ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Монастырский Л.М.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по механике
часть 3
для студентов классического и инженерного потока
Физического факультета
Ростов-на-Дону
2009
Методические указания разработаны кандидатом физикоматематических наук, профессором кафедры общей физики
Л.М. Монастырским
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики
физического факультета ЮФУ, протокол № 11 от 27 января 2009 г.
Краткая теория (основные физические понятия)
Импульс частицы и системы частиц
Огромную роль в изучении физических явлений играют, так называемые
сохраняющиеся величины. Одной из них является импульс частицы.
Вспомним, что импульсом частицы называется векторная физическая

величина p  mV . Именно эта величина входит во второй закон Ньютона:
 dp
F
.
dt

Отсюда следует следующее выражение Fdt  dp .
 в неш  в неш


 F2
+………+ FN внеш )dt .
dP  ( F1
Это выражение представляет собой закон изменения импульса системы,
взаимодействующих между собой частиц – изменение импульса такой
системы частиц равно суммарному импульсу всех внешних сил,
действующих на систему. Отсюда следует очень важный практический
вывод: импульс системы частиц может изменяться только под действием
внешних сил.
Замечание. У незамкнутых систем может сохраняться постоянной какая-либо
проекция импульса.
Центр масс системы частиц. Закон движения центра масс системы.
N

rc 
Запишем выражение:
 m r
i 1
N
i i
m
i 1
.
i
Полученную таким образом точку называют центром масс системы частиц.
Найдем производную по времени от этого выражения:

dri
mi

dt
i 1
N

drc

dt
N
m
i 1
i
.
 dri
Здесь Vc 
- представляет собой скорость движения центра масс системы
dt
частиц. Или перепишем это соотношение несколько иначе:

Vc 

m V
i
i
M

Pc

.
M

Мы обозначили Pc - импульс системы частиц, M – суммарная масса всей

 dVc
системы. Обозначим a c 
- ускорение центра масс системы частиц,
dt
получим закон движения центра масс:
 внеш

.
Ma   Fi
Центр масс системы движется, как точка с массой, равной всей массе
системы, под действием результирующей всех внешних сил, действующих на
эту систему.
Закон движения центра масс системы:
если система замкнута, то ее центр масс либо покоится, либо движется
прямолинейно и равномерно.
Энергия частицы и системы частиц.
Механическая работа.
Назовем элементарной работой силы следующую величину:
 
dA  Fdl  Fdl cos   Fs dl .
Здесь  - угол между вектором силы и элементом траектории, а Fs - проекция

вектора силы на направление вектора dl .
Если же сила изменяется при движении очки вдоль траектории, то работа
в этом случае находится как сумма всех элементарных работ:

A   F dl .
Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии.

Если на тело действует некоторая сила F , под действием которой тело

совершает перемещение dl , то говорят , что сила совершает работу. энергия
тела это энергия его движения, следовательно ее нельзя запасать. Это
выражение может быть обобщено на движение по траектории любого типа и,
следовательно, получим общее выражение:
dE  dA .
Мы получили теорему об изменении кинетической энергии тела:
Приращение кинетической энергии тела равно работе всех сил,
совершающих работу.
Потенциальная энергия частицы в поле сил.
Воспользуемся тем фактом, что работа консервативных сил не зависит от
формы траектории, и введем новое физическое понятие потенциальной
энергии частицы.
Так в консервативном поле работа не зависит от пути, то она будет

некоторой функцией U (r ) радиус-вектора частицы, проведенного из точки
начала отсчета 0. Эту функцию и назовем потенциальной энергией частицы в
произвольной точке пространства относительно начальной точки 0. Введем
эту функцию по следующему правилу:
r 


U (r )   F (r )dl .
0
Итак, потенциальной энергией частицы в поле консервативных сил называют
такую функцию U (r ) , убыль которой равна работе по перемещению частицы
из одной точки пространства в другую. Видно, что введенная таким образом
величина, является понятием относительным.
Потенциальная энергия и сила поля.
Установим связь между потенциальной частицей в консервативном поле и
силой, действующей на частицу в этом поле. Для элементарной работы
можем записать:
 
Fdl  dU .
 
Или иначе Fdl  Fdr , тогда Fdr  dU . Отсюда следует, что
F 
dU
.
dr
В общем случае существует следующая связь силы с изменением
потенциальной энергии:

U  U  U 
F  (
i
j
k).
x
y
z
В скобках стоит некий оператор (набла), который еще иначе называют
градиентом (grad):

     
i
j k.
x
y
z
Поэтому связь силы и потенциальной энергии можно записать более

F  U .
компактно:
Приращение механической энергии частицы равно работе сторонних сил,
действующих на эту частицу.
Соответственно, можно сформулировать и закон сохранения механической
энергии частицы:
В случае отсутствия сторонни сил, механическая энергия системы
сохраняется.
Соударение тел
Законы сохранения энергии и импульса могут быть использованы для
нахождения связей между физическими величинами, описывающими
движение тел.
Абсолютно неупругий удар
Внешним признаком абсолютно неупругого удара является наличие двух
тел после удара и одного, объединенного, тела после удара. Поскольку мы
рассматриваем замкнутую систему, то выполняется закон сохранения
импульса. Закон сохранения механической энергии не выполняется, т.к.
действую в системе диссипативные силы. При неупругом ударе часть
механической энергии переходит в тепло.


Рассмотрим два шара массами m1 и m2, движущиеся со скоростями V1 и V 2 .
Мы будем иметь дело с центральным ударом, при котором векторы скорости
шаров до и после удара направлены по линии, соединяющей центры шаров.
Скорость образовавшегося тела после удара:


 m1V1  m2V2
U
.
(m1  m2 )
Рассчитаем потерю механической энергии (в данном случае только
кинетической) в ходе этого процесса.
E k 2  E k1 
m m (V  V2 ) 2
1 m1 m2
(V12  2V1V2  2V22 )  1 2 1
2 m1  m2
2(m1  m2 )
.
Видно, что по физическому смыслу это есть кинетическая энергия
относительного движения шаров. Итак, при абсолютно неупругом ударе
теряется кинетическая энергия относительного движения.
Абсолютно упругий удар
Рассмотрим замкнутую систему двух упругих шаров массами m1 и m2,


движущихся со скоростями V1 и V 2 . После центрального удара обозначим


скорости шаров U 1 и U 2 .
Можно получит для первого шара:



(m1  m2 )V1  2m2V2
U1 
.
m1  m2
Аналогично можно получить для второго шара:



(m2  m1 )V2  2m1V1
U2 
m1  m2
Образцы решения задач по механике
4.1 5. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ
5.1.
Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости
ху из точки 1 (1,2) в точку 2 (2,-3). При этом на нее действовали
некоторые силы, одна из которых имеет проекции на оси: Fх=3 Н, Fу=4
Н. Найдите работу, которую совершила сила при этом перемещении.
Работа при перемещении из точки 1 в точку 2 определяется
интегрированием по траектории:
 
A   ( F , dr ) .
2
1
В данном случае сила F является постоянной, поэтому ее работа не
зависит от формы траектории. Следовательно:
2 
 
A  F  dr  ( F  r ) .
1
Находим величину скалярного произведения через проекции векторов:
A  Fx x  Fy y  Fz z .
5.2.
Груз массой m=80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости с
ускорением a=1 м/с2. Длина наклонной плоскости 3 м, угол  ее
наклона к горизонту равен 300, а коэффициент трения 0,15.
Определите: 1) работу, совершенную подъемным устройством; его
среднюю мощность; 3) максимальную мощность . Начальная скорость
груза равна нулю.
Чтобы найти работу подъемного устройства, надо сначала найти
величину подъемной силы. Для этого рассмотрим все силы,
действующие на груз.
Запишем второй закон Ньютона для нашего груза:
   

mg  F  N  Fтр  ma .
В проекциях на оси координат это уравнение имеет вид:
F  mg sin   Fтр  ma
N  mg cos   0
.
Учтем, что сила трения скольжения равна Fтр  N  mg cos  . Тогда:
F  (ma  g sin   mg cos  ) .
Сила тяги постоянна и направлена вдоль перемещения, поэтому ее
работа при перемещении на расстояние l равна:
A  Fl  (ma  g sin   mg cos  ) l.=1726,5 Дж.
Средняя мощность за время t по определению равна N ср 
A
. Время
t
подъема груза находим из кинематических соотношений:
t
2l
.
a
Чтобы найти максимальную мощность, выясним, как мгновенная
мощность зависит от времени.
N (t )  FV  Fmat  (ma  g sin   mg cos  )m
5.3.
2l
.
a
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы волоком втащить
тело массой m на горку с длиной основания L и высотой H, если
коэффициент трения равен  .
1-й способ.
Работа силы тяги будет минимальна при выполнении следующих
условий: в каждой точке траектории сила направлена вдоль скорости
(по касательной к траектории); тело при подъеме движется
равномерно и достаточно медленно. Тогда на любом малом участке
траектории dsi сила тяги будет равна:
Fi  mg sin  i  mg cos  i .
Элементарная работа этой силы будет равна:
dA  (mg sin  i  mg cos  i )dsi .
Заметим, что ds  sin   dl , а ds  cos  dh . Поэтому:
dA  mg ( dl  dh) .
После интегрирования, получим:
A  mg ( H  L) .
2-й способ.
Из энергетических соображений сразу напишем:
A=mgH-Aтр = mgH+ mgL .
5.4.
Частица движется вдоль оси х под действием силы F  x  x 2 , где
  8Н / м,   6 H / м 2 . Найдите потенциальную энергию U как функцию
координаты х и постройте график U(x). В каких точках частица
находится в равновесии?
По определению потенциальной энергии элементарная работа силы
при перемещении равна взятому с обратным знаком приращению
потенциальной энергии:
dU  Fdx .
Изменение потенциальной энергии при перемещении из точки х1 в
точку х2 получаем интегрированием:
 x 22 x 23   x12 x13 
   
 .
U 1  U 2    Fdx    (x  x )dx   


2
3
2
3

 

x1
x1
x2
x2
2
Следовательно:
U ( x)  
x 2
2

x 3
3
.
Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной
постоянной. Физический смысл имеет только изменение
потенциальной энергии. Пусть эта постоянная равна 0. График U(X)
пересекает ось абсцисс при х=0 и при x 
3
 2 м.
2
Определим положения возможного равновесия частицы. В этом
положении сила, действующая на частицу, равна 0. Для заданной в
условии функции находим условие равновесия: x  x 2  0 . Это
уравнение имеет два решения х1=0 и х2=4/3 м. Положение равновесия
соответствует экстремуму потенциальной энергии. Чтобы
выяснить, является ли равновесие устойчивым, посмотрим, каковы
силы, действующие на частицу в малой окрестности точки
равновесия.
Слева от точки х1 F<0, т.е. сила направлена от точки х1. Справа же
F>0, т.е. сила опять же направлена от точки х1. Равновесие в этой
точке неустойчиво.
5.5.
От груза массой М, висящего на пружине жесткостью k, отрывается
часть массой m. На какую высоту поднимется после этого оставшаяся
часть груза?
1-й способ.
После отрыва массы m оставшаяся часть груза (M-m) движется в
поле двух консервативных сил: силы упругости и силы тяжести.
Полная механическая энергия системы сохраняется в процессе
движения.
Запишем закон сохранения энергии для оставшейся массы груза. За
нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяжести примем точку
подвеса пружины, а энергию упругих деформаций будем считать
равной нулю для недеформированной пружины.
Введем следующие обозначения:
l0 –длина пружины в нерастянутом состоянии, х0 –деформация
пружины в начальный момент, х1 –в момент наивысшего подъема.
Будем считать, что кинетическая энергия при отрыве равна нулю. В
момент наивысшего подъема оставшегося груза его кинетическая
энергия также равна нулю. Поскольку полная механическая энергия
неизменна, можно приравнять потенциальные энергии груза (M-m) в
момент отрыва части m ив момент наивысшего подъема:
 ( M  m) g (l 0  x0 )  kx02 / 2  ( M  m) g (l 0  x1 )  kx12 / 2 .
Отсюда находим:
x1 
2( M  m ) g
 x0 .
k
Начальную деформацию определяем из условия равновесия груза М:
Mg=kx0 или
x0=Mg/k.
Высота поднятия груза над первоначальным уровнем равна:
h  x 0  x1 
2mg
.
k
2-й способ.
Оставшаяся часть груза будет совершать колебания относительно
нового положения равновесия x , определяемого из условия:
( M  m) g  kx  .
Амплитуда колебания равна:
x0  x   2 x0 
2( M  m) g 2Mg

.
k
k
Максимальное смещение из положения равновесия определяется
величиной:
5.6.
2( x0  x ) 
2mg
.
k
Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, переходящей
в мертвую петлю, в которой вырезана дуга, симметричная
относительно вертикального диаметра. Радиус мертвой петли равен 1
м, длина хорды АВ равна 1,73 м. Определите высоту H, с которой
должно спуститься тело, чтобы из точки А оно попало в точку В,
двигаясь по воздуху.
Выберем систему координат, как показано на следующем рисунке.
Запишем кинематический закон движения тела:
x  V cos   t
y  V sin   t  g
t2 .
2
Здесь V –скорость тела в момент отрыва от петли. Она направлена
по касательной к окружности под углом  к горизонту. Этот угол
можно найти, зная длину хорды АВ:
S  2 R sin 
S .
  arcsin
2R
Чтобы попасть в точку В, тело должно проделать по горизонтали
путь S, равный длине хорды АВ. Таким образом, дальность полета
тела по параболе равна S.
Находим дальность полета:
2V 2 sin  cos 
.
S
g
Приравняв это выражение длине хорды, определим скорость в момент
отрыва, при которой тело попадает в точку В:
V 
gR
.
cos 
Найдем теперь, с какой высоты H должно соскользнуть тело, чтобы
в точке А петли иметь нужную скорость. Для этого запишем закон
сохранения энергии для тела, приравняв энергию в момент начала
соскальзывания с высоты H и в момент отрыва от желоба:
mgH 
mV 2
 mg ( R  R cos  ) .
2
Подстановка скорости в это выражение дает:


1
H  R
 1 .
 2 cos   cos 

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
6.1.
Ящик с песком массой M=10 кг лежит на горизонтальной поверхности,
коэффициент трения с которой  =0,5. Под углом 600 к вертикали в
ящик со скоростью 600 м/с попадает пуля массой m= 10 г и почти
мгновенно застревает в песке. Какую скорость приобретет ящик к
моменту окончания движения пули в песке?
Система «пуля-ящик» является замкнутой, т.к. на нее действуют
внешние силы в вертикально направлении – сила тяжести и реакция
опоры, в горизонтальном направлении сила трения скольжения.
Время движения пули в песке очень мало, однако за это время импульс
системы меняется на конечную величину. Это означает, что в
течение времени  внешние силы – реакция опоры и связанная с ней


сила трения были очень велики, так что импульсы этих сил  Ndt и
0


 Fdt
имеют конечную величину. Импульсом же силы тяжести можно
0
пренебречь.
Запишем изменение импульса системы за время  :

   
( M  m)U  mV   ( N  F )dt .
0
Найдем проекции этого уравнения на оси координат:

( M  m)U  mV cos     Fdt
0

.
 (mV sin  )   Ndt
0
Поскольку сила трения скольжения равна F  N в любой момент
времени, то и модули импульсов силы F и N пропорциональны друг


0
0
 Fdt    Ndt .
другу:
Окончательно можем записать:
U
6.2.
mV (cos    sin  )
.
M m
Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая
вертикально вниз струю газа со скоростью U= 900 м/с. Найдите: а)
сколько времени ракета может оставаться в состоянии покоя, если
начальная масса топлива составляет  =25% ее массы без топлива; б)
какую массу газов  (t ) должна ежесекундно выбрасывать ракета,
чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты с
топливом равна m0?
Ракета движется под действием силы тяжести и реактивной
силы, действующей на нее со стороны струи выбрасываемых газов.
Запишем уравнение движения ракеты (уравнение Мещерского):



ma  mg  U ,
здесь   
dm
скорость расхода газов.
dt
В проекциях на ось х, направленную вертикально вверх:
ma  mg 
dm
U.
dt
Поскольку в данном случае ракета поддерживается на одной высоте,
0  mg 
то:
dm
U.
dt
Разделяя переменные и интегрирую, получим:
ln
m
gt
 .
m0
U
Это уравнение связывает массу m ракеты с оставшимся топливом и
время работы двигателя. Ракета может оставаться на одной
высоте до тех пор, пока не выгорит все топливо. Так как начальная
масса топлива составляет 26% массы самой ракеты mр, то
m0  m p (1   )
Можем найти искомое время:
t
6.3.
U
U
ln( m0 / m p )  ln( 1   ) .
g
g
Чтобы рассчитать необходимый для поддержания равновесия расход
топлива используем уравнение:
m  m0 exp( 
gt
).
U
Находим расход топлива:

dm g
 m0 e  gt / U .
dt U
СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ
6.4.
Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на
невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули m1=5 г,
масса шара m2=0.5 кг. Скорость пули V1 =500 м/с. 1) При каком
максимальном расстоянии l от центра шара до точки подвеса стержня
шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности? 2) Как
изменится ответ, если стержень заменить нитью?
Взаимодействие пули с маятником является неупругим соударением,
т.к. после взаимодействия два тела движутся как одно. При
неупругом соударении сохраняется импульс системы «пуля-шар» в
проекции на горизонтальное направление. Однако механическая
энергия при этом взаимодействии не сохраняется так как между
пулей и шаром действует сила трения.
Запишем закон сохранения импульса в проекции на направление
движения пули:
m1V1 =(m1+m2)U.
U –скорость шара с пулей сразу же после столкновения.
Отсюда находим:
U
mV
.
m1  m2
Дальнейшее движение маятника с застрявшей в нем пулей происходит
под действием силы тяжести и силу упругости стержня. При этом
уже сохраняется механическая энергия системы. По условию задачи
маятник делает полный оборот. Приравняем механическую энергию
маятника в верхней и нижней точках его траектории:
MU 2
 2Mgl  E k .
2
Ek- кинетическая энергия маятника в верхней точке.
1. Если маятник висит на стрежне, то его минимальная кинетическая
энергия в верхней точке равна нулю. Поэтому максимальная длина
стержня, удовлетворяющая закону сохранения энергии, будет равна:
U2
1  m1V

l

4 g 4 g  m1  m2
2

 .

2. Если же маятник висит на нити, его минимальная кинетическая
энергия в верхней точке отлична от нуля. Запишем уравнение
движения шарика по окружности:
MU  2
 Mg  N .
2
N- сила натяжения нити.
Так как N  0 , минимальная скорость U  маятника в верхней точке
равна U   gl , а минимальная кинетическая энергия в верхней точке
Ek 
1
Mgl . Поэтому можем теперь записать:
2
U2
1  m1V

l

5 g 5 g  m1  m2
6.5.
2

 .

Два стальных шара подвешены на нитях так, что при их касании
центры тяжести находятся на l =1м ниже точки подвеса, а нити
вертикальны. Массы их m1 =800 г и m2 =200 г. Более легкий шар
отводят в сторону на  =900 и отпускают. Принимая шары за
абсолютно упругие, определите: а) на какую высоту поднимется центр
каждого из шаров; б) при каком соотношении между массами шаров
высоты подъема будут одинаковы.
Найдем скорость V2 меньшего шара непосредственно перед ударом
с помощью закона сохранения энергии:
m2 gl (1  cos  ) 
m2V22
.
2
V2  2 g (1  cos  ) .
Отсюда следует:
Скорости шаров после упругого удара определяются по известным
2m2V2

V1 
m1  m2
формулам:
,
(m  m2 )V2

.
V2   1
m1  m2
Мы видим, что V1  0 , т.е. покоившийся тяжелый шар начнет после
удара двигаться в сторону движения налетевшего шара, а
налетевший шар после удара начнет двигаться в противоположную
сторону.
Высоты h1 и h2 поднятия шаров после удара найдем из закона
m1V1
 m1 gh1
2
2
сохранения энергии:
V1
2
2
 2m 2 
 l (1  cos  ) .
h1 
 
2 g  m2  m1 
m2V2
 m2 gh2
2
2
V2
2
2
 m  m2 
 l (1  cos  ) .
h2 
  1
2 g  m2  m1 
Задачи для самостоятельного решения
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
1.1.
Система состоит из частицы 1 массы 0,1 г, частицы 2 массы 0,2 г и
частицы 3 массы 0,3 г. Частица 1 помещена в точке с
координатами (1,2,3), частица 2 – в точке с координатами (2,3,1),
частица 3 – в точке с координатами (3,2,1). Найти радиус-вектор

rc центра масс системы и его модуль.
1.2.
В вершинах прямоугольника АВСД со сторонами АВ=20 см и АД
=30 см расположены частицы массами 4 г, 5 г, 8 г и 2 г. Найти
положение центра масс.
1.3.
Найти радиус-вектор центра масс частиц 0,5 кг, 1,5 кг и 2 кг,
положение которых определяется векторами






(6i  3 j ), (2i  5 j ) и (3i  2 j ) , соответственно.
1.4.
Частицы 5m, 4m и 3m размещены в точках (-5; 0), (4; 0,5), -4;-3),
соответственно. Где должна находится масса 7m, чтобы центр масс
системы находился в начале координат?
1.5.
Три частицы 2 кг, 5 кг и 10 кг движутся со скоростями
 
 
 
(6i ,4 j ), (5i ,2 j ), ( 2i ,7 j ) . Определить скорость центра масс и
величину его перемещения за 10 с.
1.6.
На частицы из предыдущей задачи начинают действовать силы
 
 
 
( 5i ,3 j ), ( 4i ,5 j ), (6i ,8 j ) Н, соответственно. Определите ускорение
центра масс. Сохраняется ли импульс системы частиц в течение
времени действия этих сил?
1.7.
Сосуд массой М разделен перегородкой на две равные части. В
одной части находится масса газа, равная 5М, а в другой – 2М. На
какое расстояние переместится сосуд, если в перегородке образуется
отверстие? Длина сосуда L. Трения нет.
1.8.
Между двумя тележками с массами m1 и m2 помещена сжатая
пружина. При пережигании удерживающей нити пружина
разожмется и, действуя определенное время на каждую из тележек,
сообщает им скорости v1 и v2. Показать, что в любой момент
времени тележки будут двигаться по горизонтальным рельсам так,
что их общий центр масс, находившийся на расстояниях l1 и l2
между тележками, будет оставаться неподвижным. Трением
пренебречь.
1.9.
На какое расстояние сместится неподвижно стоящая на воде лодка,
если человек массой 70 кг пройдет с носа лодки на ее корму? Длина
лодки 2,5 м, ее масса 100 кг. Сопротивлением воды пренебречь.
1.10. На поверхности озера находится лодка. Она перпендикулярна линии
берега и обращена к нему носом. Расстояние между носом лодки и
берегом 0,75 м. В начальный момент лодка неподвижна. Человек,
находящийся в лодке, переходит с носа лодки на корму. Причалит
ли лодка к берегу, если ее длина 2 м? Масса лодки 140 кг, масса
человека
60 кг.
1.11. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На
обруче находится жук. Какую траекторию будут описывать жук и
центр обруча, если жук начнет двигаться вдоль обруча? Масса
обруча М, радиус R, масса жука m.
1.12. На дне закрытой пробирки сидит муха. Пробирка свободно падает,
оставаясь в вертикальном положении. Как изменится
продолжительность падения, если во время падения муха перелетит
из нижней части пробирки в верхнюю?
1.13. К свободному аэростату массой М привязана веревочная лестница
длиной L, на конце которой находится человек массой m. Аэростат
не движется. Человек начинает подниматься по лестнице вверх. На
какой высоте будет находиться человек над землей в тот момент,
когда он доберется до аэростата, если в начальный момент он
находился от нее на высоте h? В каком направлении и с какой
скоростью будет перемещаться аэростат, если человек начнет
подниматься по лестнице вверх с постоянной скоростью
относительно лестницы?
1.14. Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площадку,
имея в момент удара скорость 10 м/с. Найти изменение импульса
при абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударе. Вычислить
среднюю силу, действующую на шарик во время удара, если
неупругий удар длится 0,05 с, а упругий – 0,01 с.
1.15. Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о
горизонтальную плоскость. Угол падения равен 600. Найти
изменение импульса, если удар абсолютно упругий, а угол
отражения равен углу падения.
1.16. Мяч весом Р= 2 Н ударяется о стенку и отскакивает от нее так, что
угол  , образованный траекторией мяча до удара с нормалью к
стенке, равен углу, образованному с этой же нормалью траекторией
после удара (рис.33 ). Скорость мяча V=5 м/с. Продолжительность
удара t=0,05 с. Определить величину и направление усредненной за
время удара силы F, с которой мяч действует на стенку, для  =450.
1.17. Ледокол водоизмещением 5000 т, идущий с выключенным
двигателем со скоростью 10 м/с, наталкивается на неподвижную
льдину и движет ее впереди себя. Скорость ледокола уменьшилась
при этом до 2 м/с. Определите массу льдины. Сопротивлением воды
пренебречь.
1.18. В открытый автомобиль, движущийся горизонтально по инерции со
скоростью 33 км/ч, бросают сверху мешок массой 100 кг. Как
изменится скорость автомобиля? Масса автомобиля 1000 кг.
1.19. Два неупругих тела, массы которых 2 кг и 6 кг, движутся навстречу
друг другу со скоростями 2 м/с каждое. Определить модуль и
направление скорости каждого из этих тел после удара.
1.20. Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До
удара шар массы m2 неподвижен, шар массы m1 движется с
некоторой скоростью. Какая часть первоначальной кинетической
энергии теряется при ударе, если : а) m1=m2; б) m1=0,1m2; в)
m1=10m2.
1.21. На платформе установлена безоткатная пушка, из которой
производится выстрел вдоль железнодорожного полотна под углом
450 к горизонту. Определить начальную скорость снаряда, если
известно, что после выстрела платформа откатилась на расстояние 3
м. Масса платформы с пушкой 20 т, масса снаряда 10 кг,
коэффициент трения между колесами платформы и рельсами 0,002.
1.22. С судна массой 250 т произведен выстрел из пушки в сторону,
противоположную его движению под углом 600 к горизонту. На
сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг
вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?
1.23. Бильярдный шар, движущийся со скоростью 1,71 м/с, ударяется о
неподвижный шар, после чего оба шара разлетаются с одинаковыми
скоростями 10 м/с. Под каким углом движутся шары после удара,
если удар абсолютно упругий?
1.24. Для определения скорости пули используют баллистический
маятник. Определить скорость горизонтально летевшей пули перед
попаданием в маятник, если он после попадания пули отклонился на
угол 1,50. Длина нити 4 м, масса пули 20 г, масса баллистического
маятника 0,5 кг.
1.25. Из ракетного двигателя за время t равномерно вытекает масса газа m
со скоростью истечения с. Какова сила тяги двигателя?
1.26. Ракета массой 103 кг содержит 4  10 3 кг взрывчатого вещества.
Какую скорость приобретет ракета, если считать, что взрыв
горючего и выход газов, вылетевших со скоростью 2 км/с,
происходит мгновенно?
1.27. От двухступенчатой ракеты общей массы m1 + m2 = 103 кг в момент
достижения скорости 171 м/с отделилась ее вторая ступень массой
m2 = 4  10 2 кг. Скорость второй ступени увеличилась при этом до 185
м/с. Найти, с какой скоростью стала двигаться первая ступень
ракеты. Скорости указаны относительно Земли.
1.28. В ракетах газы выбрасываются не сразу, а постепенно. Вытекающая
часть газов сообщает обратную скорость не только ракете, но и
оставшемуся горючему. Это значит, что в реальной ракете горючего
должно быть больше, чем предусмотрено задачей 9.23. Циолковский
рассчитал, что вне поля тяготения конечная скорость ракеты v,
скорость истечения газов из ракеты с, масса горючего m и масса
ракеты М связаны равенством: 2,3c lg( 1 
m
) . Используя эту формулу,
M
определить, какое количество горючего надо было бы для
достижения скорости, полученной в задаче 1/28?
РАБОТА. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
1.29. Шарик массой 100 г, подвешенный на нити длиной 40 см, описывает
в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая
энергия шарика, если во время его движения нить образует с
вертикалью угол 600?
1.30. Постоянная сила F=0,5 Н ускоряет тело массы m=10 кг в течение
времени t=2 с. Определить кинетическую энергию тела, если
начальная кинетическая энергия его была равна нулю. Построить
зависимости кинетической энергии от времени и от пройденного
пути.
1.31. Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле
однородный стержень длиной 2 м и массой 100 кг поставить
вертикально?
1.32. Какую работу надо произвести, чтобы повернуть на другую грань
сплошной железный куб, масса которого m=200 кг?
1.33. Сравнить работы, которые совершает человек, растягивая пружину
динамометра от 0 до 10 Н, от 10 до 20 Н, от 20 до 30 Н.
1.34. Электропоезд в момент выключения тока имел скорость 20 м/с.
Какой путь пройдет поезд без включения тормозов до полной
остановки, если коэффициент сопротивления равен 0,005?
1.35. Мальчик тянет санки по горизонтальному пути, натягивая при этом
привязанную к ним веревку под углом 370 к горизонту с силой 20 Н.
Какую работу он произведет, протащив санки на расстояние 600 м?
1.36. Какую работу необходимо затратить, чтобы вытащить пробку из
горлышка бутылки? Длина пробки L, пробка находится на
расстоянии l от края горлышка. Сила трения между пробкой и
бутылкой F. Весом пробки пренебречь.
1.37. Тело свободно падет с некоторой высоты без начальной скорости.
Как относятся работы, совершаемые силой тяжести за одинаковые
последовательные промежутки времени?
1.38. Определить работу, которую надо совершить, чтобы поднять на
высоту 5 м груз весом
2 Н, двигая его равномерно по наклонной
плоскости, составляющей с горизонтом угол 300. Коэффициент
трения 0,5.
1.39. Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой
к горизонту 300. Какую работу совершила сила тяги на пути 50 м,
если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с2?
Коэффициент трения равен 0,1.
1.40. Тело поднимают на вершину горы один раз по пути АДС, а другой
раз – по пути АВС (рис. 35 ). Доказать, что при медленном подъеме
совершенная работа будет одной и той же, если коэффициент
трения на обоих склонах одинаков.
С
В
Д
А
1.41. Пуля массой 1,5 г, Летевшая горизонтально со скоростью 670 м/с,
пробивает доску толщиной 3,5 см. Определить кинетическую
энергию пули после пробивания доски, если сила сопротивления
при движении ее в дереве равна 74 кН.
1.42. Тело массы m=4 кг двигалось по горизонтальной прямой со
скоростью 2 м/с. После действия некоторой силы оно стало
двигаться в противоположном направление с вдвое большей
скоростью. Найти величину этой силы и совершенную ей работу,
если время действия силы 2 с. Решить задачу при условии, что после
действия силы тело стало двигаться под углом 900 к начальной
траектории с той же по величине скоростью 2 м/с.
1.43. Найти приращение энергии  Е, если: а) Е1=2 Дж, Е2=5 Дж; б) Е1=10
Дж,Е2=8 Дж.
1.44. Первоначально покоившаяся частица, находясь под действием силы:
 


F  e x  2e y  3e z ( Н) , переместилась из точки (2, 4, 6) ( м ) в точку (3,
6, 9 ) ( м ). Найти кинетическую энергию Т частицы в конечной
точке.
1.45. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8)
( Н ), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) ( М
) в точку с координатами (3, 2, 1 ) ( м ). Какая при этом совершается
работа и как изменилась кинетическая энергия частицы?
1.46. Каким способом можно закинуть льдинку дальше: а) бросив в
воздух под углом 450 к горизонту или б) пустив ее скользить по льду
с такой же скоростью? Коэффициент трения 0,02.
1.47. Санки движутся по горизонтальному льду со скоростью 6 м/с,
выезжают на асфальт. Длина полозьев санок 2 м, коэффициент
трения об асфальт k=1. Какой путь пройдут санки до полной
остановки?
1.48. Поезд массой m=50 т шел равномерно по горизонтальному пути. От
поезда оторвался задний вагон массой m1=20 т. Проехав после этого
200 м, машинист прекратил доступ пара в машину. На каком
расстоянии друг от друга остановятся отделившийся вагон и
остальной состав поезда? Предположить, что машина все время
работала одинаково ( сила тяги оставалась постоянной) и что
сопротивление движению поезда и вагона пропорционально
движущейся массе.
1.49. Какую работу надо совершить, чтобы из колодца глубиной 10 м
поднять вверх ведро с водой массой 8 кг на тросе, каждый метр
которого имеет массу 400 г?
1.50. К концу сжатия пружины детского пистолета на 3 см приложенная к
ней сила была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой
пружины.
1.51. Пружина детского пистолета имеет в недеформированном
состоянии длину 15 см. Сила, необходимая для сжатия пружины на
1 см, равна 2 Н. Какова будет максимальная высота подъема шарика
массой 1 г, если им зарядить пистолет, сжав пружину до 5 см ?
Пистолет расположен вертикально. Сопротивление воздуха не
учитывать.
1.52. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле
определяется выражением : U  1,00 x  2,00 y 2  3,00 z 3 . Найти работу А,
совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с
координатами (1, 1, 1) в точку с координатами (2, 2, 2).
1.53. Потенциальная энергия частицы определяется
выражением: U  a( x 2  y 2  z 2 ) , где a > 0. Частица начинает двигаться
из точки с координатами (3, 3, 3). Найти ее кинетическую энергию Т
в момент, когда частица находится в точке с координатами (1, 1, 1).
1.54. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид :
U=a/r2 –b/r, где a и b – положительные постоянные, r- расстояние от
центра поля. Найти : а) значение r, соответствующее равновесному
положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б)
максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные
графики зависимостей U( r ) и Fr ( r ) – проекции силы на радиусвектор.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
1.55. Построить графики зависимости от времени кинетической,
потенциальной и полной энергии камня массой 1 кг, брошенного
вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с.
1.56. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы
радиуса R вниз (рис.36 ). На какой высоте h над центром сферы тело
отделится от поверхности сферы и полетит свободно?
д hh
1.57. Какой кинетической энергией обладало тело массой 2 кг, если оно
поднялось по наклонной плоскости с углом наклона 30о на высоту 1
м? Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,1.
1.58. Молоток массой 0,8 кг в момент удара о шляпку гвоздя имеет
скорость 1,5 м/с и забивает его в бревно на глубину 5 мм. Какой
массы груз необходимо положить на шляпку гвоздя, чтобы он
вошел в бревно на такую же глубину?
1.59. Шарик для игры в настольный теннис радиусом 15 мм и массой 5 г
погружен в воду на глубину 30 см. Когда шарик отпустили, он
выпрыгнул из воды на высоту 10 см. Какое количество теплоты
выделилось вследствие трения шарика о воду?
1.60. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с
вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный
трамплин (рис.38 ). При какой высоте h трамплина шайба пролетит
наибольшее расстояние S? Чему оно равно?
А
H
h
S
1.61. Пуля массой m ударяется под углом  о баллистический маятник
массой М и застревает в нем. Какая доля кинетической энергии пули
перейдет в теплоту?
1.62. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях, касаясь друг
друга. Меньший шар отводится на 900 от первоначального
положения и отпускается. После удара шары поднимаются на
одинаковую высоту. Определить массу меньшего шара, если масса
большего 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.
1.63. Веревка длины 20 м переброшена через блок. В начальный момент
времени веревка висит симметрично относительно вертикальной
прямой, проходящей через ось блока, и покоится, а затем, в
результате незначительного толчка, начинает двигаться по блоку.
Будет ли движение веревки равноускоренным? Какова будет
скорость веревки, когда она сойдет с блока? Массой и размером
блока пренебречь.
1.64. Камень брошен вверх под углом 600 к горизонту. Кинетическая
энергия камня в начальный момент 20 Дж. Определить
кинетическую и потенциальную энергии камня в наивысшей точке
траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.65. Гиря, положенная на верхний конец пружины, сжимает ее на 2 мм.
На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины
с высоты 5 см?