2008-09 учебный год Экзаменационные вопросы по дисциплине «Неевклидовы геометрии» для студентов НовГУ, обучающихся по специальности 032100 Математика Геометрия Лобачевского Часть II. Модели геометрии Лобачевского 1. Инверсия и ее аналитическое задание. Круговое свойство инверсии. 2. Конформность инверсии. Построение инверсных образов прямых и окружностей. 3. Аксиоматика геометрии Лобачевского. 4. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского H 2 полуплоскости. Выполнимость аксиом I – II групп. на евклидовой 5. Сложное отношение четырех точек в H 2 и его свойства. Выполнимость аксиом III группы в модели H 2 . 6. Отражения и движения в H 2 . Теорема о композиции отражений. 7. Равенство фигур. Серединный перпендикуляр отрезка в H2. Выполнимость аксиом IV- YI групп в H 2 . 8. Построение общего перпендикуляра к расходящимся прямым и угла параллельности данного отрезка в H 2 . 9. Построение окружностей в H 2 . 10.Построение эквидистант в H 2 . 11.Построение орициклов в H 2 . 12.Инвариантность метрики H 2 относительно отражений. 13.Геодезические линии в H 2 . 14.Вычисление мер углов в H 2 . Вывод формулы расстояния z, w ln zw zw zw zw . 2 zw 15.Вывод соотношения ch z, w 1 . 2 Jmz Jmw 16.Теорема Пифагора: chc cha chb . 17.Теорема о структуре движений. 18.Круговая модель Пуанкаре плоскости Лобачевского метрики в B 2 . B 2 . Вывод 19.Инвариантность метрики B 2 относительно отражений. 20.Вывод формулы расстояния для B 2 : d w1 , wz ln 1 w1 w2 w1 w2 1 w1 w2 w1 w2 . 21.Геодезические линии в B 2 . 22.Модели Бельтрами и Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Связь между евклидовой и неевклидовой длинами отрезка в модели Бельтрами. 23.Псевдоевклидово пространство. Псевдосферические координаты в E13 и их геометрический смысл. Метрика E13 в псевдосферических координатах. 24.Внутренняя геометрия псевдосферы. 25.Неевклидовы прямые на псевдосфере. 26.Связь между различными моделями геометрии Лобачевского. 27.Метрическая форма плоскости Лобачевского в модели Бельтрами. 28.Вывод формулы площади треугольника в модели H 2 . 29.Вычисление длины окружности и площади круга в геометрии Лобачевского.