Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого РЯДЫ ФУРЬЕ В. Новгород 2011 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого РЯДЫ ФУРЬЕ Методические указания В. Новгород 2011 2 УДК 517.2 Печатается по решению РИС НовГУ Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Ряды Фурье: метод. указания/Авт.-сост. С.А. Цапаева; ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011.– 24с. Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с теорией рядов Фурье, разобраны практические примеры. Приведены задания для самостоятельной работы. Методические указания предназначены для студентов инженернотехнических специальностей. УДК 517.2 © ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого», 2011 © Цапаева С.А., составление 2011 3 1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение. Гармониками называются комплекснозначные функции вида f ( x) e inx , где x – действительная переменная, 2 T - частота гармоники, Т – период, n 0,1,2,... При n 0 f ( x) e 0 1 гармоника называется несобственной, при n 0 имеем собственные гармоники. Свойства 1. Периодичность гармоники Гармоники являются периодическими функциями с периодом Т. Доказательство. Имеем f ( x T ) e inx inT e inx e inT f ( x) e i 2 nT T f ( x)e i 2n f ( x)(cos 2n i sin 2n) f ( x) . 2. Интегральное свойство гармоники a T T , åñëè n 0 inx e dx 0, åñëè n 0 , где a – любое число. a Доказательство a T a T a a а) При n 0 имеем 1 dx x a T a T; б) Если n 0 , то a T inx e dx a e inx a T 1 in( a T ) 1 ina e e ina e e ina 0. in a in in 2. ПОНЯТИЕ РЯДА ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Определение 1. Функциональный ряд вида cn e inõ n 4 ... c n e inx ... c 2 e i 2x c1e ix c0 c1e ix ... cn e inx ... (1) называется тригонометрическим рядом. Числа c0 , c1 , c1 , c 2 , c2 ,..., c n , cn ,... называются коэффициентами ряда. Определение 2. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции f (x) на a; a T , если коэффициенты ряда вычисляются по формулам cn 1 a T inx dx . f ( x )e T a (2) Теорема (Необходимый признак представительности функции тригонометрическим рядом) Для того, чтобы функция тригонометрическим рядом вида f (x ) была представима на a; a T cn e inx , необходимо, чтобы этот ряд n являлся рядом Фурье, т.е. чтобы коэффициенты c n вычислялись по формулам cn 1 a T f ( x)e inx dx , n Z . T a Доказательство Пусть функция f (x) представима на a; a T тригонометрическим рядом f ( x) cn e inx . n Умножим обе части этого равенства на e ikx : n n f ( x)e ikx e ikx cn e inx cn e i ( n k ) x . Предполагая возможность интегрирования под проинтегрируем по промежутку a; a T : a T a T a n a ikx dx c n e i ( n k ) x dx . f ( x )e Т.к. знаком ряда, 5 a T T , åñëè n k i ( n k ) x dx , то e 0, åñëè n k a ck 1 a T ikx dx . f ( x )e T a Заменив k на n, получим (1). 3. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ Определение 1. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на a; b, если она непрерывна на этом промежутке или имеет на нем конечное число разрывов I рода. Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-монотонной на a; b, если она монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна (т.е. функция на a; b имеет конечное число экстремумов). Определение 3. Говорят, что f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на a; b, если f (x) на a; b является кусочно-непрерывной и кусочномонотонной. Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции рядом Фурье) Если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на a; a T , то ряд Фурье для этой функции сходится на этом отрезке и при этом: 1. В точках непрерывности функции сумма ряда s (x) совпадает с самой функцией: s ( x) f ( x); 2. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x) слева и справа: s x0 f ( x0 ) f ( x 0 ) ; 2 3. В точках x a и x a T (на концах отрезка) сумме ряда равна 6 s (a) s (a T ) f (a) f (a T ) . 2 Замечания 1. Условиям Дирихле удовлетворяют многие функции, которые встречаются в математике и ее приложениях. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом представимые рядом Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие представимости, но не необходимое. 2. Теорема о периодическом продолжении функции. Сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом Т. Доказательство s( x) cn e inx n n n s( x T ) cn e in( x T ) cn e inx s( x) при любом х. Т.о., график функции s (x) есть график периодической функции на всей числовой оси. Говорят, что s (x) периодически продолжает на всю числовую ось функцию f (x) , заданную на a; a T . Пример 1. Разложить функцию f x e x , заданную на отрезке ; , в ряд Фурье в комплексной форме. Решение. Данная функция в указанном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. 2 1 По формулам (2) имеем T 2 ; cn T 1 a T 1 x inx 1 1 in x inx f x e dx e e dx dx e T a 2 2 1 e 1 in x e 1 in e 1 in e e in e e in . 2 1 in 2 1 in 2 1 in 7 Т.к. e in cos n i sin n 1n , то cn e x cn e inx n 1n e e , 2 1 in e e 1n e inx . 2 n 1 in В интервале ; этот ряд представляет функцию e x , а в точках x его сумма равна 1 e e . 2 4. РЯД ФУРЬЕ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ФОРМЕ Пусть функция f x удовлетворяет на a; a T условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье f ( x) cn e inx , n (1) где cn 1 a T inx dx . f ( x )e T a (2) Преобразуем ряд (1) cn e inx c0 c1e ix c1e ix c2 e i 2 x c 2 e i 2 x ... cn e inx c n e inx ... n c0 cn e inx c n e inx . n 1 Используя формулы e iy cos y i sin y, e iy cos y i sin y, получим f ( x) c0 cn (cos nx i sin nx) c n (cos nx i sin nx) n 1 c0 (cn c n ) cos nx i(cn c n ) sin nx . n 1 8 Введём обозначения c0 a0 ; cn c n an ; i(cn c n ) bn . 2 Имеем a f ( x) 0 a n cos nx bn sin nx . 2 n 1 Получим формулы для коэффициентов a0 , a n , bn : a 0 2c 0 an cn c n т.к. cos y 2 a T f ( x)dx ; T a 2 a T e iy e iy , то a n f ( x) cos nxdx ; T a 2 bn i c n c n i т.к. sin y 1 a T 1 a T 1 a T f ( x)e inx dx f ( x)e inx dx f ( x) e inx e inx dx , T a T a T a 1 a T f x e inx e inx dx , T a 2 a T e iy e iy , то b n f x sin nxdx . T a 2i Итак, ряд Фурье в вещественной форме для функции f x на a; a T имеет вид a f ( x) 0 a n cos nx bn sin nx ; 2 n 1 a0 an 2 a T f ( x)dx , T a 2 a T f ( x) cos nxdx , T a bn (3) (4) 2 a T f x sin nxdx . T a Дополнение к примеру 1. Чтобы преобразовать ряд, полученный в примере 1 для функции e x в комплексной форме, к вещественной форме, следует объединить 9 слагаемые с индексами n и n и заменить по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими: 1n einx 1 n e inx 1n 1 in einx 1 in e inx 2 1 in 1 in 1n 2 При n 0 вычисляем c0 1 n cos nx n sin nx 1 n2 , n 1,2,... a0 e e . 2 2 Следовательно, e x e e 1 1n cos nx n sin nx . 2 n 1 1 n 2 Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f x , заданную на x 2 отрезке 0;2 . Решение. Данная функция на 0;2 удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому может быть разложена в ряд Фурье. T 2 ; 1; an 2 2 x 1 2 cos nxdx x cos nxdx 2 0 2 2 0 (интегрируем по частям: u x ; dv cos nxdx; du dx ; v 1 = 2 sin nx ) n sin nx 2 2 sin nx 1 cos nx 2 cos 2n 1 x dx 0 для всех 2 n 2 0 n n 2n 2 0 0 n 1,2,... При n 0 полученное выражение для a n не имеет смысла, поэтому коэффициент a0 вычисляем отдельно 2 2 x 1 2 1 x 2 2 a0 . dx 2 xdx 2 2 2 0 2 0 0 bn 2 2 x 1 2 1 x cos nx sin nx 2 1 . sin nxdx x sin nxdx 2 2 0 2 2 0 2 n n n 0 10 Для вычисления интеграла применена формула интегрирования по частям: u x ; dv sin nxdx ; du dx ; v cos nx . n Подставляя значения коэффициентов a n и bn в тригонометрический ряд (3), получим искомое разложение данной функции в ряд Фурье: sin nx x . 2 2 n 1 n Это разложение справедливо (полученный ряд сходится к данной функции) при любом x 0;2 . В точках x 0 и x 2 сумма ряда равна . 2 1 x Пример 3. Написать ряд Фурье для функции f x при 0 x2 . 2 x4 Решение. an 14 nx f x cos dx 20 2 4 1 2 nx nx cos dx x cos dx 2 0 2 2 2 (для вычисления второго интеграла применяем формулу интегрирования по частям: u x ; dv cos nx 2 dx ; du dx ; v 2 nx sin ) n 2 1 2 nx 2 2 x nx 4 nx 4 sin sin cos 2 n 2 0 n 2 2 2 2n2 1 4 cos 2n cos n 22 2 1 cos n 22 2 1 1n ; 2 2 2 n n n a0 14 f x dx 20 4 1 1 2 x 2 4 1 dx xdx 2 2 6 4 ; 2 2 2 0 2 2 2 11 bn 14 nx f x sin dx 20 2 4 1 2 nx nx sin dx x sin dx 2 0 2 2 2 1 2 nx 2 2 x nx 4 nx 4 cos cos sin 2 n 2 0 n 2 2 2 2n2 1 2 nx 2 nx cos x cos 2 n 2 0 2 4 1 cos n 1 4 cos 2n 2 cos n n 2 1 3 cos n 1 1n 3 . n n Искомое разложение имеет вид 2 nx 1 nx . f x 2 1 1n cos 1n 3 sin 2 2 2 n 2 n 1 n Оно справедливо для всех x 0;2 ; x 2;4 : в интервале (0;2) сумма ряда sx 1 , в интервале (2;4) sx x . В точке разрыва x 2 sx f 2 f 2 1 2 3 . 2 2 2 В точках x 0 и x 4 сумма sx равна f 0 f 4 1 4 5 . 2 2 2 5. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПРОМЕЖУТКЕ l; l Пусть функция f x на l; l удовлетворяет условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье (3) с коэффициентами (4). 12 Положив a l ; a T l , имеем T 2l ; 2 . T l И формулы (3), (4) принимают вид a n n f x 0 a n cos x bn sin x, 2 n 1 l l (5) где a0 1l f x dx ; l l an 1l n f x cos xdx , l l l (6) 1l n f x sin xdx , n 1,2,... l l l bn 6. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПРОМЕЖУТКЕ ; Это частный случай предыдущего разложения, когда l : a f x 0 a n cos nx bn sin nx , 2 n 1 (7) где a0 an 1 f x dx ; 1 f x cos nxdx , bn 1 f x sin nxdx , n 1,2,... (8) 13 7. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ Если разлагаемая на отрезке l; l в ряд Фурье функция f x является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов ряда (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда. Если функция f x четная, то ее ряд Фурье имеет вид a nx , f x 0 a n cos 2 n 1 l (9) где a0 2l 2l nx f x dx ; a f x cos dx , n N . n l0 l0 l (10) Если функция f x нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид nx n 1 l f x bn sin , (11) где bn 2l nx f x sin , n N . l0 l (12) Доказательство Известно, что если функция f x интегрируема на симметричном отрезке l; l , то f x четная функция, l 2 f x dx, если f x dx 0 l 0, f x нечетная функция. l Если f x - четная, nx nx f x cos , f x cos l l nx nx f x sin . f x sin l l то а f x cos f x sin nx nx l - l - четная функция нечетная функция 14 Если же f x - нечетная функция, то f x cos f x sin nx l nx l - нечетная, а - четная функция. С учетом этих фактов и из формул (5)-(6) получаем формулы (9)(12). Ряды (9) и (11) называются неполными рядами Фурье, или рядами по косинусам и по синусам соответственно. Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f x x , заданную на ; . Решение. Эта функция на ; является непрерывной, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. В силу нечетности все коэффициенты an 0 , n 0,1,2,... . bn 2 2 x sin nxdx x 0 cos nx 1 sin nx n 0 n2 0 2 2 2 n n 1 cos n 1 1 . n n n Ряд Фурье для данной функции содержит только синусы 2 0. x 1n 1 sin nx для любого x ; ; s 2 n n 1 Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f x x , заданную на ; . 15 Решение. Данная функция удовлетворяет на ; условиям Дирихле, является четной. 2 2 x2 , n N ; bn 0 , a0 xdx 0 2 0 an 2 2 sin nx x cos nxdx x n 0 cos nx 2 cos n cos 0 22 1n 1 . 2 2 n 0 n n n 2k 1 2, если . n 2k 0, Заметим, что 1n 1 Итак, получим следующее разложение в ряд Фурье: x Т.к. s 2 4 1 2 k 1 2k 1 cos2k 1x . f f f f , то на 2 ; график функции совпадает с графиком ряда Фурье. 8. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА 0; l 1. Отрезок 0; l можно считать частным случаем промежутка a; a T a 0;T l . В этом случае функцию можно разложить в ряд Фурье (3), коэффициенты которого определяются по формулам (4), то есть ряд Фурье содержит косинусы и синусы. 2. Функцию, заданную на 0; l , можно продолжить на промежутке l;0 и получить ряд Фурье на промежутке l; l . 16 а) В частности, функцию f x можно доопределить четным образом f x f x ). В этом случае функция (т.е. чтобы при l x 0 f x разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы. б) Если же функцию f x продолжить на l;0 нечетным образом, то она разлагается в ряд Фурье только из синусов. 1 0 x 0,5 в ряды Фурье, 1 0,5 x 1 Пример 6. Разложить функцию f x содержащие только синусы или только косинусы. 1) Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжим ее на интервал 1;0 четным образом. Тогда bn 0 для любого n N . Согласно формулам (10): 1 0,5 2l nx 21 an f x cos dx f x cos nxdx 2 cos nxdx cos nxdx l0 l 10 0,5 0 sin nx 0,5 sin nx 1 4 n 2 sin , n 0. n n 0,5 n 2 0 Если n 2k , то an 0 ; если n 2k 1, k 1,2,... , то a n a 2k 1 4 4 sin k cos k 2k 1 2k 1 2 4 1k 1k 1 4 . 2k 1 2k 1 17 0,5 1 0 0,5 При n 0 a0 2 dx dx 20,5 0,5 0 . Итак, f x 4 1k 1 cos2k 1x . k 1 2k 1 Это разложение справедливо во всей области определения данной функции. На отрезке 0;1 график суммы полученный ряд отличается от графика данной функции точкой с координатами 0,5;0 . 2) Продолжим данную функцию на интервал 1;0 нечетным образом, чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только синусы. Тогда an 0 , n 0,1,2,... bn 1 0,5 21 sin nxdx sin nxdx f x sin nxdx 2 10 0,5 0 cos nx 0,5 cos nx 1 2 1 cos n cos n cos n 2 cos n 1 2 cos n 2 n n 0,5 n 2 2 n 2 0 . Если n 2k 1, то bn 0 ; 0, k 2m 22 2 cos k 21 cos k 4 , если если n 2k , то bn b2k . k 2m 1 2l k 2 m 1 Итак, искомое разложение в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы, имеет вид f x 4 1 sin 22m 1x . m 1 2m 1 18 9. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА R До сих пор мы рассматривали разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке. Теперь рассмотрим разложение в ряд Фурье функций, заданных на всей числовой оси. а) Известно, что если функция f (x) имеет период Т и интегрируема на отрезке x1; x2 R , то a T b T a b f ( x)dx f ( x)dx при любых a и b x1; x2 . Поэтому, если f (x) является периодической функцией с периодом Т, то для представления ее рядом Фурье, достаточно рассматривать любой промежуток длиной Т. В этом случае график s (x) на всей числовой оси совпадает с графиком f (x) в точках непрерывности. Пример 7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f x x 2 при x ; f x 2 f x . Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, что дает возможность получить ее разложение в ряд Фурье. Она является четной. Все коэффициенты bn 0 . Коэффициент a n вычисляем по формулам (10), положив l : an 4 cos n x2 2 2 2 2 x 2 4 , n 1,2,... x cos nxdx cos nx sin nx 1n 2 2 n n3 0 0 n 2 n n (дважды применена формула интегрирования по частям) a0 2 2 2 x 3 2 2 x dx . 0 3 0 3 Следовательно, 2 x 4 1n cos n . 3 n 1 n2 2 19 Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом x R , т.е. полученный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси. Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью совпадают. Пример 8. Разложить в ряд Фурье функцию f x cos x 2 при 0 x 2 ; f x 2 f x . Решение. Функция нечетная, поэтому все коэффициенты an 0 ; bn 2 2 x 1 2 1 1 cos sin nxdx sin n x sin n x dx 0 2 0 2 2 1 1 cos n x cos n x 2 1 1 1 1 cos2n cos2n 2 2 1 1 1 1 1 1 0 n n n n n n 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 42n 1 2n 1 16n . n 1 n 1 2n 12n 1 2n 12n 1 2 2 Следовательно, cos x 16 n sin nx . 2 n 1 2n 12n 1 Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности, т.е. при всех значениях x , кроме xn 2n , n 0,1,2,... В точках разрыва x n по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна 0 20 (это же очевидно потому, что в этих точках все члены ряда обращаются в 0). Графики суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсциссами x n . У графика данной функции ординаты этих точек равны -1; а у графика суммы ряда они равны 0. б) Пусть f x - непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть периодическая функция и, следовательно, не может быть равна f x при всех x . Однако непериодическая функция f x может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке a; b , на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Сумма этого ряда во всех точках отрезка a; b (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f x . Вне этого промежутка сумма ряда и f x являются различными функциями. 21 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции: 0 x 1 x, а) f x 1, при 1 x 2 ; 3 x, 2 x3 б) f x x cos x в интервале ; ; 2 2 в) f ( x) x sin x в интервале ; . 2. Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции: а) f x arcsin sin x ; б) f x arcsin cos x ; в) f x sin x . 3. Разложить в интервале 0; по синусам кратных дуг функцию f x 4 . Полученное разложение использовать числовых рядов: 1 3 1 5 1 7 1 5 1 7 1 1 1 ...; 11 13 17 1 5 1 7 1 1 ... . 11 13 а) 1 ...; б) 1 в) 1 4. Разложить в неполные ряды Фурье а) по синусам б) по косинусам 0 x 1 x, при . 1 x 2 2 x , функцию f x для суммирования 22 РГЗ x 0 nx, при в интервале 0 x n 1x, 1. Разложить функцию f x ; , определить сумму ряда в точке разрыва и на концах интервала, построить график самой функции и суммы ряда (также и вне интервала ; ). 2. Написать ряд Фурье для функции f x sin x на отрезке ; . n 1 1 0 x x n. 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам f x 1 n , при 1 0, x n 23 Библиографический список 1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1и Т.2. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. М.: Наука, 2003. 2. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов/Б.П. Демидович. М.: АСТ: Астрель, 2003. 3. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие для вузов / Л. А. Кузнецов. - 11-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. 4. Сборник задач по математике: для втузов : учеб. пособие: в 4 ч. / под ред.: А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. – 5-е изд. - М.: Физматлит, 2009 5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие для вузов. В 2 т. Т.2./Н.С. Пискунов. М.: ИнтегралПресс, 2002. 6. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3-х т. Т.2. / Г. М. Фихтенгольц. - 9-е изд., стер. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. 24 СОДЕРЖАНИЕ 1. Понятие и свойства гармоник 4 2. Понятие ряда Фурье в комплексной форме 4 3. Теорема Дирихле 6 4. Ряд Фурье в вещественной форме 8 5. Ряд Фурье для функций, заданных на промежутке l; l 12 6. Ряд Фурье для функций, заданных на промежутке ; 13 7. Ряд Фурье для четных и нечетных функций 14 8. Ряд Фурье для функции, заданной на 0; l 16 9. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на R 19 Задания для самостоятельной работы 22 РГЗ 23 Литература 24