Методика изучения темы Функции

Методика изучения темы
«Функции, их свойства и графики»
Введение
Функциональная линия школьного курса математики является в
настоящее время одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих
тем и разделов курсов алгебры и начал анализа. Наиболее заметной
особенностью материала этой линии является то, что с его помощью
возможно устанавливать разнообразные связи в обучении.
В Федеральном государственном образовательном стандарте указано,
что содержание раздела «Функции» нацелено на получение школьниками
конкретных знаний о функции как важнейшей математической модели для
описания и исследования разнообразных процессов. Изучение этого
материала способствует развитию у учащихся умения использовать
различные языки математики (словесный, символический, графический),
вносить вклад в формирование представлений о роли математики в развитии
цивилизации и культуры. Стандарт устанавливает требования к результатам
освоения обучающимися основной образовательной программы основного
общего образования. Изучение функциональной линии предполагает:
1)
в метапредметном направлении:
•
умение понимать и использовать математические средства
наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации,
интерпретации, аргументации;
2)
в предметном направлении:
•
овладение
базовым
понятийным
аппаратом
по
основным
разделам содержания, представление об основных изучаемых понятиях
(число, геометрическая фигура, уравнение, функция, вероятность) как
важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать
реальные процессы и явления;
1
•
овладение системой функциональных понятий, функциональным
языком и символикой, умение на основе функционально-графических
представлений описывать и анализировать реальные зависимости
•
овладение системой функциональных понятий, развитие умения
использовать функционально-графические представления для решения
различных математических задач, для описания и анализа реальных
зависимостей.
Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся,
освоивших основные общеобразовательные программы основного общего
образования, для проведения государственной (итоговой) аттестации (в
новой форме) по МАТЕМАТИКЕ указывает
Код
Код
раздела контролируемого
умения
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
7.
7.4
7.6
Требования (умения), проверяемые заданиями
экзаменационной работы
Уметь строить и читать графики функций
Определять координаты точки плоскости,
строить точки с заданными координатами
Определять значение функции по значению
аргумента при различных способах задания
функции, решать обратную задачу
Определять свойства функции по ее графику
(промежутки возрастания, убывания,
промежутки знакопостоянства, наибольшее и
наименьшее значения)
Строить графики изученных функций,
описывать их свойства
Уметь использовать приобретенные знания и
умения в практической деятельности и
повседневной жизни, уметь строить и
исследовать простейшие математические
модели
Описывать с помощью функций различные
реальные зависимости между величинами;
интерпретировать графики реальных
зависимостей
Анализировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах,
графиках
2
Кодификатор элементов содержания для проведения в 2013 году
государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) по МАТЕМАТИКЕ
указывает
Код
Код
раздела контролируемого
элемента
5.1
5.1.1
Элементы содержания, проверяемые заданиями
экзаменационной работы
Функции
Числовые функции
Понятие
функции.
Область
определения
функции. Способы задания функции
5.1.2
График функции, возрастание и убывание
функции, наибольшее и наименьшее значения
функции,
нули
функции,
промежутки
знакопостоянства, чтение графиков функций
5.1.3
Примеры
графических
зависимостей,
отражающих реальные процессы
5.1.4
Функция,
описывающая
прямую
пропорциональную зависимость, ее график
5.1.5
Линейная функция, ее график, геометрический
смысл коэффициентов
5.1.6
Функция,
описывающая
обратно
пропорциональную зависимость, ее график.
Гипербола
5.1.7
Квадратичная функция, ее график. Парабола.
Координаты вершины параболы, ось симметрии
5.1.8
График функции y = õ
5.1.9
График функции y = õ 2
5.1.10
График функции y =| x|
5.1.11
Использование графиков функций для решения
уравнений и систем
Таким образом, функциональная линия занимает важное место в
школьном курсе математики.
Изучение материала данной темы проходит через все годы обучения
учащихся с 5 по 11 классы. В 5-6 классах идет пропедевтическая работа, а в
7-11 классах
- систематическая работа по освоению материала. В
приложении 2 рассмотрена Примерная программа по математике 5 - 9 в
соответствии с Федеральными образовательным стандартом.
3
Целью моей работы является изучение методики преподавания темы
«Функции» в рамках подготовки учащихся к ГИА. Для этого я ставлю
следующие задачи:
1.
проанализировать этапы формирования у учащихся понятий
функции, ее свойств и графика
2.
рассмотреть методику изучения различных видов функции
3.
исследовать различные учебно-методические комплекты по
математике в разрезе «Функции» на разнообразие и глубину изучения
материала
Основная часть
Глава 1
1.1 Функции в современном школьном курсе
Существуют различные подходы к определению понятия функции.
Многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.
В курсах алгебры и начал анализа изучается не само понятие функции, а в
основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные
приложения в задачах естествознания и общественного производства. При
формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе
функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание
учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко
разграниченных представлениях, связанных с функцией, и во-вторых, на
установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала.
Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов
понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят
такие компоненты:
— представление о функциональной зависимости переменных величин
в реальных процессах и в математике;
— представление о функции как о соответствии;
— построение и использование графиков функций, исследование
функций;
4
— вычисление
значений
функций,
определенных
различными
способами.
Рассмотрим взаимодействие компонентов на примере, относящемся к
формированию прикладных умений и навыков.
Пример №1.
С мороза в комнату внесли
банку со льдом и стали наблюдать
за
изменением
температуры
вещества в банке: лед постепенно
таял,
когда
он
температура
растаял
весь,
воды
стала
повышаться, пока не сравнялась с
температурой
рисунке
в
комнате.
изображен
зависимости
На
график
температуры
от
времени.
Ответьте на вопросы:
а) Какова исходная температура льда?
б) За какое время температура льда повысилась до 0°С?
в) Какая температура в комнате?
г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее
возрастания, промежуток, на котором она постоянна.
В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме
последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен
как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой
зависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции и
аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)). Цель заданий
состоит в изучении соответствия ситуации, изложенной в условии, и способа ее
математического представления. Понятие функции, в системе формирования
5
которого необходимо должны присутствовать такие задания, сразу же выступает
в курсе математики как определенная математическая модель, что и является
мотивировкой для его углубленного изучения.
1.2 Методические рекомендации по введению понятия функции
Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийся
формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной
связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс
ведется по трем основным направлениям:

упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание
системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и
общие свойства функций, графическое истолкование области определения,
области значений, возрастания и т.д. на основе метода координат);

глубокое изучение отдельных функции и их классов;

расширение области приложений алгебры за счет включения в нее
идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.
Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее
остальных. В реализации этого направления значительное место отводится
усвоению
важного
представления,
входящего
в
понятие
функции,—
однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения
функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы
задания функции. Использование перевода задания функции из одной формы
представления в другую — необходимый методический прием при введении
понятия функции.
Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в
которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными
способами представления функции - формулой, графиком, таблицей, то получится
6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 - при
которых она остается такой же.
Примеры заданий первого типа — изменения формы представления:
а)
Изобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2]
6
б)
В таблице представлены результаты наблюдений за атмосферным
давлением в течении некоторого промежутка времени. Построить график
зависимости давления от времени в промежутке 12≤ t ≤18.
Задания второго типа можно связать с оптимизацией представления
функции без изменения средств представления. Наиболее типичное такое задание
— упростить формулу, задающую функцию. Задания, относящиеся к таблицам
(перестроить данную таблицу) и к графикам (например, изобразить часть графика
в более крупном масштабе), применяются в практике обучения нечасто, однако
совсем пренебрегать ими нельзя.
Связь
функциональной
линии
с
числовой
системой
на
этапе
первоначального введения функции осуществляется при вычислении значений
функции по формуле или описанию ее в словесной форме. При выполнении таких
заданий необходимо довести до полной ясности следующую мысль: если о
некоторой функции известно, что она определена на множестве М, то это значит,
что для каждого хМ можно найти соответствующее значение f(х).
Пример 2. Функция задана формулой f(x) = x2 . Найти ее значения при х=7;
0,12.
Здесь предлагаемое значение аргумента — целое число, десятичная дробь.
В дальнейшем по мере введения новых числовых областей разнообразие форм
представления чисел в подобных заданиях должно увеличиваться.
Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы,
обладающие общностью аналитического способа задания функций из него,
сходными особенностями графиков, областей применения. В начале курса
алгебры, когда внимание сосредоточено на выявлении основных понятий
функциональной линии, каждая рассматриваемая функция представлена в виде
объекта, до некоторой степени уникального, мысль о сходстве свойств различных
функций еще не рассматривается в обучении. Освоение индивидуально заданной
функции происходит поэтому в сопоставлении черт, специфических для нее, с
общим
представлением
о
функции
непосредственно,
без
выделения
промежуточных звеньев. Однако длительность этого периода независимого
7
рассмотрения каждой функции незначительна. Для функций, входящих в класс,
изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нем выделяются
новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств
всего класса на примере «типичной» функции этого класса.
1.3 Методические рекомендации по изучению функции в классе
элементарных функций
Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций линейные функции.
Первоначальное представление о линейной функции выделяется из
рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным
движением, а также при построении графика некоторой линейной функции.
Существует два наиболее широко распространенных в начале изучения темы
приема построения графиков линейной функции.
Первый способ. Использование «загущения» точек на графике: а) нанесение
нескольких точек; б) наблюдение — все построенные точки расположены на
одной прямой, проведение этой прямой; в) проверка: берем произвольное
значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на
координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой). Отсюда
делается
вывод
о
графике
данной
линейной
функции.
Этот способ, безусловно, может привести к пониманию того, что график и
любой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общего
свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема
требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз.
8
Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных
примеров.
Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание
соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых
свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе,
сосредоточивается на конкретной функции из класса. В обучении происходит
последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено
(при рассмотрении первого способа), начинают применять второй — он
экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна
и только одна прямая. Но рассмотрение графика отдельно взятой линейной
функции не может привести к формированию представлений об основных
свойствах графиков всех линейных функций.
Для того, чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его
общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную
задачу: исследовать класс функций y = kx+b в зависимости от параметров,
установить геометрический смысл параметров. Наиболее естественный прием,
который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно
нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой
остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из
четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между
ними.
Пример 2. Постройте графики функций: у = 0,5х;
y = 0,5х + 0,5;
у
=
1,5х; у = 1,5х + 0,5.
Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно
сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых
значений коэффициентов.
Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного
угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести
несколько закрепляющих упражнений: на одном и том же чертеже изображены
графики функций у=3x+2; у=x+2.
9
Построить на этом же чертеже графики функций у = 3x-1; у =x – 1;
объяснить построение.
Значительные трудности представляет случай отрицательных значений
углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная
аналогичным образом.
Если
параметры,
определяющие
класс
функций,
имеют
ясный
геометрический смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное
представление
рассматриваются
об
этом
и
такие
классе.
классы,
Однако
при
в
школьном
изучении
курсе
которых
алгебры
оказывается
необходимым использовать и другие приемы. Например, к изучению класса
квадратичных функций привлекается прием, основанный на преобразовании
10
выражения,
задающего
геометрических
функцию,
преобразований
для
к
виду
а(х—b)2+с,
построения
графика
использовании
произвольной
квадратичной функции из параболы стандартного положения — график функции
у = ах2, а ≠ 0.
Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными
уравнениями и неравенствами. Первой из этого класса функций рассматривается
функция у=х2. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного
ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только
на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных,
которые монотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное
отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана
формулой у=х2 на промежутке -2≤ x ≤3. Найти множество значений этой функции.
Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у = х2,
учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4 ≤ х ≤9. Эта ошибка
для своего устранения требует рассмотрения графика функции у = х2.
Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции
у=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем
целесообразно рассмотреть два графика: один - в крупном масштабе на
промежутке -1 ≤ х ≤1, другой - в мелком масштабе на промежутке, например,
-3 ≤ х ≤3. Построение можно вести описанным выше методом загущения.
Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс;
в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций,
причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса.
Наиболее существенное применение эта функция имеет при рассмотрении
понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (
)
может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо
объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2 = 2.
При изучении функции вида у=ах2 выясняется геометрический смысл
коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид
11
у=ах2+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую
интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие
параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.
Пример 3. Задан график функции у=х2. Построить на этом чертеже график
функции у=х2+1.
Заметим, что при заданном значении аргумента х0 значения функции y=x2+1
на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для
построения соответствующей точки на графике второй функции достаточно
поднять на 1 точку графика первой функции с абсциссой х0. Следовательно,
чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 график
первой. Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно
применить его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при
обобщении свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить
график функции y = f(x)+c по известному графику функции y = f(x), можно
произвести параллель перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат».
После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к чтению графиков
произвольных
квадратичных
функций.
Но
здесь
возникает
трудность:
коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной
функции у = ах2 + bх + с достаточно простого геометрического смысла. Именно
поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям,
которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения и
вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х — b)2.
Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как
при рассмотрении функций вида у=х2+с, однако усваивается предлагаемый способ
здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество упражнений
для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также
изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.
Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в
использовании системы заданий, имеющих цель — дать представление о тех или
иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения
12
величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назвать
качественным или оценочным исследованием функции.
Пример 4. На рисунке изображены графики функций у=х2 и у=-0,5х2. Как
относительно них пройдет график функции у=0,5х2; -2х2; Зх2?
Это задание не предполагает «точного» построения искомого графика;
достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное
построение.
Пример 5. На рисунке изображен график функции у = х2+1, -2≤х≤2.
Пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график
функции у=х2+0,3. Проверить правильность сделанного
эскиза, вычислить значения функции у=х2 при х-=±0,5;
±1,5 и отметить точки графика. Каким преобразованием
можно перевести график функции у=х2+1, в график
функции у=х2?
Цель задания — согласовать зрительный образ
графика, его геометрические свойства и формулу. График
функции у=х2+0,3 симметричен относительно оси ординат, значит, рисунок не
должен быть скошенным. Его симметричность подчеркивается симметричным
расположением «пробных» значений аргумента. Положение точек на чертеже
должно выправить распространенную неточность в изображении графиков
квадратичных функций: нарисованные от руки ветви параболы, как правило,
расположены гораздо шире, чем должны быть. Поэтому пробные точки (их
ординаты вычисляются по условию, а не ищутся по чертежу) попадают в полосу
между изображенными линиями. То, что графики сближаются по мере удаления
от начала координат, требует пояснений, которые можно сделать при
обсуждении.
Значительная часть материала функциональной линии относится к
изучению
класса
функций,
получивших
название
элементарных.
К
элементарным принадлежат целые функции, рациональные функции, степенная,
показательная,
логарифмическая,
тригонометрические
и
обратные
13
тригонометрические функции, а также различные их комбинации. Все эти
функции имеют единообразное математическое описание. Они также изучаются
посредством сходных методических приемов.
За небольшими исключениями и в курсе алгебры, и в курсе алгебры и начал
анализа старших классов наблюдается отчетливая тенденция избегать построения
графиков функций f ± g, f·g, f / g. Графики функций непосредственно связаны с
изучаемыми классами функций, и это отрицательно сказывается на формировании
общих приемов построения.
Например, построение графика функции ó  õ  õ - затруднено не только
из-за того, что данная функция есть разность функций с известными «основными»
графиками, но также из-за того, что эти графики рассматриваются в различных
темах, совместно не встречаются. Учитывая это обстоятельство, а также важность
развития графических представлений, необходимо всеми возможными способами
добиваться
совершенствования
навыков
построения
графиков
функций.
Поскольку приемы «сложение графиков» и т. п. выходят за пределы программы,
полезно строить такого типа графики комбинацией двух приемов: по точкам и
учитывая простейшие особенности тех функций, которые составляют формулу
данной функции (область определения, характер возрастания, четность —
нечетность, периодичность, нули и т. д.). Возможность применения производной
к построению графиков в старших классах существенно расширяет методы,
которые при этом могут быть использованы.
Изучение композиции функций и нахождение обратной функции построено
иначе. Эти операции не имеют аналогов в операциях с числами (а сходство
терминов - обратная функция и обратное число - может только вводить в
заблуждение), опоры для переноса нет, поэтому приходится вводить их
посредством явного определения.
Роль обратной функции намного больше. Использование обратной функции
необходимо для введения большого количества классов основных элементарных
функций: корня k-й степени, логарифмической, обратных тригонометрических
функций. Поэтому понятие обратной функции необходимо отнести к числу
14
важнейших общих понятий в составе функциональной линии. При изучении
обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности
исходной
функции
существование
-
это
обратной
необходимо
функции
и
для
того,
подробно
чтобы
обосновывать
рассматривать
взаимное
расположение графиков данной и обратной функций.
В цели изучения элементарных функций в курсе алгебры входит создание
первоначальных
представлений
о
непрерывности.
Эти
представления
используются систематически при построении графиков; описанный выше прием
«загущения» использует именно непрерывность и может послужить отправной
точкой для работы по формированию соответствующих представлений. Они
используются при изучении квадратного корня, при определении показательной
функции, при рассмотрении графического метода решения уравнений и
неравенств. В работе над этими понятиями и темами полезно использовать
обороты речи типа «функция плавно меняется при изменении значений
аргумента», «функция принимает значения, близкие между собой, если близки
значения аргумента» и т.п.
1.4 Анализ учебно-методических комплектов по математике в разрезе
изучения темы «Функция»
Анализ УМК для 5 - 9 классов различных авторов (А.Г. Мордковича, С.М.
Никольского, Н.Я. Виленкина 5-6, 8-9) показал, что последовательность введения,
расположение по классам и глубина изучения функций имеет отличия при
сохранении общих тенденций развития функциональной линии.
В
5-6
классах
во
всех
учебно-методических
комплектах
идет
пропедевтическая работа: вводится понятие прямой и обратно пропорциональной
зависимости между величинами, рассматриваются координатная ось, декартова
система координат на плоскости, столбчатые диаграммы и графики.
В УМК А.Г. Мордковича наиболее полно и доступно представлена
функциональная линия. У этого коллектива авторов основной содержательнометодической линией школьного курса алгебры для 7-11 классов в качестве
приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это, прежде всего,
15
выражается в том, что какой бы класс функций не изучался, построение
материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме: функция –
уравнения – преобразования.
Методические особенности:
1.
отказ от формулировки определения функции при первом появлении
этого понятия.
Поначалу, пока изучаются простейшие функции (линейная, обратная
пропорциональность, ó  õ , ó  õ , квадратичная и прочие - это материал 7-8
классов),
следует
отказаться
от
формального
определения
функции
и
ограничиться описанием, не требующим заучивания. Определение функции в
школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в
оперировании этим понятием. В данной программе это предусмотрено в первом
полугодии 9 класса.
2.
Постепенное введение в программу свойств функции, подлежащих
изучению на различных уровнях строгости.
Таблица изучения свойств функции: (Н – соответствующее свойство
функции вводится на наглядно-интуитивном уровне; Р – свойство функции
изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания; Ф – формальное
определение свойства)
16
В системе упражнений по изучению того или иного класса функций
3.
выделяется инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций.
Инвариантное ядро состоит из 6 направлений:

графическое решение уравнений;

отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на
заданном промежутке;

преобразование графиков;

функциональная символика;

кусочные функции;

чтение графика.
Распределение изучаемых функций по годам обучения:
Класс
Виды функций
Базовый уровень
7
8
9






y = kx+m и ее виды y = kx, y = b
у = х2 , у =- х2
Кусочная функция






y=
у = ах2 + bх + с
кусочная функция
у =хn ,, где n N
у =х-n ,где n N
у= ,
ó
õ
у = |х|
у =ах2
Добавляются на
углубленном уровне
дробно-линейная
функция y =
В УМК С.М. Никольского функциональная линия не является ведущей,
алгебраические вопросы авторы излагают алгебраическими методами. Изучение
функций начинается лишь в 8 классе.
Авторами сразу вводится определение функции по Лобачевскому и
Дирихле, обсуждаются разные способы задания функций. В частности,
обсуждается вопрос о задании функции графиком и о том, что каждая функция
имеет в декартовой системе координат свой график. Знание графика функции,
17
позволяет ввести интуитивное понятие функции, непрерывной на промежутке,
как непрерывная линия, т.е. линия, полученная непрерывным движением пера без
отрыва его острия от бумаги.
Авторам представляется, что такое интуитивное понятие непрерывности
функции на уровне 8 класса вполне посильно любому учащемуся и его вполне
достаточно для дальнейших исследований функций. Затем делается вывод о том,
что функция y = f(x) непрерывна на промежутке, если она определена в каждой
точке этого промежутка и малому изменению аргумента х соответствует малое
изменение функции у. Далее изучаются простейшие функции: y = x, y=x2, ó  õ
- сначала выясняются свойства функции, потом строится её график. При этом
обсуждается вопрос непрерывности функции на соответствующем промежутке.
Поскольку после введения иррациональных чисел координатная плоскость
заполнена полностью, то это позволяет доказывать, что график функции y = x есть
прямая — биссектриса первого и третьего координатных углов. Подчеркивается,
что этот график — вся прямая, т. е. непрерывная линия.
Введение квадратных корней из чисел подкрепляется графически: в системе
координат изображают график функции y=x2 и прямую у = b и тогда очевидно,
что при b  0 прямая пересекает параболу в двух точках, при b = 0 — в одной
точке, а при b  0 — не пересекает.
Затем изучаются линейная, квадратичная и дробно-линейная функции;
показывается, что график линейной функции у=kх+b есть прямая и отмечается,
что график этой функции может быть получен из графика функции у=kх сдвигами
вдоль осей Ох и Оу.
Работа с функцией у=|х| и её графиком позволяет ещё раз вернуться к
сдвигами графиков функций вдоль осей Ох и Оу при построении графика
функции у=|х–a|+b Это помогает подготовить учащихся к сдвигами параболы
вдоль осей Ох и Оу.
Далее рассматривается квадратичная функция у = ах2 + bх + с (a  0) и
показывается, что её график может быть получен из графика функции у = ах2
переносами вдоль осей Ох и Оу.
18
На базовом уровне 8 класса рассматривается дробно-линейная функция,
показывается, что график функции y 
графика функции y 
k
 y0 , k  0, может быть получен из
x  x0
k
параллельными переносами вдоль осей Ох и Оу.
x
Таким образом, сложный вопрос о построении графиков функций путем
переноса вдоль осей Ох и Оу рассмотрен для четырёх различных видов функций.
Это способствует хорошему усвоению этого метода. В качестве необязательного
материала рассмотрены графики функций, содержащих модули.
В 9 классе рассматриваются степенные функции y=xn, где n — натуральное
число, их свойства и графики. Затем вводится понятие корня степени n из числа и
для «доказательства» их существования и выяснения их количества применяются
графики функции y=xn. После чего изучаются свойства корней, рассматривается
функция y= n x
Распределение изучаемых функций по годам обучения:
класс
Виды функций
Базовый уровень
 y = x,
 y = x2
 y=
8
9
1
x
 y=kx
 y = kx+b
 y = │x│
 y = ax2
 y = a(x – xo)2 +
yo
 y=
y
Добавляются на
углубленном уровне
 y = [x]
 y = {x}
k
x
k
 y0
x  x0
 у =хn ,, где n N
 y = x2m и y = x2m + 1
 у= ,
y
n
x
(x ≥ 0)
В УМК для углубленного изучения алгебры В.Я. Виленкина в 8-9
классах основное место изучения функции перенесено в 9 класс. В 8 классе
рассматривается лишь функция y =
k
, а в 7 классе должна быть полностью
x
изучена линейная функция.
19
Учащиеся в полном объеме на глубоком уровне осваивают понятия
функции, ее графика, способов задания функций. Вырабатываются навыки
нахождения области определения, множества значений для функций, имеющих
сложную аналитическую запись: для суммы, разности, произведения и частного
функций. Также рассматриваются кусочные функции. В систему упражнений
включаются задания на нахождение аналитической записи функции по
косвенным признакам
Изучение элементарных функций ведется с практическим выходом на
функционально-графические методы решения уравнений и неравенств. При
изучении
свойств
функции
проводятся
всевозможные
исследования
коэффициентов в общей формуле задания функции, взаимное расположение
графиков функций, точек координатной плоскости по отношению друг к другу.
Распределение изучаемых функций по классам:
Класс
8
9
Виды функций
Углубленный уровень
 y=






1
x
y = kx+b (повторение),
y = │x│
y = [x]
y = {x}
y = sgnx
y = x2
 y=
k
x
 y = ax2+bx+c, y = x2+px+c,
 y=
 у =хn,, где n N
y
n
x
Преобразование графиков содержит:
-
параллельный перенос (сдвиг графика),
-
растяжение и сжатие графика вдоль оси Оу,
-
растяжение и сжатие графика вдоль оси Ох,
-
графики функций, содержащих знак модуля
При изучении общих свойства функций и построение графиков изучаются:
- четные и нечетные функции;
- возрастающие и убывающие функции;
- точки максимума и минимума;
20
- наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке;
- чтение графиков функций;
- исследование некоторых рациональных функций и построение их
графиков;
- применение свойств квадратичной функции к решению задач на
нахождение наибольших и наименьших значений;
- понятие о простейших математических моделях. Функции в экономике
Особенность этого курса - систематическая демонстрация возможностей
математики 9 класса при решении важных задач современной экономики.
Рассматриваются различные производственные функции (зависимость количества
выпускаемого продукта от объемов затрат ресурса): производственная функция
Кобба — Дугласа, изокванты — линии равного выпуска, изокосты — линии
равной стоимости, наименьшие расходы фирмы на приобретение ресурсов при
заданном объеме производства.
Работа с этим УМК предполагает хорошую математическую подготовку
учащихся, способность воспринимать сложный материал, оперировать с ним.
Методические особенности направлений в системе упражнений УМК
А.С. Мордковича по изучению различных классов функций.
Выделяется инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций.
Инвариантное ядро состоит из 6 направлений:

графическое решение уравнений;

отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на
заданном промежутке;

преобразование графиков;

функциональная символика;

кусочные функции;

чтение графика.
Методические особенности каждого из этих направлений:
1. Графическое решении уравнений.
21
Если использовать этот метод первым при решении уравнений, то
неудобства,
связанные с применением графического метода, как правило, и
создают ту проблемную ситуацию, которая приводит к необходимости отыскания
алгоритмов аналитических способов решения уравнения.
Для изучения той или иной функции этот метод приводит ученика к
ситуации, когда график функции строится не ради графика, а для решения другой
задачи — для решения уравнения. График функции становится не целью, а
средством, помогающим решить уравнение.
2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на
заданном промежутке. Начиная с 7 класса учащимся предлагаются задания
такого типа: найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х + 3 на
отрезке [1; 3]. Предполагается, что учащиеся построят график функции у = 2х + 3,
выделят часть графика на отрезке [1; 3] и по графику найдут наибольшее и
наименьшее значения функции.
Методическая ценность подобного задания заключается в том, что вопервых, это новая «игра» с функцией, когда график нужен не сам по себе, а для
ответа на вопрос задачи. Во-вторых, сами того не осознавая, учащиеся привыкают
к оперированию достаточно сложным, математическим понятием, восприятие
которого требует как определенной подготовки, так и определенного уровня
математической культуры.
3. Преобразование графиков. В курсе алгебры 8 класса в теоретическом
плане изучаются два преобразования: параллельный перенос — построение
графика функции у=f(x + t) + m с помощью известного графика функции у = f(x) и построение графика функции у=-f(x); на углубленном уровне рассматривается
построение графиков у = |f(x)|, у = f(|x|). В учебнике для 9 класса школьники
знакомятся с еще одним преобразованием: растяжением графика, построением
графика функции y = mf(x) и y = f(mx) по известному графику функции у = f(x).
4. Функциональная символика. Как только в 7 классе появится запись у =
f(x), полезно предлагать учащимся примеры, нацеленные на осознание смысла
этой записи. Опыт показывает, что школьники часто не могут, например,
22
исследовать функцию на четность не потому, что не знают определений четной
или нечетной функции, а потому, что не понимают смысла записи f(-x). Нередко
учащиеся испытывают затруднения с производной только из-за технических
трудностей: не понимают смысла записи f(x + ∆х) и вследствие этого не могут
составить выражение для приращения функции даже в достаточно простых
случаях. Это означает, что соответствующая работа не была недостаточно
проведена 7-9 классах. Поэтому полезно включать задания следующего типа: для
функции у = f(x), где f(x) = 2х2 + 5х + 3, найти f(0), f(1), f(a), f(a - 1), f(a + 2), f(За),
f(5x), f(-x), 3f(x), f(x2) и т. п.
5. Кусочные функции. Во многих случаях именно кусочные функции
являются математическими моделями реальных ситуаций. Использование таких
функций
способствует
преодолению
обычного
заблуждения
учеников,
отождествляющих функцию только с ее аналитическим заданием в виде
некоторой
формулы.
Использование
кусочных
функций
готовит
как
в
пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности.
Использование на уроках кусочных функций дает возможность учителю сделать
систему упражнений более разнообразной (что очень существенно для
поддержания интереса к предмету у обучаемых), творческой (можно предложить
учащимся самим сконструировать примеры). Отметим и воспитательный момент:
это воспитание умения принять решение, зависящее от правильной ориентировки
в условиях, это и своеобразная эстетика — оценка красоты графиков кусочных
функций, предложенных разными учениками.
6. Чтение графика. Очень важно научить учащихся по графику описывать
свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к
вербальной (словесной) модели. Конечно, в 7 классе этот перевод с одного языка
на другой достаточно беден, но по мере появления новых свойств функций он
становится все богаче (а значит, учащиеся видят, как они постепенно умнеют по
мере изучения математики, что соответствует принципу осознанности в теории
развивающего обучения). Наличие в курсе алгебры 9 класса достаточно большого
числа свойств функций позволяет сделать процесс чтения графика интересным,
23
разнообразным (с литературной точки зрения), многоплановым. У ученика теперь
имеется возможность составить довольно четкий «словесный портрет» функции
по ее графику.
Заключение
В результате проделанной работы:
 выяснено, что функции в современном школьном курсе математики
занимают значительное место;
 были проанализированы этапы формирования у учащихся понятий
функции, ее свойств и графика;
 рассмотрена методика изучения различных видов функции;
 выделен набор действий, которые учащиеся должны уметь выполнять с
функциями и графиками в соответствии с требованиями ФГОС и ГИА
 исследованы различные учебно-методические комплекты по математике в
разрезе «Функции» на разнообразие и глубину изучения материала.
Список использованных источников
1. Мордкович А.Г. Алгебра.7-9 кл.: Методическое пособие для учителя. –
М.: Мнемозина, 2000.
2. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. М.: Мнемозина, 2009.
3.
Алгебра
7
класс.
В
2
ч.
Ч.
2.
Задачник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — М.:
Мнемозина, 2009.
4. Алгебра 8 класс: Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений/ Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. М.: Мнемозина, 2008.
5. Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений/ А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. М. : Мнемозина, 2008. - 240 с.
6. Алгебра 9 класс: задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений / Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. М.: Мнемозина,
2008.
24
7. Алгебра 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений/А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. М.: Мнемозина, 2008.
8. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2009.
9. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А. Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2010.
10.
Алгебра
9
класс.
В
2
ч.
Ч.
1.
Учебник
для
учащихся
общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П.В. Семенов. М.:
Мнемозина, 2010.
11. Алгебра. Учебник для учащихся 9 класс с углубленным изучением
математики/ Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев; Под
ред. Н.Я. Виленкина М.: Просвещение, 2006.
12. Математика 9 класс. Итоговая аттестация 2013: учебно-методическое
пособие/ Под ред. Д.А. Мальцева. – Ростов-на-Дону: Издатель Мальцев Д.А.; М.:
Народное образование, 2013.
13. Математика 9-й класс. Подготовка к ГИА-2012: учебно-методическое
пособие/ Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион –
М, 2011.
14. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ А.Л.
Семенов, И.В. Ященко, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, А.С.
Трепалин, П.И. Захаров, В.А. Смирнов, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова,
И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2013.
15. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович и др.; под ред. А. Г.
Мордковича. М.: Мнемозина, 2009.
16. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович и др.; под ред. А. Г.
Мордковича. М.: Мнемозина, 2010.
25
17. Алгебра 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович и др.; под ред. А. Г.
Мордковича. М.: Мнемозина, 2010.
18. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/С.М.
Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М. Просвещение,
2010.
19. Алгебра 9 класс : учебник для общеобразовательных учреждений/С.М.
Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М. Просвещение,
2009.
20. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы:
М. Просвещение 2011. - 64с. - (Стандарты второго поколения).
Интернетресурсы:
1. Демоверсия ГИА: МА-9_ДЕМО, МА-9_КТ, МА-9_КЭС, МА-9_СПЕЦ
http://fipi.ru
2. Книги для учителя авторы М.К. Потапов, А.В. Шевкин
http://www.shevkin.ru
Проект по алгебре в 9-м классе. Тема проекта: "Функция"
http://festival.1september.ru
Актуальные вопросы реализации ФГОС основного общего образования
(математика) http://standart.edu.ru
26
Приложение
Задания 1-ой части
ГИА
1
Ответ:
Ответ: 4
27
Ответ: 241
Ответ: 3
28
Ответ: 4
Ответ: -3
Ответ: 3
29
Ответ: 2
Ответ: 4
30
Ответ: 423
Ответ: 4
31
Ответ: 1
Ответ: 412
32
Ответ: 4
Ответ: 1
Ответ: -10
33
Ответ: 4
Ответ: 2
34
Ответ: 342
Ответ: -1
Ответ:3
35
Ответ: 4
Ответ: 4
36
Ответ: 2
Ответ: 4
37
Ответ: 324
38
Ответ:
39
Ответ: 1
Ответ: 4
Ответ: 3
Ответ: 4
40
Ответ: (1;1)
Ответ: (1;-1)
41
Ответ: 1
Ответ: 124
42
Ответ: 3
Ответ: (-2;5); (3;0)
Ответ: 5
43
Ответ: (-4;-8)
Ответ: (-4;12); (4;20)
Ответ:
44
Ответ: 4
Ответ: 412
45
Ответ: 4
Ответ: 2
Ответ: (-1;-5); (-5;-1)
Ответ: (-2;-4)
46
Ответ: (-1;-3); (3;1)
Ответ:4
Ответ: 143
Ответ: 3
47
Ответ: (1;4); (4;1)
Ответ: (-2;-1)
Ответ:( -1;-2); (2;1)
48