Математика, 9 класс Пишкова Н.Е., преподаватель кафедры математики и ИТ ДВГГУ Квадратный трехчлен и его приложения Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач. Для активного применения свойств квадратного трёхчлена необходимо, естественно, свободно владеть его «азбучными» свойствами, которые мы сейчас и перечислим - без доказательства, но обращая внимание на некоторые наиболее важные моменты, ускользающие зачастую из поля зрения учащихся. Квадратным трёхчленом называется выражение ax 2 bx c , a 0 Выражение x 2 px q называют приведённым квадратным трёхчленом. Важнейшей теоремой о корнях квадратного трёхчлена является теорема Виета. Теорема Виета. Между корнями x1 и x2 квадратного трёхчлена 2 ax bx c и коэффициентами этого трёхчлена существуют соотношения: b x1 x2 a x x c 1 2 a Обратная теорема Виета. Если числа x1 и x2 таковы, что x1 x2 p; x1 x2 q , то x1 и x2 - корни приведённого квадратного трёхчлена x 2 px q . Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима лишь для приведённого квадратного уравнения. Следствия из теоремы Виета Пусть x1 и x2 - корни квадратного трёхчлена x 2 px q , тогда x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 p 2 2q, x13 x23 ( x1 x2 )( x12 x22 x1 x2 ) p ( p 2 3q) p 3 3 pq, x14 x24 ( x12 x22 2 x1 x2 ) ( p 2 2q) 2 2q 2 p 4 3 p 2 q 2q 2 Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трёхчлена. Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений: c D b 2 4ac 0; x1 x 2 >0, при этом оба корня будут положительны, если a b a дополнительно выполняется условие x1 x2 0 , и оба корня отрицательны, b a если x1 x2 0 . Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x1 x2 c 0. a Заметим также, что многое в теории квадратного трёхчлена и решении задач «вытекает» из единственной формулы ax 2 bx c a( x b 2 4ac b 2 ) . 2a 4a Такое преобразование квадратного трёхчлена называется, как известно, выделением полного квадрата. Эту основную формулу можно запомнить, но более полезно понять, как именно она получается, и в каждом конкретном случае выделять полный квадрат этим способом. 2 b c b b b c b b2 ax bx c a( x x ) a x 2 2 x ( ) 2 ( ) 2 a x c a a 2a 2a 2a a 2a 4a 2 2 b b 4ac b 4ac b a x a x ; 2a 4a 2a 4a 2 2 2 (*) 2 Аналогично, для приведённого квадратного трёхчлена x 2 px q имеем: p p 2 4q x px q x . 2 4 (*) и появляется выражение b 2 4ac , которое называется 2 2 В формуле дискриминантом квадратного трёхчлена и имеет определяющее значение для всех его свойств. Если дискриминант квадратного трёхчлена больше нуля, то этот трёхчлен можно представить в виде ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ) . Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то трёхчлен можно представить в виде ax 2 bx c a( x x1 ) 2 . Если дискриминант квадратного трёхчлена меньше нуля, то квадратный трёхчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Рассмотрим некоторые примеры: Пример 1. x1 и x2 - корни квадратного трёхчлена x 2 6 x q . Они удовлетворяют условию x2 2x1 . Найдите q, x1 и x2 Решение. Из теоремы Виета следует, что x1 x2 6 , по условию же задачи x2 2x1 , поэтому 3x1 6, x1 2 ; теперь найдём x2 2x1 4 , тогда q x1 x2 8 . Пример 2. Найдите x2 x 1 , где x1 и x2 - корни квадратного 1 x1 1 x2 трёхчлена 2 x 2 3x 9 . Решение. Преобразуем выражение x2 x x x22 x1 x12 x2 x1 x1 x2 2 x1 x2 . По теореме Виета 1 2 1 x1 1 x2 1 x2 x1 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 2 2 3 3 9 2 3 9 9 3 9 51 2 2 2 2 4 x1 x2 и x1 x2 , поэтому имеем . 3 9 2 2 2 8 1 2 2 Пример 3. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 6 x 2 6 xy y 2 0 . Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трёхчлен относительно x , считая y параметром; тогда как легко подсчитать, оно имеет корни x1 y и x2 y . Следовательно, данное уравнение можно представить в 2 4 y y виде x x 0 , т.е. оно выполняется при x y и при x y , так что 2 4 2 4 искомое множество является объединением двух прямых с уравнениями y 2 x и y 4x . Решение задач, для которых характерны следующие формулировки: при каких значениях параметрах корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа p; корни расположены между числами p и q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках p и q и т. п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции. Приведем данные утверждения в удобной для решения форме. Пусть числа x1 и x2 – корни квадратного трехчлена f ( x) ax 2 b c (положим x1 < x2 ), у которого D =b2-4ac>0, a≠0 и даны А и B – некоторые точки на оси ОХ. Тогда: 1. (Рисунок 1.) Оба корня меньше числа А, то есть x1<A и x2<A тогда и только тогда, когда a 0, (1) b A, (2) x0 2a f ( A) 0 (3), или a 0, ( 4) b A, (5) x0 2a f ( A) 0 (6), Если в первой системе объединить условие (1) и (3), а во второй условие b x0 A, (4) и (6), то данные системы можно свести к одной: 2a a f ( A) 0 . x1 x2 x x1 x2 A x x1 x2 A x A a 0 b A 2 a f ( A) 0 2. A < x2 , a 0 b A 2 a f ( A) 0 x1 A x2 A Рис. 1 (Рисунок 2.) Корни лежат по разные стороны от числа А, т.е. x1 < a 0, f ( A) 0, тогда и только тогда, когда или a 0, Как и в f ( A) 0, предыдущем случае, данное условие можно записать одним неравенством a f ( A) 0, A x1 x2 x A x1 x2 x x1 a 0 f ( A) 0 A x2 x a 0 f ( A) 0 x1 A x2 Рис. 2 3. (Рисунок 3.) Оба корня больше числа А, то есть x1 > A и x2 > A, тогда и только тогда, когда a 0, (1) x0 A, (2) f ( A) 0 (3), a 0, (4) x0 A, (5) f ( A) 0 (6), или Объединяя в первой системе условие (1) и (3), а во второй системе x0 A, a f ( A) 0 . условие (4) и(6), получим одну систему: x1 A x1 x A a 0 b A 2 a f ( A) 0 4. A < x2 <B, x2 x2 x0 a 0 b A 2 a f ( A) 0 x A x1 x2 x x1 A x2 A Рис. 3 (Рисунок 4.) Оба корня лежат между точками А и B, т.е. A < x1 <B и a 0, (1) A x B, (2) 0 тогда и только тогда, когда f ( A ) 0 (3) f ( B) 0 (4), a 0, (5) A x B, (6) 0 f ( A ) 0 (7) f ( B) 0 (8), или Как и в предыдущих случаях можно значительно облегчить задачу, A x0 B, записав вместо двух систем одну a f ( A) 0, a f ( B) 0. x1 x2 A x1 x B a 0 b B A 2a f ( A) 0 ; f ( B) 0 x2 A x B a 0 b B A 2a f ( A) 0 ; f ( B ) 0 A x1 x2 B x A x1 B A x2 B Рис. 4 5. (Рисунок 5). Корни лежат по разные стороны отрезка [A;B], т.е. x1 <A <B< x2 a 0, тогда и только тогда, когда f ( A) 0, f ( B) 0, a 0, f ( A) 0, f ( B) 0, или a f ( A) 0, данные две системы записываем одной: a f ( B) 0. x1 A B x2 x x1 x2 x A x1 A B x2 B x1 A a 0 f ( A) 0 ; f ( B) 0 a 0 f ( A) 0 ; f ( B) 0 Рис. 5 x2 B x Пример 4. При каких значениях параметра a число 2 находится между корнями квадратного уравнения x (4a 5) x 3 2a 0 ? Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения, причём x1 2 x2 . Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трёхчлена и придём к следующей системе: 2 D 16a 2 48a 13 0, f (2) 2 2 (4a 5) 2 3 2a 0. Или 17+6a < 0, откуда a 17 6 . Задачи для самостоятельного решения 1. Выделите трёхчленах: а) x 2 2 x полный квадрат (квадрат двучлена) в b) x 2 5 x c) 4 x 2 mx m 2 2. Разложите квадратный трёхчлен на множители: а) 7 x 2 5 x 12 b) x 2 3 mx 3 c) ax 2 2ax 8 3. Не решая квадратного уравнения 3x 2 x 11 0 , найдите a) 1 1 x1 4. x2 b) x12 x22 c) x1 x2 x2 x1 При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения x a 1x 2aa 1 0 меньше, чем 1? 2 следующих