Решение задач1

Решение задач по теме:
«Замечательные точки треугольника»
Данная работа посвящена решению задач по теме: «Замечательные точки
треугольника».
Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно
определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и
вершины треугольника. Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не
обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.
Еще в древности математики заметили особенности некоторых точек в
треугольнике (например, из решения задачи в «Началах» Евклида вытекает, что
перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, пересекаются
в одной точке – центре описанного круга,
Архимед доказал, что точка пересечения
медиан треугольника является его центром тяжести и т. д.). На вышеназванные четыре
точки было обращено особое внимание, и, начиная с XVIII века, они были названы
"замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств
треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания
новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии
треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.
Вспомним основные теоремы о замечательных точках треугольника.
Теорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема 2. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла
равноудалена от его сторон и обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и
равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Следствие. Биссектрисы треугольника пресекаются в одной точке.
Замечание. Точка пересечения биссектрис треугольника является
центром вписанной окружности.
1
Теорема 3. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от его концов этого отрезка и обратно: каждая точка,
равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к
нему.
Следствие. Cерединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
Замечание.
Точка
пересечения
серединных
перпендикуляров
треугольника является центром описанной окружности.
Теорема 4. Высоты треугольника (или их продолжения) пресекаются
в одной точке.
Замечание. Точка пересечений высот треугольника называется
ортоцентром.
Заметим, что в равнобедренном треугольнике медиана, высота, биссектриса и
серединный перпендикуляр, проведенный к основанию, совпадают, а, значит, все четыре
замечательные точки лежат на одной этой прямой. В равностороннем же треугольнике все
эти точки совпадают и полученную точку называют центром правильного треугольника.
Отметим еще одно очень интересное свойство некоторых замечательных точек,
которое позволяет существенно облегчить решение задач, в том числе и олимпиадного
уровня.
Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или
их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера).
2
Рассмотрим несколько задач, в решении которых используются свойства
замечательных точек треугольника.
Задача
№1.
Точка, расположенная внутри равнобедренного
треугольника с углом при основании 300, находится на одинаковом
расстоянии 4√3 от боковых сторон и на расстоянии 10 от основания.
Найдите длину боковой стороны треугольника.
Дано: ΔABC - равнобедренный, АС=АВ,С=300, К - точка внутри треугольника, причем
ρ(К;АВ)= ρ(К;АС)= 4√3, ρ(К;ВС)=10.
Найти: АС
Решение.
1) Так как точка К равноудалена от
сторон АВ и АС, то она лежит на
биссектрисе АМ А.
2) Так как ΔABC –
равнобедренный, то АM┴ВС и
СМ=МВ, тогда КМ= ρ(К;ВС)=10.
3) Проведем КТ┴АС и KN┴AВ, тогда КN= ρ(К;АВ)= ρ(К;АС)=КТ=4√3.
4) САВ =1800-В-С=1200, тогда САМ=1200:2=600 и TКA=900-600=300.
3
5) По свойству прямоугольного треугольника с острым углом в 300 получаем АТ=0.5АК.
6)Пусть АТ=х, тогда АК=2х. Из ΔAТК по теореме Пифагора получаем:
(2х)2=х2+(4√3)2 ; 4х2=х2+48; 3х2=48; х2=16; х=4.
Итак, АК=8.
7)АМ=КМ+АК=8+10=18.
8)Так как С=300, то по
свойству прямоугольного
треугольника АС=2АМ=36.
Ответ: 36.
Задача
№2.
В
треугольнике АВС медианы
АА1 и СС1 пересекаются в
точке
О
и
взаимно
перпендикулярны. Найдите
стороны треугольника, если АА1=9 см, СС1=12 см.
Дано: ΔABC, АА1 и СС1 - медианы, АА1∩СС1=О, АА1┴СС1, АА1=9 см, СС1=12 см.
Найти: АВ, АС, ВС.
Решение.
1)По свойству медиан треугольника ОА=2/3AА1=6, ОА1=1/3AА1=3 и ОС=2/3CС1=8,
ОС1=1/3CС1=4.
2) Так как ΔАОС - прямоугольный, то воспользуемся теоремой Пифагора, т.е.
АС2=ОС2+ОА2, тогда АС2=36+64, АС=10 см.
3) Так как ΔА1ОС-прямоугольный, то по теореме Пифагора А1С2=А1О2+ОС2; А1С2=9+64;
А1С=√73,тогда ВС=2А1С=2√73.
4)Аналогично, АВ=2√52=4√13.
Ответ: АС=10 см, ВС=2√73 см, АВ=4√13 см.
4
Задача
№3.
Во
внутренней
области
треугольника АВС взята
точка О, равноудаленная от
его сторон. Найдите угол
АОС, если  АВО=39о.
Дано: ΔABC, О - точка внутри
треугольника, причем ρ(О;АВ)=ρ(О;АС)=ρ(О;ВС), АВО=39о.
Найти: АОС
Решение.
1) Так как точка О равноудалена от сторон треугольника, то она является точкой
пересечения биссектрис.
2)АВС=2АВО=390∙2=780 (так как ВО – биссектриса АВС).
3)ВАС+ВСА=1800-780=1020
ОАСОСА=0,5(ВАС+ВСА)=1020:2=510
=>
=>АОС=1800-510=1290.
Ответ: 1290
Задача
№4.
Докажите,
что
в
непрямоугольном
треугольнике
АВС
расстояние
от
ортоцентра
до
вершины
В
вдвое
больше расстояния от
центра
описанной
окружности
до
стороны АС.
Дано: ΔABC, точка О – ортоцентр, точка О1 – центр описанной окружности.
5
Доказать: ВО=2ρ(О1;АС).
Доказательство.
1) Так как центр описанной окружности является точкой пересечения серединных
перпендикуляров, то проведем D1О1 и DО1 – серединные перпендикуляры к сторонам АС
и ВС соответственно.
2) Проведем медианы АD1 и ВD, пусть AD1∩BD=M.
3) Так как во всяком треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр и точка
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной
прямой, то точки О, М и О1 точки одной прямой.
4)  DМО1 и ВМО – вертикальные, а, значит, они равны.
 BO  AC ( BO  высота)
=> ВО║DO1.
DO1  AC

5) 
6) MDО1
=
МBО как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВО и
DО1 и секущей ВD.
7) Так как М - точка пересечения медиан ΔABC, то ВМ:МD=2:1.
8) Пусть точка К – середина отрезка ВМ, а точка Н – середина отрезка ВО. Соединим их,
тогда по определению КН – средняя линия ΔМBО, откуда КН║МO.
9) BКН = BМО как односторонние при параллельных прямых КН и МО и секущей
ВМ.
MBO  MDO1

1
10)  BK  MD  BD => ΔBНК = ΔМDO1 по второму признаку => ВН = DO1 =>
3

 BKH  DMO1
ВО=2DO1.
11) Так как DO1 - серединный перпендикуляр к стороне АС, то DO1┴АС, а, значит,
DO1=ρ(О1;АС), то есть ВО=2ρ(О1;АС).
6
Задача №5. Расстояние от точки пересечения высот треугольника
АВС до вершины С равно радиусу описанной окружности. Найти угол АСВ.
Дано: ΔABC, точка О – ортоцентр, СО=R, где R – радиус описанной окружности.
Найти: АСВ
Решение.
1)
Пусть точка Н – центр описанной около
ΔABC окружности, тогда НА=НВ=НС=R.
2) Так как точка Н также является точкой
пересечения серединных перпендикуляров, то
проведем
НК┴АВ,
причем
АК=КВ,
тогда
НК=ρ(Н;АВ).
3) В предыдущей задаче было доказано, что
НК=½СО=½R.
4) В прямоугольном ΔАНК катет НК равен половине
гипотенузы
АН,
значит,
противолежащий
ему
НАК=300, откуда АНК=900-300=600 и АНВ=1200
(так как ΔAНB – равнобедренный).
5) АНВ является центральным углом окружности,
описанной около ΔABC, значит, равен дуге, на
которую он опирается: АНВ=ᴗАmВ=1200.
6) Если ΔABC – остроугольный, то АСВ – вписанный и опирается на дугу АmВ, то есть
АСВ=½ᴗАmВ=600.
7) Если ΔABC – тупоугольный, то АСВ – вписанный и опирается на дугу АnВ, то есть
АСВ=½ᴗАnВ=½(3600-1200)=1200.
Ответ: 600 или 1200.
7
Литература.
1. Атанасян Л.С. и др. «Геометрия, 7-9 кл.», Москва, «Просвещение», 2006г.
2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. «Геометрия, 10-11 кл.», Москва, «Дрофа»,
2007 г.
3. Алексеев И.Г. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Саратов, издательство
«Лицей», 2005 г.
4. Зив Б.Г., Мейлер А.Г., Баханский А.Г., «Задачи по геометрии, 7-11 кл.»,
Москва, «Просвещение», 2000 г.
5. Сайт «problems.ru» и Википедия.
8