2 - RTU DF

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6.
РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
2.1 Общие положения
Резонансом
называется
такой
режим
пассивной
цепи,
содержащей
индуктивность, емкость и сопротивление,при котором эквивалентное сопротивление
цепи оказывается чисто активным и ток и напряжение в неразветвленной части цепи
совпадают по фазе.
Последовательное
соединение
индуктивности
и
емкости
называют
последовательным контуром.а их параллельное соединение – параллельным контуром.
Режим резонанса последовательного контура характеризуется равенством нулю
суммарного реактивного сопротивления и называется резонансом напряжений. В
параллельном
контуре при равенстве нулю суммарной реактивной проводимости
устанавливается режим резонанса токов.
В данной работе исследуется резонанс напряжений по схеме,представленной на
рисунке 2.1а. Последовательный контур питается синусоидальным напряжением,
изменяющимся с частотой f=50Гц.В соответствии со вторым законом Кирхгофа можем
записать:






U = U R+ U L+ U C= I R+jωL I -j

1  
1
)= I (R+jX),
I = I (R+ jωL-j
C
C
(2.1)
где X=XL-XC=ωL-1/ωC

I
XL  XC
V1
V2

V

UC

UL
φ

UR

L
L
I
UL
UC

UL

U
UR

UR
U
UC
UC


U U R
б)
A
а)
Рис.2.1.

I

I

C
XL  XC

U

V3
UL



R

XL  XC
Исследование резонанса напряжений:
а – схема эксперимента, б-векторные диаграммы
30
На рисунке 2.1б приведены диаграммы,
соответствующие различным
соотношениям между ХL и XC. Так как при резонансе суммарное реактивное
сопротивление последовательного контура равно нулю, получаем соотношение ХL = XC
или
ωL=1/ωC.
(2.2)
Из условия ХL = XC следует,что падение напряжения на индуктивности равно по
модулю падению напряжения на емкости ; однако эти напряжения противоположны по
фазе и при резонансе их сумма будет равна нулю, хотя каждое из них может
значительно превышать по модулю напряжение U, подведенное к участку цепи.
Полное сопротивление цепи z определяется выражением
z = R2  X 2
и при изменении либо L, либо С, либо ω величина будет также изменятся, достигая
минимального значения, равного R, при резонансе. Соответственно ток в контуре будет
максимальным при резонансе.
Для характеристики резонансного тока используются следующие понятия:
ω0 - резонансная частота, определяемая из условия (2.2) :
ω0=1/ LC , где
(2.3)
Q – добротность контура, показывающая во сколько раз при
резонансе напряжение на реактивном элементе превышает напряжение на входе схемы
.
.
или на активном элементе, так как U R  U :
Q=
U L U L 0L
1




U UR
R
RC
L/C
, где
R
d – затухание контура: d=1/Q ;
ρ
–
характеристическое
(2.4)
(2.5)
или
волновое
сопротивление,
определяемое как соотношение напряжения на индуктивности или на емкости в режиме
резонанса к току в этом режиме I0 , т.е.
ρ=
UL
UL
1
L

 QR   0 L 

I0 U / R
 0C
C
31
(2.6)
2.1.1 Зависимость тока от L, C, R
В соответствии с выражением (2.1) для действующего значения тока можно
записать:
I=U/ R 2  (L  1 / C ) 2
(2.7)
Последнее выражение позволяет исследовать зависимость I(L) при ω=const и
C=const и I(C) при ω=const и L=const. Максимумы этих зависимостей будут при
резонансе, который наступит при L=L0=1/ω2C и при C=C0=1/ω2L соответственно, а
поведение на границах определяется выражениями:
для I(L): при L=0 имеем I(0)=U/ R 2  (1 / C ) 2 =I0/ 1  Q 2 ;
при L→  имеем I(  )→0;
для I(C): при C=0 имеем I(0)=0;
при C→  имеем I(  )=U/ R 2  (L) 2 = I0/ I  Q 2 .
Зависимости I(L) и I (C) представлены в виде графиков на рисунке 2.2
I (L),
I (C)
I (C)
I (L)
L
C0
Рис. 2.2 Графики зависимостей I(L) и I(C)
C
При изменении сопротивления R меняется добротность контура. Влияние
добротности на характер зависимостей I(L) и I(C) проявляется в том, что при
уменьшении Q кривыe “уширяются” и резонансный ток I0 уменьшается.
32
2.1.2 Анализ зависимостей UL и UС от L, C, R
Указанные зависимости определяются выражениями:
UL=I XL=IωL=UωL/ R 2  (L  1 / C ) 2
UС =I XC =
(2.8)
I
U

/ R 2  (L  1 / C ) 2
C C
(2.9)
Очевидно,что характер зависимостей UL(С) и UС(L) будет анологичен
зависимостям I(С) и I(L) соответственно и отличается от них лишь постоянными
множителями ωL и 1/ωC соответственно.
Поведение зависимости UL(L) следующее:
при L=0 UL=0; если L →  , то UL → U; максимум функции
будет при L=Lмак=L0(Q2+1)/Q2, причем (UL) мак=U Q 2  1 ; при резонансе, когда L= L0,
получим UL= QU, где Q – добротность.
Поведение зависимости UС (С) следующее:
если С=0, то UС=U; если C →  , то UС=0; максимум функции будет при
С= Смак= С0Q2/(Q2+1), причем (UС) мак=U Q 2  1 ; при резонансе, когда C = C0, получим
Uc= QU.
На рисунке 2.3 приведены графики рассмотренных зависимостей; и
UL,1
UC, UL
UC,1
UL,2
UC,2
L0
UC,UL
Lмак, 1
L
Lмак, 2
UC,1
UL,1
Смак,1
UL,2
UC,2
C0
Cмак,2
33
2.2 Предварительная подготовка
В процессе подготовки следует проработать сooтветствующую литературу.
В разделе “теоретические пояснения” необходимо установить условия, при
которых можно наблюдать резонанс напряжений, если ƒ=50Гц, L≤0.3 Гн, 1 мкф ≤ С≤80
мкф, т.е. выбрать такие значения C0 и L0, для которых будет выполнятся условия (2.3).
2.3 Экспериментальная и расчетная часть
Собрать экспериментальную схему согласно рисунку 2.1а. При выборе
номинала
подключаемого
сопротивления
руководствоваться
необходимостью
исследования последовательного контура при трех значениях добротности: 2; 5; 10. Так
как напряжение на реактивных элементах при резонансе могут значительно превышать
входное напряжение цепи,то при подаче напряжения питания на контур после
изменения его добротности следует следить за тем, чтобы напряжение на реактивных
сопротивлениях не превышало 130В.
1 - Предварительная настройка контура
Установить индуктивность L в среднее значение диапазона ее изменений с
помощью стального сердечника. Установить в цепи максимальное значение R. Изменяя
величину емкости С, установить режим резонанса в цепи, наблюдая за током в цепи –
ток при резонансе максимален. Записать значения LO и CO.
2 – Снятие экспериментальных кривых
Экспериментально снять зависимости I, UL, UС от индуктивного сопротивления
при неизменных значениях C, R и U. Измерения провести при трех различных
значениях добротности контура. Индуктивность изменяется перемещением сердечника.
Величину емкости установить равной ~ CO.
Снять зависимости I, UL, UС от емкостного сопротивления при неизменных
значениях L=LO, R и U. Измерения также провести при трех значений добротности
последовательного контура.
При выполнении эксперимента необходимо снять достаточное количество
точек как до, так и после резонанса и особенно вблизи резонанса и особенно вблизи
резонанс.
34
3 – Обработка результатов
Результаты измерений и обработки по каждому эксперименту заносятся в
таблицу по форме табл.2.1. Для каждого экперимента рассчитать волновое
сопротивление контура, коэффицент затухания и добротность. Результаты обработки
представить на графиках:
график 1 -
зависимости I, UL, UС от индуктивности для одного произвольного
выбранного значения добротности; ) для трех значений добротности;
график 3 – зависимости I,
график 2 – зависимость I, UL, UС от емкости для одного значения добротности.
При построении кривых значения по оси ординат следует откладывать в
относительных единицах, принимая за базовые значения для тока – IО, а для
напряжения – напряжение U на входе схемы.
Построить векторные диаграммы тока и напряжений для трех режимов – до
резонанса, при резонансе, после резонанса, используя любые экспериментальные
данные.
Таблица 2.1
Результаты измерений и обработки
Условия эксперимента: C ( или XL )= _ , R= _ Ом
Характеристики контура: Q= _ , d= _ , ρ= _ Ом
Результаты измерения
U,
I, A
UR , В
UL, B
Результаты обработки
UC, B
I/I0
UL/U
UC/U
X, Oм
2.4 Анализ результатов
Прокомментировать полученные результаты и их соответствие теоретическим
выводам.
2.5 Перечень контрольных вопросов
Доказать, что коэффицент мощности в последовательном контуре можно
рассчитать по формуле cosφ = I/I0.
35
Контур, образованный последовательным соединением R, L, C, настроен на
резонанс.Как изменить емкость (или индуктивность), чтоб контур находился в
резонансе при вдвое большей (или меньшей) частоте? Ка повлияет это на
добротность контура?
При данных значениях R, L, C резонанс наступает на частоте ω0. Как изменится
резонансная частота, если индуктивность (емкость) увеличить (уменьшить) в
два раза? Как повлияет это на добротность контура?
36