МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики, механики и компьютерных наук УТВЕРЖДАЮ Декан факультета математики, механики и компьютерных наук ________________________М.И.Карякин «03» июля 2012 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Дискретная математика и математическая логика» Направление подготовки математика 010100 Профиль подготовки общий Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Кафедра алгебры и дискретной математики Курс 1 семестры 1 и 2 Форма обучения очная Программа разработана Рецензент(ы) Авдейчик А.Г., ст. преподаватель Скороходов В.А., доцент, к.ф.-м.н. Фамилия И.О., должность, уч.степень, уч.звание Ростов-на-Дону - 2012 1 Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании учебнометодического совета факультета математики, механики и компьютерных наук, направление подготовки «Математика» протокол заседания от _________________ № ________ Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры алгебры и дискретной математики протокол заседания от _________________ №_________ СОГЛАСОВАНО Протокол заседания кафедры/учебнометодического совета факультета _________________________________ (название выпускающей кафедры/ факультета, реализующего ООП ВПО) от ______________ № _____________ I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Цели освоения дисциплины (модуля): основной целью курса является овладение студентами основами дискретной математики и математической логики. Задачи: освоение методов исследования, применяемые в дискретной математике и математической логике, изучение областей приложения их как в других разделах математики, так и в других научных дисциплинах. II. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО 2.1. Учебная дисциплина «Дискретная математика и математическая логика» относится к циклу Б3 «Профессиональный цикл». 2.2. Для изучения данной учебной дисциплины необходимо знание элементарной математики на уровне средней общеобразовательной школы. 2.3. Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы знания, умения и навыки, формируемые данной учебной дисциплиной: - алгебра, - аналитическая геометрия, - математический анализ, - функциональный анализ, - теория вероятностей и математическая статистика, - теория случайных процессов, - дисциплины компьютерного цикла. Курс «Дискретная математика и математическая логика» входит в базовую часть учебного цикла Б3 «Профессиональный цикл». Настоящий курс связан с такими базовыми курсами, как алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дисциплины компьютерного цикла. Разделы курса, необходимые для изучения других дисциплин: алгебра высказываний, исчисление высказываний и предикатов – дисциплины компьютерного цикла, физика; предикаты и кванторы – математический анализ, алгебра, функциональный анализ; теория отображений – математический анализ, функциональный анализ; элементы комбинаторики – алгебра, математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика: алгебры отношений и 0-1 матриц – дисциплины компьютерного цикла, алгебра; булевы функции – дисциплины компьютерного цикла; элементы теории алгоритмов – дисциплины компьютерного цикла, численные методы. Требования к знаниям студентов, начинающих изучение курса «Дискретная математика»: знание элементарной математики на уровне средней общеобразовательной школы. Для оценки успешности освоения курса по окончании изучения каждого модуля студентам предлагается тестирование и, кроме того, для первого и четвертого модуля – контрольная работа. Зачет (в первом семестре) выставляется при достижении удовлетворительных результатов всех тестирований и контрольных работ. Итоговой формой контроля (второй семестр) является экзамен. III. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «Дискретная математика и математическая логика» В результате освоения дисциплины обучающийся должен: ЗНАТЬ: - основные понятия, их свойства и теоретические положения алгебры высказываний и предикатов, теории множеств и отображений, комбинаторики, исчисления высказываний и предикатов, теории графов и теории алгоритмов - общие формы, закономерности и инструментальные средства дискретной математики и математической логики ПК-1 УМЕТЬ: - решать комбинаторные задачи, исследовать типы отображений и бинарных отношений, приводить формулы алгебры высказываний к нормальным формам, строить выводы в логике высказываний и предикатов, определять функциональную полноту системы булевых функций, применять алгебру логики к теории переключательных схем - находить, анализировать и контекстно обрабатывать научно-техническую информацию ОК-10 - демонстрировать способность к анализу и синтезу ОК-14 - демонстрировать способность к письменной и устной коммуникации на русском языке ОК-15 - понимать поставленную задачу в рамках дисциплины ПК-2 - формулировать результат ПК-3 - строго доказывать утверждение ПК-4 - на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат ПК-5 - самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата ПК-6 - ориентироваться в постановках задач ПК-8 - выделять главные смысловые аспекты в доказательствах ПК-16 - публично представить собственные и известные научные результаты ПК18 ВЛАДЕТЬ: - навыками преобразования логических формул и формул теории множеств, методами минимизации булевых формул, формализацией понятия алгоритма в виде машины Тьюринга - проблемно-задачной формой представления математических знаний ПК-22 IV. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ 4.1. Содержание модулей дисциплины № модуля Наименование модуля Содержание модуля Формы текущего контроля 1 2 3 4 1. Алгебра высказываний 2. Алгебры предикатов и множеств 3. Теория отображений 4. Элементы комбинаторики 5. Алгебры отношений и «0-1» матриц 6. Булевы функции 7. Элементы теории алгоритмов 8. Элементы теории графов Опреации над высказываниями, формулы алгебры высказываний, двойственность, нормальные формы, основные проблемы алгебры высказываний, релейно-контактные схемы Операции над предикатами, кванторы, операции над множествами, системы множеств Образ и прообраз при отображении, типы отображений, обратимость и односторонняя обратимость Основной принцип комбинаторики, аксиомы, декартово произведение, размещения, перестановки, Бином Ньютона, тождество Вандермонда, сочетания, сочетания с повторениями Типы отношений, операции над отношениями, отношения порядка, доминирование, отношения эквивалентности, классы эквивалентности, фактор-множество Многочлены Жегалкина, классы Поста, полнота и замыкание, предполные классы Машина Тьюринга, итерации, разветвление и объединение машин, понятие об универсальном алфавите, алгоритмическая неразрешимость Локальные характеристики графа, пути, цепи, контуры, циклы, части графа, мосты и точки сочленения, эйлеровость графов, деревья и леса, пространства циклов и разрезов Контрольная работа №1 Тестирование Тестирование Тестирование Контрольная работа №2 Тестирование Тестирование Тестирование Тестирование 4.2. Структура дисциплины. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зач.ед. (216 часов). Вид работы Трудоемкость, часов семестр 1 семестр 2 Общая трудоемкость 126 90 Всего 216 Аудиторная работа: 52 34 86 Лекции (Л) 36 34 70 Практические занятия (ПЗ) 16 0 16 Самостоятельная работа: 74 56 130 Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и учебных пособий, подготовка к лабораторным и практическим занятиям, коллоквиумам, рубежному контролю и т.д.) 74 20 94 Подготовка и сдача экзамена (при наличии экзамена по дисциплине) 0 36 36 зачет экзамен Вид итогового контроля (зачет, экзамен) Модули дисциплины, изучаемые в семестре 1 Количество часов № модуля Наименование модулей Аудиторная работа Всего Л ПЗ ЛР Внеауд. работа СР 1. Алгебра высказываний 38 10 6 22 2. Алгебры предикатов и множеств 24 8 4 12 3. Теория отображений 26 6 2 18 4. Элементы комбинаторики 24 6 4 14 5. Алгебры отношений и «0-1» матриц 14 6 126 36 Итого: 8 16 74 Модули дисциплины, изучаемые в семестре 2 Количество часов № модуля Наименование модулей Аудиторная работа Всего Л ПЗ ЛР Внеауд. работа СР 6. Булевы функции 22 10 12 7. Элементы теории алгоритмов 20 8 12 8. Элементы теории графов 48 16 32 Итого: 90 34 56 Всего: 216 70 16 130 4.3. Практические занятия № № модуля Тема Кол-во часов 1-3 1 Опреации над высказываниями, формулы алгебры высказываний, двойственность, нормальные формы, релейно-контактные схемы 6 4-5 2 Операции над предикатами, кванторы, операции над множествами 4 6 3 Образ и прообраз при отображении, обратимость 2 7-8 4 Размещения, перестановки, сочетания, сочетания с повторениями 4 V. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ При проведении лекций и практических занятий используются следующие образовательные технологии: - мультимедийные лекции; - лекции приглашенных ведущих специалистов (в реальном режиме или в видеозаписи); - обсуждения конкретных ситуаций (например, комбинаторных задач для реально существующих процессов и явлений). 25,58 % – интерактивных занятий от объема аудиторных занятий. Семестр 1 2 Вид занятия (Л,ПР,ЛР) Используемые интерактивные образовательные технологии Количество часов Л Мультимедийные лекции, обсуждения конкретных ситуаций 6 ПР Дискуссии, обсуждения конкретных ситуаций 9 Л Мультимедийные лекции, обсуждения конкретных ситуаций 7 Итого: 22 VI. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ 6.1. Перечень контрольных вопросов для самостоятельной работы при подготовке к практическим занятиям (по разделам) Алгебра высказываний Высказывания, операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Принцип двойственности. Закон двойственности. Нормальные формы. Алгоритмы построения ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ. Основные проблемы алгебры высказываний. Критерий тождественной истинности и тождественной ложности. Алгебры предикатов и множеств Предикаты. Операции над предикатами. Кванторы, их свойства и применение. Основные равносильности, содержащие кванторы. Множества. Операции над множествами Теория отображений Отображения. Образ и прообраз при отображении. Свойства образов и прообразов. Суперпозиция отображений. Типы отображений. Элементы комбинаторики Основной принцип комбинаторики. Число элементов во множестве. Правило суммы. Формулы включения-исключения. Декартово произведение множеств. Множество-степень. Перестановки и размещения. Бином Ньютона. Сочетания. Сочетания с повторениями. Перестановки с повторениями. Алгебры отношений и «0-1» матриц Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений. Примеры отношений обладающих различными комбинациями свойств. Отношения порядка и доминирование. свойства. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и их Фактор-множество. Булевы функции Штрих Шеффера и стрелка Пирса. Многочлены Жегалкина. Полнота и замкнутость. Классы Поста. Лемма о немонотонной функции. Лемма о несамодвойственной функции. Лемма о нелинейной функции. Предполные классы. Элементы теории алгоритмов Запись слова на ленте. Машина Тьюринга. Сложение чисел в унарной системе счисления. Специальные машины Тьюринга. Композиция машин. Машины с полулентами. Разветвление и итерация машин. Алгоритмическая разрешимость. Элементы теории графов Теорема Эйлера о рукопожатиях. Изоморфизм графов. Теорема о правильной реализации в R3 . Понятие о критерии Понтрягина-Куратовского. Лемма о простой цепи. Теорема о мостах. Критерий эйлеровости. Основная теорема о деревьях. Теорема Келли. 6.2. Тестовые задания и варианты контрольных работ по курсу «Дискретная математика и математическая логика» ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ 1. Для записанных слева формул алгебры высказываний выберите равносильные им ДНФ, среди записанных справа формул: (a→b)c ~ a 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. a ~b ~c (a→b)→( b→c) (a→b)~ c( b→a) (a ~ b )~(a ~ c) a∨ b∨ c ; a →b∨ c ; a∨ b c ; a →b c ; a b∨ bc∨ c a . a∨ b∨ c ; abc∨ a b c∨ a b c∨ a b c ; a∨ b c ; a →b c ; abc∨ a bc ~ a b c∨ a b c . ac ; abc →b a∨ cb ; abc∨ a b c∨ a b c∨ a bc ; bc ; a b∨ bc ~ c a . a∨ b∨ c ; a∨ b∨ c ; ac∨ b c∨ b a ; a∨ b∨ c ; b c∨ a∨ a b . abc∨ a b c∨ a b c∨ a b c ; abc∨ a b c∨ a b c∨ a bc ; a∨ b c ; a →b c ; abc∨ a bc ~ a b c∨ a b c . 2. Для отображения, записанного слева, выберите то множество, которое является образом множества A= (− 2 ;1 ] : −1 f : R →R , f ( x)= x 2 1. f ( A )= [ 1 ;4 ) ; −1 2. f ( A )= (− 4;1] ; −1 3. f ( A )= [ 0 ; 2 ] ; −1 4. f ( A )= [ 0 ; 4 ] . −1 x , x≥ 0 ; 1. f ( A )= (− 0,5 ;1] ; f : R →R , f ( x )= √ −1 −2 x 2 , x <0 . 2. f ( A )= ( 2 ; 4 ] ; −1 3. f ( A )= (− ∞ ; 4 ] ; −1 4. f ( A )= (− 2 ;1] . −1 f : R →R , f ( x)= x 2+4 1. f ( A )= [ 0 ; 4 ] ; −1 2. f ( A )= [ 4 ;8] ; −1 3. f ( A )= [ 4 ;8) ; −1 4. f ( A )= [ 5 ;8) . { 3. Для отображения, записанного слева, выберите то множество, которое является прообразом множества A= (− 5 ;4 ] : −1 f : R →R , f ( x)= x 2 5;2] ; 1. f ( A )= (− √ f : R →R , f ( x )= {√ x, x 2 , x≥ 0 ; x <0 . f : R →R , f ( x)= x 2+4 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. f − 1( A )= (− 2 ;2 ] ; f − 1( A )= [ 0 ; 2 ] ; f − 1( A )= [− 2 ; 2] . f − 1( A )= (− ∞ ; 2] ; f − 1( A )= ( 2− 5 ;16] ; f − 1( A )= (− ∞ ;16] ; f − 1( A )= ( 2− 5 ;2 ] . f − 1( A )= [ 2 ;2 √ 2] ; −1 f ( A )= [ 0 ; 2 ] ; f − 1( A )= {0} ; f − 1( A )= ∅ . ПРИМЕРЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 Вариант 1. 1. С помощью таблицы истинности построить СДНФ и СКНФ следующей формулы: ( x⋅ y∨ z ~ x )→( x∨ y ) . 2. Используя равносильные преобразования, найти ДНФ и КНФ (( x ∨ y )→z )~ ( y →z ) . следующей формулы: 3. Доказать равносильность следующих формул: y →( x ~ z )∨ v⋅ y⋅ x и ( x∨ z )→x (v∨ z )∨ y . 4. По следующей функции проводимости построить схему: f = ( x →y⋅ z )→( x∨ y )⋅ z . 5. Следующую схему упростить: Вариант 2. 1. С помощью таблицы истинности построить СДНФ и СКНФ следующей формулы: ((a∨ b )c →a )→b . 2. Используя равносильные преобразования, найти ДНФ и КНФ (( x →y )~ ( z →( x ~ z )) . следующей формулы: 3. Доказать равносильность следующих формул: ( y ~ zv )( x →y )x и ( x∨ z )→x∨ vz⋅ y . 4. По следующей функции проводимости построить схему: f = ( x →( z∨ y ) x )~( x∨ y )⋅ z . 5. Следующую схему упростить: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 Вариант 1 1. Найти количество делителей числа 272160. 2. Из группы состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, нужно выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать? 3. Переплетчик должен переплести 12 книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга? Вариант 2. 1. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв слова «вероятность». 2. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и шестидесяти рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и двадцати рядовых? 3. Найти сумму чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 2, 5, 5, 1. 6.3. Перечень вопросов при подготовке к экзамену Экзаменационная программа по курсу «Дискретная математика и математическая логика» направление подготовки – математика 010100, экзамен – 2 семестр, АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Высказывания, операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Принцип двойственности. Закон двойственности. Нормальные формы. Алгоритмы построения ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ. Основные проблемы алгебры высказываний. Критерий тождественной истинности и тождественной ложности. Реле и его функция проводимости. Схемы и их функции проводимости. Основные задачи теории РКС: задача синтеза, задача анализа и задача упрощения. Машина голосования. Одноразрядный и многоразрядный двоичный сумматор. АЛГЕБРЫ ПРЕДИКАТОВ И МНОЖЕСТВ Предикаты. Операции над предикатами. Кванторы, их свойства и применение. Основные равносильности, содержащие кванторы. Множества. Операции над множествами. Подмножество. Свойства подмножеств. ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ Отображения. Образ и прообраз при отображении. Свойства образов и прообразов. Суперпозиция отображений. Типы отображений. Обратимость и односторонняя обратимость. Критерий обратимости слева. Критерий обратимости справа. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Декартово произведение множеств. Основной принцип комбинаторики. Число элементов во множестве. ∣ A∪ B∣ , формула включения-исключения, n ∣ ¿ Ai∣ ,∣ X × Y∣ ,∣Y X∣ ,∣2 X∣ ,∣InY X∣ ,∣ BiY X ∣ ,∣ surY X∣ i= 1 , множества AmX , P X , C mX . m m Формулы для An , P n , C n . Сочетания с повторениями. Свойства биномиальных коэффициентов. Бином Ньютона. АЛГЕБРЫ ОТНОШЕНИЙ И «0-1» МАТРИЦ Многоместные отношения. Булевы операции над отношениями. Булева алгебра отношений. отношений. Двуместные отношения. Булевы матрицы и отношения Композиция двуместных на конечных множеставах. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности и их свойства. Фактор-множество. Система различных представителей. Отношения порядка. Упорядоченные, линейно-упорядоченные и частично-упорядоченные множества. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ Множества P 2 , P 2( n) . Многочлены Жегалкина и их свойства. Замыкание и его свойства. Замкнутость, полнота. Классы Поста и их свойства. Леммы о функциях, не принадлежащих классам Поста. Теорема Поста и следствия из неё. Предполные классы и их свойства. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ Понятие об алгоритме, черты (свойства) алгоритмов. Алфавит, буквы, слова. Запись слова на бесконечной ленте. Операции над словами. Машина Тьюринга – описание и примеры. Композиция машин. Машины с полулентами и теоремы о них. Объединение машин, разветвление машин, итерация машин. Универсальный алфавит и универсальная машина. Тьюрингов подход к понятию "алгоритм" и другие подходы. Алгоритмически разрешимые и неразрешимые проблемы. Существование алгоритмически неразрешимых проблем. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ Определения графов. Примеры графов. Локальные характеристики графов. Изоморфизм графов. Геометрические графы. Правильная реализация графа. Теорема о правильной реализации в R3 . Плоские и неплоские графы. Понятие о критерии Понтрягина-Куратовского. Пути, цепи, контуры, циклы. Компоненты связности и сильной связности. Части графа: подграф, частичный граф. Мосты и точки сочленения. Теорема о мостах. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Деревья и леса. Помеченные деревья. Перечисление помеченных деревьев. Алгоритмы на графах: нахождения компонент и бикомпонент, мостов и точек сочленения, конденсации. Алгоритм Краскала, алгоритм Дейкстры. Потоки в сетях. Пространства циклов и разрезов графа. ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ Экзаменационный билет № 1 1. Критерий монотонности функции алгебры логики. X 2. Теорема о ∣InY ∣ . 3. Доказать равенство ¿ ¿ ( A∪ B)= ( A ¿ ¿∪ ( B ¿¿ . Экзаменационный билет № 2 1. Свойства нелинейных функций. X 2. Теорема о ∣BiY ∣ . 3. Доказать равенство ¿ (A ¿ ¿ ¿ ¿ ¿= ( A ¿( B ¿¿ . Экзаменационный билет № 3 1. Свойства немонотонных функций. 2. Односторонняя обратимость отображения. Критерии односторонней обратимости. 3. Сколько есть различных трехзначных чисел, в десятичной записи которых не встречаются цифры 0, 2 и 5? Экзаменационный билет № 4 1. Свойства несамодвойственых функций. 2. Формула включения-исключения. 3. Построить ДНФ и КНФ для формулы (a→b∧ c )→( ā ∨ c )∧ b . VII. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 7.1. Основная литература. 1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. –М.: Наука, 1969. 2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. –М.: Наука, 1972. 3. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. –М.: Вузовская книга, 2011. -292 с. 4. Ерусалимский Я.М., Симоненко И.Б. 35 лекций по дискретной математике. вып. 1-6. УПЛ РГУ, 1992. 5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. –М.: Изд. МАИ, 1992. -264 с. 6. Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 7. Скороходов В.А. Методические указания к курсу «Дискретная математика» по теме «Отображения». УПЛ РГУ. 2005. 8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. –М.: Наука, 1986. 7.2. Дополнительная литература. 9. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. – М.: Наука, 1977. 10. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. -М.: Наука, 1975. 11. Скороходов В.А. Алгоритмы на графах. УПЛ ЮФУ. 2007. 12. Клини С. Математическая логика. М.: ЛКИ, 2008. 13. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. –М.: Наука, 1977. 14. Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике. – 3-е изд. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. -320с. 7.3. Список авторских методических разработок. 1. Скороходов В.А. Методические указания к курсу «Дискретная математика» по теме «Отображения».// В книге Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. –М.: Вузовская книга, 2011. 2. Скороходов В.А. Алгоритмы на графах. УПЛ ЮФУ. 2007. VIII. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Наличие литературы в отраслевой библиотеке, медиапроектор и компьютер для проведения лекций-презентаций. VIII. УЧЕБНАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ «Дискретная математика и математическая логика» Преподаватель: Скороходов В.А. Кафедра алгебры и дискретной математики Курс___1__Семестр__1___Группа___5, 6__ Направление подготовки (специальность) математика № 1. 2. 3. 1. 2. Виды контрольных мероприятий Текущий контроль Посещение лекций Домашнее задание Работа на практических занятиях Рубежный контроль Контрольная работа Тестирование Промежуточная аттестация Зачет Количество баллов за 1 контрольное мероприятие Модуль 1 Модуль 2 Модуль 3 Модуль 4 Количество баллов по модулю 1 1 5 3 4 2 3 1 4 2 1 3 2 1 2 19 5 Макс. к-во баллов 80 19 5 5 5 19 5 35 13 10 22 Модуль 7 Модуль 8 для получения зачёта студент должен набрать от 50 до 80 баллов Курс___1__Семестр__2___Группа___5, 6__ Направление подготовки (специальность) математика № 1. 1. Виды контрольных мероприятий Текущий контроль Посещение лекций Рубежный контроль Тестирование Промежуточная аттестация Экзамен Количество баллов за 1 контрольное мероприятие Модуль 5 Модуль 6 Количество баллов по модулю 1 3 5 4 8 5 Макс. к-во баллов 40 5 Итог мод. 5 8 5 Итог мод. 6 10 5 Итог мод. 7 9 5 Итог мод. 8 13 Оитог = 0,5 ∙ «общее число баллов за два семестра» + «Экзамен» оценка на экзамене: «3» --- Оитог от 70 до 80 баллов; «4» --- Оитог от 81 до 90 баллов; «5» --- Оитог от 91 до 100 баллов; Преподаватель: Скороходов В.А. Согласовано: заведующий кафедрой: Штейнберг Б.Я. IX. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА 9.1. Лекционная программа курса «Дискретная математика и математическая логика» Лекций – 70 часов, практических занятий – 16 часов КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: высказывание, предикат, множество, комбинаторика, отображение, отношение, алгоритм, машина Тьюринга, граф, алгоритмы на графах. Семестр 1 Модуль 1. Алгебра высказываний Лекция 1. Высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, эквиваленция, и их простейшие свойства. [3] §1.1. Лекция 2. Зависимости между операциями. Равносильность в алгебре высказываний. Булева алгебра высказываний. Формулы в алгебре высказываний. Теоремы о подстановке и равносильной подстановке. [3] §§1.1, 1.2. Лекция 3. Двойственность в алгебре высказываний. Принцип и закон двойственности. Нормальные формы. [3] §§1.3, 1.4, 1.5. Лекция 4. Основные проблемы алгебры высказываний: равносильности, разрешения, представления. [3] §1.5. Лекция 5. Релейно-контактные схемы и схемы из функциональных элементов. Анализ, синтез, упрощение схем. Двоичный сумматор. [3] § 1.6. Модуль 2. Алгебры предикатов и множеств Лекции 6,7. Предикаты и кванторы. Понятие о предикате. Примеры предикатов. Логические операции над предикатами. Булева алгебра предикатов. Кванторы и их свойства. Применение языка предикатов и кванторов. [3] §§ 2.1, 2.2. Лекции 8,9. Алгебра множеств. Понятие о множестве и элементе множества. Универсальное и пустое множества. Множества и одноместные предикаты. Операции над множествами: дополнение, объединение, пересечение, разность и симметрическая разность. Булева алгебра множеств. Подмножество. Семейства множеств. [3] § 2.3. Модуль 3. Теория отображений Лекция 10. Отображения. Примеры отображений. Образ и прообраз множества при отображении. Свойства образов и прообразов. Композиция отображений. Типы отображений: инъективные, сюръективные, биективные, «никакие». [3] §§ 2.4, 2.5. Лекции 11, 12. Композиция однотипных отображений (теоремы о композиции обратимость однотипных отображений). отображений. Критерии Обратимость обратимости и и односторонняя односторонней обратимости. [3] § 2.5. Модуль 4. Элементы комбинаторики Лекция 13. Комбинаторика. Основной принцип комбинаторики. Число элементов в конечном множестве. Правило суммы. Формула включенияисключения. Декартово произведение множеств. Число элементов в декартовом произведении. [3] §§ 3.1, 3.2. Лекция 14. Комбинаторика. Множества инъективных и биективных отображений. Размещения и перестановки. [3] §§ 3.3, 3.4. Лекция 15. Комбинаторика. Сочетания, бином Ньютона. Сочетания с повторениями. Число сюръективных отображений. [3] §§ 3.4, 3.5. Модуль 5. Алгебры отношений и «0-1» матриц Лекция 16. Отношения. Примеры отношений. Булевы операции над отношениями. Булева алгебра отношений. Булевы матрицы. Булева алгебра 0-1 матриц. [3] § 4.1. Лекция 17. Отношения. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений. Примеры отношений обладающих различными комбинациями свойств. Отношения порядка и доминирование. [3] §§ 4.2, 4.3. Лекция 18. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности и их свойства. Фактор-множество. [3] § 4.4. Семестр 2 Модуль 6. Булевы функции Лекция 19. ∣P 2 (n )∣= 22 n Булевы функции. Множества P 2 ( n) , P 2 . Теорема о . Анализ множества P 2 ( 2) . Штрих Шеффера и стрелка Пирса. Многочлены Жегалкина. [3] § 5.1. Лекция 20. Полнота и замкнутость. Классы Поста P 0 и P1 и их свойства. [3] § 5.2. Лекция 21. Классы L, S, M и их свойства. [3] § 5.3, 5.4. Лекция 22. Теорема Поста о полноте (критерий полноты) и следствия из неё. [3] § 5.5. Лекция 23. Предполные классы их свойства. Существование предполных классов. [3] § 5.6. Модуль 7. Элементы теории алгоритмов Лекция 24. Что такое «алгоритм»? Примеры алгоритмов. Алфавит, буквы, слова. Запись слова на ленте. Простейшие операции над словами. Машина Тьюринга. Сложение чисел в унарной системе счисления. [3] § 6.1, 6.2. Лекция 25. Специальные машины Тьюринга: тождественная, заменяющая, копирующая. Композиция машин Тьюринга. [3] § 6.2, 6.3. Лекция 26. Машины с полулентами. Объединение машин Тьюринга. [3] § 6.3. Лекция 27. Разветвление и итерация машин. Универсальный алфавит, универсальная кодировка. Алгоритмическая разрешимость и алгоритмическая неразрешимость. Универсальная машина Тьюринга. [3] § 6.4. Модуль 8. Элементы теории графов Лекция 28. Определение графа. Локальные характеристики. Теорема Эйлера о рукопожатиях. [3] §7.1. Лекция 29. Изоморфизм графов. Геометрические графы. Реализуемость на плоскости и в пространстве. Понятие о критерии Понтрягина и Куратовского. [3] §7.2. Лекция 30.Пути, цепи, контуры, циклы. Части графа. Связность и сильная связность. Мосты графа. Теорема о мостах. [3] §7.2, 7,3. Лекция 31. Эйлеровы графы, критерий эйлеровости. [3] §7.4. Лекция 32. Деревья и леса. Основная теорема о деревьях. Следствия. [3] §7.5. Лекция 33. Помеченные графы. Перечисление помеченных деревьев. Теорема Келли. Матрицы графов. [3] §7.6. Лекция 34. Взвешенные графы. Задача о кратчайшем соединении. Алгоритм Краскала. Задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры. [3] §7.7. Лекция 35. Пространства циклов и разрезов. Потоки в сетях. [3] §7.8. 9.2. План практических занятий Модуль 1. Алгебра высказываний Занятие 1. Высказывания. Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и их простейшие свойства. Булева алгебра высказываний. Равносильность в алгебре высказываний. Упражнения: [2] 1.1-1.23, [3] 8.1-8.52, [4] вып.1. 1-52. Занятия 2, 3. Формулы алгебры высказываний. Двойственность в алгебре высказываний. Принцип двойственности и закон двойственности. Нормальные формы. СДНФ. СКНФ. Релейно-контактные схемы и схемы из функциональных элементов. Упражнения: [2] 2.29-3.11, [3] 8.53-8.309, [4] вып.1. 53-309. Модуль 2. Алгебры предикатов и множеств Занятие 4. Предикаты. Операции над предикатами. Кванторы, их свойства и применение. Упражнения: [2] 12.1-12.24, [3] 8.310-8.344, [4] вып.2. 310-344. Занятие 5. Алгебра множеств. Операции над множествами: дополнение, объединение, пересечение, разность и симметрическая разность. Подмножество. Упражнения: [3] 8.345-8.378, [4] вып.2. 1-33. Модуль 3. Теория отображений Занятие 6. Отображения. Образ и прообраз при отображении. Свойства образов и прообразов. Суперпозиция отображений. Типы отображений: инъективные, сюръективные, биективные и отображения, не являющиеся ни инъективными, ни сюръективными. Упражнения: [3] 8.379-8.424, [4] вып.2. 4051, [9] 6.1-6.39. Модуль 4. Элементы комбинаторики Занятия 7, 8. Основной принцип комбинаторики. Правило суммы. Формулы включения-исключения. Декартово произведение множеств. Бином Ньютона. Сочетания. Сочетания с повторениями. Перестановки и размещения. Перестановки с повторениями. Упражнения: [1] 1-26, [3] 8.425-8.463, [4] вып.3. 1-38.