Дискретная случайная величина

Глава 1. Дискретная случайная величина
§1.Понятия случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение: Случайной называется величина, которая в результате
испытания принимает только одно значение из возможного множества своих
значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение: Случайная величина Х называется дискретной
(прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но
счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину
можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение: Законом распределения дискретной случайной величины
называют соответствие между возможными значениями случайной величины
и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть
задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке
возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй
строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.
x
x1
x2
х3
…
хn
p
р1
р2
р3
...
рn
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной
величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно,
то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно
изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят
ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi),
1
i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения
(рис.1).
рис.1
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть
также задан аналитически (в виде формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n
Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по
математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и
0,8. Составить закон
распределения случайной величины Х- числа
экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена
может принять одно из следующих значений: x1=0, x2=1, х3=2.
Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:
По условию:
Тогда:
Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:
2
x
p
0
1
2
0,6 0,38 0,56
Контроль:0,6+0,38+0,56=1.
§2. Функция распределения
Полное описание
распределения.
случайной
величины
дает
также
функция
Определение: Функцией распределения дискретной случайной
величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х
вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
Геометрически
функция
распределения
интерпретируется
как
вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое
изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.
Свойства функции распределения:
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);
3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех
остальных точках;
4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в
виде таблицы:
x
x1 x2 х3 … хn
p
р1
р2
р3
...
рn
то функция распределения F(x) определяется формулой:
0
при х≤ x1,
р1
при x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3
…
…
…
1
при х> хn.
3
Её график изображен на рис.2:
рис.2
§3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое
ожидание.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной
случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на
соответствующие им вероятности:
n
М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
i=1
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения
случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С•Х)=С•М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений
дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит
дисперсия.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
D(X)=M(X-M(X))2
4
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х- случайная величина;
3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
n
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
i=1
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не
всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных
значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной
величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом
распределения:
х
р
-1
0,1
0
Р2
1
0,3
2
0,2
3
0,3
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также
M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной
величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X<x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть
вероятность того, что случайная величина примет значение, которое
изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной
случайной величины;
Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадает
только одно значение x1=-1;
Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток
(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;
Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в
промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;
5
Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)=
0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=1, x2=0,x3=1 и х4=2;
Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)=
0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения
x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.
Итак,
0 при х≤-1,
0,1 при -1<х≤0,
0,2 при 0<х≤1,
F(x)= 0,5 при 1<х≤2,
0,7 при 2<х≤3,
1 при х>3
Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):
рис. 3
Найдем числовые характеристики случайной величины:
n
М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn
κ=1
M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5
n
D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2
κ=1
D(X)=(-1)2 •0,1+12•3+22•0,2+32•0,3-(1,5)2=1,65
≈1,2845.
6
§4. Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение: Биномиальным называется закон распределения
дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n
независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может
наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда
Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях
вычисляется по формуле Бернулли:
Р(Х=m)=Сmnpmqn-m
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону,
находят, соответственно, по формулам:
M(X)=np,
D(X)=npq,
Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события
А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m)
используют формулу Пуассона:
Р(Х=m)=Рn(m)= e-λ • λm , где λ=np
m!
Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону
Пуассона.
Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон
распределения Пуассона называется законом средних явлений.
Задача№3. Составить закон распределения случайной величины Х-числа
выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить
M(X),D(X), σ(Х) этой величины.
Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как
кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.
Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и
та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где
- «выпадения не пятерки».
7
Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.
Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле
Бернулли:
Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1•(1/6)0•(5/6)3=125/216;
Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3•(1/6)1•(5/6)2=75/216;
Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3•(1/6)2•(5/6)1=15/216;
Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1•(1/6)3•(5/6)0=1/216.
Т.о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:
х
р
0
1
2
3
125/216 75/216 15/216 1/216
Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
M(X)=np=3•(1/6)=1/2,
D(X)=npq=3•(1/6) •(5/6)=5/12,
Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что
изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность
того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:
а) 5 бракованных;
б) хотя бы одна бракованная.
Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной
детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется
бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:
Рn(m)= e-λ • λm
m!
Найдем λ=np=1000•0,002=2.
а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):
Р1000(5)= e-2 • 25 = 32•0,13534
5!
= 0,0361
120
б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.
Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является
противоположным
событию
-«все
отобранные
детали
не
8
бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(
). Отсюда искомая вероятность
равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 • 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.
0!
9
Задачи для самостоятельной работы.
1.1Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:
х
-2
0
2
5
р
0,3
0,2
Р3
0,1
Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также
M(X),D(X), σ(Х).
1.2.Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:
х
-1
0
1
2
3
р
0,3 0,1 0,2 Р4
0,3
Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также
M(X),D(X), σ(Х).
1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут.
Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих
фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной
величины.
1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6
учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4
учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых.
Составить закон распределения случайной величины.
1.5.В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи
равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных
задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию
распределения F(x) и построить ее график.
1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для
третьего -0,7. Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если
стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).
1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при
каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае
промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной
величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти
M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.
1.8.На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад
выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают
назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить
закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).
10
1.9.В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает
страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон
распределения случайной величины Х- числа договоров, по которым была
выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров.
Найти числовые характеристики этой величины.
1.10.Радиостанция через определенные промежутки времени посылает
позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи.
Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная
величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон
распределения и найти F(x).
1.11.Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку.
Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток
открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не
участвует. Найти M(X),D(X).
1.12.Производятся последовательные независимые испытания трех
приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в
том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения
случайной величины Х-числа испытанных приборов.
1.13.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения:
х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2,
соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76.
Составить закон распределения случайной величины.
1.14.Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002.
Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т
откажет не более двух элементов.
1.15.Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что
учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того,
что тираж содержит:
а) четыре бракованные книги,
б) менее двух бракованных книг.
1.16.Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено
по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за
минуту поступит:
а) два вызова;
б)хотя бы один вызов.
11
1.17.Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Х:
х
р
-2 0
2
0,5 0,2 0,3
Y:
х
р
0
0,2
1
0,5
3
0,3
Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y.
1.18.Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Х:
х
р
0
2
4
0,1 0,4 0,5
Y:
х
р
3
0,2
4
0,4
5
0,4
Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.
Ответы:
0 при х≤-2,
0,3 при -2<х≤0,
F(x)= 0,5 при 0<х≤2,
0,9 при 2<х≤5,
1 при х>5
1.1.р3=0,4;
M(Х)=0,7; D(Х)=4,87; σ(Х) ≈2,193.
1.2. р4=0,1;
0
0,3
0,4
F(x)= 0,6
0,7
1
при х≤-1,
при -1<х≤0,
при 0<х≤1,
при 1<х≤2,
при 2<х≤3,
при х>3
M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.
1.3.
х
р
1
2
7/84 1/2
х
р
2
2/5
3
35/84
1.4.
3
4
8/15 1/15
12
1.5.
х
р
F(x)=
0
1
2
0,03 0,34 0,63
0
0,03
0,37
1
при х≤0,
при 0<х≤1,
при 1<х≤2,
при х>2
1.6.
х
р
0
1
2
3
0,03 0,22 0,47 0,28
M(Х)=2; D(Х)=0,62
1.7.
х
р
0
10
20
30
0,008 0,096 0,384 0,512
M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896
1.8.
х
р
0
1
2
3
27/512 135/512 225/512 125/512
M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈
1.9.
х
р
0
1
2
0,0256 0,1536 0,3456
3
0,3456
4
0,1296
M(Х)=2,4; D(Х)=0,96
1.10.
х
р
1
0,3
2
3
4
0,21 0,147 0,343
13
0
при х≤ 1,
0,3 при 1<х≤2,
F(x)= 0,51 при 2<х≤3,
0,657 при 3<х≤4,
1
при х>4
1.11.
х
1
2
3
р
1/3 1/3 1/3
M(Х)=2; D(Х)=2/3
1.12.
х
р
1
0,9
2
3
0,09 0,01
х
р
1
0,3
2
0,2
1.13.
3
0,5
1.14. 1,22• e-0,2≈0,999
1.15. а)0,0189; б) 0,00049
1.16. а)0,0702; б)0,77687
1.17. 3,8; 14,2
1.18. 11,2; 4.
14
Глава 2. Непрерывная случайная величина
Определение: Непрерывной называют величину, все возможные
значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный
промежуток числовой оси.
Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины
бесконечно.
Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции
распределения.
Определение: Функцией распределения непрерывной случайной
величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения
х R
вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет
значение, меньшее х:
F(x)=P(X<x),где х R
Функцию распределения иногда называют интегральной функцией
распределения.
Свойства функции распределения:
1)1≤ F(x) ≤1
2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна
в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных
точек.
3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков
(а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b,т.е.
Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)
4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно
отдельное значение равна 0.
5) F(-∞)=0, F(+∞)=1
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции
распределения не является единственным. Введем понятие плотности
распределения вероятностей (плотность распределения).
Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x)
непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции
распределения, т.е.:
f(x)=F’(x)
15
Плотность распределения вероятностей иногда называют
дифференциальной функцией распределения или дифференциальным
законом распределения.
График плотности распределения вероятностей f(x) называется кривой
распределения вероятностей.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при х R
х
2) F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Геометрически функция распределения равна площади фигуры,
ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее
точки х (рис.1)
b
3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx
a
Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной
трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева
и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)
-∞
4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки
+∞
рис.1
рис.2
Задача №1.Случайная величина Х задана плотностью распределения
вероятностей:
0
при х≤2,
f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,
0
при х>6.
Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее
график; в) Р(3≤х<5)
16
Решение:
+
∞
а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.
-∞
Следовательно,
+∞
2
+∞
6
6
6
∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х /2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;
2
-∞
-∞
2
6
2
2
8с=1;
с=1/8.
х
б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Поэтому,
х
если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;
-∞
2
х
2
если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х)
-∞
-∞
= 1/8(х2/2-2х- (4/2-4))=
2
=1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;
2
6
х
6
6
если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) =
-∞
2
6
2
2
=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.
Таким образом,
0
при х≤2,
2
F(х)= (х-2) /16 при 2<х≤6,
1
при х>6.
График функции F(х) изображен на рис.3
рис.3
в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)2/16-(3-2)2/16=9/16-1/16=5/16.
17
Задача №2. Случайная величина Х задана функцией распределения:
0
при х≤0,
F(х)= (3• arctg х)/π при 0<х≤√3,
1
при х>√3.
Найти дифференциальную функцию распределения f(х)
Решение: Т.к. f(х)= F’(x), то
f(х)=
0
при х≤0,
2
(3•(1+х )) /π при 0<х≤√3,
0
при х>√3.
Числовые характеристики
Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные
ранее дискретной случайной величины, можно распространить на
непрерывные случайные величины.
 Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины
Х определяются равенством:
+∞
M(X)= ∫ x•f(x)dx,
-∞
при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.
 Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется
равенством:
+∞
D(X)= ∫ (х-М(х)2)•f(x)dx, или
-∞
+∞
D(X)= ∫ х2•f(x)dx- (М(х))2
-∞
 Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной
величины определяется равенством:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные
ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для
непрерывных.
18
Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной
функцией f(x):
0 при х≤0,
f(х)= х/3 при 0<х≤2,
1/3 при 2<х≤3,
0 при х>3.
Найти M(X),D(X),σ(Х), а также P(1<х<5)
Решение
+∞
0
2
+∞
2
2
2
3
M(X)= ∫ х•f(x)dx=∫ х•0dx+∫ х•х/3 dx+∫ х/3dx+∫ 0•х•dx=1/3∫х dx+1/3∫ хdx=
-∞
0
3
2
0
3
3
3
0
2
+ х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,
= x3/9
2
2
+∞
2
3
2
3
D(X)= ∫ х • f(x)dx-(М(х)) =∫ х •х/3•dx+∫1/3х dx=(31/18) =х /12 +х /9 2
2
-∞
2
0
2
2
4
3
2
0
2
- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,
5
2
3
5
P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6
1
1
2
3
2
+1/3х
1
3
=
2
= 4/6-1/6+1-2/3=5/6.
Задачи для самостоятельного решения.
2.1.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:
0
при х≤0,
1
при 0<х≤1,
при х>1.
F(х)=
Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также
Р(-1/2<Х<1/2).
19
2.2.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:
F(х)=
0
при х≤ π/6,
-cos 3x при π/6<х≤ π/3,
1
при х> π/3.
Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также
Р(2π /9<Х< π /2).
2.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью
распределения:
f(х)=
0 при х≤2,
с•х при 2<х≤4,
0 при х>4.
Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).
2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью
распределения:
f(х)=
0 при х≤0,
с•√х при 0<х≤1,
0
при х>1.
Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).
2.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины Х:
f(х)=
при х [3;5],
0 при х [3;5].
Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в)
вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х
примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).
2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины Х:
f(х)=
2(х-2) при х [2;3],
0
при х [2;3].
20
Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в)
вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет
ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1;2,5].
2.7. Функция f(х) задана в виде:
f(х)=
при х [-√3/2 ; √3/2],
0 при х [-√3/2 ; √3/2].
Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет
плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию
распределения F(x).
2.8.Функция f(x) задана в виде:
f(х)=
0
при х [- π /4 ; π /4],
при х [- π /4 ; π /4].
Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет
плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию
распределения F(x).
2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана
функцией распределения F(х)=
. Найти вероятность того, что
случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.
2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),
задана функцией распределения F(х)=
. Найти вероятность того, что
случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.
2.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией
распределения:
f(х)=
0
при х [1; е],
при х [1; е].
Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).
21
2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией
распределения:
при х [0; π],
при х [0; π].
f(х)=
0
1
Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))
2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:
0
f(х)=
при х<0,
при х ≥0.
Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения
вероятностей.
2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины Х:
0
при х<0,
-х
f(х)= с•х•е при х ≥0.
Найти число с.
2.15.Случайная величина Х распределена по закону Симпсона
(равнобедренного треугольника) на отрезке [-2; 2] (рис.4). Найти
аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой
оси.
(рис.4)
(рис.5)
2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного
треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для
плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.
22
Ответы
2.1.
0
при х≤0,
0
при 0<х≤1,
при х>1.
f(х)=
Р(-1/2<Х<1/2)= 2/3.
2.2.
F(х)=
0
при х≤ π/6,
3sin 3x при π/6<х≤ π/3,
0
при х> π/3.
Р(2π /9<Х< π /2)=1/2.
2.3. а) с=1/6, б) М(Х)=3
в) D(X)=26/81.
2.4. а) с=3/2, б) М(Х)=3/5 в) D(X)=12/175.
2.5.
0
при х≤3,
1
при 3<х≤5,
при х>5.
а) F(х)=
б) M(X)=3
, D(X)=2/9, σ (Х)= √2/3;
в)3/8.
2.6.
0
при х≤2,
2
а) F(х)= (х-2) при 2<х≤3,
1
при х>3.
б) M(X)=2 , D(X)=3
, σ (Х)=
≈
1,893.
в)9/64.
2.7. а) с=
при х≤√3/2,
0
б) F(х)=
1
при -√3/2<х≤√3/2,
при х>√3/2.
23
2.8. а) с=1/2
0
при х≤- π /4,
1
при - π /4 <х≤ π /4,
при х> π /4.
б) F(х)=
2.9. а)1/4; б) 0.
2.10. а)3/5; б) 1.
2.11.а)с=2; б)М(Х)=2; в)1-ln22≈0,5185.
2.12. а) М(Х)= π /2 ; б) 1/2
2.14. с=1.
2.15. f(х)=
при х [-2; 2],
0 при х [-2; 2].
2.16. f(х)=
при х (0;4),
0 при х (0;4).
Глава 3. Некоторые законы распределения непрерывной
случайных величин.
§1. Равномерный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный
закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат
все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x)
постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.
0
f(х)=
0
при х≤а,
при a<х<b,
при х≥b .
24
График функции f(x) изображен на рис. 1
(рис. 1)
(рис.2)
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
равномерному закону, задается формулой:
0
при х≤а,
0
при a<х≤b,
при х>b.
F(х)=
Ее график изображен на рис. 2.
Числовые
характеристики
случайной
величины
распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:
M(Х)=
, D(X)=
, σ(Х)=
равномерно
.
Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7].
Найти:
а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
б) функцию распределения F(x) и построить ее график;
в) M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3,
b=7, находим:
0 при х<3,
а) f(х)=
при 3≤х≤7,
0 при х>7
25
Построим ее график (рис.3):
рис.3
б)
0
при х≤3,
1
при 3<х≤7,
при х>7 .
F(х)=
Построим ее график (рис.4):
рис.4
в) M(X) =
=
D(X) =
=
σ (Х) =
=
=5,
= ,
=
.
§2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение:
Непрерывная
случайная
величина
Х
имеет
показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром
λ>0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
f(х)=
0 при х<0,
λе-λх при х≥0.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
показательному закону, задается формулой:
0
при х≤3,
-λх
F(х)= 1-e при х≥0.
26
Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х)
случайной величины Х приведены на рис.5 и рис.6.
рис.5
рис.6
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
отклонение показательного распределения соответственно равны:
M(X)=
, D(X)=
, σ (Х)=
Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение показательного распределения равны между собой.
Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:
Р(a<Х<b)= e-λа- e-λb
Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч.
Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон
распределения, найти:
а) плотность распределения вероятностей;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.
Решение: По условию математическое распределение M(X)=
откуда λ=1/100=0,01.
=100,
Следовательно,
0
при х<0,
-0,01х
а) f(х)=
0,01е
при х≥0.
б) F(x)=
0
при х<0,
-0,01х
1- е
при х≥0.
в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:
Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.
27
§3.Нормальный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный
закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет
вид:
,
где m=M(X), σ2=D(X), σ>0.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или
гауссовой кривой (рис.7)
Нормальная кривая
симметрична относительно
прямой х=m, имеет максимум
в т. х=а, равный
.
рис.7
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по
нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:
,
где
- функция Лапласа.
Замечание: Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того,
при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.
График функции распределения F(x) изображен на рис. 8
рис.8
28
Вероятность того, что случайная величина Х примет
принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле:
Вероятность того, что абсолютная величина
положительного числа δ вычисляется по формуле:
отклонения
значения,
меньше
В частности, при m=0 справедливо равенство:
«Правило трех сигм»
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с
параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в
интервале (a-3σ; a+3σ), т.к.
Задача №3. Случайная величина Х распределена нормально с
математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а)плотность
распределения вероятностей f(x); б) вероятность того, что в результате
испытания Х примет значение из интервала (28;38).
Решение: По условию m=32, σ2=16, следовательно, σ=4, тогда
а)
б) Воспользуемся формулой:
Подставив a=28, b=38, m=32, σ=4, получим
По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.
Итак, искомая вероятность:
P(28<X<38)= 0,4332+0,3413=0,7745.
29
Задачи для самостоятельной работы
3.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5).
Найдите:
а) плотность распределения f(x);
б)функции распределения F(x);
в)числовые характеристики;
г)вероятность Р(4<х<6).
3.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2;7].
Найдите:
а) плотность распределения f(x);
б)функции распределения F(x);
в)числовые характеристики;
г)вероятность Р(3≤х≤6).
3.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты
для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и
т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти
вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.
3.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты.
Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова
вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд.
Найти математическое ожидание случайной величины Х- время ожидания
поезда.
3.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение
показательного распределения, заданного функцией распределения:
F(x)= 0
при х<0,
-8х
1-е при х≥0.
3.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью
распределения вероятностей:
f(x)= 0
при х<0,
-0,7х
0,7•е
при х≥0.
а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.
б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики
случайной величины Х.
30
3.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону,
заданному плотностью распределения вероятностей:
f(x)= 0
при х<0,
-0,4 х
0,4 •е
при х≥0.
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из
интервала (2,5;5).
3.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному
закону, заданному функцией распределения:
F(x)= 0
при х<0,
-0,6х
1-е
при х≥0
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из
отрезка [2;5].
3.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2.
Найдите:
а) плотность распределения f(x);
б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из
интервала (10;14).
3.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим
ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:
а) плотность распределения f(x);
б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из
отрезка [3,1;3,7].
3.11. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.
Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность?
3.12. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и
D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она
примет значение с большей вероятностью?
3.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью
нормального закона распределения с M(X)=10ден.ед. и σ (Х)=0,3 ден.ед.
Найти:
а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден.ед. до 10,4
ден.ед.;
б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет
находится текущая цена акции.
31
3.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок.
Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним
квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех
независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по
абсолютной величине 3г.
3.15. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна
0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.
3.16. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и
D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в
результате испытания случайная величина Х.
3.17.Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если
отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по
модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х
распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов
бракованных деталей выдает автомат?
3.18.Параметр Х детали распределен нормально с математическим
ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением
0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не
превысит 1% номинала.
Ответы
3.1.
0 при х≤-3,
а) f(х)= 1/8 при -3<х<5,
0 при х≥5.
б)
0
при х≤-3,
1
при -3<х≤5,
при х>5.
F(х)=
в) M(X)=1, D(X)=16/3 σ (Х)= 4/√3
г)1/8.
3.2.
0 при х<2,
а) f(х)= 1/5 при 2≤х≤7,
0 при х>7.
32
б)
0
при х≤2,
1
при 2<х≤7,
при х>7.
F(х)=
в) M(X)=4,5,D(X) =
, σ (Х)=
г)3/5.
3.3. 40/51.
3.4. 7/12, M(X)=1.
3.5. D(X) = 1/64, σ (Х)=1/8
3.6. F(x)= 0, при х<0,
1-е-0,7х при х≥0.
M(X)=
,D(X) =
, σ (Х)=
.
3.7. Р(2,5<Х<5)=е -1-е-2≈0,2325
3.8. Р(2≤Х≤5)=0,252.
3.9. а)
б) Р(10<Х<14)≈0,1574.
3.10. а)f(x)=
,
б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.
3.11. |x|≥0,6.
3.12.(-0,5;-0,1).
3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.
б)(9,1;10,9)
3.14. 0,111.
3.15. σ=1,2.
33
3.16. (-6;30).
3.17. 0,4%.
3.18. 0,8472.
34