3. Лабораторная работа № 6. РЕЗОНАНС ТОКОВ Цель работы – исследование различных режимов резонанса токов при неизменной частоте и напряжении источника Э.Д.С., а также знакомство со схемой фазовращательного моста и методикой измерения угла сдвига фаз. 3.1. Общие положения 3.1.1. Резонансная частота параллельного контура Резонанс токов – это такой режим работы параллельного контура, содержащего в общем случае в одной из ветвей C и R2 , а в другой L и R1 элементы, когда входная реактивная проводимость контура оказывается равной нулю. Параллельный контур и соответствующая ему векторная диаграмма токов при резонансе приведены на рис. 3.1а. Как следует из рисунка, токи в ветвях контура İ1 и İ2 при резонансе, вообще говоря, не равны, но их реактивные составляющие равны по модулю и противоположны по фазе. При известных сопротивлениях ветвей контура Z1=R1+jωL и Z2=R2+1/jC выражения для проводимостей ветвей имеют вид: Y1 = R 1 1 L = = 2 1 -j 2 2 Z 1 R1 jL R1 (L) R1 (L) 2 Y2 = R2 1 1 1 / C = = 2 +j 2 . 2 Z 2 R2 j / C R2 (1 / C ) R2 (1 / C ) 2 İ İ2b İ2 Ú R1 İ2 R2 Ú İ1 L İ C İ1b a) İ1 , İ İ2 İ2 R Ú İ C İ1 L İ1b Ú İ1 b) Рис.3.1. Параллльный контур и соответствующая ему векторная диаграмма токов при резонансе: а – в общем случае, б – исследуемый в данной лабораторной работе Входная проводимость контура Y равна сумме проводимостей ветвей: Y=Y1+Y2= R1 R1 (L) 2 2 L 2 1 / C j 2 R (1 / C ) 2 R (L) 2 (1 / C ) 2 1 2 R2 R2 2 g jb , (3.1) где g – активная, а b – реактивная проводимости контура. Т.к. при резонансе токов b=0, то условие резонанса имеет вид: 1 / C L 2 0 . 2 R (1 / C ) R1 (L) 2 (3.2) 2 2 Разрешая уравнение (3.2) относительно , найдём выражение для резонансной частоты '0 параллельного контура: 0 1 LC L / C R12 2 R12 =ω 0 L / C R22 2 R22 , (3.3) где 0=1/ LC – резонансная частота, а L / C – характеристическое сопротивление такого последовательного контура, в котором L и С имеют такие же значения, что и в параллельном контуре. Анализ выражения (3.3) позволяет сравнить последовательный и параллельный контуры. В последовательном контуре резонанс всегда возможен и имеет место на единственной частоте 0, определяемой значениями L и C. В параллельном контуре ситуация сложнее. Если соотношение между L, C, R1, R2 таково, что подкоренное выражение в (3.3) окажется отрицательным, то не существует такой частоты, на которой бы был возможен резонанс. При положительном значении подкоренного выражения резонанс возможен и наступает на частоте '0: единственной и равной ω0 , если R1 =R2 ≠ ; единственной и неравной ω0 , если оба сопротивления R1 и R2 или больше , или меньше ; любой, если R1 = R2 = , что следует из выражения ω′0 = 0 / 0; в этом случае можно показать , что эквивалентное сопротивление контура является активным на любой частоте и равным . 3.1.2. Иследование резонанса при ω= соnst В данной работе исследование резонанса токов проводится на контуре , представленном на рис.3.1б. Контур питается от источника синусоидальной Э.Д.С. с напряжением Ú и неизменной частатой ƒ= 50 Гц. В этом контуре R2 =0 и R1=R , а условие резонанса принимает вид : ωC=ωL[R²+(ωL)²] (3.4) и достигается изменением либо С, либо L при некотором установленном значении R. Токи в ветвях контура и в неразветвленной части определяются выражениями: İ1=Ú /(R+jXL) , İ2=jωCÚ , (3.5) İ=İ1+İ2=Ú [jωC+1/(R+jXL)] Если в контуре остаются неизменными L и R и, соответственно, ток İ1, то режим резонанса может быть достигнут путем изменения емкости С и наступит при С0=L/[R2+(ωL)2] . Векторные диаграммы токов при изменении С от 0 до приведены на рис.3.2б. Вектор тока İ1 остается неизменным и отстает от вектора напряжения на угол 0. Вектор тока İ2 направлен перпендикулярно вектору напряжения Ú и меняется от 0 до при изменении С от 0 до . Тогда конец вектора общего тока İ перемещается по линии ОА, образуя линейную диаграмму; его модуль изменяется от I1 до , проходя через минимальное значение I0 при резонансе; фаза тока İ монотонно уменьшается от 0 до –π/2 и равна нулю при резонансе. Зависимость cos от величины С следует из линейной векторной диаграммы и приведена на рис.3.2в: cos =I0/I. (3.6) Если в контуре остается неизменным значение С и соответственно ток İ2 , а также не меняется сопротивление R, то режим резонанса может быть достигнут путем изменения İ С Ú İ1 R A İ2″ İ″ İ′ İ′2 İ0 İ2 L İ1 0 İ 2 О а) π/2 _ cos 1 C 0 Ú C0 -π/2 б) в) Рис.3.2. Параллельный контур при изменении емкости: а - схема, б - векторные диаграммы, в – зависимости (С) и cos (C) индуктивности. Для определеня значения индуктивности, при котором наступит резонанс, преобразуем выражение (3.4) к виду L2-L/ω2C+R2/ω2=0 и разрешим его относительно L: L1, 2= 1 2 2 С 1 1 R2 = (1 1 4 2 C 2 R 2 ) . 2 4 2 2 2 C 4 С (3.7) Анализ решения (3.7) позволяет сделать следующие выводы: 1 если ωCR> , то резонанс не может наступить ни при каких значениях L (нет 2 действительных решений для L) ; 1 если ωCR= , то резонанс наступит при L=1/2ω2C, т.к. имеется единственное 2 решение для L; если ωCR< 1 , то резонанс наступит при двух значениях индуктивности, 2 определяемых выражением (3.7) . Поясним решение (3.7) с помощью векторных диаграмм (Рис.3.3). При изменении L от 0 до ток İ2 будет оставаться неизменным, а ток İ1 будет изменяться, причем конец вектора İ1 будет описывать дугу окружности согласно выражению: İ1= IКЗ U U / R . R jX L 1( X L / R)e J / 2 1 ( Х L / R)e J / 2 Если круговую диаграмму вектора тока İ1 строить от конца вектора тока İ2, то ток İ, равный (İ1+İ2), получится замыканием начала вектора тока İ2 и конца вектора тока İ1, а конец вектора тока İ будет перемещаться по той же дуге, что и вектор İ1. На рис.3.3 (3.8) построены векторные диаграммы токов при изменении L от 0 до ∞ для трех случаев решения уравнения (3.7) . İкз О А İ2 İмин Ú Xмин İ Хср Iкз>2I2 Хмак ωCR<0,5 İкз О О İ2 İ2 İмин А N А İкз İ1 İ1 İмин Ú İ Ú İ Хср Iкз=2I2 ωCR=0,5 Хср N Iкз<2I2 ωCR>0,5 N Рис.3.3. Векторные диаграммы токов параллельного контура при изменении L от 0 до ∞ для тех случаев решения (3.7) В соответствии с выражением (3.8), хордой, стягивающей дугу окружности, по которой перемещается конец вектора тока İ1, будет вектор İкз, равный току в ветви R-L при коротком замыкании индуктивности и направленный параллельно вектору Ú. Хорда Iкз является диаметром окружности, т.к. стягиваемый ею угол равен π/2. Во всех трех случаях будем считать одинаковыми значения приложенного к контуру напряжения Ú и величины сопротивления R, соответственно длины векторов ′Ú и İкз будут одинаковыми. Отрезок ОА в масштабе mZ соответствует сопротивлению R, а линия AN- является линией переменного параметра ХL. Из диаграмм следует, что при изменении L от 0 до ∞ ток İ проходит через некоторое минимальное значение İмин , но оно не соответствует режиму резонанса и имеет место для величины индуктивности большей, чем при резонансе; ток İ1 монотонно убывает от значения İкз до 0. Поэтому наблюдения за токами İ и İ1 не позволяют установить режим резонанса, если таковой возможен. Предлагается студентам самостоятельно объяснить невозможность определения резонанса по контролю напряжений ÚR и ÚL. Таким образом, установление режима резонаса возможно лишь по контролю за изменением угла . Зависимость от индуктивности следует из векторных диаграмм на рис.3.3. Во всех трех случаях угол проходит через максимальное значение, причем для случая ωCR>0,5 знак угла не меняется, для случая ωCR<0,5 знак угла меняется дважды при переходе через резонансные режимы, при ωCR=0,5 максимальное значение угла, равное нулю, наблюдается при резонансе. 3.І.3. Схема эксперимента Исследование резонанса токов проводится по схеме, представленной на рис.3.4. Параллельный контур образован элементами С, R и L. Мост 1-2-3-4 служит для изменения фазы выходного напряжения Ú24 по отношению к фазе входного напряжения Ú=Ú13 от источника на π/2. Фазовращательный мост в совокупности с ваттметром служит для фиксации момента наступления резонанса. Рассмотрим порядок включения ваттмета. На его токовую обмотку заводится ток İ, а на обмотку напряжения- напряжение Ú24. Если -угол между векторами İ и Ú, то между векторами İ и Ú24 будет угол +π/2. Тогда показания ваттметра, пропорциональные скалярному произведению векторов İ и Ú24, будут определяться выражением: IU24 cos ( +π/2) = IU24sin . При резонансе =0 и стрелка ваттметра покажет “ноль”. W İ A 2 R1 Ú V 3 1 A2 A1 1 C1 R İ1 C2 İ2 C R2 L 4 a Рис.3.4. Схема исследования резонанса токов Принцип работы фазовращательного моста поясняется топографической диаграммой, приведенной на рис.3.5. Топографическая диаграмма- это изображение в комплексной плоскости потенциалов узлов схемы относительно потенциала некоторого узла, принимаемого за нулевой. 2 +j ÚR1 1 ÚC1 3 Ú24 ÚC2 4′ ÚR2 +1 4 Рис.3.5. Топографическая диаграмма моста 1-2-3-4 Пусть к мосту подведено напряжение Ú13=Ú и мост “не нагружен”. Тогда токи в цепях 1-23 и 1-4-3 соответственно равны: I′ =U/ (R1-jXC); I′′=U/ (R2-jXC). Выведем выражение для выходного напряжения Ú24: R2 RX X2 R X Ú24 =İ′R1-I″ (-J XC2) =Ú 2 1 2 2 C 2 2 j 2 1 C12 2 2 C 22 R1 X C1 R2 X C 2 R1 X C1 R2 X C 2 . (3.9) При изменении величины сопротивления R2 потенциал точки 4 перемещается по дуге окружности 1-4-3 и вектор напряжения U24= 2- 4 будет поворачиваться относительно вектора U. При угле поворота, равном π/2, действительная часть вектора U24 станет равной нулю. Приравнивая действительную часть выражения (3.9) нулю, получим условие сдвига по фазе на π/2 вектора U24 относительно вектора U: R1R2 =XC1XC2. 3.2.Предварительная подготовка В процессе подготовки следует проработать cоответствующую литературу: Следует продумать процедуру настройки - установку фазового сдвига π/2 между входным и выходным напряжениями – фазовращательного моста и рассчитать необходимые значения сопротивлений R1 и R2, если C1=C2=16 мкф. Необходимо с помощью рис.3.3 тщательно разобраться в каждом из трех возможных вариантов зависимости тока в неразветвленной части параллельного контура от его индуктивного сопротивления, т.е. İ (L). Следует рассчитать определяющие каждый вариант значения R и С, исходя из имеющегося на стенде набора активных и емкостных сопротивлений, а также параметров катушки индуктивности (RL, XL, XL МИН, XL МАК), измеренных в предыдущих работах. По результатам расчета следует построить ожидаемые круговые диаграммы токов, указав на линии переменного параметра диапазон изменения XL . Заметим, что при ограниченном диапазоне изменения XL в схеме должно быть обеспечено равенство R=XL СР, где XL СР=(XL МАК+XL МИН)/2. Только в этом случае, как это следует из рис.3.3, не будет потерян участок зависимости (L), содержащий МАК (или переход стрелки ваттметра через минимальное значение). Причем, значение R должно учитывать и эквивалентное сопротивление катушки. 3.3.Экспериментальная и расчетная часть 1- Собрать схему по рис. 3.4, заполнить таблицу сведений о приборах.Провести настройку фазовращательного моста с помощью ваттметра. 2- Анализ работы контура при изменении емкости. Установить индуктивность контура с помощью сердечника в среднее положение. Изменяя величину емкости от нуля до снять показания приборов и занести их в таблицу по форме табл. 3.1. Таблица 3.1 Исследование параллельного контура при изменении С Результаты измерения Обработка результатов С, мкф U,В I,A I1, A I2, A знак cos = =I0/I 1 2 3 4 5 6 7 8 По результатам измерений определить режимы резонанса и записать значения С0 и I0 .Провести обработку результатов, заполнив графы 7 и 8 табл.3.1. Используя результаты измерений, определить условия опыта: XL =______, Ом; R=________, Ом. По результатам измерений и обработки построить: векторную диаграмму токов при изменении С от 0 до ; на одном графике зависимости cos и от С. 3-Анализ работы контура при изменении индуктивности. Для исследования предоставляется катушка, индуктивное сопротивление которой изменяется за счет «вдвигания-выдвигания» стального сердечника. Предполагается, что в предыдущих работах были определены диапазон изменения индуктивности и положение сердечника, соответствующее значению XL СР. Исследование рекомендуется начинать со случая CR= 0,5.Для этого следует установить индуктивность в среднее положение, затем по показаниям приборов выставить величину сопротивления R, равную XL СР , и X C =2R. Далее, изменяя индуктивность от LМИН до LМАК и следя за показаниями ваттметра, убедится в наличии единственного резонанса. После этого следует снять показания приборов при различных значениях L. Результаты занести в таблицу по форме табл.3.2. Затем следует исследовать случай CR<0,5. Настройка этого варианта производится незначительным уменьшением емкости с последующей проверкой ого, что рабочий участок круговой диаграммы (толстая линия на рис.3.3) располагается по обе стороны от вектора Ú. Проверка осуществляется с помощью ваттметра: при изменении индуктивности от LМИН до L МАК стрелка ваттметра должна дважды переходить через ноль, меняя при этом дважды знак; каждый режим нулевого положения стрелки соответствует резонансу. После завершения настройки варианта “двух резонансов” следует снять показания приборов при различных значениях L и результаты занести в таблицу по форме табл.3.2. Вариант “ отсутствия резонанса” устанавливается легко – путем увеличения емкости до значения, при котором начинает выполняться условие XC < 2R. Для этого случая следует провести измерения, аналогичные предыдущим. Таблица 3.2 Исследование параллельного контура при изменении XL при условии: R=_______, Ом; XC _______, Ом Результаты измерений U, B I, А I1, А Результаты обработки I2, А знак XL= U/I, Приме- Ом чания Для каждого случая по результатам измерений и обработки построить соответствующую круговую диаграмму и графики зависимостей I и I1 от индуктивности (на одном рисунке). 3.4. Анализ результатов В этом разделе следует прокомментировать полученные результаты и их соответствие данным теоретического анализа. 3.5. Перечень контрольных вопросов 1. Нарисовать зависимости токов I, I1 , I2 параллельного контура от индуктивного сопротивления XL . 2. Почему для расчета cos , вообще говоря, нельзя использовать показания ваттметра на схеме рис.3.4? 3. В исследуемой цепи при изменении L возможен один режим резонанса. Как следует изменить величину С (или величину R), чтобы в цепи резонанс стал невозможен (чтобы стали возможны два режима резонанса) ? 4. Как получить направление вектора тока İ1 (в ветви R-L) по отношению к вектору приложенного напряженияÚ, используя результаты исследования параллельного контура при изменении С? 5. Как изменение С влияет на показания ваттметра?