Основы теории цепей переменного тока

Основы теории цепей переменного тока
1. Сопротивление в цепи переменного тока.
Вынужденные электрические колебания существуют в электрической
цепи, к концам которой подключён источник тока, ЭДС которого меняется по
гармоническому закону
 (t )   0 cos t .
В установившемся режиме сила тока в цепи меняется с частотой  так же
по гармоническому закону, ток носит название переменного тока
I (t )  I 0 cos t .
Рассмотрим
поведение
индуктивности в такой цепи.
резистора,
конденсатора
и
катушки
Пусть к зажимам переменной ЭДС подключен резистор сопротивлением
R. Запишем закон Ома для замкнутой цепи
 (t )  I (t )  R .
Следовательно,
I (t ) 
0
R
cost  I 0 cost .
Амплитудное значение силы тока связано с амплитудой напряжения
соотношением
I0 
0
R
.
Следовательно, резистор в цепи переменного тока имеет сопротивление
R, ток и напряжение меняются в фазе (в выражениях для напряжения на
резисторе и силы тока стоят одинаковые cos t ).
2.Действующие значения тока и напряжения.
Определим мощность, выделяемую на резисторе, катушке и конденсаторе
в цепи переменного тока.
Пусть к зажимам переменной ЭДС подключен резистор сопротивлением
R. Напряжение равно
U (t )  U 0 cos t   (t ) .
Сила тока равна
I (t ) 
0
R
cost  I 0 cost .
Мгновенное значением мощности, выделяемой на сопротивлении, равно
U 02
N  U (t )  I (t ) 
cos2 t .
R
Преобразуем выражение cos2 t 
1  cos 2t
, получим
2
U 02
U 02
2
1  cos 2t  .
N
cos t 
R
2R
Определим среднее значение мощности за период колебаний
N 
U 02
U2
U2
cos2 t  0 1  cos 2t   0 ,
R
2R
2R
так как среднее значение cos 2t за период равно нулю.
Таким образом,
сопротивлении, равно
среднее
значение
N 
Величину
мощности,
выделяемой
U 02
.
2R
U0
называют действующим значением напряжения.
2
на
Записав выражение U 0  I 0 R , для средней мощности получим N 
Величину
I 02 R
.
2
I0
называют действующим значением силы тока.
2
3. Конденсатор в цепи переменного тока.
Рассмотрим поведение конденсатора, к обкладкам которого подключён
источник переменной ЭДС
 (t )   0 cos t .
Если конденсатор включён в цепь переменного тока, то ток через
конденсатор отсутствует (между обкладками находится диэлектрик),
напряжение на конденсаторе равно ЭДС, заряд конденсатора Q  C .
В случае переменного тока заряд на конденсаторе непрерывно меняется,
так как меняется напряжение на нём, поэтому в подводящих проводах
существует ток. Напряжение на конденсаторе в любой момент времени
совпадает с ЭДС, поэтому
U (t )   (t )   0 cos t .
Так как напряжение на конденсаторе и его заряд связаны соотношением
U (t ) 
q(t )
.
C
Следовательно, для заряда получаем уравнение
q(t )
  0 cost .
C
Определим заряд конденсатора и силу тока в цепи
q(t )   0 C cost ;
I (t ) 
dq
  0C sin t.
dt
Для амплитудного значения силы тока получим выражение
I 0  0C .
Запишем для амплитудного значения выражение аналогичное закону
Ома, введя величину X C , которую называют емкостным сопротивлением
I0 
Сравнивая два
сопротивление равно
последних
0
XC
.
выражения,
XC 
видим,
что
емкостное
1
.
C
Определим сдвиг фаз между током и напряжением на конденсаторе.
Напряжение на конденсаторе равно ЭДС, а сила тока равна
U (t )   0 cost ;
I (t )   I 0 sin t  I 0 cos(t 

2
).
Видим, что колебания тока опережают колебания напряжения по фазе на
четверть периода, то есть на

.
2
Определим мощность для цепи с конденсатором. Так как напряжение и
ток равны
U (t )   0 cost ;
I (t )   I 0 sin t.
Тогда мгновенное значение мощности равно
N  U (t )  I (t )  
 02
R
cost sin t  
 02
2R
sin 2t .
Так как среднее значение sin 2t за период равно нулю, то среднее
значение мощности также равно нулю.
4. Катушка индуктивности в цепи переменного тока.
Рассмотрим поведение катушки индуктивности в цепи переменного тока.
При изменении силы тока I в катушке в ней возникает ЭДС самоиндукции,
значение которой определяется выражением
 si   L
dI
,
dt
где L – индуктивность катушки.
Запишем второе правило Кирхгофа для контура с катушкой
 (t )   si  0 .
Отсюда получим уравнение для определения силы тока в цепи
dI
 0;
dt
dI
 0 cost  L .
dt
 0 cost  L
Решением этого уравнения является
I (t ) 
0
sin t .
L
Для амплитудного значения силы тока получим выражение
I0 
0
.
L
Запишем для амплитудного значения выражение аналогичное закону
Ома, введя величину X L , которую называют индуктивным сопротивлением
I0 
0
XL
.
Величина индуктивного сопротивления равна
X L  L .
Определим сдвиг фаз между током и напряжением на катушке. Так как
сила тока равна

I (t )  I 0 sin t  I 0 cos(t  ) ,
2
То видим, что колебания тока отстают от колебаний напряжения по фазе на
четверть периода, то есть на

.
2
Определим мощность для цепи с катушкой индуктивности. Так как напряжение
и ток равны
U (t )   0 cost;
I (t )  I 0 sin t.
То мгновенное значение мощности равно
N  U (t )  I (t ) 
 02
R
cost sin t 
 02
2R
sin 2t .
Так как среднее значение sin 2t за период равно нулю, то среднее
значение мощности также равно нулю.
Таким образом получаем, что мощность в цепи переменного тока
рассеивается только на резисторе, поэтому его называют активным
элементом, а конденсатор и катушку – реактивными элементами в цепи
переменного тока.