Означення

Раскраски
Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан
определённый цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например для шахматной доски,
бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают задачи, где
раскраска
используется как идея решения.
Пример 1. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите,
что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток
Решение. Каждая фигура «домино» содержит одну белую и одну чёрную клетку. Но в нашей
фигуре 32 чёрных и 30 белых клеток (или наоборот).
Пример 2. Можно ли все клетки доски 9 × 9 обойти конем по одному разу и вернуться в
исходную клетку?
Решение. Каждым ходом конь меняет цвет клетки, по- этому, если существует обход, то число
чёрных клеток равно числу белых, что неверно.
Пример 3. Дан куб 6 × 6 × 6. Найдите максимально возможное число параллелепипедов 4× 1 ×
1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без
пересечений.
Идея решения. Легко поместить 52 параллелепипеда внутрь куба. Докажем, что нельзя больше.
Разобьем куб на 27 кубиков 2× 2 × 2. Раскрасим их в шахматном порядке. При этом образуется
104 клетки одного цвета (белого) и 112 другого (чёрного). Осталось заметить, что каждый
параллелепипед содержит две чёрных и две белых клетки.
Ответ: 52.
Пример 4. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета,
расстояние между которыми равно 1.
Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1. По принципу Дирихле по
крайней мере две из его трёх вершин должны быть покрашены в один цвет.
Материалы занятия
Задачи
1. Игра 15 представляет собой поле коробочку размером 4 х 4, в которой
находятся 15 фишек (квадратиков 1 х 1), пронумерованных числами от 1
до 15; при этом одно поле остаётся пустым. В начале игры пустое поле
находилось в правом нижнем углу. Я начал двигать фишки по полю. За
один ход я передвигал на пустое поле одну из фишек, находившуюся на
соседнем поле. В результате порядок расположения фишек изменился, но
пустое поле вновь оказалось в правом нижнем углу. Докажите, что я
сделал чётное число ходов.
2. У Васи имеется шахматная доска, из которой вырезали два угловых поля а1 и h8 и 32 кости
домино размера в две клетки шахматной доски каждая. Сможет ли Вася покрыть доминошками
всю доску?
3. Можно ли обойти шахматную доску ходом коня, побывав на каждом поле по одному разу,
начав в левом нижнем углу доски и закончив в правом верхнем (на поле h8)?
4. Можно ли фигуру из 60 клеток замостить двадцатью прямыми тримино; размер клетки
тримино совпадает с размером клетки фигуры)?
5. В трапеции АВСР (АВ параллельна СР) О точка пересечения диагоналей.
Докажите, что площади треугольников АОР и ВОС равны.
6. Фигура слонёнок ходит по шахматной доске, как и слон, по диагонали, но только на одно
поле. Можно ли перекрасить клетки шахматной доски (используя чёрный и белый цвета, при
этом часть клеток можно оставить покрашенными в свой цвет, а часть перекрасить на
противоположный), чтобы при каждом ходе слонёнка цвет поля менялся?
7. Какое минимальное количество выстрелов нужно сделать в игре морской бой, чтобы
наверняка ранить четырехпалубный корабль?
8. В прямоугольную коробочку были сложены несколько прямых тримино так, что они
заполняли ее целиком (коробочка такова, что лежащие в ней фигурки не могут налегать друг на
друга). Затем одно прямое тримино заменили на тримино-уголок. Докажите, что
образовавшийся набор не поместится в коробочку.
9. Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных в виде куба 3
х 3 х 3. Из любой комнаты можно перейти в любую соседнюю (через любую стену, пол или
потолок). Исследователь лабиринта находится в центральной комнате. Он хочет пройти по всем
комнатам, не проходя никакой комнаты дважды. Удастся ли ему это?
10. Можно ли прямоугольник 11х12 разрезать на Т-тетрамино?
11. Можно ли число 1999 представить в виде суммы квадратов трёх нечётных чисел?
12. Разрежьте уголок на четыре равные части.
а) Прямое б) Тримино в) Т-тетрамино
Задачи по теме
Вводные задачи
Попробуйте самостоятельно, не заглядывая в ответ, решить следующие задачи:
2.1. Можно ли покрыть шахматную доску 8 х 8 доминошками 2 х 1 так, чтобы доминошки не
перекрывались и не вылезали за пределы доски?
2.2. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанной угловой клеткой.
2.3. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанными левой верхней и правой верхней
угловыми клетками.
2.4. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанными левой нижней и правой верхней
угловыми клетками.
Задачи для самостоятельного решения
2.5. Замок барона Мюнхгаузена имеет вид прямоугольника размером 1993 х 1995 клеток.
Каждая клетка, кроме центральной, комната замка, а в центральной клетке находится бассейн.
В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно
не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по
одному разу?
2.6. Можно ли покрыть шахматную доску 8 х 8 с вырезаной угловой клеткой фигурками вида
2.7. На доске 8 х 8 в левом нижнем углу в виде квадрата 3 х 3 лежат девять фишек.
За один ход разрешается какой-нибудь одной фишке перепрыгнуть через какую-нибудь другую
(не обязательно соседнюю) фишку на клетку, симметричную первой фишке относительно
второй (если эта клетка свободна). Можно ли после нескольких таких ходов собрать все фишки
в виде квадрата 3 х 3
а) в левом верхнем углу доски;
б) в правом верхнем углу доски?
2.8. Из полосок размером а) 1 х 5; б) 1 х 6 сложен прямоугольник. Докажите, что одна из его
сторон делится а) на 5; б)* на 6.
2.9*. На каждой клетке доски размером а) 8 х 8 б) 9 х 9 клеток лежит фишка. Петя хочет
передвинуть каждую фишку на одну из соседних четырех клеток так, чтобы снова ни одна
клетка не была пустой. Всегда ли он сможет это сделать? (Каждую фишку нужно передвинуть
ровно один раз).
Ответы, Указания, Решения
2.1. Ответ: можно.
2.2. Ответ: нельзя. В этой задаче нам поможет понятие четности: доминошками можно покрыть
только четное число клеток, а на доске 8 х 8 с вырезанной угловой клеткой их 63 нечетное
число!
2.3. Ответ: можно.
2.4. Ответ: нельзя. Эта задача самая сложная из задач данной темы. В ней-то то нам и поможет
обычная шахматная раскраска. Заметим, что при такой раскраске каждая доминошка покрывает
одну белую и одну черную клетки. Значит среди покрытых доминошками клеток белых и
черных должно быть одинаковое число. Но на шахматной доске 8 х 8 с вырезанными левой
нижней и правой верхней угловыми клетками это не так: клеток одного цвета на две больше,
чем другого.
Конечно, не всегда бывает достаточно применить шахматную раскраску: иногда
приходится красить "в полоску" по диагонали или вообще в несколько цветов.