Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 56

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 56
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ
ДВУХ КРУГЛЫХ КАТУШЕК
1. Краткое содержание работы
В работе исследуется взаимная индуктивность двух круговых контуров.
Изучается зависимость взаимной индуктивности от расстояния между
контурами и от угла поворота. Теоретический анализ проводится с
использованием векторного магнитного потенциала.
2. Описание установки
Работа выполняется на установке, состоящей из двух катушек, одна из
которых жестко закреплена, а другая допускает линейное и угловое
перемещение. Первая катушка имеет w1 = 3350 витков, вторая w2 = 3900
витков; наружные диаметры катушек соответственно 255 мм и 182 мм;
внутренние – 196 мм и 121 мм; средние радиусы витков a=112 мм; b=76 мм;
длина катушек 14 мм.
На панели установлено измерительное сопротивление rи=200 Ом.
Источником напряжения служит генератор синусоидальных сигналов.
Измерения в цепи осуществляются электронным вольтметром.
3. Теоретическая справка
Рассмотрим два круговых контура 1 и 2 с радиусами а и b
соответственно, расстояние между контурами z; контуры имеют общую ось и
расположены в параллельных плоскостях (рис. 1). Требуется определить
взаимную индуктивность контуров М.
Для определения этой величины предполагаем, что через первый
контур проходит ток i ; взаимная индуктивность определяется как отношение
магнитного потока, пронизывающего второй контур, к току первого контура,
вызывающему этот магнитный поток
М=Ф2/i .
(1)
Магнитный поток Ф2 в нашем случае целесообразно определять через
векторный магнитный потенциал.
Векторный магнитный потенциал A связан с магнитной индукцией B
соотношением
B = rot A .
(2)
47
1
2
a
b
z
z
i1
R
dl2
R

dl1
Рис. 1
Векторный потенциал удобен для вычисления магнитного потока,
пронизывающего контур
Ф2   B d S ,
(3)
S2
где S2 – площадь второго контура.
По теореме Стокса
 rot A d S   A d l ,
S
l
где l- длина контура, охватывающего площадь S.
Таким образом,
Ф2   A d l .
(4)
(5)
l2
Магнитный поток сквозь поверхность S2 равен циркуляции векторного
потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.
Интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру, что
упрощает задачу.
Для вычисления векторного магнитного потенциала будем исходить из
известного закона полного тока
rot B  μμ 0 J ,
(6)
-7
где μ0 = 4π10 Гн/м – магнитная постоянная;
μ =1 (относительная магнитная проницаемость воздуха);
J - плотность тока в данной точке пространства.
48
Подставив значение (2), получаем
rotrot A  μμ 0 J .
(7)
Как известно из математической теории поля,
rotrot A  graddiv A  2 A .
(8)
Векторный магнитный потенциал (как и скалярный электрический)
определяется с точностью до произвольной постоянной, определяемой из
условия div A  0 .
Таким образом, из (7) и (8) получается уравнение Пуассона
 2 A   0 J .
(9)
Векторному равенству (9) соответствуют скалярные равенства для
каждой из координатных составляющих. В случае кольцевых контуров
применяем цилиндрическую систему координат. Ток протекает по контуру 1,
поэтому вектор плотности тока имеет только тангенциальную составляющую
J  e J , соответственно и векторный магнитный потенциал имеет только
тангенциальную составляющую A  e  A .
Следовательно, векторное уравнение (9) превращается в скалярное
 2 A   0 J  .
(10)
С учетом значений Jα=J, Aα=A уравнение (10) примет вид
2A= –0J.
(11)
Для определения векторного магнитного потенциала по уравнению (11)
воспользуемся аналогией уравнения Пуассона для скалярного электрического
и векторного магнитного потенциалов.
Электрический потенциал  связан с напряженностью электрического
поля соотношением
E = –grad.
(12)
В свою очередь, по известной теореме Гаусса
div E  ρ/εε 0 ,
(13)
где 0=8,85 10-12 Ф/м – электрическая постоянная,
 – относительная электрическая проницаемость среды (в воздухе =1),
 – объемная плотность распределенного заряда в данной точке
пространства.
После подстановки значения (12) получается уравнение Пуассона
divgrad    ρ/εε 0
или в символической форме
 2    / 0 .
49
(14)
С другой стороны, потенциал электрического поля можно определить
по закону Кулона
(15)
E  er γ q / r 2 ,
где q – заряд, r – расстояние от заряда до данной точки, γ=1/4πεε0 .
В случае точечного заряда
(16)
E   grad   e r d  /d r ,
и из (15) , (16) следует, что c точностью до произвольной постоянной
φ=γq/r .
(17)
Если заряд распределен в пространстве с плотностью , то по принципу
наложения потенциал в точке будет представлять собой сумму элементарных
потенциалов от каждого элемента заряда dq=dv
dφ=γdv/r.
(18)
Потенциал в данной точке будет определяться суммированием
элементарных потенциалов (18)
ρ
1
ρ
  γ dv 
 dv.
r
4 πεε 0 r
(19)
Таким образом, электрический потенциал определяется уравнением
Пуассона (14) и выражением (19), т.е. (19) является решением уравнения
Пуассона.
Поскольку уравнения Пуассона для скалярного электрического (14) и
векторного магнитного (9) потенциалов аналогичны, то и решение будет
иметь аналогичный вид
A
μμ 0 J
 d v.
4π r
(20)
Здесь векторы A и J являются аналогами скалярных величин  и  уравнения
(19).
Представим элемент объема в виде dv=dsdl, тогда
A
μμ 0 d l
μμ 0 i d l
  Jds 
 ,
4π l r S
4π l r
(21)
где i   J d s - ток в проводнике.
S
Рассмотрим составляющую векторного магнитного потенциала,
создаваемую элементом витка dl1 в элементе dl2 второго контура (рис.1)
dA 
μμ 0 i cos αd l1
.
4π
R
50
(22)
В числителе cos α определяется углом α между направлениями dl1 и dl2;
учитывается только та составляющая, которая совпадает с направлением
элемента. Расстояние R между элементами определяется по теореме
косинусов
(23)
R  a 2  b 2  z 2  2ab cos  .
Значение dl1=eаdα . При этом циркуляция по контуру l превращается в
интегрирование за период 2π. Следовательно, векторный магнитный
потенциал имеет единственную составляющую A  e  A .
Таким образом, суммарный векторный потенциал, создаваемый первым
контуром в элементе dl2 , получается подстановкой (22), (23) в (21)
ai 2
cos αdα
A  μμ 0
.
 2 2 2
4 π 0 a  b  z  2ab cos α
(24)
В свою очередь, магнитный поток через второй контур определяется
уравнением (5), а взаимная индуктивность – выражением (1). Подстановка
(24) и (5) в (1) дает значение взаимной индуктивности
2
a
cos d
M   0
dl
.
 2 2 2 2
4 l2
0 a  b  z  2ab cos 
Имея в виду, что  d l2  2 π b , получаем
(25)
l2
μμ 0 2
cos αdα
M
ab 
.
2
2
2
2
0
a  b  z  2ab cos α
(26)
Для вычисления взаимной индуктивности это выражение можно
записать через эллиптические интегралы. С этой целью проведем следующие
подстановки:
Тогда
α= π–2β; dα = –2dβ;
4ab/((a+b)2+z2)=k2.
cos α=-cos2β=2sin2β-1,
R  a 2  b 2  z 2  4ab sin 2   2ab 
(a  b) 2  z 2 4ab
4ab sin 2 
2 ab

1

1  k 2 sin 2 .
2
2
k
4ab
( a  b)  z
Пределы интегрирования
α = 0; 0= π–2β;
β = π/2 ;
α= 2π; 2π = π –2β; β = – π/2 .
51
(27)
Таким образом, после подстановок
μμ 0 k ab π/ 2 2 sin 2 β  1
M
dβ .

2
2
2
 π/ 2 1  k sin β
Ввиду того, что подинтегральная функция четная, можно вычислять
интеграл на половине интервала
π/ 2
M  μμ 0 k ab 
0
2 sin 2 β  1
1  k 2 sin 2 β
dβ.
(28)
Подынтегральную функцию можно представить в виде

1 
2k2
2
2 
 2
 2 1  k sin  .
2
2
2
2


k
1  k sin 
 1  k sin 

2 sin 2   1
(29)
(Это тождество легко доказывается приведением правой части к общему
знаменателю).
Подстановка (29) в (28) дает значение взаимной индуктивности
M   0 ab f (k ) ,
(30)
где
К
f(k)=(2/k-k)K-(2/k)E;
π/ 2

0
E
dβ
2
2
1  k sin β
(31)
– полный эллиптический интеграл первого рода;
π/ 2
2
2
 1  k sin β dβ
– полный эллиптический интеграл второго рода.
0
Полные эллиптические интегралы являются функциями модуля k, зависящего
от геометрических соотношений системы (27). Кривые зависимостей f, К, E
от k изображены на рис. 2.
Приведенные соотношения относятся к контурам, содержащим 1 виток.
Если контуры представляют собой катушки, имеющие соответственно w1 и w2
витков, то полученное значение взаимной индуктивности (30) нужно
умножить на произведение w1 w2
M0=w1w2M.
(32)
Легко видеть, что если ток пропустить через второй контур и
определить взаимную индуктивность как отношение магнитного потока,
пронизывающего первый контур, к вызывающему его току второго контура,
то значение взаимной индуктивности будет тем же (30, 32)
М12=М21=М
(принцип взаимности взаимной индукции).
52
K,E,f
K
E
f10
f
k
Рис. 2
Проводившееся до сих пор рассмотрение велось в предположении, что
контуры расположены в параллельных плоскостях. Если между осями
контуров имеется угол θ (рис. 3), то полная взаимная индуктивность
определяется соотношением
Мполн=qМ0cosθ,
(33)
где q – коэффициент, зависящий от геометрических соотношений системы и
угла поворота. (При θ=0 q =1;
при определенных конфигурациях отличие
Мполн от М0cosθ
может достигать 50%). Объясняется появление
коэффициента тем, что магнитная индукция, пронизывающая второй контур,
имеет две составляющие – осевую и радиальную. При осевой симметрии
контуров (θ=0) радиальная составляющая индукции не создает магнитного
потока через контур; поток, ею созданный, возникает лишь при несимметрии
53
a
b
z

b
a
Рис. 3
системы. Этот поток и учитывается коэффициентом q. Аналитический расчет
взаимной индуктивности контуров с пересекающимися осями сложен,
поэтому на практике пользуются приближенными методами (коэффициент q
табулирован, см., например, [3, п. 5–11]).
Примечание. Все рассуждения данного параграфа проводились в предположении, что
геометрическими размерами катушек, кроме радиусов, можно пренебречь. Поэтому
теоретический расчет, выполняемый в работе, имеет погрешность. При инженерных
расчетах используются приближенные методы, изложенные в [3].
4. Задание на подготовку к работе
1. Нарисовать схему для определения взаимной индуктивности двух
катушек, предусмотрев в ней возможность необходимых измерений.
2. Записать формулы для определения взаимной индуктивности по
экспериментальным данным.
3.Ознакомиться с теоретической справкой. Записать формулу для
вычисления взаимной индуктивности, Мполн, М0 по геометрическим размерам
системы.
4. Рассчитать и построить график зависимости взаимной индуктивности
М0 от расстояния между катушками z (взять z в пределах от 0 до 180 мм) (см.
Методические указания, п.1).
5. Рассчитать и построить график зависимости взаимной индуктивности
Мполн от угла поворота катушки θ, полагая расстояние между катушками z =0
и принимая q =1.
5. Рабочее задание
1. Подключить катушку 1 (большую) к источнику питания через
измерительное сопротивление. Измерить ток первой катушки и напряжение
второй. Определить взаимную индуктивность при
z = 0 и θ = 0 (см.
Методические указания, п. 2).
54
2. Построить зависимость взаимной индуктивности от координаты z
при параллельных осях катушек. Построить график М0(z). Сравнить с
графиком, построенным в п. 4 Подготовки.
3. Построить зависимость взаимной индуктивности Мполн от угла
поворота катушек при двух значениях z: а) z = 0; б) z выбрать произвольно.
Сопоставить с результатами п. 5 Подготовки и п. 2 Рабочего задания.
Вычислить поправочный коэффициент q.
4. Поменять местами катушки 1 и 2 и выполнить задание п. 2. Показать
выполнение принципа взаимности взаимной индукции.
6. Методические указания
1. При теоретическом расчете взаимной индуктивности пренебречь
длиной и шириной катушек. Считать катушки круговыми контурами с
радиусами а и b.
2. При выполнении Рабочего задания рекомендуется выбрать частоту
генератора в пределах 200 – 300 Гц, напряжение 15  20 В, внутреннее
сопротивление 600 Ом.
7. Вопросы для самопроверки
1. Как определяется взаимная индуктивность катушек:
а) экспериментально, б) теоретически.
2. Как зависит взаимная индуктивность: а) от геометрических параметров
системы, б) от частоты питающего напряжения.
3. Что такое векторный магнитный потенциал?
4. Как определяется магнитный поток, пронизывающий контур:
а) через магнитную индукцию,
б) через векторный магнитный потенциал.
5. При каких условиях взаимная индукция между контурами отсутствует?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 2.
Л.: Энергоиздат, 1981. § 9–2, 9–3, 9–15.
2. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Т.3. М.: Энергия, 1975.
§ 4–2.
3. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Л.: Энергоатомиздат,
1986. § 5–8, 5–11, 7–12.
55