1 - А-13-08

реклама
1. Матрицы. Операции сложения матриц и умножения матриц на число.
Транспонирование матриц. Операция умножения матриц и её свойства.
Определение.
Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк
и n столбцов. А числа ai j i  1..m, j  1..n называются элементами матрицы А.
 
A  ai j
 a11

 a2
 1
...

a
 m1
a12
a2 2
...
am 2
a1n 

... a2 n 
, i  1,2,3...m; j  1,2,3...n.
... ... 

... am n 
...
Операции над матрицами.
1) Сложение матриц
def
Пусть  A  ai j , ai j  R и  B  bi j , bi j  R, тогда  С  A  B  ci j , ci j  ai j  bi j i  1..m, j  1..n
mxn
mxn
mxn
Свойства:
A B  B  A
A  B  C  A  B  C 

A  O  A O  нулевая матрица
A   A  O

2) Умножение матрицы на число
def
Пусть  A  ai j , ai j  R и   R, тогда  С    A  ci j , ci j    ai j i  1..m, j  1..n
mxn
mxn
Свойства:
1 A  A
 A   A
   A  A  A
  A  B  A  B
3) Умножение матриц
def
n
Пусть  A  ai j , ai j  R и  B  bi j , bi j  R, n  k тогда  С  A  B  ci j , ci j   ai S bS j i  1..m, j  1..l
mxn
kxl
mxl
Свойства:
AB  BA
ABC  ABC 
AB  C   AB  AC
4) Транспонирование матриц
def
Пусть  A  ai j , ai j  R, тогда  С   A  ci j , ci j  a j i i  1..m, j  1..n
T
mxn
Свойства:
 A  B T  AT  B T
AT  AT
 AB T  B T AT
mxn
S 1
Виды матриц.
1) A  ai   a1 a2 ... an  – матрица-строка (столбец);
A , m  n – квадратная матрица;
2) mxn
3)
4)
5)
6)
AT  A – симметрическая матрица;
AT   A – кососимметричная матрица;
Omxn  oi j : oi j  0i  1..m, j  1..n – нулевая матрица;
 
B   A – противоположная матрица;
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
7) A  ai j  
– единичная матрица.
... ... ... ...


 0 0 ... 1 


 
2. Перестановки и подстановки, их свойства.
Определение.
Всякое расположение чисел 1, 2, 3...n в некотором определённом порядке называется
перестановкой из n чисел (символов). Общий вид перестановки i1 , i2 , i3 ...in .
Всякое взаимно однозначное отображение A множества первых n натуральных чисел на
 i , i , i ... i 
n 
себя называется подстановкой. Общий вид подстановки A   1 2 3
.


,

,

...

i
i
i
i
n
 1 2 3
Свойства перестановок и подстановок.
1) Число различных перестановок из n символов равно n!
2) Все n! перестановок из n символов можно расположить в таком порядке, что
каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причём
начинать можно с любой перестановки.
3) Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
4) При n  2 число чётных перестановок из n символов равно числу нечётных, т.е.
1
n!
2
5) Число подстановок n-й степени равно числу перестановок из n символов, т. е.
равно n!
6) Число чётных подстановок n-й степени равно числу нечётных, т.е.
1
n!
2
7) Подстановка А будет чётной, если общее число инверсий в двух строках любой её
записи чётно, и нечётной – в противоположном случае.
8) Произведение любой подстановки А на тождественную подстановку Е, а также
произведение Е на А, равно А.
3. Определитель порядка n. Определитель транспонированной матрицы.
Определение.
A называется число, которое ставится в
Определителем (или детерминантом) матрицы nxn
соответствие этой матрице и может быть вычислено по её элементам по формуле
A
nxn
 a1n
a11
a12
a21

a2 2  a2 n def
 1S 1 , 2 , 3 ...n   a11 a22 a33 ...ann


  
1 ,  2 , 3 ... n 
an 2  a n n
an1
 ,  ,  ...  – перестановка из чисел 1, 2, 3...n
S  ,  ,  ...  – число инверсий в перестановке  ,  ,  ... 
1
2
1
3
2
n
3
n
1
n 1
A a
n2
A
n3
a11
A  a21
a12
a2 2
a31
a3 2
a11
a21
2
3
n
a12
 a11a2 2  a12 a21
a2 2
a13
a2
a2 3  a11 2
a3 2
a33
a2 3
a2
 a12 1
a33
a31
a2 3
a2
 a13 1
a33
a31
a2 2
a3 2
Определитель транспонированной матрицы.
При транспонировании матрицы её определитель не меняется, т. е. AT  A . Отсюда
следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов, будет справедливо и для
строк определителя матрицы.
Доказательство.
a11
a2
A 1

nxn
a n1
 a1n
 a2 n
 1S 1 , 2 , 3 ...n   a11 a22 a33 ...ann


 
1 ,  2 , 3 ... n 
 an n
a12
a2 2

an 2
a11
a1
AT  2

nxn
a1n
 a n1
 an 2
 1S 1 , 2 , 3 ...n   a11a2 2 a3 3 ...an n


 
1 ,  2 , 3 ... n 
 an n
a21
a2 2

a2 n
Рассмотрим чётность перстановок
 1  2  3 ... n   1 2 3 ... n 



 1 2 3 ... n      ... 

  1 2 3 n
AT  ai* j , ai* j  a j i
A
 , 
1
 , 
1

2,

2,
 3 ... n
 3 ... n
 1S  ,  ,  ...   a* a* a* ...a*
1

3
1
2
2
3
3
2
3
n
 , 
1
n
1
n
3
 1S  ,  ,  ...   a1 a2  a3  ...an 
2

n
1
1

2
n


2,

2
3
1
n
2
3
n

 1S  ,  ,  ...    a1 a2  a3  ...an   AT
 3 ... n
1
1
 ,  ,  ...  
1
 1S  ,  ,  ...   a 1a 2 a 3 ...a n 
2
3
2
3
n
n
1
2
3
n
4. Свойства определителя.
5.
Свойства определителя:
1) При перестановке двух строк матрицы её определитель меняет знак на
противоположный;

  

ai1
ai 2
a j1
A 
a j1
 ai n i 
 



a j2  a jn  j
ai1

  
nxn

  
a j2  a jn  j

ai 2


 ai n i 
 

Доказательство.

 

ai 2  ai n i 






  1S 1 , 2 , 3 ...i ... j ...n  a11 a22 a33 ...aii ...a j j ...ann
a j 2  a j n  j  1 ,  2 , 3 ... n 
  
ai1
A 
nxn
a j1

Если мы поменяем i  ую и j  ую строки местами  Увеличится число транспозиций на 1 

 

S ' 1 ,  2 ,  3 ... j ... i ... n  S 1 ,  2 ,  3 ... i ... j ... n  1 

 

a j2  a jn  j



  1S 1 , 2 , 3 ...i ... j ...n 1  a11 a22 a33 ...a ji ...ai j ...ann   A



ai 2  ai n i  1 ,  2 , 3 ... n 
  
a j1
A'  
nxn
ai1

2) Если все элементы какой-либо строки матрицы умножить на какое-то число, то её
определить умножится на это число;
a11
a12


A  ai1 ai 2
nxn


a n1
an 2
a11
 a1n
 

 ai n i    ai1




ai 2

an 2  an n
an n
a n1
a12

 a1n
 
 ai n i 
 
Доказательство.
a11
a12  a1n
 


 1S 1 , 2 , 3 ...n   a11 a22 a33 ...   aii ...ann
A  ai1 ai 2  ai n i  

nxn
1 ,  2 , 3 ... n 





an1
an 2


an n
Т . к.  будет присутствовать во всех слагаемых суммы  можно вынести  за знак суммы 
A 
nxn
 , 
1

2 ,  3 ... n
 1S  ,  ,  ...   a1 a2 a3 ...ai ...an
1

2
3
n
1
2
3
i
n
 A
3) Если какая-либо строка матрицы представляет собой сумму двух строк, то
определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух
определителей.


ai 1

A  ai 1  a j 1
nxn

a j1

Доказательство.


ai 1

A  ai 1  a j 1
nxn

 , 
1
2,
ai 2

ai 2  a j 2

a j2


i 
ai 2

ai n




ai 2  a j 2  ai n  a j n

a j2



a jn





2
3
 , 
1

1
2 ,  3 ... n

2
3



ai 2

ai 2

a j2

 ai n ai 1
  
 ai n  a j 1
  
 a j n a j1
  
ai 2

a j2

a j2

 ai n
 
 a jn
 
 a jn
 


n
1
2
3
i
i
j
...a n  n 
 , 
1






ai 1

ai 2

 ai n
 
ai 1

ai 2

 ai n
 
 ai 1

ai 2

 ai n  a j 1
  
a j1


 1S  ,  ,  ...   a1 a2 a3 ...ai  ... ai 
n
1
a j2  a jn
  


2
3
i
i

 a j  ...a j  ...a n  n 
j
j
 j

a j1


i  ai1

ai n



 ai 1
 ai n  a j n




a j n  j  a j1



 1S  ,  ,  ...   a1 a2 a3 ...ai  ...ai  ...a j 
1
 3 ... n



a j1



2,
 3 ... n
 1S  ,  ,  ...   a1 a2 a3 ...ai  ...a j 
1

2
3
n
1
2
3
i
j
...a j  ...a n  n 
j

a j2  a jn
  
a j2  a jn
  
4) Если матрица имеет две одинаковые строки или содержит строку, состоящую из
нулей или соответствующие элементы двух её строк пропорциональны, то
определитель матрицы равен нулю.

i  ai1
a11
  
ai 2  ai n
A
    0
nxn
 j  ai1 ai 2  ai n
   

A  i  0
nxn

a n1
 a1n
  
0  0 0
  
a12
i 
A
nxn




ai1
ai 2  ai n

   0
 j  ai1 ai 2  ai n

an 2  an n

 
5) Если к одной строке прибавить соответственно другую строку, умноженную на
некоторое число, то определитель не изменится.
i 
A
nxn




ai1
ai 2

ai n

a
j
 j  1  ai1


i  ai1



ai 2
 ai n




   
a j 2  ai 2  a j n  ai n  j  a j1 a j 2  a j n
 

   
6. Миноры. Теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение.
Определение.
Минором матрицы k-ого порядка называется определитель матрицы, состоящей из
элементов, расположенных на пересечении k строк и k столбцов ( 1  k  n 1 ) данного
определителя d порядка n.
ai1 j
1
 i1 i2 i3 ... ik  ai2 j
1

A
 j j j ... j  
k 
 1 2 3
aik j
1
ai1 j
 ai1 j
ai2 j
 ai2 j

aik j
 
 aik j
2
k
2
k
2
k
Пусть в определителе d n-ого порядка взят минор M k-ого порядка. Если вычеркнуть те
строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор M’ (n–
k)-ого порядка, который называется дополнительным минором для минора М.
a j1 i
1
 j1 j2 j3 ... jnk  a j2 i
1

A
 i i i ... i 

nk 
1 2 3
a jnk i
1
a j1 i

a j1 i
a j2 i

a j2 i



 a jnk i
nk
2
nk
2
a jnk i
2
nk
Если минор k-ого порядка расположен в строках с номерами i1 , i2 , ..., ik и столбцах с
номерами j1 , j2 , ..., jk , то алгебраическим дополнением минора М является
дополнительный минор М’, взятый со знаком  1i i ...i  j  j ... j .
1
a j1 i
1
 j1 j2 j3 ... jn  k  a j2 i
1

A
 i i i ... i


nk 
1 2 3
a j nk i
1
a j1 i

a j1 i

a j2 i
2
a j2 i
2

a j nk i
2
2
k
1
2
k
nk
nk


 a j n k i
nk
  1 1
i  i 2  i3  ...  i n k  j1  j 2  j3  ...  j n k
Теорема.
Произведением любого минора k-ого порядка матрицы А на его алгебраическое
дополнение состоит из слагаемых, представляющих собой члены определителя матрицы
А с правильным знаком.
Доказательство.
7. Теорема Лапласа.
Теорема.
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов),
1  k  n 1 . Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, содержащихся в
выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
8. Разложение определителя по строке или столбцу. Умножение элементов
строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки.
Определение.
a11
Разложение определителя d 
... a1 j
... a1n
a21 ... a2 j
... a2 n
...
...
...
...
an1 ... an j
...
n
по j-ому столбцу d   ak j Ak j .
k 1
... an n
Теорема.
Сумма произведений всех элементов некоторого столбца (строки) определителя на
алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца (строки) равна
нулю, т. е.
n
a
k 1
kj
Ak f  0 .
9. Правило Крамера.
Пусть дана система, определитель которой не равен нулю, вида
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21 x1  a2 2 x2  ...  a2 n xn  b2
1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a x  a x  ...  a x  b
n2 2
nn n
n
 n1 1
X  матрица решений системы
AX  B, X  A1 B
Правило Крамера.
Система (1) однозначно разрешима при любых правых частях тогда и только тогда, когда
определитель матрицы А не равен нулю. Это решение определяется формулой xi 
i
,

где  – определитель матрицы системы,  i – определитель матрицы, получаемой из
матрицы системы заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.
Доказательство.
 x1 
 
 A11
 b1 

 x2 
 


b  1
X     A1  2    A1i


 xi 
 


b 
n


A
 
 1n
x 
 n
A21  An1 
 b1 
    
b
A2 i  An i  2 , где Аi j  алг. дополнение к элементу ai j
  
    
b 
A2 n  An n  n 
a11
1
1 a21
xi   A1i b1  A2 i b2  ...  An i bn  

 

a n1





i 
b1
b2


bn
 a1n
 a2 n
 раскроем определитель по i  ому столбцу 
 
 
 an n


1
b1 A1i b1  b2 A2i  ...  bn An i    i


Докажем , что А  0

1
 
0
AX 1  B1   0 
 

0
 
0
 
1
AX 2  B2   0 
 

0
 
0
 
0
AX 3  B3   1 
 

0
 
...
0
 
0
AX n  Bn   0 
 

1
 
Составим матрицу U , столбцами которой являются матрицы столбцы X 1 , X 2 , X 3 ... X n
U   X 1 
X 2  X 3 

 X n 
1

0
AU  
...

0

0
1
...
0
...
...
...
...
0

0
 En  U  A1  A  0

...

1 
10. Обратная матрица.
Определение.
Матрица B (A–1) называется обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е (единичная матрица).
Теорема.
A1  A  0
1. 
A1  A1 A  E  A1 A  E  1  A1 A  1  A  0
2. 
Пусть А*  Аi j  присоединённая матрица по отношению к матрице А, тогда
 
* T
AA
 a11  a1n  A11  An1 



         
a


 n1  an n  A1n  An n 
11. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Определение.
Ранг матрицы А r
A
det 1. Существует минор порядка r , не равный нулю 


 r 

2. Любой минор порядка выше r равен нулю


Определение.
Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным минором. Строки и столбцы,
формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.
Определение.
Система столбцов A1 , A2 , A3 ... Ar называется линейно зависимой  1 , 2 ...r , не все равные
 0
 
нулю, и такие, что 1 A1  2 A2  ...  r Ar    
 0
 
Теорема.
1) Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно-независимую
систему.
2) Любой столбец матрицы линейно выражается через столбцы базисного минора.
r
A j 1 ,  2 ... r : A j  1 A1   2 A2  ...   r Ar    i Ai
i 1
Доказательство.
a1 j 
 
  



 


 

a2 j 



 
  
 


 
A'r a3 j 
 БМ

 
  A'1 A'2 БМ

  




 

A 

ar j 



 

 
  
 
 





 
ai r
ai j 
Ar
 А1 A2 A3
  ai1 ai 2 ai 3

 
 





 
1. Предположим противное, т.е. система A1 , A2 , A3 ... Ar линейно зависима , т.е. 1 , 2 ...r , не все
 0
 
 0
равные нулю, и такие, что 1 A1  2 A2  ...  r Ar   i Ai   r  

i 1
 
 0
 



r  система коротких базисных 


1 2 3  r 
  0
столбцов, входящих в длинные, А'1 , A'2 , A'3 ... A'r линейно зависима  Базисный минор А
1 2 3  r 
Получили противоречие, т.к. БМ  0.
r
2.
j  фиксирован ное
i  любое (r  i  m)
r
1 2 3  r 

ai j    ai k Ak , где   А
k 1
1 2 3  r 
r
A
ai j   ai k k , где  k   k

k 1
i  1,
a1 j  a111  a12 2  a13 3  ...  a1r r
i  2,
a2 j  a211  a2 2 2  a23 3  ...  a2 r r
i  3,
a3 j  a311  a32 2  a33 3  ...  a3r r
.............................................................................
i  n,
an j  an11  an 2 2  an 3 3  ...  an r r
A     A     A     A   ...    A    A
r
j
1
1
2
2
3
3
r
r
i 1
i
i
12. 13. Следствия из теоремы о базисном миноре.
Следствия.
а) Равенство определителя нулю.
A  0  Система строк столбцов матрицы А линейно зависима
Доказательство.
1.  По свойствам определителя.
2. 
A  0  rA  n   строка, не входящая в базисный минор
По теореме о базисном миноре эта строка линейно выражается через остальные строки А 
 Строка линейно зависима  Система строк матрицы А линейно зависима
б) Линейная зависимость системы из (n+1) столбца размером из n элементов.
nx n1
A   A1  A2  A3  An1 
Система столбцов высотой n в колличестве k  n  1 линейно зависима.
Доказательство.
 a11 a12  a1n1 


 a21 a2 2  a2 n1 
A
 rA  n   столбец, не входящий в базисный минор
    


 an an  an 
2
n 1 
 1
По теореме о базисном миноре этот столбец линейно выражается через остальные столбцы А 
 Столбец линейно зависим  Система столбцов матрицы А линейно зависима
в) Линейная независимость системы из k столбцов, линейно выражающихся через l
столбцов.
Система столбцов A1 , A2 , A3 ... Ak линейно независима , которая линейно выражается через столбцы
B1 , B2 , B3 ...Bl , тогда k  l.
Доказательство.
1 A1  a11 B1  a12 B2  ...  a1l Bl
2 A2  a21 B1  a2 2 B2  ...  a2 l Bl
k Ak  ak 1 B1  ak 2 B2  ...  ak l Bl
; A  ai j
 a11

 a2
 1


a
 k1
a12  a1l 

a2 2  a2 l 
  

ak 2  ak l 
Предположим противное, т.е. система строк A1 , A2 , A3 ... Ak линейно зависима , т.е. 1 , 2 ...k , не все
k
равные нулю, и такие, что 1 B1  2 B2  ...  k Bk    j B j   k 0 0  0  
j 1
противоречие, т.к. система строк линейно независима.
14. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной зависимости системы столбцов.
Теорема.
Ранг матрицы А равен числу столбцов (строк), входящих в максимальную линейно
независимую подсистему.
Доказательство.
A  ai j
A1 , A2 , A3 ... An  система столбцов матрицы А.
Ai1 , Ai2 , Ai3 ... Aik  максимальн ая линейно независимая подсистема
A j , Ai1 , Ai2 , Ai3 ... Aik  линейно зависимая система, т.е. 0 , 1 , 2 ... л , не все равные нулю,
k
и такие, что 0 A j  1 Ai1  2 Ai2  ...  k Aik  0 A j   i Aik   r
i 1
15. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.
Теорема.
Пусть минор k-ого порядка матриц А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры
равны нулю, тогда ранг матрицы А равен k.
Доказательство.
k
k
 A 
ai j M   ai S AS  ai j     S ai S , i  1,2,3...m, j  1,2,3..n
M
S 1
S 1 
k
 A 
A j      S  A S 
M
S 1 
 jk 
 j1   j2 
A A ... A  линейно выражаются через столбцы БМ
С другой стороны все столбцы БМ линейно выражаются через A j1  A j2 ... A jk 
Т .о. rA  k  rA  rA  k .
16. Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы.
Теорема.
Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы:
1. Умножение любой строки (столбца) на число отличное от нуля.
2. Перестановка любых двух строк (столбцов).
3. Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.
4. Вычёркивание или приписывание нулевой строки.
Доказательство.
Пусть ранг матрицы A равен r.
1)
~
A A
Все миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю 
~
Все миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю  rA~  rA
~
A A
~
Все миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю 
Все миноры порядка r  1 матрицы A равны нулю  rA  rA~
rA~  rA  rA~  rA  rA~
2)
~
A A
Все миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю 
~
Все миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю  rA~  rA
~
A A
~
Все миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю 
Все миноры порядка r  1 матрицы A равны нулю  rA  rA~
rA~  rA  rA~  rA  rA~
3)
~
A A A

Bi  B j  B j , т.к. Bi  0 миноры порядка r  1 матрицы А равны нулю
rA~  rA  rA~  rA  rA~

17. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.
Суть метода Гаусса заключается в привидении матрицы А к трапециевидной матрице
путём зануления столбцов.
 a11 a12 a13

 a21 a2 2 a2 3
a
a3 2 a33
3
A 1
  
  

a
 m1 a m 2 a m 3
 a11 a12 a13 

 0 a2 2 a2 3 
0
0 a33 

   
0
0
0 

0
0
0 

  a1n   a11 a12
 
  a2 n   0 a2 2
  a3 n   0 a3 2

     
      
  am n   0 am 2
 a1n 

 a2 n 
 a3 n 
, r  rA
 ar n 
 0 
 0 
a13
a2 3
a33


am 3
  a1n   a11 a12
 
  a2 n   0 a2 2
  a3 n   0
0

     
      
  am n   0
0
a13
a2 3
a33


am 3
  a1n 

  a2 n 
  a3 n 

  
   
  am n 
18. Теорема Кронекера-Капелли.
Теорема.
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21 x1  a2 2 x2  ...  a2 n xn  b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a x  a x  ...  a x  b
mn n
m
 m1 1 m 2 2
Система линейных уравнений совместна имеет решения  rA  rA~ ,

 a11

 a2
A 1


a
 n1


 a1n 
 a11


a2 2  a2 n  ~
 a2
, A расширенная матрица   1

  





an 2  an m 
 ak 1
a12


a12
 a1n
a2 2  a2 n
 

ak 2  ak n
b1 

b2 


bm 
Доказательство.
1. 
Пусть x1  1 , x2   2 ,..., xn   n  некоторые решения системы.
a111  a12 2  ...  a1n n  b1

a211  a2 2 2  ...  a2 n n  b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a   a   ...  a   b
mn n
m
 m1 1 m 2 2
 a11 a12

~  a21 a2 2
A
 

a
 k 1 ak 2
2. 
r  rA  rA~
 a1n
 a2 n
 
 ak n
 a1 j 
 b1 


 
 a2 j 
b 
Aj  
, B   2 , j  1,2...n  1 A1   2 A2  ...   n An  B





 
b 
 am 
 m
 j
b1   a11 a12
 
b2   a21 a2 2

   
 
bm   ak 1 ak 2
n
0   a11 a12
 
0   a21 a2 2

     
 
 ak n 0   an1 an 2
 a1n
 a2 n
 a1n 

 a2 n 
 rA~  rA
 

 an m 
B  1 Ai1   2 Ai2  ...   r Air    j A j  x1  1 , x2   2 ,..., xn   n  некоторые решения системы.
j 1
23. Однородные системы линейных алгебраических дополнений: свойства решений,
эквивалентное уравнение системы.
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21 x1  a2 2 x2  ...  a2 n xn  b2
1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a x  a x  ...  a x  b
mn n
m
 m1 1 m 2 2


Решение X 0  0 0 0 ...0 называется правильным нулевым решением.
В случае m  n применимо правило Крамера.
Определение.
Урезанная система – система, из которой отброшены уравнения, у которой
соответствующие им строки матрицы системы не входят в базисный минор.
Утверждение.
Урезанная система эквивалентна исходной системе, т. е. любые решения исходной
системы равны решениям урезанной системы, и наоборот.
Пример:
x  y  z  0

x  y  z  0  x  y  z  0
x  y  z  0

Доказательство.
Скачать