусть w(q) –
i 0
ПЛС стационарного времени ожидания. Тогда имеем
w(q)    (1  )(q) ,
где (q ) определяется уравнениями (см. задачу 5.9)
n(1   (q))
, (q)  (q  n  n(q)) .
(q) 
q  n(1   (q))
Из теории СМО GI / M / n /  (см. [1, формула (6.29)]) следует, что
41
1
n2
 1
 n1

  C
 Rk   1     Rk   Rk .
k 0
k 0

 k 0
В случае, если n  1, имеем   1   , откуда следует
w(q)  1    (q) .
n 1
n 1
(n) n p 0
Для СМО M / M / n /  имеем   1 
, где   a  (a – параметр
n !(1  )
входного потока). В результате получаем
(n) n p0
w(q)  1 
(1  (q)) ,
n !(1  )
где, как известно (см. задачу 4.1),
(q) 
q  a  n  (q  a  n) 2  4an
.
2a
Используя выражение для явного вида плотности периода занятости, полученное в задаче 4.1, находим явный вид ФР W (t ) времени ожидания:
t
(1) n u

(n) n p 0 
1 I 1 ( 2n  u  ) e
W (t )  1 
du
1 
.

n !(1  ) 
u
0

1


*
(1)  t
5.11. W (t )  1   e
, где     ,     t dA(t )  , A(t ) – ФР


0

промежутков времени между моментами поступления требований,  –
параметр времени обслуживания,  – единственный корень уравнения
  (  ) , такой что 0    1 , где (q) – ПЛС ФР A(t ) ; w * (q) 
 1     (q) , где (q ) – ПЛС ФР периода занятости (см. задачу 5.9).
5.13. В случае m  1 получаем

 r gkk

p 0  1   

 k 1 a   k

 r g 

  , p1  p 0   k k
 
 k 1 a   k
 

p 2  1  (1  p 0 )  .
Для m  2 имеем

 r gkk

p 0  1   
 k 1 a   k

1  1
1 


g 
 1    k k
   a
k
   k 1
r
42




1




1

 1 ,


1

 
1   g k  k 2a   k    ,
2


 k 1 a   k 
 
r
 r g 
p1  p 0   k k
 k 1 a   k





1

 1 ,


2
r g  ( 2a   ) 
 r gkk  
k k
k


p 2  p0  
1


 , p3  1  (1  p 0 )  ,


2
a


(
a


)
k  
k 1
 k 1
k

r g
где   a  k .
k 1  k
5.14. В обозначениях задачи 3.6 получаем
N  (1  p 0 )
p n! n 1
k
w1 
,
.
w(q)  0 
n  N k  0 (n  k  1)!(  q) k
(n  N )
6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОБЪЕМА ПАМЯТИ
ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 7].
ЗАДАЧИ
6.1. Предположим, что каждое требование потока характеризуется
случайным объемом  , независимым ни от объемов других требований,
ни от момента поступления данного требования в систему. Пусть L(x) 
 P{  x} – ФР СВ  , а (s) – ее ПЛС. Будем считать, что s  0 , и воспользуемся методом введения дополнительного события. Требование
объема x будем считать красным с вероятностью e sx или синим с вероятностью 1  e  sx , не зависимо от других требований. Время обслуживания  требования будем считать зависимым от его объема. Известна ФР
случайного вектора (, ) : F ( x, t )  P{  x,   t}.
Пусть ( s, q)  Ee
 s q


 e
 sxqt
00
dF ( x, t ) – двумерное ПЛС слу-
чайного вектора (, ) . Какой вероятностный смысл имеют функции
43
(s) и ( s, q) ? Как связаны между собой функции F ( x, t ) , L(x) ,
B(t )  P{  t}, а также функции ( s, q) , (s) , (q)  Ee
q

  e qt dB(t ) ?
0
6.2. Рассмотрим систему M / M / 1 / (, V ) , в которой объем требования распределен экспоненциально с параметром f  0 , а время обслуживания не зависит от объема требования и распределено экспоненциально
с параметром  . Пусть а – параметр входного потока. Найти ФР D(x)
суммарного объема для данной системы в стационарном режиме и вычислить его первый момент.
6.3. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой каждое требование,
не зависимо от других, характеризуется случайным объемом  , причем
время обслуживания  зависит только от объема требования. Известна
совместная функция распределения случайных величин  и  :
F ( x, t )  P{  x,   t} , ее ПЛС равно
( s, q)  Ee
 s q


 e
 sxqt
dF ( x, t ) .
00
Обозначим через  суммарный объем требований, обслуженных за
период занятости анализируемой системы. Пусть ( x)  P{  x} – ФР
СВ  , а
( s)  Ee
 s

  e sx d( x) – ее ПЛС. Доказать, что функция
0
 (s ) удовлетворяет функциональному уравнению ( s)  ( s, a  a( s)) ,
где a – параметр входного потока. (Можно доказать, что это уравнение
определяет единственную функцию  (s ) , аналитическую в области
Re s  0 , в которой  ( s)  1 , причем функция  (s ) может быть представ
лена в виде  ( s)   e sx d( x) , где (x) – ФР собственной СВ, если
0
  a1  1, 1 – первый момент времени обслуживания, и несобственной
СВ при   1; последнее означает, что ()  1, если   1 , и ()  1,
если   1.) Вычислить первые два момента СВ  (в случае   1).
6.4. Показать, что функциональные уравнения (q)  (q  a  a(q))
для ПЛС периода занятости системы M / G / 1 /  (см. [1, п. 5.3]) и
N ( z )  z(a  aN ( z )) для ПФ числа требований, обслуженных за период
занятости (см. задачу 4.2) являются частными случаями функционально-
44
го уравнения для ПЛС суммарного объема требований, обслуженных за
период занятости, полученного в задаче 6.3.
6.5. Пусть в системе M / G / 1 /  каждое требование характеризуется
случайным вектором признаков ζ  (1 , ...,  n ) (каждая из СВ  i неотрицательна, i  1, n ), не зависимых от признаков других требований. Время
обслуживания  требования зависит только от вектора его признаков.
Известна ФР случайного вектора (ζ, )  (1 , ...,  n , ) :
F ( x1 , ..., x n , t )  P{1  x1 , ...,  n  x n ,   t}
и ее ПЛС:
( s1 , ..., s n , q)  Ee
 s11 ... sn n  q
 
  ...  e  s1x1 ... sn xn qt dF ( x1 , ..., x n , t ) .
0
00
Обозначим через Γ  (1 , ..., n ) случайный вектор суммы i-х компонент векторов признаков требований, обслуженных за период занятости системы, i  1, n . Вывести функциональное уравнение для ПЛС
 ( s1 , ..., s n )  Ee
 s11 ... snn
 
  ... e  s1x1 ... sn xn d( x1 , ..., x n )
0
0
случайного вектора Γ .
6.6. Пусть  – случайная длительность периода занятости системы
M / G / 1 /  ,  – число требований, обслуженных за этот период.
Обозначим через (t |   n)  P{  t |   n} условную ФР СВ  при
условии, что за период занятости было обслужено n требований,
n  1, 2, .... Пусть rn  P{  n} . Тогда функция
 q
g ( z, q)  E( z e


)   z rn  e qt d(t |   n)
n1
n
0
характеризует совместное распределение СВ  и  . Доказать, что
функция g ( z, q) удовлетворяет функциональному уравнению
g ( z, q)  z(q  a  ag( z, q)) ,
где а – параметр входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания.
6.7. Для системы обслуживания требований случайного объема
M / G / 1 /  , (см. [1, п. 7.7]) найти ПЛС стационарного объема обслуживаемого требования и ПЛС стационарного суммарного объема ожидающих требований, а также два первых момента этих СВ.
6.8. Рассмотрим систему, отличающуюся от описанной в [1, п. 7.7]
тем, что ее входной поток является стационарным без последействия, характеризуемым параметром a и ПФ G (z ) числа требований в прибыва45
ющей группе. Найти ПЛС (s ) стационарного суммарного объема требований  в этой системе. Вычислить первый и второй моменты случайной величины  .
6.9. Рассмотрим систему M / G / 1 / 0 , в которой каждое требование,
не зависимо от других, характеризуется случайным объемом  . Пусть
a – параметр входного потока. Предположим, что время обслуживания 
зависит от объема требования. Пусть F ( x, t )  P{  x,   t} – ФР случайного вектора (, ) , а ( s, q) – двойное ПЛС функции F ( x, t ) . Обозначим через (t ) суммарный объем требований, находящихся в системе
в момент времени t, и предположим, что (0)  0 (нулевые начальные

условия). Определить функцию ( s, q)   e qt Ee  s (t ) dt (представляю0
щую собой, очевидно, преобразование Лапласа по t функции ( s, t ) , которая, в свою очередь, при фиксированном t является ПЛС по х ФР
D( x, t )  P{(t )  x} СВ (t ) ). Какой вероятностный смысл имеет функция q( s, q) ?
6.10. Рассмотрим систему, анализируемую в задаче 6.9, в стационарном режиме (предполагаем, что выполняется неравенство a1   , где
1 – первый момент времени обслуживания). Пусть D( x)  lim D( x, t ) 
t 
 P{  x} , где  – стационарный суммарный объем требований в этой
системе. Пусть (s ) – ПЛС СВ  . Оказывается, что (s)  lim q(s, q) .
q0
Объяснить этот факт, пользуясь методом введения дополнительного события, и найти функцию (s ) .
6.11. Рассмотрим систему M / G / n / 0 в стационарном режиме, в которой каждое требование, не зависимо от других, характеризуется случайным объемом  с ФР L(x) . Время обслуживания  требования не зависит от его объема и характеризуется ФР B(t ) . Пусть a – параметр
входного потока. Суммарный объем требований в системе ограничен
постоянной величиной V  0 . Для рассматриваемой системы найти распределение числа требований { p k } , k  0, n , и вероятность p  потери
требования. Рассмотреть случай L( x) 1  e  fx , f  0 .
6.12. Рассмотрим систему M / G /  с ограниченным величиной
V  0 суммарным объемом. Предполагаем, что в этом случае объем требования  не зависит от объема других требований и характеризуется
46
ФР L(x) . Время обслуживания  не зависит от объема требования и характеризуется ФР B(t ) . Пусть a – параметр входного потока. Для данной
системы найти стационарное распределение числа требований и
вероятность потери. Рассмотреть частный случай L( x) 1  e  fx , f  0 .
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
 1  e  (1 ) fx
, если x  V ,
a

6.2. D( x)  1  e  (1 ) fV
где   ,


1
,
если
x

V
,

1  1  e (1) fV [1  (1  ) fV ]
.
E   x dD( x)  

(1) fV
f
1


1


e
0
V

2a111 a 2 2 12
1
; E 2   ' ' (0)  2 
.

1   (1  ) 2 (1  ) 2
1 
6.5.  ( s1 , ..., sn )  ( s1 , ..., sn , a  a ( s1 , ..., sn )) .
6.7. В обозначениях [1, п. 7.7] получаем, что ПЛС суммарного объема обслуживаемого требования равно r ( s )  1    a q ( s, q) q 0 , а ПЛС
6.3. E   ' (0) 
(1  )(1  ( s))
.
(a  a( s))  ( s)
Первые два момента данных СВ равны соответственно r1  a11 ,
суммарного объема ожидающих требований h(s) 
a 2  2  2 a 3 3 12 a 4  2 2 12
a 2 2 1


r2  a 21 ; h1 
, h2 
.
2(1  )
3(1  )
2(1  )
2(1  ) 2
6.8. В обозначениях [1, п. 7.7] имеем
 ( s )  ( s, a  aG(( s ))) 
( s )  (1  )1 
,

(
a

aG
(

(
s
)))


(
s
)


где   a1G ' (1) ;
a1[a 2 (G' (1)) 2  1G (1)]
;
1  aG' (1)11 
2(1  )
 2  aG' (1) [ 21
a111 [G ' ' (1)  a 2  2 (G ' (1)) 3 ]
 aG' (1)112 ] 

1 
47
a1 2 G' ' (1)  a 2 2 G' (1) [212 G' ' (1)   2 G' (1)]


2(1  )
a12 [a 2 3 (G' (1)) 3  1G' ' ' (1)] a 31 2 12 (G (1)) 2 G ' ' (1)



3(1  )
(1  ) 2

a 2 12 [a 2  22 (G ' (1)) 4  12 (G ' ' (1)) 2 ]
.
2(1  )
q  a(( s)  ( s, q))
6.9. ( s, q) 
.
q(q  a  a(q))
1  a q ( s, q) q 0
, где 1 – первый момент времени об6.10. ( s ) 
1  a1
служивания.
2
1
 n yj

yk
Lk (V ) 
L j (V )  ,
6.11. В обозначениях [1, раздел 7] pk 
 j 0 j!

k!


k  0, n . В случае
L( x) 1  e  fx имеем
Lk (V )  1  e  fV
k 1
( fV ) j
 j! ;
j 0
n 1 i
y
Li 1 (V ) .
i
!
i 0
p  1  p0 
1
  yk

yk
Lk V  , k  1, 2, ...;
6.12. p0    Lk (V )  , pk  p0


k
!
k
!
 i 0

 i
y
p   1  p 0  Li 1 (V ) .
i 0 i !
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихоненко О. М. Моделирование процессов и систем обработки информации:
курс лекций / О. М. Тихоненко. Мн.: БГУ, 2008.
2. Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей / А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. М.: Наука, 1989.
3. Прохоров А. В. Задачи по теории вероятностей / А. В. Прохоров, В. Г. Ушаков,
Н. Г. Ушаков. М.: Наука, 1986.
48
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ТЕОРИЯ ВХОДНОГО ПОТОКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3. МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ . . . . . . . .
9
4. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1/ . . . . . . . . . . . . . . .
29
5. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ,
ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ ВЛОЖЕННЫХ
ЦЕПЕЙ МАРКОВА И ЛИНЕЙЧАТЫХ ПРОЦЕССОВ . . .
36
6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОБЪЕМА ПАМЯТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ . .
43
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
49