Олимпиада им. И.В.Савельева, 2015, Математика, 10 класс Задание 1. Решить уравнение f ( f ( x)) f ( x) , где f ( x) 2(2 x 1) . x3 2. При каких значениях a все положительные решения уравнения sin( x a) sin x cos x 0 являются членами одной арифметической прогрессии? Найти разность этой прогрессии. 3. Множество M k - объединение корней уравнений x 2 an x 4 2an 0 для n 1, 2,..., k . Здесь an - члены арифметической прогрессии, для которой a20 59 и a40 119 . Найти сумму всех чисел из M100 . (2 x 3 y 6)(2 x y 2) 0 4. Найти a , b и c , для которых система (2 x y 2)(2 x 3 y 6) 0 ( x a ) 2 ( y b) 2 c 2 в области x 1имеет ровно три решения. На 5. сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки DиE так, что AD : AB 1:3 и CE : CA 1: 4 . Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A , попарно пересекаются в точках M , N и P . Найти отношение площадей треугольников MNP и ABC . Решения 1. Обозначим f ( x) t и решим уравнение f (t ) t , где f (t ) виде 2(2t 1) . Перепишем это уравнение в t 3 2(2t 1) t 4t 2 t 2 3t t 2 t 2 0 t1 2, t2 1. t 3 Сначала рассмотрим t1 2 : 2(2 x 1) 2 4 x 2 2 x 6 x 2. Теперь рассмотрим t2 1: x3 2(2 x 1) 1 4 x 2 x 3 5 x 5 x 1. x3 2. Множество решений уравнения (1) sin x cos x 0 и уравнения (2) представляет собой объединение решений sin( x a) 0 . Для уравнения (1) это x 4 уравнения k , k Z , для уравнения (2) x a k , k Z . Эти решения изображены на тригонометрическом круге: Положительные решения из объединения могут быть членами одной арифметической прогрессии, если 1) a 4 m, m Z , при этом d 2 2) a 4 m, m Z . Тогда множества решений уравнений (1) и (2) совпадают и d 3. Заметим, что x1,n 2 является корнем уравнений для всех n и принадлежит M100 . Поэтому сумма 100 вторых корней x2,n 2 an уравнений равна S2 2 100 an 200 n 1 a1 a100 100 . 2 a 19d 59 20d 60 Найдем a1 и a100 : 1 a1 2, d 3 a100 2 3 99 299 . a1 39d 119 20a1 40 Вычислим S 2 200 2 299 100 15250 . Тогда S 2 S2 15248 . 2 (2 x 3 y 6)(2 x y 2) 0 4. Рассмотрим сначала систему из первых двух уравнений заданной (2 x y 2)(2 x 3 y 6) 0 системы. Решением этой системы является объединение решений систем 2 x 3 y 6 0 x1 0, y1 2 А: 2x y 2 0 2 x 3 y 6 0 x2 3, y2 0 Б: 2 x 3 y 6 0 2 x y 2 0 x3 1, y3 0 С: 2 x y 2 0 2x y 2 0 x4 0, y4 2 , Д: 2 x 3 y 6 0 Условию x 1 удовлетворяют решения систем А, С и Д: x1 0, y1 2 ; x3 1, y3 0 ; x4 0, y4 2 . Для того, чтобы исходная система имела ровно три решения, необходимо и достаточно, чтобы эти три решения удовлетворяли третьему уравнению системы − ( x a)2 ( y b)2 c 2 . В результате получаем систему уравнений для нахождения a , b и c : a 2 (b 2) 2 c 2 2 2 2 (a 1) b c . a 2 (b 2) 2 c 2 Вычитая из третьего уравнения первое, найдем b : (b 2)2 (b 2)2 0 4b 0 b 0. Тогда из второго уравнения получим a 1 c. Подставим a 1 c в первое уравнение: 1 2c c 2 4 c 2 c 2,5. Если c 2,5 , то a 1,5 , а если c 2,5 , то снова a 1,5 . Таким образом, получаем: a 1,5 b 0 c 2,5 . 5. По условию задачи на сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки D и E так, что AD : AB 1: n и CE : CA 1: m . Здесь n 3 , m 4 . Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A , попарно пересекаются в точках M , N и P . Нужно найти отношение площадей треугольников MNP и ABC (см. рис.). 1. Воспользуемся теоремой Менелая для CAT и секущей EB : CE AN TB 1 AN 1 AN 1 1 2(m 1) . EA NT BC m 1 NT 2 NT Введем обозначения: AM u AT , MN v AT , NT w AT . В этих обозначениях предыдущее равенство примет вид: uv 2( m 1) (1) w 1 2. Площадь S ATC S ABC . Найдем отношение площадей S EAN : SCAT 2 SEAN : SCAT Тогда S EAN AN AE u v m 1 (u v) / w m 1 2(m 1) m 1 (m 1) 2 . 2 AT AC u v w m (u v) / w 1 m 2m 1 m m(2m 1) (m 1)2 S ABC . m(2m 1) 3. Воспользуемся теоремой Менелая для BAT и секущей CD : BD AM TC u 1 u 2 n 1 u v 1 (n 1) 1 1 (2) . DA MT CB vw 2 v w n 1 2 w w С учетом уравнения (1) u v n 1 u u 2(2m 1) . 2(m 1) и сложения с (2), получим 2m 1 w w 2 w w n 1 Подставляя полученное значение отношения в (2), после преобразования получим: v 2 mn n m v mn n m и u 2m 1 w n 1 4. Воспользуемся теоремой Менелая для ANE и секущей MC : AM NP EC u NP 1 NP v m(mn n m) 1 1 m MN PE CA v PE m PE u 2m 1 Тогда m mn n m NP NP NP / PE NE NP PE NP / PE 1 m mn n m 2m 1 5. Отношение площадей (после преобразования) SMNP : S ANE v NP m(mn n m)2 u v NE m(mn n m)2 (2m 1)(m 1)(mn n m) (2m 1) 2 Наконец, объединяя с пунктом 2, получим S MNP (m 1) 2 t 2 , где t mn n m . S mt 2 (2m 1)(m 1)t (2m 1)2 (2m 1) ABC В нашем случае n 3 , m 4 . Подставляя эти значения в полученную формулу, найдем S MNP 25 : 252. S ABC