Полное название «Восстановление треугольника» Темы работы Название Прикладная и фундаментальная математика Направлений форума Тип работы Исследовательская работа Возрастная 9-10 класс Номинация Фамилия имя Горбачёва Анастасия автора Территория г. Красноярск Место учебы: МБОУ Лицей №6 «Перспектива» Класс 9 «Е» Место выполнения МБОУ Лицей №6 «Перспектива» работы Руководитель Подчепаева Марина Викторовна, МБОУ Лицей №6 «Перспектива», учитель математики. Научный Пономарева Надежда Николаевна, руководитель КГПУ им. В.П.Астафьева, к. п.н., доцент. Ответственный за Попкович Александр Сергеевич, корректуру текста МБОУ Лицей№6 «Перспектива». работы e-mail nastya.9708@mail.ru Контактный телефон Тел. 8-983-157-9684 Аннотация Горбачева Анастасия Константиновна Г. Красноярск, МБОУ Лицей №6 «Перспектива», 9 класс. «Восстановление треугольника » Научный руководитель: Пономарева Надежда Николаевна, КГПУ им. В.П.Астафьева, к. п.н., доцент КГПУ. Цель научной работы: Восстановить треугольник по трем заданным точкам, про которые известно какую роль они играют в треугольнике. Методы проведенных исследований: поиск информации в литературе, построение математической модели, выделение вспомогательной фигуры, эксперимент, анализ. Основные результаты научного исследования: 1. Построили математическую модель реальной ситуации. 2. Изучили в литературе методы решения задач на построение. 3. Выделили интересные точки в треугольнике. 4. Рассмотрены и решены 24 задач, в работе представили 16 наиболее интересных из них; получен вывод, что не всякие три точки треугольника однозначно его определяют. А, именно, из рассмотренных нами 24 ситуаций, 12 – это те, в которых по 3-м заданным точкам однозначно может быть построен треугольник. Основное содержание. Населенные пункты имеют как наружные, так подземные сооружения. В результате стихийных бедствий могут быть разрушены наземные сооружения и их надо восстановить в соответствии с их подземными коммуникациями по каким-то сохранившимся точкам. Математическая модель: по некоторым точкам восстановить фигуру. Основа всех фигур – это треугольник. Возникает вопрос: как можно восстановить его ( построить его вершины) по каким-то трем точкам? Этой проблемой мы занимаемся второй год. На первом этапе были выделены основные, интересные точки треугольника и были решены 12 задач по восстановлению треугольника по этим точкам. На втором этапе было расширено число базовых точек, по которым будет восстанавливаться треугольник. Это потребует: систематизировать знания о замечательных точках треугольника; познакомиться с различными методами решения задач на построение. Объектом исследования являются задачи на построение. Задачи на построение - это особый вид задач, которые при своем решении требуют интуиции, догадки, хорошего знания основных фактов геометрии, возможностей рабочих инструментов, и умения доказывать, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи. Другое важное умение – это умение исследовать ситуацию на предмет возможности ее разрешения и вариантов решения. Этим обосновывается актуальность темы выбранной нами для исследования. Предметом исследования являются возможности восстановления объекта (треугольника) по каким-то его элементам. Гипотеза: Так как треугольник - фигура жесткая, однозначно определяемая вершинами, то три замечательных точки так же однозначно его определят. Цель исследования: рассмотреть всевозможные наборы из 3-х точек и восстановить по ним треугольник (построить его вершины) В соответствии с поставленной целью, определением объекта, предмета, выдвинутой гипотезой поставлены следующие задачи: 1. Изучение теории по решению задач на построение; 2. Систематизация знаний о замечательных точках треугольника; 3. Составление геометрических задач по данной теме и их решение. Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: моделирование, изучение методов решения задач на построение, выделение вспомогательной фигуры, эксперимент, исследование. Основная часть. Сформулируем задачу - математическую модель рассмотренной реальной ситуации, в общем виде так: даны три точки треугольника и описано свойство, характеризующее отношение этих точек к искомому треугольнику. Требуется построить треугольник. Предварительно изучим теорию по решению задач на построение [1,6,8,9,10]. Выделим интересные точки, с которыми будем работать: вершины треугольника; середины сторон; основания высот; основание биссектрис; центр описанной окружности; центр вписанной окружности; ортоцентр; центр тяжести; центры вневписанных окружностей; точки симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон; точки пересечения биссектрисы, высоты и медианы треугольника с окружностью описанной около этого треугольника [1,5,9,].Создадим различные комбинации из трех точек перечисленных выше. Нами были рассмотрены 24 задачи на построение. Их можно разделить на 3 группы: 1. Задачи, не имеющие решения. 2. Задачи, имеющие единственное решение задачи. 3. Задачи, имеющие бесконечное множество решений, т.е. фигура однозначно не определена. Рассмотрим наиболее интересные из них в плане построения и выводов. Задачи 1 группы. B Н М A О С 2. Построить треугольник по вершине - А центрам вписанной - О и вне вписанной – О1 окружностей. Задача не имеет решения, если О1 С 1. Построить треугольник по центру тяжести - М, центру описанной окружности – О и ортоцентру - Н. Задача не имеет решения, если эти точки не лежат на одной прямой и отношение НМ : МО ≠ 2 : 1 (свойство прямой Л.Эйлера) [5,9]. Если эти условия выполняются, то задача имеет бесконечное множество решений. О ∟ОА О1≠ 900 (свойство биссектрис смежных углов). В А Задачи 2 группы. 3. Построить треугольник по центрам: вписанной – О. описанной - Р и вне вписанной – О1 окружностям. С О1 М Р О А В Решение. Пусть ∆ АВС – искомый, тогда О – центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис, Р – центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, О1 - центр вне вписанной окружности – точка пересечения биссектрис внешних углов. 1. Середина отрезка ОО1 – М лежит на окружности, описанной около ∆ АВС (теорема Мансиона) [5]. Точки А,В,С лежат на этой окружности. 2. Точки А, О и О1 лежат на одной прямой – биссектрисе угла А. 3. ∟ОСО1 = ОВО1= 900 → точки С и В лежат на окружности центра М, радиуса МО. Эта задача и следующие задачи имеют единственное решение. 4. Построить треугольник по центру вписанной окружности – О и двум вершинам. 5. Построить треугольник по центру вне вписанной окружности – О1 и двум вершинам. 6. Построить треугольник по центру тяжести - М и двум вершинам. 7. Построить треугольник по ортоцентру – Н и двум вершинам. 8. Построить треугольник по центру вписанной окружности – О. точки касания ее со стороной и одной из вершин этой стороны. 9. Построить треугольник по основаниям его высот. 10. Построить треугольник по основаниям его медиан. 11. Построить треугольник ABC по основаниям двух медиан и высоты. 12. Построить треугольник по точкам пересечения его биссектрис с описанной окружностью. 13. Построить треугольник по точкам пересечения с описанной около него окружностью высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной вершины. 14. Построить треугольник двум вершинам и основанию биссектрисы из одной из данных вершин. Задачи 3 группы (имеют бесконечное множество решений). 15. Построить треугольник по центру описанной окружности – Р и двум вершинам. Р А В 16. Построить треугольник двум вершинам А В и основанию биссектрисы, проведенной из третьей вершимы С. Рассмотрим решение этой задачи. По свойству биссектрис внутреннего и внешнего углов С М Е К треугольника имеем = = → точки К, М, С принадлежат В множеству точек, для каждой из которых отношение расстояний до 2-х точек А и В есть величина постоянная – это множество есть окружность Аполлония.[7] А Заключение. В результате выполнения работы получены следующие результаты: 1. Построили математическую модель реальной ситуации. 2. Изучили в литературе методы решения задач на построение. 3. Выделили интересные точки в треугольнике. 4. Рассмотрены и решены 24 задач, в работе представили 16 наиболее интересных из них; получен вывод, что не всякие три точки треугольника однозначно его определяют. А, именно, из рассмотренных нами 24 ситуаций, 12 – это те, в которых по 3-м заданным точкам однозначно может быть построен треугольник. Литература. 1. Анищенко С.А. Геометрия ч.1. Красноярск: РИО ГОУ ВПО КГПУ им. В.П.Астафьева, 2008. – 98С. 2. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости./ Балк М.Б. М.: Просвещение, 1966. 270с. 3. Атанасян Л.С. Геометрия 7- 9. М.: Просвещение 1994. 4. Глухова И.С. Практикум по решению задач планиметрии. /Глухова И.С., Нарчук О.М., Пономарева Н.Н., и др.- Красноярск , 2007. – 164с. 5. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. М.: Государственное учебно – педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1962. 6. Клименченко Д.В.Задачи на построение треугольника по некоторым данным точкам / Цикунова Т.Д. - Математика в школе, 1990, №1, с.19. 7. Коксетер Г.С.М. Новые встречи с геометрией./ Грейтцер С.Л М.: «Наука», 1978. 8. Куланин Е.Д.О построение треугольника по некоторым его замечательным точкам / Федин С.Н. - Математика в школе, 1991, №3, с.46. 9. Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11. М.: Просвещение, 1993. 10. Туманов С.И. Поиск решения задачи. – М.: Просвещение, 1969.