Республика Татарстан Альметьевский муниципальный район Муниципальное образовательное учреждение – Маметьевская средняя образовательная школа Урок алгебры в 8 – классе на тему: “Решение квадратных уравнений с помощью формул” Провела: учитель математики высшей квалификационной категории Гилязова Миляуша Ахатовна Тема: Решение квадратных уравнений по формуле. Цель урока: закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы, уметь применять формулы для нахождения дискриминанта и корней уравнения; воспитать у учащихся интереса к учебе с помощью народной педагогики. Оборудование: учебник, плакаты с пословицами, карточки для тестирования и для групповой работы, диск “Алгебра, 7-11 кл. Образовательная коллекция”, слайды. Ход урока. I. Актуализация. Свой урок я хочу начать четверостишьем С.Маршака: Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, И сердце добрым будет. Желаю вам доброго ума и большого внимания! Для сегодняшнего урока я выбрала такой эпиграф: “Торопись, ведь дни проходят – Ты у времени в гостях”. Сегодня очень трудно жить человеку без знаний, так как мы с вами живем в эпоху новой технической и информационной революции. Наше время – период невиданного расцвета математики. Как сказал английский философ Роджер Бэкон:“Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества”. И я хочу пожелать вам, дорогие ребята, чтобы вы научились не только извлекать пользу из занятий математикой, но и восхищаться ее красотой. Сегодняшний урок мы проведем в форме устного журнала. Мы проверим, как вы усвоили тему: ”Решение квадратных уранений по формуле”. 1. Устная работа. Первая страница журнала: “Повторение – мать учения” - Какое уравнение называется квадратным уравнением? ( ах2 + вх + с =0, а = 0, х –переменная, а,в,с – некоторые числа) - Какое уравнение уравнением? ( а = 1) называется приведенным квадратным - Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением? (если один из коэффициентов в и с или оба равны нулю) -От чего зависит число корней? (От знака дискриминанта: при Д > 0, 2 корня; при Д = 0, 1 корень; при Д < 0, нет корней) -По какой формуле вычисляется дискриминант? ( Д = в2 - 4ас) -По какой формуле вычисляются корни квадратного уравнения? ( х1; 2 = -в ± Д) 2.Два ученика работают у доски: 1 ученик вычисляет корни с помощью Д, а другой - Д1: х2 - 4х - 5 = 0 II. Изучение нового материала. 1. Вторая страница журнала: “Кто не знает свою историю, не узнает и будущее» (Портреты ученых появляются на слайдах). Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: “Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а ¾ длины равно ширине”. Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они нашли правило для решения приведенного квадратного уравнения х2 + рх +q = 0, где р и q – любые действительные числа. В одной из вавилонских задач также требовалось определить длину прямоугольного поля и его ширину: “Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получишь 14, а площадь поля 24. Найди его стороны”. Древние математики Греции решали квадратные уравнения в основном геометрическим путем. Древнегреческий математик Диофант Александрийский (ІІІ век) решал квадратные уравнения без геометрии. В сохранившихся 6 книгах Диофанта “Арифметика” содержится 189 задач с решениями. Он также показал пути решения уравнений вида ах2= в и ах = в. Знаменитый индийский математик Брахмагупта в VІІ веке вывел правило решения уравнений типа ах2 + вх =с (а >0). Нельзя не отметить другого индийского математика Бхаскару (1114 – 1185), который занимался вопросами алгебры, тригонометрии, геометрии и комбинаторики. В его трудах можно найти одно из старейших наглядных доказательств теоремы Пифагора, число π, практические приемы вычисления площадей, непрерывные дроби и многое другое. Мы позже с вами решим его знаменитую задачу о стае обезьян. Аль – Хорезми (783 – 830) – выдающийся средневековый ученый, внесший большой вклад в развитие математики, астрономии, математической географии. Полное его имя – Абу Абдаллах Мухаммед ибн Муса аль – Хорезми. Из 9 его сочинений “Китаб аль– джебр валь – мукабала” только 7 сохранились до наших времен. Само слово “аль – джебр”, входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Он показал способы решения уравнений вида ах2 + вх =с , ах2 + с = вх, ах2 = вх, ах2 =с, ах =с и находил только положительные корни. В 1544 году Михаил Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений. Он первым из математиков рассматривал отрицательные числа как числа, меньшие нуля, и одним из первых ввел знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, была сформулирована выдающимся французским математиком Франсуа Виетом (1540 – 1603) – “отцом алгебры” в 1591 году. Главным трудом его жизни было сочинение “Введение в искусство анализа”. Труды Виета привели к тому, что алгебра сформировалась как наука о решении уравнений. Бельгийский математик Жирар Альберт (1595 – 1632) как многие математики того времени, занимался основной теоремой алгебры о корнях уравнения. Основным его сочинением была книга “Новое открытие в алгебре”. Он впервые высказал основную теорему алгебры о наличии корня у алгебраического уравнения с одним неизвестным. После его трудов и трудов французского математика Рене Декарта (1596-1650) и английского математика Исаака Ньютона (1643 – 1727) решение квадратных уравнений приобрело нынешний вид. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот задача Бхаскары: Обезьянок резвых стая, Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На полянке забавлялась. А двенадцать по лианам Стали прыгать, повисая, Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае? ( х/8) 2 + 12 = х; х=16, х=48) 2. Третья страница журнала: “Век живи – век учись!” 1. Если а + в + с = 0, то уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет 2 корня: 1 и с/а. Пример: 2002х2– 2001х – 1 = 0 ( 1 и -1/2002) 2. Если а + с = в, то уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет 2 корня: -1 и –с/а. Пример: 43х2 – 873х – 916 = 0 (-1 и 916/43) 3. Четвертая страница журнала “В здоровом теле – здоровый дух!” Упражнения для глаз под медленную мелодию. III.Закрепление материала. 1. Пятая страница журнала: “Кто больше знает, тому и книги в руки”. По учебнику № 547. (2 ученика работают у доски) 2 ученика решают квадратные уравнения на компьютере. Диск “Алгебра, 7-11 кл. Образовательная коллекция” 2. Шестая страница журнала: Название этой страницы найдем сами . Каждому ученику дается карточка с квадратным уравнением в форме теста. Находим правильные ответы уравнений и из соответствующих букв составляем название данной страницы. “Наука – верней золотой поруки”. 1. Х2 + 5Х + 6 = 0 к) 6; -5 л) 5; 6 2. 2Х2 – 3Х +2 = 0 а) нет решений б) 1; 2 м) 3; -2 н) -2;-3 в) -4; 3 г) 3; -2 3. 7Х2 + 8Х + 1 = 0 т) 1/7; 1 у) -1/7; -1 ф) 8; -0,1 х) -7; -1/8 4. 5У2 – 4У -1 = 0 и) ½; -2 к) 1; -0,2 л) -1/5; 2 м) 0,5; 4 5. 3У – 40 + У2 = 0 а) 5; -8 б) -20; 3 в) 10; 30 г) -8; -5 6. Х2 -12Х – 45 = 0 б) 3; 4 в) 15; -3 г) 15; 3 д) 16; -4 7. Х2 – 16Х + 28 = 0 е) 14; 2 ж) -16; 4 з) 7; 4 и) 10; 6 8. У2 + 17У + 60 = 0 о) 20; 4 п) 12; -5 р) -5; -12 с) 15; 2 9. У2 + 8У + 15 = 0 л) 12; 3 м) -7; 8 н) -3;-5 о) 8; 5 10. Х2 + 17Х - 38 = 0 е) 2; 19 ж) 15; 2 з) 18; 2 и) -17; 1 11. 7Х2 -11Х – 6 = 0 ж) 2/7; 1/5 з) -5; -6 и) 5; 6 й) 2; -3/7 12. Х2 – 3Х – 10 = 0 ж) 6; 3 з) 5; -2 и) 5; 7 й)-3; 7 13. 10Х2 + 5Х – 0,6 = 0 н) 0,1; -5 о) 0,1; -0,6 14. 9Х2 = 1+ 8Х з) -8; 1 п)10; -5 р) 0,6; 10 к) 4/9; -1 и) 8; -1 л) 1; -1/9 15. 7Х2 = 1 – 6Х м) 13; 6 н) -13; -6 о) 1/7; -1 п) -1; -1/7 16. 35 + 12У + У2 = 0 с) 7; 5 т) -5; -7 у) 14; -2 ф) -12; 4 17. Х2 - 21Х = -54 л) 17; 4 м) 24; -3 н) -13; -8 о) 18; 3 18. 10Х2 – 3Х – 0,4 = 0 и) -0,4; 0,1 й) 0,4; -0,1 к) 4; -0,1 л) -4; 10 19. 7У2 + 5У = 2 п) -1; 2/7 р) 7; -2 с) 2/5; -7 т) 1/7; -5 20. Х2 – 6Х + 5 = 0 л) -5; -1 м) 1; 7 н) 6; -1 о) 5; 1 21. Х2 = 14Х – 33 н) 14; 16 о) 31; -2 п) -11; -3 р) 11; 3 22. 4Х2 – 37Х + 9 = 0 у) ¼; 9 ф) 0,25; -9 х) 35; 2 ц) 36; -4 23. 5Х2 + 8Х – 4 = 0 и) 0,8; -4 к) 0,4; -2 л) 0,5; 8 м) 0,4; -8 24. 3Х2 – 4Х + 2 = 0 е) 7; 3 ж) -4; 5 з) 6; -4 и) нет решений 3.Седьмая страница журнала: “Одна голова – хорошо, а две - лучше”. Групповая работа: класс разбит на 5 групп. Каждая группа решает свои уравнения по карточкам. После того, как все уравнения будут решены, в соответствии с полученными результатами каждая группа наносит на координатной плоскости точки и последовательно соединив их, получает рисунок: кувшин, вазу, корабль, звезду и т.д. 1 группа 1) х² – 11х + 18 =0 2) х² - 4х + 4 = 0 3) 2х² - 10х = 0 (х1 , х2); (х1 , х2); (х2 , х1) х2 > х1 4) х² + 5х – 14 = 0 (х2 , х1) 5) х² + 9х + 14 = 0 (х2 , х1) 6) 3х² + 15х = 0 (х1 , х2); 7) 3х² - 12 = 0 (х1 , х2); 8) 2х² - 14х – 36 = 0 (х1 , х2); 2 группа 1) 2) 3) 4) х² – 16х = 0 х² - 14х – 15 = 0 х² + х = 0 х² + 3х = 0 (х2 , х1); (х1 , х2); (х1 , х2); (х1 , х2); 5) х² + 7х – 98 = 0 6) х² + 14х = 0 7) х² + 15х = 0 8) х² + 15х + 56 = 0 9) х² - х – 56 = 0 10) – 5х² + 80х = 0 (х1 , х2); (х1 , х2); (х1 , х2); (х1 , х2); (х2 , х1) (х2 , х1) 3 группа 1) х² - 4х – 21 = 0 2) х² - 10х + 21 = 0 (х1 , х2); (х1 , х2); х2 > х1 3) х² - 7х + 12 = 0 4) х² - 6х = 0 5) х² + 4х – 32 = 0 (х1 , х2); (х2 , х1); (х2 , х1); 6) х² + 6х – 55 = 0 7) х² + 16х + 55 = 0 8) х² + 12х + 32 = 0 9) х² + 6х = 0 10) х² - х – 12 = 0 (х2 , х1); (х2 , х1); (х2 , х1); (х1 , х2); (х1 , х2); 1) х² 2) х² 3) х² 4) х² 5) х² 4 группа (х2 , х1); (х2 , х1); (х1 , х2); (х1 , х2); (х1 , х2); +15х + 44 = 0 + 9х + 8 = 0 +х=0 + 6х = 0 - 4х – 21 = 0 6) х² - 10х + 21 = 0 7) х ² - 6х = 0 8) х² - х = 0 9) х² + 7х - 8 = 0 10) х² + 7х – 44 = 0 (х1 , х2); (х2 , х1); (х2 , х1); (х2 , х1); (х2 , х1); 1) х² 2) х² 3) х² 4) х² 5) х² 5 группа (х2 , х1); (х2 , х1); (х1 , х2); (х1 , х2); (х1 , х2); - 4х = 0 - 13х + 30 = 0 - 5х + 6 = 0 - 8х = 0 -х–6=0 6) х² + 7х - 30 = 0 7) х² + 4х = 0 8) х² + 13х + 42 = 0 9) х² + 3х = 0 10) х² + х – 42 = 0 (х1 , х2); (х1 , х2); (х2 , х1); (х2 , х1); (х2 , х1); 4.Восьмая страница журнала: “В знании – сила!” Нас учили, нас учили х2 > х1 х2 > х1 х2 > х1 Арифметике простой. Научили, научили Как пример решать любой. И задачки мы решали, Что трудней бывало нет, И учитель помогал нам Верный вывести ответ. Очень трудная наука Математика для нас. Но учиться в наше время Нужно каждому из нас. Эту песню неспроста Спели мы, друзья, для вас, С математикой особо Дружит наш восьмой класс! (Исполняется на мелодию “Там, где речка – речка Бирюса...”) IV.Итог урока. V.Домашнее задание:№547, 550.