Косинский Ю.И., «Распределение частиц по кинетической энергии

Косинский Ю.И.
Распределение частиц по кинетической энергии
Нами найдено (78) распределение частиц по компоненте энергии для
термодинамической системы:
N E z
Так как
E
  1 
N
1 z

   Ez




 2
d
2
mv z2
Ez 
,
2
mv z 1
Ez 
 kT ,
2
2
Ez
.
Ez
(98)
N
 n0 ,
V
Это распределение можно записать в различных вариантах:
N v 2
z
v2 
  1 
N
1 z 
   v 2z 

n  n 0 2
 2
d

  1  2E z
1 
  kT



v z2
2
 2
d
(99)
Ez
,
kT
или перейти к относительной переменной x 
 1  x 
1  
N  N
   
,
vz
Ez
Ez
:
 2
dx .
(100)
Это распределение нормировано.
 N  N

 1  x 
1  
 0   
 2
dx  N .
Среднее значение компоненты энергии E z , исходя из распределения равно:

 1
1
E z N Ez 
2

N

kT
2

0
 2E z
1 
 kT



 2
Ez d
Ez
.
kT
(101)
Перейдем к относительной переменной:

kT   1  x 
1  
Ez 
2  0   
 2
xdx .
Значение интеграла равно:




 x
 1    xdx    1   2 .
0
(102)
В результате среднее значение компоненты энергии равно:
Ez 
1
N
 E z N E
z

kT
.
2
Распределение компоненты энергии частиц (101) по энергии имеет
максимум. Найдем значение этого максимума.
d
dE z
 2 E
z
1 

kT





 2

  2 2E z  2E z
1 
Ez   
 kT  kT


2E
  2 2E z
 1 z ,
 kT
kT
 kT
( E z ) н.в. 
.
 1 2



 3
 2E z
 1 
 kT



 2
 0,
(103)
Мы нашли наиболее вероятное значение энергии (компоненты), при котором
компонента энергии частиц принимает максимальное значение.
Спектральная часть частиц, соответствующая этому максимуму, несет на
себе максимальную энергию из всего спектра энергии и, соответственно
создает максимальный вклад в давление на стенки термодинамической
системы. Эти частицы движутся со скоростью равной:
2( E z ) н.в.
.
m
c  (v z ) н.в. 
Эту скорость можно отождествить со скоростью звука или скоростью
распространения энергетического возмущения, представленного во времени
в виде единичной функции.
p
t
t0
Найденная скорость звука равна:
c

kT
,
 1 m
(104)
при    найденная скорость совпадает со скоростью, выведенной в
механике (формула Ньютона).
c
kT

m
RT

,
где  - молекулярный вес газа,
R - универсальная газовая постоянная.
При   5.1 (для атмосферы Земли) найденное значение скорости немного
ниже скорости, измеренной экспериментально для воздуха.
c B 1.4
RT

.
Значение скорости, измеренное опытным путем, находится в хорошем
согласии со значением, вычисленным по формуле Лапласа.
cL 
Cp
RT
CV

,
где C p и CV - теплоемкости. Отношение теплоемкостей, вычисленное
теоретически, равно
5
 1.666 , для воздуха, найденное экспериментально,
3
равно 1.4.
Таким образом нами найдена скорость звука для газов исходя из
молекулярно-кинетических представлений (для одиночного бесконечно
малого во времени возмущения). Найденное значение немного ниже
экспериментально измеренного.
В объеме газа все направления равно вероятны. Это отражается на
равенстве давления на любой части поверхности термодинамической
системы, а также на равенстве компонент средней кинетической энергии,
приходящейся на одну частицу газа.
Ex  Ey  Ez 
1
kT .
2
Вероятность того, что частица может иметь полную кинетическую энергию
E  Ex Ey Ez
равна произведению вероятностей, соответствующих компонентам энергии.
 2E j
N
 8 1 
N E
kT
j 




 2
3
   1  dE j


,
3
   (kT )
(105)
где j  x, y, z.
При    соотношение (105) легко выразить через полную кинетическую
энергию или модуль скорости частицы v .
 mv 2j
lim 1 
  
kT

 2

 mv 2j 

,
Ej 
,
 exp  

 kT 
2



2
2
2
 m(v x  v y  v z )  m  3
N
  d (v 2 )d (v 2 )d (v 2 ),
 exp  
x
y
z

 kT 
N
kT


mv 2j
 mv 2
N  2m 


exp

 kT
N  kT 

3

v x v y v z  dv x dv y dv z .


(106)
В полярных координатах.
v z  vCos , v x  vSin  Cos , v y  vSin  Sin ,
dv x dv y dv z  v 2 dv  Sin  d  d .
3
 mv 2
N  2m 


exp

 kT
N  kT 

 5
v dv  Sin 3  Cos  d  Sin  Cos  d .


(107)
Мы получили распределение частиц по скоростям и по направлениям. Про
суммируем результат (107) по всем возможным значениям скорости и всем
направлениям.

N  m 
 N   kT 
3
 mv
exp
   kT

0
2

2
 5
v dv  4 Sin 3  Cos  d  2 Sin  Cos  d .




0
0
2
(108)
Вычислим значения интегралов.

1
2
1
 Sin   Cos  d   Sin   d (Sin )  4 ,
3
3
0
0

2
1
0
0
 Sin  Cos   Sin  d (Cos ) 
m
 
 kT 
3
 mv 2
exp
   kT

0

2
 5

v dv  1 exp   mv

 kT
2 0



1
,
2
 mv 2

 kT

2
 d (v 2 ) m



kT



1
1
  exp(  x) x 2 dx   x 2 exp(  x)  0   exp(  x) xdx   x exp(  x)  0   exp(  x)dx  1
20
2
0
0
В результате решения можем записать.

N
 1.
N
Распределение (108) дает следующее значение средней кинетической
энергии, приходящейся на одну частицу.
mv 2 N kT
 2 N  2
kT

2

 mv 2
1
exp
 2   kT

0

 mv 2

 kT

3
  mv 2
 d
  kT
 





1
kT 3
3
3
2
 2 exp(  x) x dx  2 2  exp(  x) x dx  2 kT ,
0
0
E
(109)
mv 2 N 3
 kT.
2 N
2
Мы получили известный результат.
С помощью распределения (108) вычислим среднее давление,
оказываемое всем ансамблем частиц на стенку системы в направлении оси
z.
p

1
2mv z2 n,

2
 mv
1
p  kTn0  exp  
 kT
2

0
2
 mv

 kT

2
v z vCos ,

3
  mv  2
 d
  4 Sin 3  Cos 3  d.
  kT  
 
 0
2
(110)
Значение первого интеграла нам известно (=3), вычислим второй интеграл.

1
2
1 1 1
4  Sin 3  Cos 3  d  4 Sin 3 (1  Sin 2 )d ( Sin )  4    .
 4 6 3
0
0
В итоге получим известный результат:
p  n0 kT.

Вычислим давление в направлении оси x .
p
1
2mv 2 n,

2
v x  Sin  Cos ,

 mv 2
1
p  n0 kT  exp  
 kT
2

0


2
2
0
0
3
 mv 2

 kT

  mv 2 
 d

  kT 
 

(111)
 4  Sin 5  Cos  d  2  Cos 3  Sin  d .
Значения второго и третьего интегралов равны:

2
1
0
0
5
5
 Sin   Cos  d   Sin   d (Sin ) 
1
,
6

2
 Cos
1
1
4
  Sin  d   Cos 3  d (Cos )  .
3
0
0
Результат вычисления:
p  n0 kT.

Выражение для давления в направлении оси y отличается от (111) третьим
интегралом, который равен:

2
1
0
0
3
3
 Sin   Cos  d   Sin   d (Sin ) 
1
4
и приводит к той же величине давления
p  n0 kT.
Результат:
Полученное распределение частиц по скоростям v (108)
дает правильное (известное) значение для средней кинетической энергии и
давления, которое не зависит от направления измерения. Распределение
частиц по абсолютному значению скорости найдено при    , где  отношение максимально возможной кинетической энергии, которую может
принимать (иметь) частица данной термодинамической системы к средней
кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы.
 
E кон
Ex
.
При конечном  произведение трех распределений по компонентам энергии
(105) нельзя выразить через полную кинетическую энергию. Поэтому мы
воспользуемся соотношениями (97) и (99). Первое из них устанавливает связь
между распределением частиц по компонентам квадрата вектора (скорости) f (v x2 ) и распределением по абсолютному значению вектора (скорости) F (v 2 ).
 d2

2  5

F (v ) 
f (v ) v .
 d (v 2 ) 2



2

(112)

Значение f (v x2 ) найдем из (99):
f
(v x2 )
v x2 
  1 
N
1
   v 2x 

 2
.
(113)

2
В относительных величинах по отношению к v x
  1  v 2 
f (v )  N
1
   
 2
2
.
Подставив в (112) найдем распределение:
  1   2   3  v 2 
F (v )  N
1


   
 4
2
v5.
(114)
v 5 dv,
(115)
v 5 dv.
(116)
Так как - F (v 2 )dv  N , запишем
  1   2   3  v 2 
N  N
1


   
где под v мы имеем
v2
2

vx
 4
mv 2
, поэтому
kT
N   1   2   3  m 

 
N


  kT 
3
 mv 2
1 
 kT





 4
Весь спектр распределения равен:

kT
m
 4
 mv 2 
5
 1  kT  v dv.

0 
совпадает при    с скоростной
N   1   2   3  m 
 N      kT 
3
(117)
Найденное распределение
частью
распределения (108). Поэтому, в общем случае, для произвольной  мы
можем записать.
N   1   2   3  m 
 N      kT 


2
2
0
0
3 vкон

0
 mv 2
1 
 kT

 4  Sin 3  Cos  d  2  Sin  Cos  d ,




 4
v 5 dv 
(118)
2
v кон

kT
.
m
Распределение частиц по абсолютному значению скорости имеет конечный
спектр и конечные пределы интегрирования по скорости. Вычисление
интегралов. Второй и третий интегралы равны 1.
N   1   2   3  m 
 N      kT 
3 vкон


 mv 2
1 
 kT

0
 4
N   1   2   3  x 
 N      1   
0




 4
mv 2
 x.
kT
v 5 dv,
(119)
x2
dx,
2
Интегрируем по частям.

1  x
1  
2 0   

 4
 
x
1  
x dx  
 3   
2

 x
1  

  3   2   
 2
Итог:

 3


 x

1 2 
1  
x 0 

2
  3 0   


 x
1  
x 0 

  3   2 0   

 2
dx 
 3

xdx 


  3   2  1
.
N
 1.
N
Вычислим среднее значение кинетической энергии
mv 2
с помощью
2
распределения.
 1   2   3
 A,



N
kT
EE
A
N
2
vкон

0
 mv 2
1 
 kT

kT
EA
2

 x
 1   
0
 4
mv 2
kT mv 2
E
.
2
2 kT





 x
 1   
0
 4
 4
4
m 7
  v dv,
 kT 
mv 2
 x.
kT
(119a)
x3
dx.
2


  3
x3
dx  3
 .
2
  3   2  1  A
E
3
kT .
2
Перепишем распределение:
 4
 mv 2 
1 

(120)
v 5 dv.
 kT 


Найдем скорость молекул v н.в. , при которой распределение имеет максимум,
N
m
 A 
N
 kT 
3
т.е. наиболее вероятную скорость.

d  mv 2
1
dv  kT

Находим




 4

v
5


0
1
v н.в.
5
2
 kT  
 .
 2
 m   1 .5 




(121)
Сравнивая (121) с наиболее вероятной скоростью Максвелловского
распределения
1
 2kT  2
(122)
v н.в.  
 ,
 m 
мы видим, что v н.в. распределения (120) при    на 12% больше v н.в.
Максвелловского
1
v н.в.
52
  ,
v н.в.М  4 
при   5.09 для атмосферы – на 33% больше v н.в. Максвелловского.
Найденное распределение изображено на рисунке для двух значений  .
Для сравнения здесь же построена функция распределения Максвелла.
Распределению частиц по абсолютному значению скорости (120)
должно соответствовать распределение частиц по компоненте скорости на
какое-либо
направление.
Для
нахождения
этого
распределения
воспользуемся соотношением (86),(87). Результат:
3
N
m 1
dv x A 
N
 kT  2
 kT 


 m 

v x2
' 2
1  m(v x )

kT





 4
(v x' ) 4 dv x' ,
(123)
N
 f (v x )dv x .
N
Найденное распределение f (v x ) выражается через определенный интеграл,
решение которого нельзя, к сожалению, представить в виде элементарных
функций.
Вычислим полную вероятность частицы иметь произвольную
компоненту скорости.
v x кон
v x кон

v x кон
N

N v 
kT
m
,
f (v x )dv x  2
A
 f (v x )dv x .
0
x кон
N
m
 N  A kT 
где v x кон 
v x кон
3 v x кон

v x кон
dv x
0

vx
 4
m(v x' ) 2 

1 

kT



(124)
(v x' ) 4 dv x' ,
 1   2   3
.



Для упрощения вычислений перейдем к относительным переменным.
mv x2
 x2.
kT


N
 N  A  dx
0

x
 (x ' ) 2
1 







 4
( x ' ) 4 dx ' .
(125)
Интегрируем по частям.



dx
0
x

x


x
 (x ' ) 2
1 



 (x ' ) 2
1 











 4
( x ' ) 4 dx ' 
 4

( x ) dx  0 
' 4
'


0
 x2
x 1 







 4
x 4 dx.
Подставив пределы в первом слагаемом, найдем, что оно равно нулю.
Оставшийся интеграл совпадает с интегралом соотношения (119). Значение
его равно
1
. Поэтому мы можем записать, что
A
N
 N  1.
С помощью функции распределения (123)) найдем давление, оказываемое
газом в направлении x . Давление равно:
v x кон
 2mv x f ( x)dx 
p  n0
3
2
m
 n0 A  m
 kT 
0
v x кон

v x кон
v x2 dv x
0

vx
 m(v x' ) 2
1 

kT





 4
(v x' ) 4 dv x' .
(124)
В относительных переменных.

p  n0 kTA  x dx
2
0


x
 (x ' ) 2
1 







 4
( x ' ) 4 dx ' .
Интегрируем по частям.
A
p  n0 kT
3


0
3

x 2 
x 1

 

 4
x 4 dx.
Значение интеграла, согласно (119а), равно
3
. Мы пришли к известному
A
результату:
p  n0 kT
Найденное распределение отвечает всем требованиям при определении
средних значений.
1  1   2   3  m 
f (v x ) 
 
2 

  kT 
где v x кон 
kT
m
3 v x кон 

vx
' 2
1  m(v x )

kT

,
в относительных величинах x 2 
mv x2
.
kT




 4
(v x' ) 4 dv x' ,
(125)

1
f ( x)  A 
2 x
 (x ' ) 2
1 







 4
( x ' ) 4 dx ' .
(126)
Интегрированием по частям преобразуем соотношение (126).
1   1   2  x 2
2 f ( x) 
1
2 
 

3   1  x 2

1
4  





 2




 3
3  1
x
4 



x
 (x ' ) 2
1 

2





 2
dx ' .
При    соотношение (127) выражается через интеграл вероятности.



1
3  3

2 f ( x)  exp(  x 2 ) x 3  x    exp  ( x ' ) 2 dx ' 
2
2  4x

x


1
2  3 3  3
2
 exp(  x ) x  x     exp( t )dt   exp( t 2 )dt .
2
2  4  0


0

 exp( t
Так как
2
)dt 
0
2 f ( x) 
где
2

x
 exp( t
0
2

2
, запишем
1
3  3 

exp(  x 2 ) x 3  x  
2
2 
8


1  2



)dt  Ф( x) - интеграл ошибок.

2
,
exp(

t
)
dt


0

x
(128)